Bộ 5 câu hỏi trả lời ngắn HSG Toán 11: Lượng giác & Cấp số cộng – Cấp số nhân

PHẦN CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN (MỨC ĐỘ HỌC SINH GIỎI)

Thí sinh giải bài toán và điền kết quả vào ô trả lời. Mỗi câu hỏi chỉ ghi đáp số là một số nguyên hoặc số thập phân gọn.

Câu 1 (Lượng giác). Tìm số nghiệm thuộc khoảng $(0; 10\pi)$ của phương trình:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\cos 4x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Câu 2 (Lượng giác). Cho biểu thức $P = \sqrt{3}\cos x - \sin x - \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ với $x \in \mathbb{R}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P$. Tính giá trị của biểu thức $T = 2M - m$.

Câu 3 (Cấp số cộng). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ đều là các số nguyên dương. Biết rằng $u_1 \le 50$ và trong dãy số $(u_n)$ tồn tại ba số hạng liên tiếp là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương $(u_1; d)$ thỏa mãn điều kiện bài toán?

Câu 4 (Cấp số nhân). Cho cấp số nhân $(u_n)$ gồm $n$ số hạng ($n \ge 3$) với các số hạng đều là số thực dương. Biết rằng tổng của $n$ số hạng đầu là $u_1 + u_2 + \dots + u_n = 31$, tổng các nghịch đảo của chúng là $\dfrac{1}{u_1} + \dfrac{1}{u_2} + \dots + \dfrac{1}{u_n} = \dfrac{31}{16}$, và tích của tất cả $n$ số hạng đó bằng $1024$. Tìm số số hạng $n$ của cấp số nhân đã cho.

Câu 5 (Cấp số cộng). Một đa giác lồi có $n$ cạnh ($n \ge 3$) mà số đo các góc trong của nó (tính theo đơn vị độ) lập thành một cấp số cộng có công sai $d = 5^\circ$. Biết số đo góc trong nhỏ nhất của đa giác bằng $120^\circ$. Tìm số cạnh $n$ của đa giác đó.

--------- HẾT ---------

BẢNG ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN NHANH

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

Tìm số nghiệm thuộc khoảng $(0; 10\pi)$ của phương trình:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\cos 4x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

$$\frac{\pi}{3}\cos 4x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \iff \cos 4x = \pm \frac{1}{2} + 6k.$$

Vì $-1 \le \cos 4x \le 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta xét các giá trị của $k \in \mathbb{Z}$:
- Với $k \ne 0$: $|\pm \frac{1}{2} + 6k| \ge 6 - 0,5 = 5,5 > 1$ (vô nghiệm).
- Do đó, bắt buộc $k = 0$, ta thu được:

$$\left[\begin{aligned} \cos 4x &= \frac{1}{2} \\ \cos 4x &= -\frac{1}{2} \end{aligned}\right. \iff \cos^2 4x = \frac{1}{4} \iff \frac{1 + \cos 8x}{2} = \frac{1}{4} \iff \cos 8x = -\frac{1}{2}.$$

Đặt $t = 8x$. Khi $x \in (0; 10\pi)$ thì $t \in (0; 80\pi)$.
Khoảng $(0; 80\pi)$ có độ dài $80\pi = 40 \times 2\pi$, gồm đúng $40$ chu kỳ tuần hoàn cơ sở của hàm số $\cos t$.
Trong mỗi chu kỳ $[m2\pi; (m+1)2\pi)$, phương trình $\cos t = -\frac{1}{2}$ có đúng 2 nghiệm phân biệt:

$$t = \frac{2\pi}{3} + m2\pi \quad \text{và} \quad t = \frac{4\pi}{3} + m2\pi.$$

Tại hai đầu mút $t = 0$ và $t = 80\pi$, $\cos t = 1 \ne -\frac{1}{2}$ nên không có nghiệm nào rơi vào mút.

Vậy số nghiệm của phương trình trên khoảng $(0; 10\pi)$ là:

$$40 \times 2 = 80.$$

Đáp án: 80

Câu 2

Cho biểu thức $P = \sqrt{3}\cos x - \sin x - \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ với $x \in \mathbb{R}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P$. Tính giá trị của biểu thức $T = 2M - m$.

