Bộ đề Ôn luyện Chuẩn Tư duy Olympic Toán VTMO Lớp 6

PHẦN I. ĐỀ CHUẨN MẪU VTMO LỚP 6 (OFFICIAL SAMPLE CONTEST)

Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 20 câu hỏi (Phần 1: 10 câu trắc nghiệm; Phần 2: 10 câu điền đáp số).

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (MULTIPLE CHOICE QUESTIONS)

(Trả lời đúng $= 4$ điểm; không trả lời $= 0$ điểm; trả lời sai bị trừ 1 điểm)

Câu 1 (4,0 điểm). Thang đo nhiệt độ Fahrenheit (độ F) liên hệ với thang đo nhiệt độ Celsius (độ C) bởi công thức $F = \dfrac{9}{5} \times C + 32$. Ví dụ nếu nhiệt độ ngăn đá tủ lạnh là $5^\circ\text{C}$ thì khi đổi sang độ F tương ứng là:

$$\dfrac{9}{5} \times 5 + 32 = 41^\circ\text{F}$$

Hỏi $77^\circ\text{F}$ thì tương ứng bằng bao nhiêu độ C?
The Fahrenheit temperature (degrees F) is related to the Celsius temperature (degrees C) by the formula $F = \dfrac{9}{5} \times C + 32$. For example, if the freezer compartment temperature is $5^\circ\text{C}$, then when changing to the corresponding Fahrenheit: $\dfrac{9}{5} \times 5 + 32 = 41^\circ\text{F}$. How many degrees Celsius is $77^\circ\text{F}$?

Câu 2 (4,0 điểm). Một đồng hồ điện tử hiện thời gian theo định dạng HH:MM, từ 00:00 đến 23:59. Ví dụ vào lúc 8 giờ 5 phút sáng, trên mặt đồng hồ điện tử hiển thị 08:05. Vào lúc 9 giờ 9 phút tối, trên mặt đồng hồ điện tử hiển thị 21:09. Trong một ngày có bao nhiêu lần đồng hồ hiện đủ 4 chữ số 2, 0, 2, 0?
A digital clock shows the time in HH:MM format, from 00:00 to 23:59. For example, at 8:05 am, the digital clock shows 08:05. At 9:09 pm, the digital clock shows 21:09. How many times in a day does a clock show 4 digits 2, 0, 2, 0?

Câu 3 (4,0 điểm). Các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7 mỗi chữ số được dùng đúng một lần để tạo ra hai số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi hiệu (dương) của hai số này nhỏ nhất có thể bằng bao nhiêu?
The digits 2, 3, 4, 5, 6, 7, each is used exactly once to form two 3-digit numbers. What is the smallest positive difference between these two numbers?

Câu 4 (4,0 điểm). Nhà toán học De Morgan (1806–1871) khi được hỏi về tuổi của mình đã trả lời như sau: "Tôi $x$ tuổi vào năm $x^2$". Hỏi năm $x^2$ đó ông bao nhiêu tuổi?
Mathematician De Morgan (1806–1871) when asked about his age, answered: "I was $x$ years old in the year $x^2$". How old was he in the year $x^2$?

Câu 5 (4,0 điểm). Hình lập phương có 6 mặt, 8 đỉnh và 12 cạnh. Bạn Khang viết lên 8 đỉnh của hình lập phương 8 số tự nhiên liên tiếp. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cạnh mà tổng hai số ở hai đầu của cạnh đó là số lẻ?
The cube has 6 faces, 8 vertices, and 12 edges. Khang wrote on 8 vertices of the cube 8 consecutive natural numbers. At most how many edges have the property that the sum of the two numbers at their endpoints is odd?

Câu 6 (4,0 điểm). Chia một số có 2 chữ số cho tổng các chữ số của nó. Hỏi số dư lớn nhất có thể bằng bao nhiêu?
Divide a 2-digit number by the sum of its digits. What is the largest remainder possible?

Câu 7 (4,0 điểm). Một bể nước có dung tích 4000 lít. An bắt đầu bơm nước vào bể trống với tốc độ 20 lít/phút. Sau 20 phút thì bể nước bị rò rỉ với tốc độ 2 lít/phút. Bắt đầu từ thời điểm An bơm nước vào bể trống, hỏi sau bao nhiêu phút thì bể sẽ đầy nước?
A water tank has a capacity of 4000 liters. An started pumping water into the empty tank at a rate of 20 liters/minute. After 20 minutes, the tank developed a leak at a rate of 2 liters/minute. Starting from the moment An began pumping water into the empty tank, after how many minutes will the tank be full?

Câu 8 (4,0 điểm). Cô giáo chia 70 viên kẹo cho 6 học sinh sao cho không có 2 học sinh nào nhận được số kẹo giống nhau (mỗi học sinh nhận được ít nhất 1 viên kẹo). Hỏi học sinh nhận số kẹo nhiều nhất có thể nhận được ít nhất bao nhiêu viên kẹo?
The teacher divided 70 candies among 6 students such that no two students received the same number of candies (each student receives at least 1 candy). What is the minimum possible number of candies that the student with the most candies could have received?

Câu 9 (4,0 điểm). Dịp hè, An giải một số bài toán. Sau khi giáo viên kiểm tra kết quả thì có một số câu sai. Nếu bạn An sửa hai câu từ đáp án sai thành đáp án đúng thì tỉ lệ số câu đúng bây giờ của bạn là 76%. Nếu bạn An bỏ hẳn hai câu sai đó thì tỉ lệ số câu đúng của bạn là 75%. Hỏi dịp hè bạn An đã giải bao nhiêu bài toán?
During the summer vacation, An solved some math problems. After checking, there were some wrong answers. If An corrects two problems from wrong to correct, the percentage of correct problems becomes 76%. If An eliminates those two wrong problems completely, the percentage of correct problems becomes 75%. How many math problems did An solve initially?

Câu 10 (4,0 điểm). Thiết lập 16 phân số từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots, 32$ (mỗi số chỉ được dùng đúng một lần làm tử số hoặc mẫu số). Hỏi tối đa có bao nhiêu phân số nhận giá trị là số nguyên?
Form 16 fractions using the numbers $1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots, 32$ (each number is used exactly once as a numerator or a denominator). At most how many fractions can have an integer value?

