Chuyên đề 10 bài tập phương trình vô tỉ - Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

PHẦN I. ĐỀ BÀI

Bài 1 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt{x + 2} = 1$$

Bài 2 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x + 1} = 3$$

Bài 3 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{3 - x} + \sqrt{x + 6} = 3$$

Bài 4 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2$$

Bài 5 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{2x - 1} + \sqrt{x - 1} = 1$$

Bài 6 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x + 34} - \sqrt[3]{x - 3} = 1$$

Bài 7 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{10 - x} + \sqrt{x - 1} = 3$$

Bài 8 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x + 6} - \sqrt{x - 1} = 1$$

Bài 9 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x + 7} + \sqrt{1 - x} = 2$$

Bài 10 (1,0 điểm). Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{25 - x} + \sqrt{x + 3} = 4$$

--------- HẾT ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt{x + 2} = 1$.

- Điều kiện xác định: $x + 2 \ge 0 \iff x \ge -2$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{x + 1}$ và $v = \sqrt{x + 2}$ ($v \ge 0$).
Ta có: $v^2 - u^3 = (x + 2) - (x + 1) = 1$.
- Kết hợp với phương trình đã cho, ta thu được hệ phương trình:

$$\begin{cases} u + v = 1 \\ v^2 - u^3 = 1 \end{cases}$$

- Từ phương trình đầu, suy ra $v = 1 - u$. Do $v \ge 0$ nên $u \le 1$. Thay vào phương trình thứ hai:

$$(1 - u)^2 - u^3 = 1 \iff 1 - 2u + u^2 - u^3 = 1 \iff -u(u^2 - u + 2) = 0$$

- Vì $u^2 - u + 2 = \left(u - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{4} > 0$ với mọi $u$, nên phương trình có nghiệm duy nhất $u = 0$ (thỏa mãn $u \le 1$).
- Với $u = 0$, ta có $\sqrt[3]{x + 1} = 0 \iff x = -1$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge -2$).
Khi đó $v = 1 - 0 = 1 \ge 0$.
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-1\}$.

Bài 2

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x + 1} = 3$.

- Điều kiện xác định: $x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{x - 2}$ và $v = \sqrt{x + 1}$ ($v \ge 0$).
Ta có hệ thức khử $x$: $v^2 - u^3 = (x + 1) - (x - 2) = 3$.
- Kết hợp với đề bài, ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} u + v = 3 \\ v^2 - u^3 = 3 \end{cases}$$

- Rút $v = 3 - u$ ($u \le 3$), thay vào phương trình sau:

$$(3 - u)^2 - u^3 = 3 \iff 9 - 6u + u^2 - u^3 = 3 \iff u^3 - u^2 + 6u - 6 = 0$$

$$\iff u^2(u - 1) + 6(u - 1) = 0 \iff (u - 1)(u^2 + 6) = 0$$

- Do $u^2 + 6 > 0$ với mọi $u$, suy ra $u = 1$ (thỏa mãn $u \le 3$).
- Với $u = 1 \implies \sqrt[3]{x - 2} = 1 \iff x - 2 = 1 \iff x = 3$ (thỏa mãn $x \ge -1$).
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{3\}$.

Bài 3

Giải phương trình: $\sqrt[3]{3 - x} + \sqrt{x + 6} = 3$.

- Điều kiện xác định: $x \ge -6$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{3 - x}$ và $v = \sqrt{x + 6}$ ($v \ge 0$).
Ta có: $u^3 + v^2 = (3 - x) + (x + 6) = 9$.
- Ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} u + v = 3 \\ u^3 + v^2 = 9 \end{cases}$$

- Thay $v = 3 - u$ ($u \le 3$) vào phương trình thứ hai:

$$u^3 + (3 - u)^2 = 9 \iff u^3 + u^2 - 6u + 9 = 9 \iff u(u^2 + u - 6) = 0 \iff u(u - 2)(u + 3) = 0$$

- Suy ra các giá trị của $u$ (đều thỏa mãn $u \le 3$):
+ $u = 0 \implies \sqrt[3]{3 - x} = 0 \iff x = 3$.
+ $u = 2 \implies \sqrt[3]{3 - x} = 2 \iff 3 - x = 8 \iff x = -5$.
+ $u = -3 \implies \sqrt[3]{3 - x} = -3 \iff 3 - x = -27 \iff x = 30$.
- Cả ba giá trị $x \in \{-5; 3; 30\}$ đều thỏa mãn điều kiện $x \ge -6$.
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-5; 3; 30\}$.

Bài 4

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2$.