Lời giải:

Biến đổi biểu thức ban đầu:

$$\sqrt{3}\cos x - \sin x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x\right) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right).$$

Mặt khác, nhận thấy mối liên hệ giữa các cung lượng giác:

$$2x + \frac{\pi}{3} = 2\left(x + \frac{\pi}{6}\right).$$

Đặt $u = x + \frac{\pi}{6}$. Khi đó:

$$\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos 2u = 2\cos^2 u - 1.$$

Biểu thức $P$ trở thành:

$$P = 2\cos u - (2\cos^2 u - 1) = -2\cos^2 u + 2\cos u + 1.$$

Đặt $t = \cos u$, vì $x \in \mathbb{R}$ nên $t \in [-1; 1]$. Xét hàm số bậc hai:

$$f(t) = -2t^2 + 2t + 1 \quad \text{trên đoạn } [-1; 1].$$

Tọa độ đỉnh parabol: $t = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{2} \in [-1; 1]$.
Tính các giá trị:
- Tại đỉnh: $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -2\left(\dfrac{1}{4}\right) + 2\left(\dfrac{1}{2}\right) + 1 = \dfrac{3}{2}$.
- Tại biên $t = 1$: $f(1) = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = 1$.
- Tại biên $t = -1$: $f(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -3$.

Suy ra:
- Giá trị lớn nhất: $M = \dfrac{3}{2} = 1,5$.
- Giá trị nhỏ nhất: $m = -3$.

Vậy:

$$T = 2M - m = 2 \cdot \frac{3}{2} - (-3) = 3 + 3 = 6.$$

Đáp án: 6

Câu 3

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ đều là các số nguyên dương. Biết rằng $u_1 \le 50$ và trong dãy $(u_n)$ tồn tại ba số hạng liên tiếp là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương $(u_1; d)$ thỏa mãn điều kiện bài toán?

Lời giải:

Gọi ba số hạng liên tiếp lập thành ba cạnh của tam giác vuông là $u_k, u_{k+1}, u_{k+2}$ với $k \in \mathbb{N}^*$.
Vì $d > 0$ nên $0 < u_k < u_{k+1} < u_{k+2}$, do đó cạnh huyền bắt buộc phải là $u_{k+2}$.

Theo định lý Pythagore:

$$u_k^2 + u_{k+1}^2 = u_{k+2}^2.$$

Đặt $u_{k+1} = x > 0$. Khi đó $u_k = x - d$ và $u_{k+2} = x + d$. Thay vào hệ thức:

$$(x - d)^2 + x^2 = (x + d)^2 \iff x^2 - 2xd + d^2 + x^2 = x^2 + 2xd + d^2 \iff x^2 = 4xd.$$

Do $x > 0$ nên ta có $x = 4d$.
Suy ra:

$$u_k = 3d, \quad u_{k+1} = 4d, \quad u_{k+2} = 5d.$$

Mặt khác, theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:

$$u_k = u_1 + (k - 1)d.$$

Do đó:

$$u_1 + (k - 1)d = 3d \iff u_1 = (4 - k)d.$$

Vì $u_1 > 0$ và $d > 0$ nên $4 - k > 0 \implies k \in \{1; 2; 3\}$. Ta xét từng trường hợp của $k$:
1. Trường hợp 1: $k = 1 \implies u_1 = 3d \iff d = \dfrac{u_1}{3}$.
Để $d$ nguyên dương thì $u_1$ phải chia hết cho 3.
Vì $1 \le u_1 \le 50$ nên số giá trị của $u_1$ là: $\left\lfloor\dfrac{50}{3}\right\rfloor = 16$ giá trị (tương ứng với 16 cặp $(u_1; d)$ có tỉ số $\frac{u_1}{d} = 3$).
2. Trường hợp 2: $k = 2 \implies u_1 = 2d \iff d = \dfrac{u_1}{2}$.
Để $d$ nguyên dương thì $u_1$ phải chia hết cho 2.
Số giá trị của $u_1$ là: $\left\lfloor\dfrac{50}{2}\right\rfloor = 25$ giá trị (tương ứng với 25 cặp $(u_1; d)$ có tỉ số $\frac{u_1}{d} = 2$).
3. Trường hợp 3: $k = 3 \implies u_1 = d$.
Với mọi $u_1 \in \{1; 2; \dots; 50\}$, ta chọn $d = u_1$ thì $d$ luôn nguyên dương.
Số giá trị của $u_1$ là: $50$ giá trị (tương ứng với 50 cặp $(u_1; d)$ có tỉ số $\frac{u_1}{d} = 1$).

Do ba trường hợp có tỉ số $\dfrac{u_1}{d}$ lần lượt là $3, 2, 1$ hoàn toàn đôi một khác nhau nên không có cặp $(u_1; d)$ nào bị trùng lặp.
Tổng số cặp số nguyên dương $(u_1; d)$ thỏa mãn là:

$$16 + 25 + 50 = 91.$$

Đáp án: 91

Câu 4

Cho cấp số nhân $(u_n)$ gồm $n$ số hạng ($n \ge 3$) với các số hạng đều là số thực dương. Biết rằng tổng của $n$ số hạng đầu là $u_1 + u_2 + \dots + u_n = 31$, tổng các nghịch đảo của chúng là $\dfrac{1}{u_1} + \dfrac{1}{u_2} + \dots + \dfrac{1}{u_n} = \dfrac{31}{16}$, và tích của tất cả $n$ số hạng đó bằng $1024$. Tìm số số hạng $n$ của cấp số nhân đã cho.