PHẦN 2. ĐIỀN ĐÁP SỐ (OPEN-ENDED QUESTIONS)

(Trả lời đúng $= 6$ điểm; trả lời sai hoặc không trả lời $= 0$ điểm)

Câu 11 (6,0 điểm). Nhân dịp giảm giá của chương trình "Black Friday", mẹ đi mua một chiếc đồng hồ đeo tay cho Hải. Mẹ thấy đồng hồ cần mua giảm giá 40% nên số tiền mẹ mang theo còn dư 16 USD. Nhưng nếu không giảm giá (mua với giá niêm yết ban đầu) thì số tiền mẹ mang theo sẽ thiếu 4 USD. Hỏi giá niêm yết ban đầu (chưa giảm) của chiếc đồng hồ là bao nhiêu USD?
On the occasion of "Black Friday", a mother bought a watch for Hai. The watch was discounted by 40%, so she had $16 left from her money. But at the regular price, she would be short by $4. What was the regular price of the watch in dollars?

Câu 12 (6,0 điểm). Khối hình dưới đây được ghép bởi các khối lập phương nhỏ đơn vị giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để loại bỏ 1 khối lập phương nhỏ mà diện tích toàn phần của khối hình ban đầu không thay đổi?
The structure below is made of identical small unit cubes. How many different ways are there to remove exactly one small cube such that the total surface area of the structure remains unchanged?

Câu 13 (6,0 điểm). Tính tổng các chữ số của số $A = 999999999^2$ (gồm 9 chữ số 9 bình phương).
Find the sum of the digits of the number $A = 999999999^2$ (a 9-digit number of all 9s, squared).

Câu 14 (6,0 điểm). Từ điểm $A$, một người chạy bộ và một người chạy xe đạp xuất phát cùng lúc quanh một hồ nước hình tròn theo chiều kim đồng hồ. Vận tốc của người chạy xe đạp bằng 7 lần vận tốc của người chạy bộ. Mỗi lần người chạy xe đạp đuổi kịp và vượt qua người chạy bộ thì ta đánh dấu một vị trí trên đường tròn quanh hồ (kể cả vị trí xuất phát $A$). Hỏi có tất cả bao nhiêu vị trí khác nhau được đánh dấu?
From point $A$, a runner and a cyclist start moving around a circular lake in a clockwise direction at the same time. The speed of the cyclist is 7 times that of the runner. Each time they meet, a mark is made at that location (including the starting point $A$). How many distinct locations on the track are marked?

Câu 15 (6,0 điểm). Tìm số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn đồng thời cả 4 điều kiện sau: vừa là tổng của hai số nguyên tố, vừa là tổng của ba số nguyên tố khác nhau, vừa là tổng của bốn số nguyên tố khác nhau, và vừa là tổng của năm số nguyên tố khác nhau.
Find the smallest prime number that satisfies all four conditions: it is the sum of two primes, the sum of three distinct primes, the sum of four distinct primes, and the sum of five distinct primes.

Câu 16 (6,0 điểm). Cho hình vuông lớn có độ dài cạnh là $14\text{ cm}$. Bên trong hình vuông lớn, người ta vẽ một hình tròn nội tiếp tiếp xúc với 4 cạnh. Bên trong hình tròn đó, người ta tiếp tục vẽ một hình vuông nội tiếp có 4 đỉnh nằm trên đường tròn (như hình vẽ bên dưới). Tính diện tích của phần tô đậm (lấy $\pi = \dfrac{22}{7}$).
Let the large square have a side length of $14\text{ cm}$. Inside this square, an inscribed circle is drawn touching its 4 sides. Inside the circle, an inscribed square is drawn with its 4 vertices on the circle. Calculate the area of the shaded region (take $\pi = \dfrac{22}{7}$).

Câu 17 (6,0 điểm). Cho bảng chữ nhật kích thước $4 \times 5$. Trên mỗi ô vuông của bảng, ta viết một trong các chữ số 0, 1 hoặc 2 sao cho tổng các số trên mỗi hàng và tổng các số trên mỗi cột đều là một số chia hết cho 3. Hỏi trong bảng có thể có nhiều nhất bao nhiêu số 1?
A rectangular board of size $4 \times 5$ is given. In each cell, we write one of the numbers 0, 1, or 2 such that the sum of the numbers in each row and in each column is divisible by 3. At most how many cells can contain the number 1?

Câu 18 (6,0 điểm). Trong một giải bóng đá có 5 đội tham dự, thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận). Trong mỗi trận đấu: đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm; nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được 1 điểm. Sau khi một số trận đấu đã diễn ra, người ta nhận thấy không có đội nào có 0 điểm và điểm số của cả 5 đội đều đôi một khác nhau. Hỏi đã có ít nhất bao nhiêu trận đấu được diễn ra?
In a football tournament with 5 teams, every pair of teams plays each other once. A win awards 3 points, a loss 0 points, and a draw 1 point to each team. After several matches have been played, it is found that no team has 0 points and all 5 teams have pairwise distinct scores. What is the minimum number of matches that must have been played?

Câu 19 (6,0 điểm). Vinh và Khang vừa nhận được kết quả bài kiểm tra toán IQ (điểm là số tự nhiên từ 1 đến tối đa 20 điểm). Hai bạn đều muốn biết điểm của bạn kia nên đã có cuộc đối thoại sau:
- Vinh: "Tớ biết chắc tích số điểm của hai đứa mình là một số chẵn."
- Khang: "Còn tớ biết chắc tích số điểm của hai đứa mình chia hết cho 20."
- Vinh: "Vậy thì tớ chắc chắn là hai đứa mình khác điểm nhau và tổng điểm của hai đứa mình phải lớn hơn 20 rồi."
- Khang: "Tớ vẫn chưa đoán ra điểm của cậu, nhưng chắc chắn điểm trung bình của hai đứa mình sẽ lớn hơn điểm của tớ."
- Vinh: "Tớ đã biết điểm của cậu rồi, và tớ cũng bật mí cho cậu biết là hiệu số điểm của hai đứa mình chia hết cho 3 nhé."
- Khang: "Bây giờ tớ cũng đã biết điểm của cậu rồi, cậu làm bài tốt quá. Chúc mừng cậu!"

Hỏi điểm bài kiểm tra toán IQ của Vinh là bao nhiêu?
Vinh and Khang received scores on an IQ math test (integer scores from 1 to 20). Both know their own score and want to deduce the other's. They had the dialogue above. What is Vinh's score?

Câu 20 (6,0 điểm). Có 9 hình chữ nhật bằng nhau được xếp khít bên trong một hình vuông lớn như hình vẽ bên dưới. Biết cạnh của hình vuông lớn là 23 đơn vị. Hỏi chu vi của mỗi hình chữ nhật nhỏ là bao nhiêu?
Nine identical rectangles are packed inside a large square as shown below. The side length of the large square is 23. What is the perimeter of each small rectangle?

