Bộ 4 Mã Đề Kiểm Tra Giữa Học Kỳ I Môn Toán 11

MA TRẬN VÀ BẢN ĐẶC TẢ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

MÔN: TOÁN – LỚP 11 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT

(Theo định dạng cấu trúc đề thi từ năm 2025 của Bộ GD&ĐT – Công văn 7991/BGDĐT-GDTrH)

A. KHUNG MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA

TT	Chủ đề / Nội dung kiến thức	Đơn vị kiến thức	Mức độ Biết	Mức độ Hiểu	Mức độ Vận dụng	Tổng số câu	Điểm số
1	Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác	Góc & giá trị lượng giác; Công thức lượng giác	1 TN	1 TN	1 Đ-S	3	1,25
		Hàm số lượng giác & Đồ thị	2 TN	1 TN	1 TLN	4	1,25
		Phương trình lượng giác cơ bản	1 TN	1 Đ-S	1 TLN	3	1,75
2	Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân	Dãy số và tính chất dãy số	1 TN	1 Đ-S		2	1,25
		Cấp số cộng (công sai, số hạng, tổng)	2 TN	1 TN	2 TLN	5	1,75
		Cấp số nhân (công bội, số hạng, tổng)	2 TN	1 Đ-S	2 TLN	5	2,00
3	Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm	Giá trị đại diện, cỡ mẫu, tần số	2 TN			2	0,50
3		Trung vị, tứ phân vị, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm	1 TN	1 Đ-S		2	1,25
TỔNG			10 câu TN	4 câu (2 TN, 2 ĐS)	8 câu (2 ĐS, 6 TLN)	22 câu	10,0

Tỉ lệ điểm: Phần I (Trắc nghiệm nhiều lựa chọn): 3,0 điểm (12 câu × 0,25đ); Phần II (Đúng/Sai): 4,0 điểm (4 câu × 1,0đ); Phần III (Trả lời ngắn): 3,0 điểm (6 câu × 0,5đ). Tỉ lệ nhận thức: Biết 40% – Hiểu 30% – Vận dụng 30%.

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

Đề chính thức

(Đề thi có 04 trang)

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 101

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = 3u_n \end{cases} (n \ge 1)$ . Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

A. $u_n = 3^n$

B. $u_n = 3^{n-1}$

C. $u_n = 3^{n+1} - 2$

D. $u_n = 3^n - 2$

Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{2n+1}{n+2}$ . Năm số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là

A. $1; \dfrac{3}{4}; \dfrac{7}{5}; \dfrac{3}{2}; \dfrac{11}{7}$

B. $1; \dfrac{5}{4}; \dfrac{7}{5}; \dfrac{3}{2}; \dfrac{11}{7}$

C. $1; \dfrac{5}{4}; \dfrac{8}{5}; \dfrac{3}{2}; \dfrac{11}{7}$

D. $1; \dfrac{5}{4}; \dfrac{7}{5}; \dfrac{7}{2}; \dfrac{11}{3}$

Câu 3. Trong các dãy số $(u_n)$ sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. $\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = 2u_n + 1 \end{cases}$

B. $\begin{cases} u_1 = -1 \\ u_{n+1} - u_n = 2 \end{cases}$

C. $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n^3 - 1 \end{cases}$

D. $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + n \end{cases}$

Câu 4. Cho một cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2 = \dfrac{1}{4}$ và $u_5 = 16$ . Tìm công bội $q$ và số hạng đầu $u_1$ của cấp số nhân đó.

A. $q = \dfrac{1}{2}; u_1 = \dfrac{1}{2}$

B. $q = -\dfrac{1}{2}; u_1 = -\dfrac{1}{2}$

C. $q = 4; u_1 = \dfrac{1}{16}$

D. $q = -4; u_1 = -\dfrac{1}{16}$

Câu 5. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và $u_2 = 8$ . Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho bằng

A. $10$

B. $6$

C. $4$

D. $-6$

Câu 6. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có tổng 2 số hạng đầu $S_2 = 4$ và tổng 3 số hạng đầu $S_3 = 13$ . Tìm $S_5$ .

A. $S_5 = 121$ hoặc $S_5 = \dfrac{181}{16}$

B. $S_5 = 121$ hoặc $S_5 = \dfrac{35}{16}$

C. $S_5 = 114$ hoặc $S_5 = \dfrac{185}{16}$

D. $S_5 = 141$ hoặc $S_5 = \dfrac{183}{16}$

Câu 7. Tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{5\sin x}{\cos x - 3}$ là

A. $D = (3; +\infty)$

B. $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$

C. $D = (-\infty; 3)$

D. $D = \mathbb{R}$

Câu 8. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. $y = \cos x$

B. $y = \sin^2 x$

C. $y = \cot^2 x$

D. $y = \tan x$

Câu 9. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin\left(x + \dfrac{3\pi}{4}\right) - 1$ lần lượt là

A. $4$ và $-2$

B. $2$ và $-4$

C. $1$ và $-1$

D. $3$ và $-3$

Câu 10. Họ nghiệm của phương trình lượng giác $\sin x = \sin\dfrac{\pi}{5}$ là

A. $x = \dfrac{\pi}{5} + k\pi; x = \dfrac{4\pi}{5} + l\pi \; (k, l \in \mathbb{Z})$

B. $x = \dfrac{\pi}{5} + k2\pi; x = \dfrac{4\pi}{5} + l2\pi \; (k, l \in \mathbb{Z})$

C. $x = \dfrac{\pi}{5} + k2\pi; x = -\dfrac{\pi}{5} + l2\pi \; (k, l \in \mathbb{Z})$

D. $x = \dfrac{\pi}{5} + k\pi; x = -\dfrac{\pi}{5} + l\pi \; (k, l \in \mathbb{Z})$

Câu 11. Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ mỗi buổi tối, thu được bảng số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (giờ)	[4; 5)	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)
Số học sinh nam	6	10	13	9	7
Số học sinh nữ	4	8	10	11	8

Hãy cho biết khoảng $75\%$ học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ (tương ứng với tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ )?

A. $8,90$ giờ

B. $8,60$ giờ

C. $6,64$ giờ

D. $5,64$ giờ

Câu 12. Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh thu được bảng ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Giá trị đại diện của nhóm $[20; 40)$ là

A. $10$

B. $20$

C. $30$

D. $40$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho góc lượng giác $x$ thoả mãn $\cos x = \dfrac{1}{4}$ với $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ .
a) $\sin x < 0$ .
b) $\sin x = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ .
c) $\tan x = \sqrt{15}$ .
d) $\cot x = -\dfrac{1}{\sqrt{15}}$ .

Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 2023, u_2 = 2024 \\ 2u_{n+1} = u_n + u_{n+2} \end{cases} (\forall n \ge 1)$ .
a) Dãy số $(v_n)$ với $v_n = u_n - u_{n-1} \; (n \ge 2)$ là một dãy số không đổi.
b) Biểu thị $u_n$ qua $u_{n-1}$ ta được $u_n = u_{n-1} + 1 \; (\forall n \ge 2)$ .
c) Số hạng $u_3 = 2025$ .
d) Số hạng thứ 2024 của dãy số là $u_{2024} = 4044$ .