Lời giải:

Gọi công bội của cấp số nhân là $q > 0$. Với mỗi số hạng $u_k = u_1 q^{k-1}$ ($1 \le k \le n$), ta có tính chất đối xứng cơ bản của cấp số nhân:

$$u_k \cdot u_{n-k+1} = \left(u_1 q^{k-1}\right) \cdot \left(u_1 q^{n-k}\right) = u_1^2 q^{n-1} = u_1 \cdot u_n.$$

Xét tổng nghịch đảo:

$$T_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{u_k} = \sum_{k=1}^n \frac{u_{n-k+1}}{u_k \cdot u_{n-k+1}} = \sum_{k=1}^n \frac{u_{n-k+1}}{u_1 \cdot u_n} = \frac{1}{u_1 u_n} \sum_{k=1}^n u_{n-k+1} = \frac{S_n}{u_1 u_n}.$$

Thay các dữ kiện đề bài $S_n = 31$ và $T_n = \dfrac{31}{16}$ vào hệ thức trên:

$$\frac{31}{u_1 u_n} = \frac{31}{16} \implies u_1 u_n = 16.$$

Mặt khác, xét tích $P_n = u_1 \cdot u_2 \dots u_n$.
Nhân hai lần tích theo thứ tự xuôi và ngược:

$$P_n^2 = (u_1 \cdot u_2 \dots u_n)(u_n \cdot u_{n-1} \dots u_1) = \prod_{k=1}^n (u_k \cdot u_{n-k+1}) = (u_1 u_n)^n.$$

Vì các số hạng đều dương nên:

$$P_n = (u_1 u_n)^{\frac{n}{2}}.$$

Theo giả thiết, $P_n = 1024$, ta có:

$$16^{\frac{n}{2}} = 1024 \iff \left(4^2\right)^{\frac{n}{2}} = 4^5 \iff 4^n = 4^5 \iff n = 5.$$

(Kiểm chứng: Với $n = 5$, ta tìm được cấp số nhân tăng $1, 2, 4, 8, 16$ có tổng bằng 31, tổng nghịch đảo bằng $\frac{31}{16}$, tích bằng 1024, hoàn toàn thỏa mãn).

Đáp án: 5

Câu 5

Một đa giác lồi có $n$ cạnh ($n \ge 3$) mà số đo các góc trong của nó (tính theo đơn vị độ) lập thành một cấp số cộng có công sai $d = 5^\circ$. Biết số đo góc trong nhỏ nhất của đa giác bằng $120^\circ$. Tìm số cạnh $n$ của đa giác đó.

Lời giải:

Số đo các góc trong của đa giác lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 120^\circ$ và công sai $d = 5^\circ$.
Tổng số đo $n$ góc trong của đa giác $n$ cạnh tính theo công thức cấp số cộng là:

$$S_n = \frac{n}{2}\left[2u_1 + (n - 1)d\right] = \frac{n}{2}\left[2 \cdot 120 + 5(n - 1)\right] = \frac{n(5n + 235)}{2}.$$

Mặt khác, theo hình học phẳng, tổng các góc trong của một đa giác lồi $n$ cạnh luôn bằng:

$$S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ.$$

Từ đó ta thiết lập phương trình:

$$\frac{n(5n + 235)}{2} = 180(n - 2) \iff 5n^2 + 235n = 360n - 720.$$

Thu gọn phương trình bậc hai:

$$5n^2 - 125n + 720 = 0 \iff n^2 - 25n + 144 = 0.$$

Phân tích nhân tử:

$$(n - 9)(n - 16) = 0 \iff \left[\begin{aligned} n &= 9 \\ n &= 16 \end{aligned}\right.$$

Điều kiện bắt buộc của đa giác lồi:
Tất cả các góc trong của một đa giác lồi phải nghiêm ngặt nhỏ hơn $180^\circ$. Vì công sai $d = 5^\circ > 0$ nên góc lớn nhất của đa giác là góc thứ $n$:

$$u_n = u_1 + (n - 1)d.$$

- Với $n = 16$:

$$u_{16} = 120^\circ + 15 \cdot 5^\circ = 120^\circ + 75^\circ = 195^\circ > 180^\circ \quad \text{(Loại do không thỏa mãn tính chất lồi)}.$$

- Với $n = 9$:

$$u_9 = 120^\circ + 8 \cdot 5^\circ = 120^\circ + 40^\circ = 160^\circ < 180^\circ \quad \text{(Thỏa mãn)}.$$

Vậy số cạnh của đa giác lồi là $n = 9$.

Đáp án: 9