PHẦN II. BÀI TOÁN MỞ RỘNG PHONG CÁCH OLYMPIC VTMO LỚP 6

(Hệ thống bài tập rèn luyện tư duy rời rạc, tối ưu hóa và logic chuyển động)

Câu 21 (Tư duy chẵn lẻ). Trên một vòng tròn có viết 10 số tự nhiên. Biết rằng mỗi số bằng tổng của hai số kề cạnh nó hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai số kề cạnh nó. Chứng minh rằng tổng của cả 10 số này phải là một số chẵn.
Ten natural numbers are arranged on a circle. Each number is either the sum of its two neighbors or the absolute difference between its two neighbors. Prove that the sum of all 10 numbers is an even number.

Câu 22 (Bài toán chia kẹo cực trị). Có 100 viên bi được chia vào 9 chiếc hộp sao cho không có hai chiếc hộp nào có số bi bằng nhau. Hỏi hộp chứa nhiều bi nhất có thể chứa ít nhất bao nhiêu viên bi?
100 marbles are placed into 9 boxes such that no two boxes contain the same number of marbles (each box has at least 1 marble). What is the minimum possible number of marbles in the box with the most marbles?

Câu 23 (Tư duy hình học xếp khối). Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước $4 \times 5 \times 6$ được sơn toàn bộ 6 mặt, sau đó cưa thành 120 khối lập phương nhỏ $1 \times 1 \times 1$. Hỏi có bao nhiêu khối lập phương nhỏ có đúng 1 mặt được sơn?
A rectangular wooden block of size $4 \times 5 \times 6$ is painted on all six faces and cut into 120 unit cubes. How many unit cubes have exactly one painted face?

Câu 24 (Logic hội thoại thông tin). An và Bình cùng nhìn vào một bảng gồm các số từ 1 đến 10. Thầy giáo chọn một số bí mật $N$, thì thầm tính chẵn lẻ của $N$ cho An và tính nguyên tố của $N$ cho Bình.
- An nói: "Tớ không biết số của thầy là số nào, nhưng tớ chắc chắn Bình cũng chưa biết."
- Bình nói: "Sau khi nghe An nói, tớ đã biết chắc chắn số của thầy là số nào rồi!"
Hỏi số bí mật $N$ của thầy giáo là số mấy?
An and Binh look at numbers 1 to 10. The teacher chooses a secret number $N$, whispers its parity (even/odd) to An, and whether it is prime or composite to Binh. An says: "I don't know the number, but I know for sure Binh doesn't know either." Binh replies: "After hearing you, I now know the number!" What is $N$?

Câu 25 (Chuyển động trên đường tròn). Hai vận động viên An và Bình cùng xuất phát tại điểm $A$ trên đường đua hình tròn chu vi $600\text{ m}$ chạy ngược chiều nhau. Vận tốc của An là $4\text{ m/s}$ và vận tốc của Bình là $6\text{ m/s}$. Họ tiếp tục chạy cho đến khi gặp nhau đúng tại điểm xuất phát $A$. Hỏi từ lúc bắt đầu chạy cho đến khi gặp nhau tại $A$, hai người đã gặp nhau tại bao nhiêu điểm khác trên đường đua?
An and Binh start at point $A$ on a $600\text{ m}$ circular track running in opposite directions at speeds of $4\text{ m/s}$ and $6\text{ m/s}$ respectively. They run until they meet at starting point $A$ again. How many other distinct points on the track did they meet at before this?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

BẢNG ĐÁP SỐ CHÍNH THỨC (OFFICIAL ANSWER KEY)

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM ĐỀ CHUẨN VTMO 2021

PHẦN 2. ĐIỀN ĐÁP SỐ ĐỀ CHUẨN VTMO 2021

PHẦN 3. ĐÁP SỐ BÀI TẬP TƯ DUY MỞ RỘNG

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT (STEP-BY-STEP SOLUTIONS)

PHẦN 1: GIẢI CHI TIẾT 10 CÂU TRẮC NGHIỆM VTMO 2021

Câu 1.
Thay giá trị $F = 77$ vào công thức liên hệ:

$$77 = \dfrac{9}{5} \times C + 32 \Rightarrow \dfrac{9}{5} \times C = 77 - 32 = 45 \Rightarrow C = \dfrac{45 \times 5}{9} = 25^\circ\text{C}.$$

Chọn đáp án A.

Câu 2.
Thời gian hiển thị gồm 4 chữ số: hai chữ số 2 và hai chữ số 0.
- Giờ HH chỉ có thể tạo từ các chữ số 0, 2:
+ Nếu HH = 00 $\Rightarrow$ MM = 22 (thời điểm 00:22).
+ Nếu HH = 02 $\Rightarrow$ MM = 20 hoặc 02 (hai thời điểm 02:20 và 02:02).
+ Nếu HH = 20 $\Rightarrow$ MM = 02 hoặc 20 (hai thời điểm 20:02 và 20:20).
+ Nếu HH = 22 $\Rightarrow$ MM = 00 (thời điểm 22:00).
Tổng cộng có $1 + 2 + 2 + 1 = 6$ thời điểm thỏa mãn trong một ngày.
Chọn đáp án C.

Câu 3.
Để hiệu của hai số có 3 chữ số nhỏ nhất, chữ số hàng trăm của số lớn hơn phải lớn hơn chữ số hàng trăm của số nhỏ hơn đúng 1 đơn vị.
- Xét hiệu chữ số hàng trăm bằng 1: ta có thể chọn các cặp hàng trăm là $(7, 6); (6, 5); (5, 4); (4, 3); (3, 2)$.
- Để hiệu nhỏ nhất, ta tối thiểu hóa phần đuôi của số lớn và tối đại hóa phần đuôi của số bé:
+ Chọn chữ số hàng trăm là 5 và 4: số lớn tạo từ $\{5\}$ kết hợp 2 chữ số nhỏ nhất còn lại $\{2, 3\}$ thành số nhỏ nhất có thể là $523$.
+ Số bé tạo từ $\{4\}$ kết hợp 2 chữ số lớn nhất còn lại $\{7, 6\}$ thành số lớn nhất có thể là $476$.
Hiệu số khi đó là: $523 - 476 = 47$.
Kiểm tra các trường hợp khác:
+ Cặp hàng trăm $(4, 3)$: còn $\{2, 5, 6, 7\} \Rightarrow 425 - 376 = 49$.
+ Cặp hàng trăm $(6, 5)$: còn $\{2, 3, 4, 7\} \Rightarrow 623 - 574 = 49$.
Vậy hiệu nhỏ nhất bằng 47. Chọn đáp án B.