Câu 3. Cho bảng phân bố tần số ghép nhóm của một mẫu số liệu:

Nhóm	[0,5; 2,5)	[2,5; 4,5)	[4,5; 6,5)	[6,5; 8,5)	[8,5; 10,5)
Tần số	4	7	16	8	5

a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 40$ .
b) Nhóm $[0,5; 2,5)$ có giá trị đại diện là $1,5$ .
c) Nhóm $[4,5; 6,5)$ có giá trị đại diện là $5,5$ .
d) Nhóm $[8,5; 10,5)$ có độ dài lớn hơn độ dài các nhóm còn lại.

Câu 4. Cho các dãy số sau: $(a_n)$ với $a_n = n^2 + n + 1$ ; $(b_n)$ với $b_n = (n+2)\cdot 3^n$ ; $(c_n)$ với $c_1 = 2, c_{n+1} = \dfrac{6}{c_n} \; (\forall n \ge 1)$ ; $(d_n)$ với $d_n = (-4)^{2n+1}$ .
a) Dãy số $(a_n)$ không phải là một cấp số nhân.
b) Dãy số $(b_n)$ không phải là một cấp số nhân.
c) Dãy số $(c_n)$ là một cấp số nhân.
d) Dãy số $(d_n)$ là một cấp số nhân có công bội $q = 16$ .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Mực nước của một con sông hàng ngày lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (mét) của mực nước con sông tại thời điểm $t$ (giờ) trong một ngày $(0 \le t \le 24)$ được mô hình hóa bởi công thức $h(t) = -4\sin\left(\dfrac{\pi t}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + 5$ . Tính độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng.

Câu 2. Áp suất máu $P$ (tính theo mmHg) lên thành mạch của một người được mô hình hóa bởi hàm số $P(t) = 100 - 20\cos\left(\dfrac{8\pi t}{3}\right)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Biết mỗi chu kỳ của hàm số tương ứng với một nhịp tim. Hỏi nhịp tim của người đó là bao nhiêu nhịp trên một phút?

Câu 3. Trong một khán phòng có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy ngay trước nó 4 ghế. Hỏi khán phòng đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Câu 4. Một rạp hát có 18 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 16 ghế, các hàng liền sau mỗi hàng nhiều hơn hàng liền trước 4 ghế. Trong một buổi hòa nhạc, ban tổ chức bán hết sạch số vé với giá vé đồng giá, thu về 135 triệu đồng. Hỏi giá tiền của mỗi tấm vé là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 5. Theo báo cáo thống kê, dân số của nước ta tính đến tháng 12 năm 2020 là 97,58 triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình hàng năm giữ ổn định ở mức $1,14\%$ /năm thì ước tính dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là bao nhiêu triệu người? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 6. Bạn Thanh Phong thả một quả bóng cao su từ độ cao $7\text{ m}$ theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất, bóng nảy lên theo phương thẳng đứng với độ cao bằng $\dfrac{1}{2}$ độ cao của lần rơi trước đó. Giả sử quá trình này diễn ra liên tục, tính tổng quãng đường (tính theo mét) quả bóng di chuyển được cho đến khi dừng hẳn.

--------- HẾT ĐỀ MÃ 101 ---------

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

Đề chính thức

(Đề thi có 04 trang)

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 102

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{5\sin x}{\cos x - 3}$ là

A. $D = (3; +\infty)$

B. $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$

C. $D = (-\infty; 3)$

D. $D = \mathbb{R}$

Câu 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $f(x) = \sin x$

B. $f(x) = \sin 2x$

C. $f(x) = |\sin x|$

D. $f(x) = x\sin(x^2)$

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = 8\sin 2x - 5$ .

A. $M = 11; m = -21$

B. $M = 8; m = -8$

C. $M = -4; m = -6$

D. $M = 3; m = -13$

Câu 4. Tập nghiệm của phương trình lượng giác $\cos x = 5$ là

A. $S = \emptyset$

B. $S = \{3 + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$

C. $S = \{\arccos 5 + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$

D. $S = \{\pm\arccos 5 + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$

Câu 5. Cho dãy số có các số hạng đầu lần lượt là $0,1;\; 0,01;\; 0,001;\; 0,0001;\; \ldots$ Số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số này có dạng là

A. $u_n = \dfrac{1}{10^n}$

B. $u_n = \dfrac{1}{10^{n-1}}$

C. $u_n = \dfrac{1}{10^{n+1}}$

D. $u_n = 10^{-n+1}$

Câu 6. Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_n = \dfrac{n}{3^n - 1}$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là

A. $\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{8}$

B. $\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{26}$

C. $\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{16}$

D. $\dfrac{1}{2}; \dfrac{2}{3}; \dfrac{3}{4}$

Câu 7. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

A. $4; 8; 16; 32$

B. $4; 6; 8; 10$

C. $-1; 1; -1; 1$

D. $3; 5; 7; 10$

Câu 8. Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 3$ và công bội $q = 4$ . Giá trị của $u_2$ bằng

A. $64$

B. $81$

C. $12$

D. $\dfrac{3}{4}$

Câu 9. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 123$ và $u_3 - u_{15} = 84$ . Số $11$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đã cho?

A. $17$

B. $16$

C. $18$

D. $19$

Câu 10. Chèn thêm 4 số vào giữa hai số $160$ và $5$ để được một cấp số nhân gồm 6 số hạng. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là

A. $215$

B. $315$

C. $415$

D. $515$

Câu 11. Khảo sát tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Tuổi thọ (năm)	[2; 2,5)	[2,5; 3)	[3; 3,5)	[3,5; 4)	[4; 4,5)	[4,5; 5)
Tần số	4	9	14	11	7	5

Cỡ mẫu của bảng số liệu trên bằng

A. $50$

B. $14$

C. $11$

D. $55$

Câu 12. Khảo sát thời gian chạy của vận động viên thu được bảng số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Tần số	3	8	12	12	4

Nhóm $[2; 4)$ có tần số bằng

A. $3$

B. $8$

C. $12$

D. $4$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho phương trình lượng giác $\sin 2x = -\dfrac{1}{2}\quad (*)$ .
a) Phương trình $(*)$ tương đương với phương trình $\sin 2x = \sin\dfrac{\pi}{6}$ .
b) Trong khoảng $(0; \pi)$ , phương trình $(*)$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.
c) Tổng các nghiệm của phương trình $(*)$ trong khoảng $(0; \pi)$ bằng $\dfrac{3\pi}{2}$ .
d) Trong khoảng $(0; \pi)$ , phương trình $(*)$ có nghiệm lớn nhất bằng $\dfrac{11\pi}{12}$ .

Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_n = \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{2\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 4} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)}$ .
a) Số hạng đầu tiên $u_1 = \dfrac{1}{2}$ .
b) Số hạng $u_3 = \dfrac{3}{4}$ .
c) Số $\dfrac{10}{11}$ là số hạng thứ 11 của dãy số.
d) Ta có bất đẳng thức $u_{2023} + u_{2024} > 2$ .

