Câu hỏi đúng/sai – Bài toán đèn ô tô chiếu sáng trên tường

CÂU HỎI ĐÚNG/SAI (1,0 điểm)

Trong mỗi ý a), b), c), d), hãy xác định khẳng định đúng hay sai. Các độ dài được tính theo cùng một đơn vị.

Câu 1 (1,0 điểm). Một ô tô đứng trước một bức tường thẳng và giữ nguyên vị trí khi chuyển từ đèn chiếu gần sang đèn chiếu xa. Gọi $E$, $F$ là vị trí hai đèn; $B$, $C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $E$, $F$ lên tường. Đặt $EB=FC=h$.

Khi bật đèn chiếu gần, hai vùng sáng được mô hình hóa bởi hai tam giác cân bằng nhau $EAC$ và $FBD$, có các đáy $AC$, $BD$ nằm trên tường. Các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ theo thứ tự trên tường và $AB=BC=CD=2$. Gọi $P$ là giao điểm của $EC$ và $FB$, đặt $\alpha=\widehat{BPC}$.

[Hình vẽ]

Khi bật đèn chiếu xa, hai vùng sáng được mô hình hóa bởi hai tam giác cân bằng nhau $EKL$ và $FLM$, có các đáy $KL$, $LM$ nằm trên tường; các điểm $K$, $L$, $M$ theo thứ tự trên tường. Đặt $\theta=\widehat{ELF}$.

[Hình vẽ]

Biết $\alpha$, $\theta$ đều là góc nhọn. Khi chuyển sang đèn chiếu xa, tổng độ rộng vùng được chiếu sáng trên tường giảm đi $\dfrac{1}{3}$ so với khi chiếu gần, tức là $KM=\dfrac{2}{3}AD$. Ngoài ra,

$$\tan(\alpha-\theta)=\dfrac{36}{77}.$$

Xét tính đúng hoặc sai của các khẳng định sau:
a) Tổng độ rộng vùng được chiếu sáng trên tường khi bật đèn chiếu gần là $AD=4$.
b) Khi bật đèn chiếu xa, mỗi vùng sáng có độ rộng $KL=LM=2$.
c) Hai góc $\alpha$, $\theta$ thỏa mãn $\tan\alpha=2\tan\theta$.
d) Khoảng cách từ mỗi đèn xe đến bức tường là $h=4$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

a) Khẳng định sai.

Vì các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ theo thứ tự trên tường và $AB=BC=CD=2$ nên

$$AD=AB+BC+CD=2+2+2=6.$$

Hai vùng sáng trên tường là các đoạn $AC$ và $BD$, có phần chung là $BC$. Vì vậy, tổng độ rộng vùng được chiếu sáng là độ dài đoạn $AD$, bằng $6$, không phải $4$.

b) Khẳng định đúng.

Theo giả thiết, khi chuyển sang đèn chiếu xa:

$$KM=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{2}{3}\cdot6=4.$$

Hai tam giác cân $EKL$ và $FLM$ bằng nhau nên hai đáy tương ứng bằng nhau:

$$KL=LM.$$

Do $K$, $L$, $M$ theo thứ tự trên tường nên

$$KL+LM=KM=4.$$

Suy ra

$$KL=LM=\dfrac{4}{2}=2.$$

Vậy mỗi vùng sáng khi bật đèn chiếu xa có độ rộng bằng $2$ theo đơn vị độ dài của đề.

c) Khẳng định sai.

Trước hết, ta biểu diễn các góc $\alpha$, $\theta$ theo khoảng cách $h$.

Vì $EB$ và $FC$ cùng vuông góc với tường, đồng thời $EB=FC=h$, nên tứ giác $EBCF$ là hình chữ nhật. Hai đường chéo $EC$ và $FB$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, do đó $P$ là tâm hình chữ nhật.