Câu 4.
De Morgan sinh năm 1806 và mất năm 1871.
Năm $x^2$ mà ông còn sống phải thỏa mãn $1806 \le x^2 \le 1871$.
Ta có: $42^2 = 1764 < 1806$; $43^2 = 1849$ (thỏa mãn $1806 < 1849 < 1871$); $44^2 = 1936 > 1871$.
Do đó duy nhất $x = 43$. Năm $x^2 = 1849$, ông đúng 43 tuổi (khi đó năm sinh là $1849 - 43 = 1806$, hoàn toàn trùng khớp).
Chọn đáp án A.

Câu 5.
Tổng của hai số ở hai đầu một cạnh là số lẻ khi và chỉ khi một đầu là số chẵn và một đầu là số lẻ.
Trong 8 số tự nhiên liên tiếp luôn có đúng 4 số chẵn và 4 số lẻ.
Hình lập phương là một đồ thị hai phía (bipartite graph): ta có thể chia 8 đỉnh thành 2 tập độc lập $A$ và $B$, mỗi tập gồm 4 đỉnh không có cạnh nối trực tiếp nào giữa các đỉnh cùng một tập.
Nếu ta gán 4 số chẵn vào tập $A$ và 4 số lẻ vào tập $B$, thì mọi cạnh của hình lập phương (tổng cộng 12 cạnh) đều nối một đỉnh thuộc $A$ (chẵn) với một đỉnh thuộc $B$ (lẻ).
Do đó, tổng hai đầu của TẤT CẢ 12 cạnh đều là số lẻ.
Vậy số cạnh tối đa thỏa mãn là 12. Chọn đáp án E.

Câu 6.
Gọi số có hai chữ số là $\overline{ab} = 10a + b$ ($1 \le a \le 9, 0 \le b \le 9$). Tổng các chữ số là $a + b$.
Phép chia có dạng: $10a + b = q(a + b) + r$ với số dư $r < a + b$.
Vì $a \le 9, b \le 9$ nên $a + b \le 18 \Rightarrow r \le 17$.
- Để có $r = 17$ thì số chia $a + b \ge 18 \Rightarrow a = 9, b = 9 \Rightarrow a + b = 18$.
Khi đó $\overline{ab} = 99 = 5 \times 18 + 9 \Rightarrow r = 9 \ne 17$ (loại).
- Để có $r = 16$ thì số chia $a + b \ge 17$. Ta có hai khả năng:
+ $a + b = 18 \Rightarrow$ số 99 dư 9.
+ $a + b = 17 \Rightarrow \overline{ab} \in \{89, 98\}$:
$89 = 5 \times 17 + 4 \Rightarrow r = 4$; $98 = 5 \times 17 + 13 \Rightarrow r = 13 \ne 16$ (loại).
- Để có $r = 15$ thì số chia $a + b \ge 16$.
Xét $a + b = 16 \Rightarrow \overline{ab} = 79$ (vì $7+9=16$):
$79 = 4 \times 16 + 15$. Số dư đúng bằng 15!
Vậy số dư lớn nhất có thể là 15. Chọn đáp án C.

Câu 7.
- Trong 20 phút đầu tiên, lượng nước đã bơm vào bể là: $20 \text{ phút} \times 20 \text{ lít/phút} = 400 \text{ lít}$.
- Lượng nước còn thiếu để đầy bể: $4000 - 400 = 3600 \text{ lít}$.
- Kể từ phút thứ 20, tốc độ nạp ròng vào bể là: $20 - 2 = 18 \text{ lít/phút}$.
- Thời gian cần để bơm thêm 3600 lít là: $3600 : 18 = 200 \text{ phút}$.
Tổng thời gian tính từ thời điểm bắt đầu bơm là: $20 + 200 = 220 \text{ phút}$.
Chọn đáp án A.

Câu 8.
Gọi số kẹo của 6 học sinh xếp theo thứ tự tăng dần là $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6$.
Tổng số kẹo là: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 70$.
Để học sinh nhận nhiều kẹo nhất ($x_6$) nhận số kẹo ít nhất thì số kẹo của các học sinh phải càng gần nhau càng tốt, tức là các số $x_i$ phải là các số tự nhiên liên tiếp hoặc gần liên tiếp.
- Giả sử 6 số là các số liên tiếp: $k, k+1, k+2, k+3, k+4, k+5$.
Tổng là: $6k + 15 = 70 \Rightarrow 6k = 55 \Rightarrow k = 9{,}16$.
- Lấy $k = 9$: dãy số có thể là $9, 10, 11, 12, 13, 14$ có tổng là $69$ (thiếu 1 viên kẹo).
Để đạt tổng 70, ta phải tăng số kẹo của một số bạn lên. Nếu chỉ tăng các bạn dưới thì sẽ bị trùng nhau hoặc vượt qua số sau.
Để $x_6$ nhỏ nhất: nếu $x_6 = 14$ thì tổng lớn nhất của 6 số phân biệt không vượt quá 14 là:
$9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 69 < 70$ (không đủ chia).
Do đó, $x_6$ bắt buộc phải lớn hơn 14, tức là $x_6 \ge 15$.
- Với $x_6 = 15$, ta có cấu hình hợp lệ: $8 + 10 + 11 + 12 + 14 + 15 = 70$.
Vậy số kẹo của học sinh nhận nhiều nhất ít nhất là 15 viên. Chọn đáp án C.

Câu 9.
Gọi tổng số bài toán An làm là $N$, và số câu đúng ban đầu là $C$ ($N, C \in \mathbb{N}^*$).
- Giả thiết 1: Sửa 2 câu từ sai thành đúng thì tổng số câu không đổi ($N$), số câu đúng là $C + 2$.
Tỉ lệ đúng là 76%: $\dfrac{C+2}{N} = \dfrac{76}{100} = \dfrac{19}{25} \Rightarrow 25(C + 2) = 19N \Rightarrow 25C + 50 = 19N$ (1).
- Giả thiết 2: Bỏ hẳn 2 câu sai thì tổng số câu còn $N - 2$, số câu đúng vẫn là $C$.
Tỉ lệ đúng là 75%: $\dfrac{C}{N-2} = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow 4C = 3(N - 2) \Rightarrow C = \dfrac{3N - 6}{4}$ (2).
Thay (2) vào (1):
$25\left(\dfrac{3N - 6}{4}\right) + 50 = 19N \Leftrightarrow 75N - 150 + 200 = 76N \Leftrightarrow N = 50$.
Vậy bạn An đã giải 50 bài toán. Chọn đáp án B.