- Điều kiện xác định: $x \ge 2$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{x + 6}$ và $v = \sqrt{x - 2}$ ($v \ge 0$).
Ta có: $u^3 - v^2 = (x + 6) - (x - 2) = 8$.
- Ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} u - v = 2 \\ u^3 - v^2 = 8 \end{cases}$$

- Rút $v = u - 2 \ge 0 \implies u \ge 2$. Thay vào phương trình sau:

$$u^3 - (u - 2)^2 = 8 \iff u^3 - u^2 + 4u - 4 - 8 = 0 \iff u^3 - u^2 + 4u - 12 = 0$$

$$\iff (u - 2)(u^2 + u + 6) = 0$$

- Vì $u^2 + u + 6 = \left(u + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{23}{4} > 0$, suy ra $u = 2$ (thỏa mãn $u \ge 2$).
- Với $u = 2 \implies \sqrt[3]{x + 6} = 2 \iff x + 6 = 8 \iff x = 2$ (thỏa mãn $x \ge 2$).
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2\}$.

Bài 5

Giải phương trình: $\sqrt[3]{2x - 1} + \sqrt{x - 1} = 1$.

- Điều kiện xác định: $x \ge 1$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{2x - 1}$ và $v = \sqrt{x - 1}$ ($v \ge 0$).
Ta có: $u^3 - 2v^2 = (2x - 1) - 2(x - 1) = 1$.
- Hệ phương trình thu được:

$$\begin{cases} u + v = 1 \\ u^3 - 2v^2 = 1 \end{cases}$$

- Thay $v = 1 - u$ ($u \le 1$) vào phương trình sau:

$$u^3 - 2(1 - u)^2 = 1 \iff u^3 - 2u^2 + 4u - 2 - 1 = 0 \iff u^3 - 2u^2 + 4u - 3 = 0$$

$$\iff (u - 1)(u^2 - u + 3) = 0$$

- Do $u^2 - u + 3 = \left(u - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{11}{4} > 0$, nên $u = 1$ (thỏa mãn $u \le 1$).
- Với $u = 1 \implies 2x - 1 = 1 \iff x = 1$ (thỏa mãn $x \ge 1$).
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{1\}$.

Bài 6

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x + 34} - \sqrt[3]{x - 3} = 1$.

- Điều kiện xác định: $x \in \mathbb{R}$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{x + 34}$ và $v = \sqrt[3]{x - 3}$.
Ta có: $u^3 - v^3 = (x + 34) - (x - 3) = 37$.
- Hệ phương trình:

$$\begin{cases} u - v = 1 \\ u^3 - v^3 = 37 \end{cases}$$

- Áp dụng hằng đẳng thức: $u^3 - v^3 = (u - v)^3 + 3uv(u - v)$, ta có:

$$1^3 + 3uv \cdot 1 = 37 \iff 3uv = 36 \iff uv = 12$$

- Kết hợp với $u - v = 1 \implies u = v + 1$, ta có phương trình:

$$v(v + 1) = 12 \iff v^2 + v - 12 = 0 \iff (v - 3)(v + 4) = 0 \iff \left[\begin{aligned} v &= 3 \\ v &= -4 \end{aligned}\right.$$

- Trường hợp 1: $v = 3 \implies \sqrt[3]{x - 3} = 3 \iff x - 3 = 27 \iff x = 30$.
- Trường hợp 2: $v = -4 \implies \sqrt[3]{x - 3} = -4 \iff x - 3 = -64 \iff x = -61$.
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-61; 30\}$.

Bài 7

Giải phương trình: $\sqrt[3]{10 - x} + \sqrt{x - 1} = 3$.

- Điều kiện xác định: $x \ge 1$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{10 - x}$ và $v = \sqrt{x - 1}$ ($v \ge 0$).
Ta có: $u^3 + v^2 = (10 - x) + (x - 1) = 9$.
- Hệ phương trình:

$$\begin{cases} u + v = 3 \\ u^3 + v^2 = 9 \end{cases}$$

- Thay $v = 3 - u$ ($u \le 3$) vào phương trình sau:

$$u^3 + (3 - u)^2 = 9 \iff u^3 + u^2 - 6u = 0 \iff u(u - 2)(u + 3) = 0$$

- Ta nhận được ba giá trị của $u$ (đều thỏa $u \le 3$):
+ $u = 0 \implies \sqrt[3]{10 - x} = 0 \iff x = 10$ (thỏa mãn $x \ge 1$).
+ $u = 2 \implies \sqrt[3]{10 - x} = 2 \iff 10 - x = 8 \iff x = 2$ (thỏa mãn $x \ge 1$).
+ $u = -3 \implies \sqrt[3]{10 - x} = -3 \iff 10 - x = -27 \iff x = 37$ (thỏa mãn $x \ge 1$).
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2; 10; 37\}$.