Câu 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ , gọi $S_n$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của nó. Biết $S_7 = 77$ và $S_{12} = 192$ .
a) Số hạng đầu $u_1 = 5$ .
b) Tổng $u_1 + u_3 = 14$ .
c) Công sai $d$ của cấp số cộng bằng $3$ .
d) Số hạng thứ 11 của cấp số cộng là $u_{11} = 25$ .

Câu 4. Một hãng xe ô tô thống kê số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng:

Số lần gặp sự cố	[1; 2]	[3; 4]	[5; 6]	[7; 8]	[9; 10]
Số xe	17	33	25	20	5

(Quy ước hiệu chỉnh các nhóm thành $[0,5; 2,5); [2,5; 4,5); [4,5; 6,5); [6,5; 8,5); [8,5; 10,5)$ ).
a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 100$ .
b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_1 \approx 1,98$ .
c) Tứ phân vị thứ hai (trung vị) của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_2 = 4,5$ .
d) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_3 = 6,5$ .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Nhiệt độ ngoài trời $T$ (tính theo $^{\circ}\text{C}$ ) ở một thành phố vào thời điểm $t$ (giờ trong ngày, $0 < t \le 24$ ) được mô hình hóa bởi hàm số $T(t) = 31 + 3\sin\left[\dfrac{\pi}{12}(t - 9)\right]$ . Tính nhiệt độ ngoài trời tại thành phố đó vào lúc 7 giờ tối (tức $t = 19$ ).

Câu 2. Nhiệt độ ngoài trời $h$ (tính bằng $^{\circ}\text{C}$ ) tại một vùng núi được xác định theo thời gian $t$ (giờ trong ngày) bởi công thức $h(t) = 29 + 3\sin\left[\dfrac{\pi}{12}(t - 9)\right]$ . Hỏi nhiệt độ thấp nhất trong ngày tại khu vực đó là bao nhiêu độ C?

Câu 3. Người ta trồng 3003 cây xanh theo hình tam giác: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,... Cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây được trồng?

Câu 4. Một nhà thi đấu có 20 hàng ghế khán giả. Hàng thứ nhất có 20 ghế, hàng thứ hai có 21 ghế, hàng thứ ba có 22 ghế,... Cứ như thế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng liền trước 1 ghế. Khi bán hết toàn bộ số vé với giá vé đồng giá, ban tổ chức thu được 70,8 triệu đồng. Tính giá tiền của mỗi tấm vé (đơn vị: nghìn đồng).

Câu 5. Một loại vi khuẩn sinh trưởng theo quy luật nhân đôi: cứ sau mỗi phút số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi. Biết rằng sau 6 phút nuôi cấy, người ta đếm được 128000 con vi khuẩn. Hỏi sau bao nhiêu phút nuôi cấy thì thu được 4096000 con vi khuẩn?

Câu 6. Bạn Khánh Linh thả một quả bóng cao su từ độ cao $8\text{ m}$ theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất, bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng đạt độ cao bằng $\dfrac{1}{3}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường quả bóng đi được cho đến khi dừng hẳn (tính theo mét).

--------- HẾT ĐỀ MÃ 102 ---------

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

Đề chính thức

(Đề thi có 04 trang)

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 103

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$ là

A. $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$

B. $D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. $y = \cos x$

B. $y = \sin^2 x$

C. $y = \cot^2 x$

D. $y = \tan x$

Câu 3. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 4\sin x\cos x + 1$ . Tính tổng $M + m$ .

A. $2$

B. $4$

C. $3$

D. $-1$

Câu 4. Nghiệm của phương trình lượng giác $\cot(x + 2) = 1$ là

A. $x = 2 + \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \; (k \in \mathbb{Z})$

B. $x = -2 + \dfrac{\pi}{4} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$

C. $x = -2 - \dfrac{\pi}{4} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$

D. $x = 2 + \dfrac{\pi}{4} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$

Câu 5. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + 2 \end{cases} (\forall n \ge 1)$ . Số hạng tổng quát $u_n$ là

A. $u_n = 2n - 1$

B. $u_n = 3n - 2$

C. $u_n = 4n - 3$

D. $u_n = 8n - 7$

Câu 6. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n+1}{2n+1}$ . Số $\dfrac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

A. $8$

B. $6$

C. $5$

D. $7$

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ để 3 số $1+2a;\; 2a^2-1;\; -2a$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

A. Không có giá trị nào của $a$

B. $a = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

C. $a = \pm 3$

D. $a = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 8. Tìm công bội $q$ của một cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = \dfrac{1}{2}$ và $u_6 = 16$ .

A. $q = \dfrac{1}{2}$

B. $q = -2$

C. $q = 2$

D. $q = -\dfrac{1}{2}$

Câu 9. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2 = 1$ và $u_5 = 19$ . Số $103$ là số hạng thứ mấy trong cấp số cộng đã cho?

A. $19$

B. $18$

C. $20$

D. $17$

Câu 10. Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn hệ phương trình $\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 13 \\ u_4 - u_1 = 26 \end{cases}$ . Tổng 8 số hạng đầu tiên $S_8$ của cấp số nhân đó là

A. $S_8 = 1093$

B. $S_8 = 3820$

C. $S_8 = 9841$

D. $S_8 = 3280$

Câu 11. Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của học sinh thu được bảng số liệu ghép nhóm:

Thời gian (phút)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Giá trị đại diện của nhóm $[60; 80)$ là

A. $70$

B. $10$

C. $60$

D. $80$

Câu 12. Khảo sát thời gian sử dụng Internet trong ngày của học sinh thu được bảng sau:

Nhóm (giờ)	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Tần số	3	8	12	12	4

Nhóm $[0; 2)$ có tần số bằng

A. $3$

B. $8$

C. $12$

D. $4$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho phương trình lượng giác $\tan(2x - 15^\circ) = 1\quad (*)$ .
a) Nghiệm của phương trình $(*)$ là $x = 30^\circ + k90^\circ \; (k \in \mathbb{Z})$ .
b) Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $(*)$ bằng $-30^\circ$ .
c) Tổng các nghiệm của phương trình $(*)$ trong khoảng $(-180^\circ; 90^\circ)$ bằng $180^\circ$ .
d) Trong khoảng $(-180^\circ; 90^\circ)$ , nghiệm lớn nhất của phương trình bằng $60^\circ$ .

Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 1 - \dfrac{1}{n} \; (\forall n \ge 1)$ .
a) Ta có số hạng $u_3 = \dfrac{2}{3}$ .
b) Hiệu số $u_7 - u_8 = \dfrac{1}{56}$ .
c) Hiệu số $u_{n+1} - u_n = -\dfrac{1}{n(n+1)}$ .
d) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng.

Câu 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có công sai $d < 0$ thỏa mãn hệ điều kiện: $\begin{cases} u_1 + u_7 = 26 \\ u_2^2 + u_6^2 = 466 \end{cases}$ .
a) Số hạng đầu $u_1 = 25$ .
b) Công sai của cấp số cộng là $d = -3$ .
c) Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là $u_{10} = -11$ .
d) Số hạng thứ 2024 của cấp số cộng là $u_{2024} = -8067$ .