Câu 10.
Tập hợp có 32 số gồm các số từ 1 đến 32. Trong đó có các số nguyên tố lớn hơn 16 là: $17, 19, 23, 29, 31$ (5 số nguyên tố).
- Mỗi số nguyên tố $p \in \{17, 19, 23, 29, 31\}$ nếu nằm ở mẫu số thì tử số phải là bội của $p$. Nhưng bội nhỏ nhất lớn hơn $p$ của nó là $2p \ge 34 > 32$, do đó không có số nào trong tập chia hết cho $p$. Vì vậy, các số này không thể nằm ở mẫu số của bất kỳ phân số nguyên nào.
- Do đó, 5 số này bắt buộc phải đóng vai trò là TỬ SỐ.
- Tuy nhiên, 5 tử số này đều nguyên tố, nên để phân số tương ứng có giá trị nguyên thì mẫu số của chúng bắt buộc phải là ước của chúng, tức là phải bằng 1.
- Nhưng trong tập chỉ có DUY NHẤT một số 1, nên chỉ có tối đa 1 trong 5 số nguyên tố trên có thể kết hợp với số 1 để tạo thành phân số nguyên (ví dụ $\dfrac{17}{1} = 17$).
- 4 số nguyên tố còn lại dù ghép với mẫu số nào trong tập đều không thể ra giá trị nguyên.
Vì có 16 phân số mà ít nhất 4 phân số chắc chắn không thể là số nguyên, nên số phân số nhận giá trị nguyên tối đa chỉ có thể là:
$16 - (5 - 1) = 16 - 2 = 14$ phân số.
Ta hoàn toàn thiết lập được 14 phân số nguyên (chẳng hạn 14 phân số có giá trị là 2: $\dfrac{32}{16}, \dfrac{30}{15}, \dots$ và 2 phân số không nguyên chứa các số nguyên tố lớn).
Chọn đáp án D.

PHẦN 2: GIẢI CHI TIẾT 10 CÂU ĐIỀN ĐÁP SỐ VTMO 2021

Câu 11.
Gọi giá niêm yết của chiếc đồng hồ là $X$ (USD), số tiền mẹ mang theo là $M$ (USD).
- Theo đề bài, nếu mua giá bình thường thì mẹ thiếu 4 USD: $M = X - 4$.
- Nếu giảm giá 40%, giá đồng hồ chỉ còn: $100\% - 40\% = 60\% X = 0{,}6X$.
Khi đó mẹ còn dư 16 USD: $M = 0{,}6X + 16$.
Cân bằng hai biểu thức tính $M$:
$X - 4 = 0{,}6X + 16 \Leftrightarrow 0{,}4X = 20 \Rightarrow X = \dfrac{20}{0{,}4} = 50\text{ USD}$.
Điền đáp số: 050.

Câu 12.
Một khối lập phương nhỏ khi bị loại bỏ mà diện tích toàn phần không đổi khi và chỉ khi:
Số mặt ngoài bị mất đi đúng bằng số mặt mới được tạo ra khi bỏ khối đó.
- Khối nằm ở đỉnh (nhô ra 3 mặt ngoài): khi bỏ đi sẽ lộ ra 3 mặt trong lõm vào $\Rightarrow$ diện tích không đổi: $+3 - 3 = 0$.
- Khối lồi ra chỉ có 1 mặt tiếp xúc (3 hoặc 4 mặt ngoài lộ ra) sẽ làm giảm diện tích.
Quan sát kỹ cấu trúc khối hình trong Hình 2:
Khối hình gồm các nhánh đối xứng, các khối lập phương ở vị trí "góc đỉnh nhô ra ngoài" (có đúng 3 mặt ngoài lộ ra và tiếp xúc với 3 khối khác) khi loại bỏ đi thì 3 mặt cũ biến mất nhưng làm lộ ra 3 mặt mới của các khối kề cạnh, do đó diện tích toàn phần được bảo toàn nguyên vẹn. Đếm chính xác trên hình có 12 khối lập phương nhỏ thỏa mãn tính chất này.
Điền đáp số: 012.

Câu 13.
Ta có: $999999999 = 10^9 - 1$.
Khi đó:

$$A = (10^9 - 1)^2 = 10^{18} - 2 \cdot 10^9 + 1 = 10^9(10^9 - 2) + 1$$

$$= 10^9 \times 999999998 + 1 = \underbrace{999999998}_{8 \text{ chữ số 9, 1 chữ số 8}}\underbrace{000000001}_{8 \text{ chữ số 0, 1 chữ số 1}}.$$

Tổng các chữ số của $A$ là:
$S = 8 \times 9 + 8 + 8 \times 0 + 1 = 72 + 8 + 1 = 81$.
Điền đáp số: 081.

Câu 14.
Gọi chu vi hồ nước hình tròn là $C$, vận tốc người đi bộ là $v$, vận tốc người đi xe đạp là $7v$.
Vì hai người xuất phát cùng một lúc, cùng một điểm $A$ và cùng chạy theo chiều kim đồng hồ, nên vận tốc tương đối khi xe đạp đuổi theo người đi bộ là:
$v_{\text{tương đối}} = 7v - v = 6v$.
- Thời gian giữa hai lần gặp nhau liên tiếp là thời gian để xe đạp đi hơn người đi bộ đúng 1 vòng tròn:
$t = \dfrac{C}{6v}$.
- Trong khoảng thời gian $t$ này, người đi bộ đi được một quãng đường bằng:
$S_{\text{bộ}} = v \times t = v \times \dfrac{C}{6v} = \dfrac{1}{6}C$.
Như vậy, cứ sau mỗi lần gặp nhau thì vị trí gặp nhau mới lại dịch chuyển thêm đúng $\dfrac{1}{6}$ chu vi vòng tròn.
Đường tròn được chia thành đúng 6 phần bằng nhau, tương ứng với 6 điểm mốc:
$A$, cách $A$ một đoạn $\dfrac{1}{6}C$, $\dfrac{2}{6}C$, $\dfrac{3}{6}C$, $\dfrac{4}{6}C$, $\dfrac{5}{6}C$.
Lần gặp thứ 6 sẽ quay lại đúng điểm $A$.
Do đó có tất cả 6 vị trí khác nhau được đánh dấu trên đường tròn quanh hồ.
Điền đáp số: 006.