Suy ra $PB=PC$ và khoảng cách từ $P$ đến tường bằng $\dfrac{h}{2}$. Trong tam giác cân $PBC$, đường cao từ $P$ đồng thời là đường phân giác, nên

$$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{BC/2}{h/2}=\dfrac{1}{h/2}=\dfrac{2}{h}.$$

Vì $\alpha$ là góc nhọn nên $\dfrac{\alpha}{2}<45^\circ$, từ đó

$$\dfrac{2}{h}<1\quad\Rightarrow\quad h>2.$$

Mặt khác, tam giác $EKL$ cân tại $E$ và $EB\perp KL$ nên $B$ là trung điểm của $KL$. Tương tự, $C$ là trung điểm của $LM$.

Theo kết quả ý b), $KL=LM=2$, do đó

$$BL=LC=1.$$

Vì thế $L$ là trung điểm của $BC$. Kết hợp $EB=FC=h$, suy ra $LE=LF$ và đường thẳng qua $L$ vuông góc với tường chia đôi góc $\widehat{ELF}=\theta$. Bởi vậy,

$$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{h}.$$

Áp dụng công thức tang góc đôi:

$$\tan\alpha=\dfrac{2\cdot\dfrac{2}{h}}{1-\dfrac{4}{h^2}}=\dfrac{4h}{h^2-4},$$

$$\tan\theta=\dfrac{2\cdot\dfrac{1}{h}}{1-\dfrac{1}{h^2}}=\dfrac{2h}{h^2-1}.$$

Với $h>2$, ta có

$$\tan\alpha-2\tan\theta =\dfrac{4h}{h^2-4}-\dfrac{4h}{h^2-1} =\dfrac{12h}{(h^2-4)(h^2-1)}>0.$$

Như vậy, $\tan\alpha>2\tan\theta$, nên khẳng định $\tan\alpha=2\tan\theta$ là sai.

d) Khẳng định đúng.

Từ ý c), ta có

$$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{2}{h},\qquad \tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{h},\qquad h>2.$$

Vì các nửa góc đều thuộc khoảng $(0^\circ;45^\circ)$ nên $\alpha>\theta$. Đặt

$$t=\tan\dfrac{\alpha-\theta}{2}>0.$$

Theo công thức tang của hiệu hai góc:

$$t=\dfrac{\tan\dfrac{\alpha}{2}-\tan\dfrac{\theta}{2}}{1+\tan\dfrac{\alpha}{2}\tan\dfrac{\theta}{2}} =\dfrac{\dfrac{2}{h}-\dfrac{1}{h}}{1+\dfrac{2}{h^2}} =\dfrac{h}{h^2+2}.$$

Mặt khác, giả thiết cho

$$\tan(\alpha-\theta)=\dfrac{36}{77}.$$

Sử dụng công thức tang góc đôi:

$$\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{36}{77}.$$

Vì $0^\circ<\alpha-\theta<90^\circ$ nên $0<t<1$, do đó phép nhân chéo là hợp lệ. Ta được

$$154t=36(1-t^2)$$

$$18t^2+77t-18=0$$

$$(9t-2)(2t+9)=0.$$

Do $t>0$, suy ra $t=\dfrac{2}{9}$. Vì vậy,

$$\dfrac{h}{h^2+2}=\dfrac{2}{9}$$

$$2h^2-9h+4=0$$

$$(2h-1)(h-4)=0.$$

Ta nhận được $h=\dfrac{1}{2}$ hoặc $h=4$. Điều kiện $h>2$ loại nghiệm $h=\dfrac{1}{2}$, nên

$$\boxed{h=4}.$$

Kiểm tra lại với $h=4$:

$$\tan\alpha=\dfrac{4\cdot4}{4^2-4}=\dfrac{4}{3},\qquad \tan\theta=\dfrac{2\cdot4}{4^2-1}=\dfrac{8}{15}.$$

Khi đó

$$\tan(\alpha-\theta) =\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{15}}{1+\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{8}{15}} =\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{77}{45}} =\dfrac{36}{77},$$

đúng với giả thiết.

Vậy khoảng cách từ mỗi đèn đến tường bằng $4$ theo đơn vị độ dài đã quy ước trong đề; đề không cho đơn vị cụ thể nên không tự đổi thành mét hay xentimét.

Kết luận: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.