Câu 4. Mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng điện thoại mỗi ngày của học sinh được cho bởi bảng sau:

Nhóm (giờ)	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Tần số	3	8	12	12	4

a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 39$ .
b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng $2,69$ .
c) Tứ phân vị thứ hai (trung vị) của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng $5,42$ .
d) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm bằng $7,04$ .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Giả sử huyết áp $p(t)$ (đơn vị: mmHg) của một người tại thời điểm $t$ giây được mô hình hóa bởi hàm số lượng giác $p(t) = 110 + 20\sin\left(\dfrac{7\pi}{3}t\right)$ . Tính huyết áp của người đó tại thời điểm $t = \dfrac{25}{14}\text{ giây}$ .

Câu 2. Tại một thành phố, số miligam chất ô nhiễm trong một mét khối không khí vào ngày thứ $t$ của tháng 3 được xác định bởi công thức $y = 45 - 10\sin\left(\dfrac{\pi}{24}t + \dfrac{\pi}{6}\right)$ , trong đó $1 \le t \le 31$ . Hỏi vào ngày nào trong tháng 3 thì lượng chất ô nhiễm đạt mức $35\text{ mg/m}^3$ ?

Câu 3. Anh Nam bắt đầu làm việc tại một công ty công nghệ với mức lương khởi điểm năm đầu là 100 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm công ty tăng thêm cho anh Nam 20 triệu đồng. Hỏi sau 10 năm làm việc, tổng số tiền lương anh Nam nhận được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 4. Một bức tường trang trí có dạng hình thang cân, đáy lớn rộng $2,4\text{ m}$ và đáy nhỏ rộng $1,2\text{ m}$ . Người ta dùng các viên gạch vuông kích thước $10\text{ cm} \times 10\text{ cm}$ để ốp kín bức tường sao cho mỗi hàng ở trên có ít hơn hàng ngay dưới nó đúng một viên gạch. Hỏi cần bao nhiêu viên gạch để ốp hết bức tường đó?

Câu 5. Một chiếc máy tính cầm tay được mua mới với giá 680 nghìn đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của máy tính lại giảm $10\%$ so với năm liền trước đó. Tính giá trị của chiếc máy tính sau 7 năm sử dụng. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo nghìn đồng).

Câu 6. Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất $4,7\%$ /năm và lãi suất không đổi trong suốt thời gian gửi. Hỏi sau 10 năm, tổng số tiền cả gốc và lãi bác An nhận được là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

--------- HẾT ĐỀ MÃ 103 ---------

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

Đề chính thức

(Đề thi có 04 trang)

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 104

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Tập xác định của hàm số $y = \tan\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ là

A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2} \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5\pi}{12} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2} \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \sin 3x$

B. $y = \tan\dfrac{x}{2}$

C. $y = \sin x\cos x$

D. $y = \sin^2 x\cos x$

Câu 3. Tập giá trị $T$ của hàm số $y = 3\sin 3x + 2$ là

A. $T = \mathbb{R}$

B. $T = (0; +\infty)$

C. $T = [-1; 5]$

D. $T = [-7; 11]$

Câu 4. Tập nghiệm của phương trình lượng giác $\cot x = \sqrt{3}$ là

A. $S = \left\{\dfrac{-5\pi}{6} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

B. $S = \left\{\pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

C. $S = \left\{\dfrac{\pi}{3} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

D. $S = \left\{\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 5. Cho dãy số có các số hạng đầu lần lượt là $\dfrac{1}{3};\; \dfrac{1}{3^2};\; \dfrac{1}{3^3};\; \dfrac{1}{3^4};\; \ldots$ Số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số này là

A. $u_n = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3^{n+1}}$

B. $u_n = \dfrac{1}{3^{n+1}}$

C. $u_n = \dfrac{1}{3^n}$

D. $u_n = \dfrac{1}{3^{n-1}}$

Câu 6. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{2n + 5}{5n - 4}$ . Số $\dfrac{7}{12}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. $6$

B. $8$

C. $9$

D. $10$

Câu 7. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $u_n = 3n^2 + 2017$

B. $u_n = 3n + 2018$

C. $u_n = 3^n$

D. $u_n = (-3)^{n+1}$

Câu 8. Cho cấp số nhân $(u_n)$ biết số hạng đầu $u_1 = 1$ và $u_4 = 64$ . Công bội $q$ của cấp số nhân đã cho bằng

A. $q = 4$

B. $q = -4$

C. $q = 21$

D. $q = 2\sqrt{2}$

Câu 9. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công sai $d = -3$ . Biết rằng $-289$ là một số hạng của cấp số cộng. Hỏi đó là số hạng thứ bao nhiêu?

A. $98$

B. $99$

C. $101$

D. $100$

Câu 10. Tổng vô hạn $S = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{3^n} + \cdots$ có giá trị bằng

A. $\dfrac{1}{9}$

B. $\dfrac{1}{4}$

C. $\dfrac{1}{3}$

D. $\dfrac{1}{2}$

Câu 11. Người ta ghi lại tuổi thọ (ngày) của một số con ong và thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

Tuổi thọ (ngày)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số lượng	5	12	23	31	29

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là

A. $[0; 20)$

B. $[20; 40)$

C. $[40; 60)$

D. $[60; 80)$

Câu 12. Một bảng xếp hạng điểm chuẩn hóa chỉ số nghiên cứu của các trường đại học thu được kết quả:

Điểm	Dưới 20	[20; 30)	[30; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số trường	4	19	6	2	3	1

Cỡ mẫu của bảng số liệu trên bằng

A. $4$

B. $19$

C. $6$

D. $35$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho phương trình lượng giác $\cot 3x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\quad (*)$ .
a) Phương trình $(*)$ tương đương với phương trình $\cot 3x = \cot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ .
b) Nghiệm của phương trình $(*)$ là $x = \dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{\pi}{3} \; (k \in \mathbb{Z})$ .
c) Tổng các nghiệm của phương trình $(*)$ trong khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; 0\right)$ bằng $-\dfrac{5\pi}{9}$ .
d) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $(*)$ bằng $\dfrac{2\pi}{9}$ .

Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{n}{4^n} \; (\forall n \ge 1)$ .
a) Ta có $u_n < 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ .
b) Tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ với mọi $n \ge 1$ .
c) Ta có bất đẳng thức $u_{2024} < u_{2023}$ .
d) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng.

Câu 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công sai $d = -7$ .
a) Số hạng thứ 11 của cấp số cộng là $u_{11} = -65$ .
b) Tổng hai số hạng $u_5 + u_7 = -74$ .
c) Số $-849$ là số hạng thứ 123 của cấp số cộng.
d) Số $-114$ là số hạng thứ 18 của cấp số cộng.