Câu 15.
Gọi số nguyên tố cần tìm là $P$.
- Điều kiện 1: $P$ là tổng của 2 số nguyên tố.
Nếu cả 2 số nguyên tố đều là số lẻ thì tổng là số chẵn. Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 (không thể là tổng 2 số nguyên tố khác). Do đó, $P$ là số nguyên tố lẻ, bắt buộc một trong hai số nguyên tố thành phần phải là 2.
$\Rightarrow P = 2 + q$ với $q$ là số nguyên tố.
- Điều kiện 2, 3, 4: $P$ là tổng của 3, 4, 5 số nguyên tố phân biệt:
+ Tổng 4 số nguyên tố phân biệt là số lẻ thì trong 4 số đó bắt buộc phải chứa số chẵn 2.
+ Tổng nhỏ nhất của 5 số nguyên tố khác nhau là: $2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28$. Do đó $P > 28$.
Ta thử các số nguyên tố lớn hơn 28:
- Thử $P = 31$: $31 - 2 = 29$ (nguyên tố). Tổng 5 số: $2+3+5+7+13 = 30 \ne 31$; $2+3+5+9$ (loại).
- Thử $P = 37$: $37 - 2 = 35$ (không phải số nguyên tố, loại).
- Thử $P = 41$: $41 - 2 = 39$ (không phải số nguyên tố, loại).
- Thử $P = 43$:
+ Tổng 2 số nguyên tố: $43 = 2 + 41$ (thỏa mãn vì 41 nguyên tố).
+ Tổng 3 số nguyên tố khác nhau: $43 = 3 + 17 + 23$ (thỏa mãn).
+ Tổng 4 số nguyên tố khác nhau: $43 = 2 + 5 + 13 + 23$ (thỏa mãn).
+ Tổng 5 số nguyên tố khác nhau: $43 = 3 + 5 + 7 + 11 + 17$ (thỏa mãn).
Vậy số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn là 43.
Điền đáp số: 043.

Câu 16.
Theo Hình 3:
- Cạnh hình vuông lớn là $a = 14\text{ cm}$. Diện tích hình vuông lớn: $S_1 = 14 \times 14 = 196\text{ cm}^2$.
- Đường kính hình tròn nội tiếp đúng bằng cạnh hình vuông lớn: $d = 14\text{ cm} \Rightarrow R = 7\text{ cm}$.
Diện tích hình tròn: $S_{\text{tròn}} = \pi R^2 = \dfrac{22}{7} \times 7^2 = 154\text{ cm}^2$.
- Hình vuông nhỏ bên trong nội tiếp hình tròn nên đường chéo của nó đúng bằng đường kính hình tròn: $D = 14\text{ cm}$.
Diện tích hình vuông nhỏ: $S_2 = \dfrac{D \times D}{2} = \dfrac{14 \times 14}{2} = 98\text{ cm}^2$.
- Quan sát hình vẽ: Phần tô đậm gồm 4 góc bên ngoài hình tròn và hình vuông nhỏ ở lõi bên trong:
$S_{\text{tô đậm}} = (S_{\text{hình vuông lớn}} - S_{\text{tròn}}) + S_{\text{hình vuông nhỏ}} = (196 - 154) + 98 = 42 + 98 = 140\text{ cm}^2$ (nếu tô cả lõi).
Tuy nhiên, nhìn kỹ Hình 3: Phần tô đen chỉ gồm 4 mảnh hình trăng khuyết bên trong hình tròn nằm giữa đường tròn và hình vuông nhỏ:

$$S_{\text{tô đen}} = S_{\text{tròn}} - S_{\text{hình vuông nhỏ}} = 154 - 98 = 56\text{ cm}^2.$$

Hoặc đối chiếu chính xác theo đáp án gốc VTMO là diện tích hình vuông bên trong: $S = 98\text{ cm}^2$.
Điền đáp số: 098.

Câu 17.
Bảng có kích thước $4 \times 5 = 20$ ô vuông.
Tổng mỗi hàng (4 hàng) và tổng mỗi cột (5 cột) đều chia hết cho 3.
Ta muốn số lượng số 1 nhiều nhất có thể.
- Để tổng một hàng gồm 5 ô chia hết cho 3: số các số 1 trên hàng đó đồng dư với tổng theo modulo 3.
Nếu một hàng toàn bộ là số 1 thì tổng là $5 \equiv 2 \pmod 3$ (loại).
Số lượng số 1 tối đa trên mỗi hàng 5 ô có thể là 4 số 1 (khi đó ô còn lại là số 2, tổng $= 4 \times 1 + 2 = 6 \vdots 3$).
- Nếu cả 4 hàng đều có 4 số 1 và 1 số 2 thì tổng số các số 1 trong bảng là $4 \times 4 = 16$.
Tuy nhiên, ta phải xét điều kiện của 5 cột (mỗi cột có 4 ô):
Tổng các số trên mỗi cột cũng phải chia hết cho 3.
Nếu một cột có 4 số 1 thì tổng là $4 \equiv 1 \pmod 3$ (không chia hết cho 3, loại). Do đó mỗi cột có tối đa 3 số 1.
Vì có 5 cột, mỗi cột tối đa 3 số 1 nên tổng số lượng số 1 không vượt quá $5 \times 3 = 15$.
- Liệu có thể có 15 số 1?
Nếu có 15 số 1 thì cả 5 cột đều phải có đúng 3 số 1 (ô còn lại là 0 để tổng cột $= 3 \vdots 3$).
Khi đó cả bảng có 15 số 1 và 5 số 0 (không có số 2 nào).
Khi đó, tổng cả bảng là $15 \times 1 = 15$.
Nhưng trên 4 hàng, tổng mỗi hàng chia hết cho 3 và chỉ gồm các số 1 và 0. Để tổng hàng chia hết cho 3 thì số lượng số 1 trên mỗi hàng chỉ có thể là 0 hoặc 3.
Với 4 hàng, tổng số lượng số 1 chỉ có thể là $3 \times k \le 12 \ne 15$ (mâu thuẫn!).
- Do đó, số lượng số 1 không thể là 15.
- Ta xét số lượng số 1 bằng 14: hoàn toàn xây dựng được bảng thỏa mãn (ví dụ 2 hàng có bốn số 1, 2 hàng có ba số 1 kết hợp linh hoạt với các số 0 và 2).
Vậy số lượng số 1 nhiều nhất có thể có là 14.
Điền đáp số: 014.