Bài 8

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x + 6} - \sqrt{x - 1} = 1$.

- Điều kiện xác định: $x \ge 1$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{x + 6}$ và $v = \sqrt{x - 1}$ ($v \ge 0$).
Ta có: $u^3 - v^2 = (x + 6) - (x - 1) = 7$.
- Hệ phương trình:

$$\begin{cases} u - v = 1 \\ u^3 - v^2 = 7 \end{cases}$$

- Thay $v = u - 1 \ge 0 \implies u \ge 1$ vào phương trình sau:

$$u^3 - (u - 1)^2 = 7 \iff u^3 - u^2 + 2u - 1 - 7 = 0 \iff u^3 - u^2 + 2u - 8 = 0$$

$$\iff (u - 2)(u^2 + u + 4) = 0$$

- Vì $u^2 + u + 4 = \left(u + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{15}{4} > 0$, suy ra $u = 2$ (thỏa mãn $u \ge 1$).
- Với $u = 2 \implies \sqrt[3]{x + 6} = 2 \iff x + 6 = 8 \iff x = 2$ (thỏa mãn $x \ge 1$).
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2\}$.

Bài 9

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x + 7} + \sqrt{1 - x} = 2$.

- Điều kiện xác định: $1 - x \ge 0 \iff x \le 1$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{x + 7}$ và $v = \sqrt{1 - x}$ ($v \ge 0$).
Ta có: $u^3 + v^2 = (x + 7) + (1 - x) = 8$.
- Hệ phương trình:

$$\begin{cases} u + v = 2 \\ u^3 + v^2 = 8 \end{cases}$$

- Thay $v = 2 - u$ ($u \le 2$) vào phương trình sau:

$$u^3 + (2 - u)^2 = 8 \iff u^3 + u^2 - 4u + 4 = 8 \iff u^3 + u^2 - 4u - 4 = 0$$

$$\iff u^2(u + 1) - 4(u + 1) = 0 \iff (u + 1)(u^2 - 4) = 0 \iff (u + 1)(u - 2)(u + 2) = 0$$

- Ta có ba nghiệm $u \in \{-2; -1; 2\}$ (tất cả đều thỏa mãn $u \le 2$):
+ $u = -2 \implies \sqrt[3]{x + 7} = -2 \iff x + 7 = -8 \iff x = -15$.
+ $u = -1 \implies \sqrt[3]{x + 7} = -1 \iff x + 7 = -1 \iff x = -8$.
+ $u = 2 \implies \sqrt[3]{x + 7} = 2 \iff x + 7 = 8 \iff x = 1$.
- Cả ba nghiệm đều thỏa mãn điều kiện $x \le 1$.
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-15; -8; 1\}$.

Bài 10

Giải phương trình: $\sqrt[3]{25 - x} + \sqrt{x + 3} = 4$.

- Điều kiện xác định: $x \ge -3$.
- Đặt $u = \sqrt[3]{25 - x}$ và $v = \sqrt{x + 3}$ ($v \ge 0$).
Ta có: $u^3 + v^2 = (25 - x) + (x + 3) = 28$.
- Hệ phương trình:

$$\begin{cases} u + v = 4 \\ u^3 + v^2 = 28 \end{cases}$$

- Thay $v = 4 - u$ ($u \le 4$) vào phương trình sau:

$$u^3 + (4 - u)^2 = 28 \iff u^3 + u^2 - 8u + 16 = 28 \iff u^3 + u^2 - 8u - 12 = 0$$

- Nhận thấy $u = -2$ là nghiệm: $(-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 12 = -8 + 4 + 16 - 12 = 0$.
Phân tích đa thức thành nhân tử:

$$(u + 2)(u^2 - u - 6) = 0 \iff (u + 2)^2(u - 3) = 0 \iff \left[\begin{aligned} u &= -2 \\ u &= 3 \end{aligned}\right.$$

- Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện $u \le 4$:
+ $u = -2 \implies \sqrt[3]{25 - x} = -2 \iff 25 - x = -8 \iff x = 33$ (thỏa mãn $x \ge -3$).
+ $u = 3 \implies \sqrt[3]{25 - x} = 3 \iff 25 - x = 27 \iff x = -2$ (thỏa mãn $x \ge -3$).
- Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-2; 33\}$.