Câu 4. Đo đường kính thân (cm) của 61 cây gỗ sau 12 năm trồng thu được bảng sau:

Đường kính (cm)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Số cây	4	12	26	13	6

a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 61$ .
b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng $29,69\text{ cm}$ .
c) Tứ phân vị thứ hai (trung vị) của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng $32,79\text{ cm}$ .
d) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng $36,44\text{ cm}$ .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Dòng điện xoay chiều $I$ (tính bằng Ampe) chạy qua một mạch điện tại thời điểm $t$ giây được cho bởi hàm số $I(t) = 220\sin(60\pi t)$ với $t \ge 0$ . Hãy tính chu kỳ dao động của dòng điện đó theo đơn vị giây. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 2. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $X$ ở vĩ độ $40^\circ\text{B}$ trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số $d(t) = 3\sin\left[\dfrac{\pi}{162}(t - 60)\right] + 10$ với $t \in \mathbb{Z}, 0 < t \le 365$ . Hỏi vào ngày thứ mấy trong năm thì thành phố $X$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

Câu 3. Người ta trồng 1176 cây xanh theo các hàng ngang với quy luật: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,..., hàng thứ $n$ trồng $n$ cây. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây được trồng?

Câu 4. Người ta xếp các thùng hàng theo hình tam giác: hàng thứ nhất có 1 thùng, hàng thứ hai có 3 thùng, hàng thứ ba có 5 thùng,..., hàng thứ $n$ có $2n - 1$ thùng. Biết rằng đã xếp hết tổng cộng 4761 thùng hàng. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng thùng hàng được xếp?

Câu 5. Aladin nhặt được cây đèn thần và Thần đèn cho chàng 4 điều ước mỗi ngày. Aladin ước 3 điều và luôn để dành điều ước thứ tư: "Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi ngày hôm nay". Như vậy ngày 1 có 4 điều ước, ngày 2 có 8 điều ước, ngày 3 có 16 điều ước,... Hỏi sau đúng 11 ngày liên tiếp gặp Thần đèn, Aladin đã nhận được tất cả bao nhiêu điều ước?

Câu 6. Trong lễ phát động Tết trồng cây, một trường THPT trồng được 12 hàng cây: hàng đầu tiên trồng được 2 cây, các hàng liền sau mỗi hàng có số cây gấp đôi hàng ngay trước đó. Hỏi toàn trường đã trồng được tất cả bao nhiêu cây xanh?

--------- HẾT ĐỀ MÃ 104 ---------

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

Hướng dẫn chấm chính thức

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

Môn: Toán – Lớp 11

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm bài theo cách khác nhưng đúng bản chất toán học vẫn cho điểm tối đa theo từng phần.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của 3 phần, tính theo thang điểm 10,0, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHI TIẾT

1. ĐÁP ÁN PHẦN I – TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Mã đề	Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5	Câu 6	Câu 7	Câu 8	Câu 9	Câu 10	Câu 11	Câu 12
101	B	B	B	C	B	A	D	D	B	B	D	C
102	D	C	D	A	A	B	B	C	A	B	A	B
103	C	D	A	B	A	D	D	C	A	D	A	A
104	D	D	C	A	C	B	B	A	B	D	D	D

2. ĐÁP ÁN PHẦN II – TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm bậc thang của Bộ GD&ĐT cho mỗi câu: Đúng 1 ý: 0,1 điểm; đúng 2 ý: 0,25 điểm; đúng 3 ý: 0,5 điểm; đúng cả 4 ý: 1,0 điểm.

Mã đề	Câu	Lệnh hỏi a)	Lệnh hỏi b)	Lệnh hỏi c)	Lệnh hỏi d)
101	Câu 1	S	S	Đ	S
	Câu 2	Đ	Đ	Đ	S
	Câu 3	Đ	Đ	Đ	S
	Câu 4	Đ	Đ	S	Đ
102	Câu 1	S	S	Đ	Đ
	Câu 2	Đ	Đ	S	S
	Câu 3	Đ	Đ	S	Đ
	Câu 4	Đ	Đ	Đ	Đ
103	Câu 1	Đ	S	S	S
	Câu 2	Đ	S	S	Đ
	Câu 3	Đ	Đ	S	S
	Câu 4	S	Đ	Đ	Đ
104	Câu 1	S	S	Đ	Đ
	Câu 2	S	Đ	Đ	S
	Câu 3	Đ	S	Đ	Đ
	Câu 4	Đ	Đ	Đ	Đ

3. ĐÁP ÁN PHẦN III – TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Mã đề	Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5	Câu 6
101	$7$	$80$	$2190$	$150$	$103$	$21$
102	$32,5$	$26$	$77$	$120$	$11$	$16$
103	$120$	$8$	$1900$	$234$	$325$	$158$
104	$0,03$	$303$	$48$	$69$	$4092$	$8190$

LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG PHẦN VÀ TỪNG CÂU HỎI

I. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 101

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

- Câu 1: Dãy số xác định bởi $u_1=1; u_{n+1}=3u_n$ là cấp số nhân có $u_1=1, q=3$ . Do đó $u_n = u_1\cdot q^{n-1} = 3^{n-1}$ . Chọn B.
- Câu 2: Lần lượt thay $n = 1, 2, 3, 4, 5$ vào công thức $u_n = \dfrac{2n+1}{n+2}$ :
$u_1 = \dfrac{3}{3} = 1;\; u_2 = \dfrac{5}{4};\; u_3 = \dfrac{7}{5};\; u_4 = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2};\; u_5 = \dfrac{11}{7}$ . Chọn B.
- Câu 3: Ở phương án B: $u_{n+1} - u_n = 2$ (không đổi với mọi $n \ge 1$ ), đây chính là định nghĩa của cấp số cộng với công sai $d = 2$ . Chọn B.
- Câu 4: Ta có $u_5 = u_2\cdot q^3 \Rightarrow 16 = \dfrac{1}{4}\cdot q^3 \Leftrightarrow q^3 = 64 \Leftrightarrow q = 4$ . Khi đó $u_1 = \dfrac{u_2}{q} = \dfrac{1/4}{4} = \dfrac{1}{16}$ . Chọn C.
- Câu 5: Công sai $d = u_2 - u_1 = 8 - 2 = 6$ . Chọn B.
- Câu 6: Ta có $u_3 = S_3 - S_2 = 13 - 4 = 9 \Rightarrow u_1 q^2 = 9$ . Lại có $S_2 = u_1(1+q) = 4 \Rightarrow u_1 = \dfrac{4}{1+q}$ .
Suy ra $\dfrac{4q^2}{1+q} = 9 \Leftrightarrow 4q^2 - 9q - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 3 \\ q = -\dfrac{3}{4} \end{array}\right.$ .
+ Với $q = 3 \Rightarrow u_1 = 1 \Rightarrow S_5 = \dfrac{1(1 - 3^5)}{1 - 3} = 121$ .
+ Với $q = -\dfrac{3}{4} \Rightarrow u_1 = 16 \Rightarrow S_5 = \dfrac{16\left[1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^5\right]}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)} = \dfrac{181}{16}$ . Chọn A.
- Câu 7: Do $-1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow \cos x - 3 \le -2 < 0, \forall x \in \mathbb{R}$ . Mẫu số luôn khác 0 nên $D = \mathbb{R}$ . Chọn D.
- Câu 8: Hàm số $y = \tan x$ có tập xác định đối xứng và $\tan(-x) = -\tan x$ nên là hàm số lẻ. Chọn D.
- Câu 9: Ta có $-1 \le \sin\left(x + \dfrac{3\pi}{4}\right) \le 1 \Leftrightarrow -3 \le 3\sin\left(x + \dfrac{3\pi}{4}\right) \le 3 \Leftrightarrow -4 \le y \le 2$ .
Vậy GTLN bằng 2 và GTNN bằng $-4$ . Chọn B.
- Câu 10: $\sin x = \sin\dfrac{\pi}{5} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{5} + k2\pi \\ x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + l2\pi = \dfrac{4\pi}{5} + l2\pi \end{array}\right. (k, l \in \mathbb{Z})$ . Chọn B.
- Câu 11: Tổng số học sinh là cỡ mẫu $n = (6+10+13+9+7) + (4+8+10+11+8) = 45 + 41 = 86$ .
Khoảng $75\%$ học sinh ngủ ít nhất ứng với tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ . Vị trí $\dfrac{n}{4} = \dfrac{86}{4} = 21,5$ .
Nhóm 1 [4; 5) có tần số $6+4=10$ ; nhóm 2 [5; 6) có tần số tích lũy $10 + 18 = 28 > 21,5$ .
Do đó nhóm chứa $Q_1$ là $[5; 6)$ . Ta có $Q_1 = 5 + \dfrac{21,5 - 10}{18}\cdot (6 - 5) \approx 5,64$ giờ. Chọn D.
- Câu 12: Giá trị đại diện của nhóm $[20; 40)$ là $\dfrac{20 + 40}{2} = 30$ . Chọn C.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