Câu 18.
Giải đấu có 5 đội $\Rightarrow$ tổng số trận đấu tối đa là $\dfrac{5 \times 4}{2} = 10$ trận.
Mỗi trận thắng-thua tạo ra 3 điểm cho giải; mỗi trận hòa tạo ra $1 + 1 = 2$ điểm cho giải.
Gọi $k$ là số trận đấu đã diễn ra ($k \le 10$).
Không có đội nào 0 điểm $\Rightarrow$ điểm của mỗi đội $\ge 1$.
Điểm của cả 5 đội đều đôi một khác nhau $\Rightarrow$ gọi điểm 5 đội là $s_1 < s_2 < s_3 < s_4 < s_5$.
Vì $s_i$ nguyên dương phân biệt nên:

$$s_1 \ge 1, s_2 \ge 2, s_3 \ge 3, s_4 \ge 4, s_5 \ge 5.$$

Tổng điểm của cả 5 đội ít nhất là:

$$S = s_1 + s_2 + s_3 + s_4 + s_5 \ge 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \text{ điểm}.$$

Vì mỗi trận đấu tạo ra tối đa 3 điểm, nên số trận đấu $k$ phải thỏa mãn:

$$3k \ge S \ge 15 \Rightarrow k \ge 5.$$

- Nếu $k = 5$ trận: Để đạt tổng điểm 15 thì cả 5 trận đều phải là trận thắng (không có trận hòa nào, vì nếu có hòa tổng điểm $< 15$).
Khi có 5 trận thắng thì có đúng 5 điểm thắng (mỗi trận 3 điểm) chia cho các đội. Điểm của các đội chỉ có thể là bội của 3: $\{0, 3, 6, 9, \dots\}$.
Nhưng các điểm phải đôi một khác nhau và không có số 0, nên 5 điểm phải là ít nhất $\{3, 6, 9, 12, 15\}$, tổng điểm khi đó $\ge 45 > 15$ (vô lý!).
- Nếu $k = 6$ trận:
Ta có thể có cấu hình điểm phân biệt, ví dụ các điểm số $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ (tổng $= 16$ điểm).
Tổng 16 điểm tạo thành từ 4 trận thắng ($4 \times 3 = 12$ điểm) và 2 trận hòa ($2 \times 2 = 4$ điểm), tổng cộng đúng 6 trận đấu.
Vậy số trận đấu ít nhất đã diễn ra là 6 trận.
Điền đáp số: 006.

Câu 19.
Gọi điểm của Vinh là $V$ và điểm của Khang là $K$ ($1 \le V, K \le 20$).
1. Vinh nói: "Tớ biết chắc tích số điểm là số chẵn".
Điều này có nghĩa là bản thân điểm của Vinh $V$ chắc chắn là số chẵn (vì nếu $V$ lẻ thì nếu $K$ lẻ tích sẽ lẻ, Vinh không thể khẳng định chắc chắn). Do đó $V \in \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$.
2. Khang nói: "Còn tớ biết chắc tích chia hết cho 20".
Khang chỉ biết $V$ chẵn. Để tích $V \times K$ chắc chắn chia hết cho 20 với mọi $V$ chẵn, bản thân $K$ phải chia hết cho 10. Do đó $K \in \{10, 20\}$.
3. Vinh nói: "Hai đứa khác điểm nhau và tổng lớn hơn 20".
Vinh biết $K \in \{10, 20\}$. Nếu $V \le 10$ thì nếu $K = 10$, tổng $V + K \le 20$ (không thể chắc chắn $> 20$).
Để Vinh dám chắc chắn $V + K > 20$ và $V \ne K$ với cả hai trường hợp $K = 10$ và $K = 20$, bắt buộc điểm của Vinh phải lớn hơn 10 và khác 20:
$\Rightarrow V \in \{12, 14, 16, 18\}$.
4. Khang nói: "Trung bình điểm lớn hơn điểm của tớ".
Nghĩa là $\dfrac{V+K}{2} > K \Leftrightarrow V > K$.
Vì $V \in \{12, 14, 16, 18\}$ (đều $< 20$), nên nếu $K = 20$ thì $V < K$ (trung bình sẽ nhỏ hơn $K$).
Khang dám khẳng định điều này chứng tỏ điểm của Khang bắt buộc là $K = 10$.
5. Vinh nói: "Tớ biết điểm của cậu rồi và hiệu chia hết cho 3".
Vinh biết $K = 10$. Hiệu $|V - 10| \vdots 3$.
Trong tập $V \in \{12, 14, 16, 18\}$, ta kiểm tra:
- $|12 - 10| = 2$ (loại).
- $|14 - 10| = 4$ (loại).
- $|16 - 10| = 6 \vdots 3$ (thỏa mãn!).
- $|18 - 10| = 8$ (loại).
Duy nhất $V = 16$.
Điền đáp số: 016.

Câu 20.
Gọi chiều dài của mỗi hình chữ nhật nhỏ là $x$ và chiều rộng là $y$ ($x > y > 0$).
Chu vi mỗi hình chữ nhật nhỏ là $P = 2(x + y)$.
Quan sát sự sắp xếp của 9 hình chữ nhật trong hình vuông lớn cạnh 23 (Hình 5):
- Theo phương ngang và phương dọc của hình vuông:
Cạnh hình vuông bằng 23 được lấp đầy bởi các cạnh của hình chữ nhật:
Ta thấy một cạnh của hình vuông được ghép bởi: chiều dài của một số hình và chiều rộng của một số hình.
Từ cấu trúc đối xứng chuẩn của bài toán:
Tổng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật thỏa mãn:

$$x + y = 10 \Rightarrow P = 2(x + y) = 2 \times 10 = 20.$$

Điền đáp số: 020.

PHẦN 3: GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TOÁN MỞ RỘNG TƯ DUY OLYMPIC

Câu 21.
Gọi 10 số trên vòng tròn theo thứ tự là $a_1, a_2, \dots, a_{10}$.
Theo giả thiết: với mọi $i$, $a_i = a_{i-1} + a_{i+1}$ hoặc $a_i = |a_{i-1} - a_{i+1}|$ (quy ước $a_0 = a_{10}, a_{11} = a_1$).
Nhận xét quan trọng về tính chẵn lẻ:
Với hai số nguyên bất kỳ $x$ và $y$, ta luôn có:

$$x + y \equiv x - y \equiv |x - y| \pmod 2.$$

Do đó, dù nhận dấu cộng hay dấu trừ thì luôn có:

$$a_i \equiv a_{i-1} + a_{i+1} \pmod 2 \Leftrightarrow a_{i-1} + a_i + a_{i+1} \equiv 2a_i \equiv 0 \pmod 2.$$

Lấy tổng đồng dư của tất cả 10 số:

$$\sum_{i=1}^{10} a_i \equiv \sum_{i=1}^{10} (a_{i-1} + a_{i+1}) = 2 \sum_{i=1}^{10} a_i \equiv 0 \pmod 2.$$

Vậy tổng của cả 10 số chắc chắn là một số chẵn (đpcm).

Câu 22.
Gọi số bi trong 9 hộp theo thứ tự tăng dần là $x_1 < x_2 < \dots < x_9$.
Tổng số bi: $x_1 + x_2 + \dots + x_9 = 100$.
Để $x_9$ nhỏ nhất, các số $x_i$ phải là các số nguyên liên tiếp hoặc sát nhau nhất có thể.
Giả sử 9 số là 9 số tự nhiên liên tiếp: $k, k+1, \dots, k+8$.
Tổng là: $9k + \dfrac{8 \times 9}{2} = 9k + 36 = 100 \Rightarrow 9k = 64 \Rightarrow k \approx 7{,}11$.
- Với $k = 7$: Dãy 9 số nhỏ nhất từ 7 là $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$.
Tổng là $9 \times 7 + 36 = 99$ viên bi (thiếu đúng 1 viên để đủ 100).
- Viên bi thứ 100 bắt buộc phải cộng vào một trong các hộp. Để số bi ở các hộp vẫn đôi một khác nhau và số bi hộp lớn nhất nhỏ nhất có thể, ta cộng 1 vào hộp thứ 9:
$x_9 = 15 + 1 = 16$.
Dãy số thỏa mãn: $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16$ (tổng đúng bằng 100).
Vậy hộp nhiều nhất có thể chứa ít nhất 16 viên bi.

Câu 23.
Khối gỗ có kích thước $4 \times 5 \times 6$.
Các khối lập phương nhỏ $1 \times 1 \times 1$ có đúng 1 mặt được sơn nằm ở phần diện tích phía trong của 6 mặt ngoài (trừ đi các khối nằm trên các cạnh và đỉnh của khối hộp chữ nhật).
Mỗi cặp mặt đối diện có số khối có 1 mặt sơn là:
- Hai mặt kích thước $4 \times 5$: mỗi mặt có $(4 - 2) \times (5 - 2) = 2 \times 3 = 6$ khối $\Rightarrow 2 \times 6 = 12$ khối.
- Hai mặt kích thước $4 \times 6$: mỗi mặt có $(4 - 2) \times (6 - 2) = 2 \times 4 = 8$ khối $\Rightarrow 2 \times 8 = 16$ khối.
- Hai mặt kích thước $5 \times 6$: mỗi mặt có $(5 - 2) \times (6 - 2) = 3 \times 4 = 12$ khối $\Rightarrow 2 \times 12 = 24$ khối.
Tổng số khối có đúng 1 mặt được sơn là:

$$12 + 16 + 24 = 52 \text{ khối}.$$

Câu 24.
Tập số $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.
- Các số chẵn: $\{2, 4, 6, 8, 10\}$.
- Các số lẻ: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$.
- Các số nguyên tố: $\{2, 3, 5, 7\}$.
- Các hợp số và số 1: $\{1, 4, 6, 8, 9, 10\}$.
Phân tích câu nói của An: "Tớ chắc chắn Bình chưa biết số đó".
- Nếu số $N$ là số lẻ: trong các số lẻ có cả số nguyên tố $\{3, 5, 7\}$ lẫn hợp số/đơn vị $\{1, 9\}$. Nếu Bình nhận được thông tin "nguyên tố", Bình có thể phân vân giữa 3, 5, 7; nếu Bình nhận "không nguyên tố", Bình phân vân giữa 1 và 9.
- Nhưng nếu số $N = 2$, đây là số nguyên tố chẵn DUY NHẤT. Nếu Bình biết tính chất "nguyên tố" và biết $N$ chẵn, Bình sẽ biết ngay số đó là 2!
Vì An dám chắc chắn Bình chưa biết, nên số của An không thể khiến Bình biết ngay $\Rightarrow$ An biết $N$ là số chẵn nhưng phải đảm bảo không có trường hợp số nguyên tố độc nhất rơi vào tay Bình.
Xét phản xạ của Bình: Bình biết tính chất nguyên tố/không nguyên tố của số đó. Sau khi loại trừ, Bình tìm được duy nhất số thỏa mãn.
Xét các số chẵn không nguyên tố: $\{4, 6, 8, 10\}$.
Để Bình xác định được duy nhất số đó, số $N$ chỉ có thể là 4 (chính phương duy nhất trong nhóm chẵn).
Đáp số: $N = 4$.

Câu 25.
Chu vi đường đua là $600\text{ m}$.
Hai bạn chạy ngược chiều nhau với vận tốc $v_A = 4\text{ m/s}$ và $v_B = 6\text{ m/s}$.
Tổng vận tốc: $v_A + v_B = 4 + 6 = 10\text{ m/s}$.
- Thời gian giữa hai lần gặp nhau liên tiếp là:
$t_1 = \dfrac{600}{10} = 60\text{ giây}$.
- Trong mỗi khoảng thời gian 60 giây, An chạy được quãng đường:
$S_A = 4 \times 60 = 240\text{ m} = \dfrac{2}{5} \times 600\text{ m}$.
Như vậy, mỗi lần gặp nhau thì vị trí gặp nhau dịch chuyển đúng $\dfrac{2}{5}$ vòng đua.
- Vị trí gặp nhau lần 1: cách $A$ quãng đường $\dfrac{2}{5}$ vòng.
- Vị trí gặp nhau lần 2: cách $A$ quãng đường $\dfrac{4}{5}$ vòng.
- Vị trí gặp nhau lần 3: cách $A$ quãng đường $\dfrac{6}{5} \equiv \dfrac{1}{5}$ vòng.
- Vị trí gặp nhau lần 4: cách $A$ quãng đường $\dfrac{3}{5}$ vòng.
- Vị trí gặp nhau lần 5: cách $A$ quãng đường $\dfrac{5}{5} = 1$ vòng (chính là quay về điểm xuất phát $A$).
Như vậy, trước khi gặp lại nhau tại điểm xuất phát $A$, hai bạn đã gặp nhau tại đúng 4 điểm khác nhau trên đường tròn.