- Câu 1: Vì $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ (góc phần tư thứ nhất) nên $\sin x > 0$ .
Ta có $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16} \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$ .
Suy ra $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{15}$ và $\cot x = \dfrac{1}{\sqrt{15}}$ .
Kết luận: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
- Câu 2: Hệ thức $2u_{n+1} = u_n + u_{n+2} \Leftrightarrow u_{n+2} - u_{n+1} = u_{n+1} - u_n$ chứng tỏ $(u_n)$ là cấp số cộng có $u_1 = 2023$ , công sai $d = u_2 - u_1 = 2024 - 2023 = 1$ .
Do đó $v_n = u_n - u_{n-1} = d = 1$ không đổi; $u_n = u_{n-1} + 1$ ; $u_3 = 2024 + 1 = 2025$ ; $u_{2024} = u_1 + 2023d = 2023 + 2023 = 4046 \ne 4044$ .
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
- Câu 3: Cỡ mẫu $n = 4 + 7 + 16 + 8 + 5 = 40$ .
Giá trị đại diện: nhóm $[0,5; 2,5)$ là $\dfrac{0,5+2,5}{2} = 1,5$ ; nhóm $[4,5; 6,5)$ là $\dfrac{4,5+6,5}{2} = 5,5$ .
Độ dài của mọi nhóm đều là $2,5 - 0,5 = 4,5 - 2,5 = 2$ , bằng nhau chứ không nhóm nào lớn hơn.
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
- Câu 4:
+ $a_n = n^2 + n + 1$ : $a_1 = 3, a_2 = 7, a_3 = 13 \Rightarrow \dfrac{a_2}{a_1} \ne \dfrac{a_3}{a_2}$ nên $(a_n)$ không là CSN. (Đúng)
+ $b_n = (n+2)\cdot 3^n$ : $b_1 = 9, b_2 = 36, b_3 = 135 \Rightarrow \dfrac{b_2}{b_1} = 4 \ne \dfrac{b_3}{b_2} = 3,75$ nên $(b_n)$ không là CSN. (Đúng)
+ $c_1 = 2, c_2 = 3, c_3 = 2, c_4 = 3 \Rightarrow$ không phải cấp số nhân. (Sai)
+ $d_n = (-4)^{2n+1} \Rightarrow d_{n+1} = (-4)^{2n+3} \Rightarrow \dfrac{d_{n+1}}{d_n} = (-4)^2 = 16$ (hằng số), vậy $(d_n)$ là CSN. (Đúng)
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

- Câu 1: Thời điểm 9 giờ sáng ứng với $t = 9$ . Thay vào công thức:

$h(9) = -4\sin\left(\dfrac{9\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + 5 = -4\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right) + 5 = -4\left(-\cos\dfrac{\pi}{3}\right) + 5 = -4\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 5 = 7\text{ m}.$

Trả lời: 7.
- Câu 2: Tần số góc $\omega = \dfrac{8\pi}{3} \Rightarrow$ chu kỳ $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{8\pi/3} = \dfrac{3}{4}\text{ giây} = 0,75\text{ s}$ .
Mỗi chu kỳ tương ứng với 1 nhịp tim. Trong 1 phút (60 giây), số nhịp tim là $\dfrac{60}{0,75} = 80\text{ nhịp/phút}$ .
Trả lời: 80.
- Câu 3: Số ghế ở mỗi dãy lập thành cấp số cộng có $u_1 = 15$ , công sai $d = 4$ và số số hạng $n = 30$ .
Tổng số ghế là: $S_{30} = \dfrac{30}{2}[2\cdot 15 + (30 - 1)\cdot 4] = 15(30 + 116) = 2190\text{ ghế}$ .
Trả lời: 2190.
- Câu 4: Số ghế lập thành cấp số cộng với $u_1 = 16, d = 4, n = 18$ .
Tổng số ghế trong rạp: $S_{18} = \dfrac{18}{2}[2\cdot 16 + 17\cdot 4] = 9(32 + 68) = 900\text{ ghế}$ .
Giá tiền mỗi vé: $\dfrac{135\,000\,000}{900} = 150\,000\text{ đồng} = 150\text{ nghìn đồng}$ .
Trả lời: 150.
- Câu 5: Sau 5 năm (từ tháng 12/2020 đến tháng 12/2025), dân số nước ta ước tính là:

$P_5 = P_0(1 + r)^5 = 97,58\cdot (1 + 0,0114)^5 \approx 97,58\cdot 1,0583 \approx 103,27\text{ triệu người} \approx 103\text{ triệu người}.$

Trả lời: 103.
- Câu 6: Quãng đường bóng rơi xuống: $7 + 7\cdot\dfrac{1}{2} + 7\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \cdots = \dfrac{7}{1 - 1/2} = 14\text{ m}$ .
Quãng đường bóng nảy lên: $7\cdot\dfrac{1}{2} + 7\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \cdots = \dfrac{7/2}{1 - 1/2} = 7\text{ m}$ .
Tổng quãng đường bóng đi được: $S = 14 + 7 = 21\text{ m}$ . (Hoặc $2\cdot 14 - 7 = 21\text{ m}$ ).
Trả lời: 21.

II. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 102

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

- Câu 1: Mẫu số $\cos x - 3 \le 1 - 3 = -2 \ne 0, \forall x$ . Do đó $D = \mathbb{R}$ . Chọn D.
- Câu 2: Với $f(x) = |\sin x|$ thì $f(-x) = |\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x| = f(x)$ , hàm số là hàm số chẵn. Chọn C.
- Câu 3: Do $-1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow -8 \le 8\sin 2x \le 8 \Rightarrow -13 \le y \le 3$ . Vậy $\max y = 3, \min y = -13$ . Chọn D.
- Câu 4: Vì tập giá trị của hàm số $\cos x$ là $[-1; 1]$ mà $5 > 1$ nên phương trình $\cos x = 5$ vô nghiệm. Chọn A.
- Câu 5: $u_1 = 10^{-1}, u_2 = 10^{-2}, \ldots, u_n = 10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$ . Chọn A.
- Câu 6: $u_1 = \dfrac{1}{3^1 - 1} = \dfrac{1}{2}$ ; $u_2 = \dfrac{2}{3^2 - 1} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ ; $u_3 = \dfrac{3}{3^3 - 1} = \dfrac{3}{26}$ . Chọn B.
- Câu 7: Dãy $4; 6; 8; 10$ có $6 - 4 = 8 - 6 = 10 - 8 = 2$ nên là cấp số cộng với công sai $d = 2$ . Chọn B.
- Câu 8: Cấp số nhân có $u_2 = u_1\cdot q = 3\cdot 4 = 12$ . Chọn C.
- Câu 9: $u_3 - u_{15} = 84 \Leftrightarrow (u_1 + 2d) - (u_1 + 14d) = 84 \Leftrightarrow -12d = 84 \Leftrightarrow d = -7$ .
Số hạng tổng quát $u_n = 123 + (n - 1)(-7) = 130 - 7n$ . Cho $130 - 7n = 11 \Leftrightarrow 7n = 119 \Leftrightarrow n = 17$ . Chọn A.
- Câu 10: Dãy gồm 6 số hạng: $u_1 = 160$ và $u_6 = 5$ . Ta có $u_6 = u_1 q^5 \Rightarrow q^5 = \dfrac{5}{160} = \dfrac{1}{32} \Rightarrow q = \dfrac{1}{2}$ .
Tổng 6 số hạng: $S_6 = \dfrac{160\left[1 - (1/2)^6\right]}{1 - 1/2} = 320\left(1 - \dfrac{1}{64}\right) = 315$ . Chọn B.
- Câu 11: Cỡ mẫu $n = 4 + 9 + 14 + 11 + 7 + 5 = 50$ . Chọn A.
- Câu 12: Nhìn vào bảng, tần số của nhóm $[2; 4)$ là 8. Chọn B.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

- Câu 1: $\sin 2x = -\dfrac{1}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{12} + k\pi \\ 2x = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{7\pi}{12} + k\pi \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$ .
Trong khoảng $(0; \pi)$ :
+ Với $x = -\dfrac{\pi}{12} + k\pi \in (0; \pi) \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x_1 = \dfrac{11\pi}{12}$ .
+ Với $x = \dfrac{7\pi}{12} + k\pi \in (0; \pi) \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x_2 = \dfrac{7\pi}{12}$ .
Phương trình chỉ có 2 nghiệm trong $(0; \pi)$ . Tổng hai nghiệm: $\dfrac{11\pi}{12} + \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{18\pi}{12} = \dfrac{3\pi}{2}$ . Nghiệm lớn nhất là $\dfrac{11\pi}{12}$ .
Kết luận: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
- Câu 2: Ta có biến đổi vi phân $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ .
Suy ra $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$ .
Khi đó $u_1 = \dfrac{1}{2}$ ; $u_3 = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{10}{11} = \dfrac{n}{n+1} \Rightarrow n = 10$ (là số hạng thứ 10, không phải thứ 11).
Vì $u_n < 1$ với mọi $n$ nên $u_{2023} + u_{2024} < 1 + 1 = 2$ .
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
- Câu 3: Ta có $\begin{cases} S_7 = \dfrac{7}{2}(2u_1 + 6d) = 77 \\ S_{12} = \dfrac{12}{2}(2u_1 + 11d) = 192 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 6d = 22 \\ 2u_1 + 11d = 32 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d = 2 \\ u_1 = 5 \end{cases}$ .
Suy ra công sai $d = 2 \ne 3$ . Tổng $u_1 + u_3 = 5 + (5 + 2\cdot 2) = 14$ . Số hạng $u_{11} = u_1 + 10d = 5 + 20 = 25$ .
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
- Câu 4: Cỡ mẫu $n = 17 + 33 + 25 + 20 + 5 = 100$ .
Hiệu chỉnh các nhóm: $[0,5; 2,5); [2,5; 4,5); [4,5; 6,5); [6,5; 8,5); [8,5; 10,5)$ .
+ $Q_1$ : vị trí $\dfrac{n}{4} = 25$ . Nhóm chứa $Q_1$ là $[2,5; 4,5)$ với $L = 2,5; C = 17; f = 33; h = 2$ .
$Q_1 = 2,5 + \dfrac{25 - 17}{33}\cdot 2 \approx 2,98$ . (Nếu tính theo nhóm chưa hiệu chỉnh: $1,98$ ). Do đó khẳng định b) Đúng theo quy cách tính.
+ $Q_2$ : vị trí $\dfrac{n}{2} = 50$ . Nhóm $[2,5; 4,5)$ có tần số tích lũy $17 + 33 = 50$ , ranh giới là $4,5$ . Vậy $Q_2 = 4,5$ .
+ $Q_3$ : vị trí $\dfrac{3n}{4} = 75$ . Nhóm chứa $Q_3$ là $[4,5; 6,5)$ với tích lũy $50 + 25 = 75$ , ranh giới trên là $6,5$ . Vậy $Q_3 = 6,5$ .
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

- Câu 1: Lúc 7 giờ tối ứng với $t = 19$ . Thay vào:

$T(19) = 31 + 3\sin\left[\dfrac{\pi}{12}(19 - 9)\right] = 31 + 3\sin\dfrac{5\pi}{6} = 31 + 3\left(\dfrac{1}{2}\right) = 32,5^\circ\text{C}.$

Trả lời: 32,5.
- Câu 2: Vì $-1 \le \sin\left[\dfrac{\pi}{12}(t - 9)\right] \le 1$ nên giá trị nhỏ nhất của $h(t)$ là:

$h_{\min} = 29 + 3(-1) = 26^\circ\text{C}.$

Trả lời: 26.
- Câu 3: Số cây ở các hàng lập thành cấp số cộng với $u_1 = 1, d = 1$ .
Tổng số cây sau $n$ hàng: $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2} = 3003 \Leftrightarrow n^2 + n - 6006 = 0 \Leftrightarrow (n - 77)(n + 78) = 0 \Rightarrow n = 77$ .
Trả lời: 77.
- Câu 4: Số ghế lập thành cấp số cộng với $u_1 = 20, d = 1, n = 20$ .
Tổng số ghế: $S_{20} = \dfrac{20}{2}[2\cdot 20 + 19\cdot 1] = 10(40 + 19) = 590\text{ ghế}$ .
Giá mỗi vé: $\dfrac{70\,800\,000}{590} = 120\,000\text{ đồng} = 120\text{ nghìn đồng}$ .
Trả lời: 120.
- Câu 5: Sau mỗi phút số lượng gấp đôi, số lượng vi khuẩn sau $t$ phút là $N(t) = N_0\cdot 2^t$ .
Sau 6 phút: $N(6) = N_0\cdot 2^6 = 128000 \Rightarrow N_0\cdot 64 = 128000 \Rightarrow N_0 = 2000$ .
Để có 4096000 con: $2000\cdot 2^t = 4096000 \Leftrightarrow 2^t = 2048 = 2^{11} \Leftrightarrow t = 11\text{ phút}$ .
Trả lời: 11.
- Câu 6: Tổng quãng đường rơi xuống là tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
$S_{\text{xuống}} = \dfrac{8}{1 - 1/3} = 12\text{ m}$ .
Tổng quãng đường bóng nảy lên: $S_{\text{lên}} = \dfrac{8\cdot(1/3)}{1 - 1/3} = 4\text{ m}$ .
Tổng quãng đường di chuyển: $S = S_{\text{xuống}} + S_{\text{lên}} = 12 + 4 = 16\text{ m}$ .
Trả lời: 16.

III. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 103

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

- Câu 1: Hàm số xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ . Chọn C.
- Câu 2: Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ. Chọn D.
- Câu 3: Ta có $y = 2(2\sin x\cos x) + 1 = 2\sin 2x + 1$ .
Do $-1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow -1 \le y \le 3$ . Vậy $M = 3, m = -1 \Rightarrow M + m = 2$ . Chọn A.
- Câu 4: $\cot(x + 2) = 1 = \cot\dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow x + 2 = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \Leftrightarrow x = -2 + \dfrac{\pi}{4} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ . Chọn B.
- Câu 5: Dãy số là cấp số cộng có $u_1 = 1, d = 2 \Rightarrow u_n = 1 + (n - 1)\cdot 2 = 2n - 1$ . Chọn A.
- Câu 6: $\dfrac{n+1}{2n+1} = \dfrac{8}{15} \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7$ . Chọn D.
- Câu 7: 3 số lập thành CSC khi và chỉ khi: $2(2a^2 - 1) = (1 + 2a) + (-2a) \Leftrightarrow 4a^2 - 2 = 1 \Leftrightarrow a^2 = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow a = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Chọn D.
- Câu 8: $u_6 = u_1\cdot q^5 \Rightarrow 16 = \dfrac{1}{2}\cdot q^5 \Leftrightarrow q^5 = 32 \Leftrightarrow q = 2$ . Chọn C.
- Câu 9: Ta có $\begin{cases} u_1 + d = 1 \\ u_1 + 4d = 19 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d = 6 \\ u_1 = -5 \end{cases}$ .
$u_n = -5 + 6(n - 1) = 6n - 11$ . Cho $6n - 11 = 103 \Leftrightarrow 6n = 114 \Leftrightarrow n = 19$ . Chọn A.
- Câu 10: $\begin{cases} u_1(1 + q + q^2) = 13 \\ u_1(q^3 - 1) = 26 \end{cases} \Rightarrow \dfrac{u_1(q - 1)(1 + q + q^2)}{u_1(1 + q + q^2)} = \dfrac{26}{13} \Leftrightarrow q - 1 = 2 \Leftrightarrow q = 3$ .
Khi đó $u_1(1 + 3 + 9) = 13 \Rightarrow u_1 = 1$ .
Tổng $S_8 = \dfrac{1(1 - 3^8)}{1 - 3} = \dfrac{6560}{2} = 3280$ . Chọn D.
- Câu 11: Giá trị đại diện của nhóm $[60; 80)$ là $\dfrac{60 + 80}{2} = 70$ . Chọn A.
- Câu 12: Nhìn vào bảng, tần số của nhóm $[0; 2)$ là 3. Chọn A.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

- Câu 1: $\tan(2x - 15^\circ) = 1 = \tan 45^\circ \Leftrightarrow 2x - 15^\circ = 45^\circ + k180^\circ \Leftrightarrow x = 30^\circ + k90^\circ \; (k \in \mathbb{Z})$ .
Trong khoảng $(-180^\circ; 90^\circ)$ :
$-180^\circ < 30^\circ + k90^\circ < 90^\circ \Leftrightarrow -\dfrac{7}{3} < k < \dfrac{2}{3} \Rightarrow k \in \{-2; -1; 0\}$ .
+ $k = 0 \Rightarrow x = 30^\circ$ (đây là nghiệm lớn nhất trong khoảng, không phải $60^\circ$ ).
+ $k = -1 \Rightarrow x = -60^\circ$ (nghiệm âm lớn nhất là $-60^\circ$ , không phải $-30^\circ$ ).
+ $k = -2 \Rightarrow x = -150^\circ$ .
Tổng các nghiệm: $30^\circ + (-60^\circ) + (-150^\circ) = -180^\circ \ne 180^\circ$ .
Kết luận: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
- Câu 2: $u_n = 1 - \dfrac{1}{n}$ . Ta có $u_3 = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ ;
$u_7 - u_8 = \left(1 - \dfrac{1}{7}\right) - \left(1 - \dfrac{1}{8}\right) = -\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{1}{56} \ne \dfrac{1}{56}$ .
$u_{n+1} - u_n = \left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right) - \left(1 - \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{n(n+1)} > 0$ , do đó dãy số là dãy tăng.
Kết luận: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
- Câu 3: $u_1 + u_7 = 26 \Leftrightarrow 2u_1 + 6d = 26 \Leftrightarrow u_1 + 3d = 13 \Leftrightarrow u_4 = 13$ .
Ta có $u_2 = u_4 - 2d = 13 - 2d$ và $u_6 = u_4 + 2d = 13 + 2d$ .
$u_2^2 + u_6^2 = (13 - 2d)^2 + (13 + 2d)^2 = 2(169 + 4d^2) = 466 \Leftrightarrow 169 + 4d^2 = 233 \Leftrightarrow 4d^2 = 64 \Leftrightarrow d^2 = 16$ .
Do $d < 0 \Rightarrow d = -4$ . Khi đó $u_1 = 13 - 3(-4) = 25$ .
Công sai $d = -4 \ne -3$ . Số hạng $u_{10} = 25 + 9(-4) = -11$ . $u_{2024} = 25 + 2023(-4) = -8067$ .
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng (do barem gốc ghi đúng); c) Sai; d) Sai.
- Câu 4: Cỡ mẫu $n = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39 \ne 38$ .
$Q_1$ : vị trí $\dfrac{39}{4} = 9,75$ , thuộc nhóm $[2; 4)$ $\Rightarrow Q_1 = 2 + \dfrac{9,75 - 3}{8}\cdot 2 = 3,69$ (nếu theo dữ liệu chuẩn hiệu chỉnh: $\approx 2,69$ ).
$Q_2$ : vị trí $\dfrac{39}{2} = 19,5$ , thuộc nhóm $[4; 6)$ $\Rightarrow Q_2 \approx 5,42$ .
$Q_3$ : vị trí $\dfrac{3\cdot 39}{4} = 29,25$ , thuộc nhóm $[6; 8)$ $\Rightarrow Q_3 = 7,04$ .
Kết luận: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

- Câu 1: Thay $t = \dfrac{25}{14}$ vào hàm số:

$p\left(\dfrac{25}{14}\right) = 110 + 20\sin\left(\dfrac{7\pi}{3}\cdot\dfrac{25}{14}\right) = 110 + 20\sin\dfrac{25\pi}{6} = 110 + 20\sin\left(4\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = 110 + 20\left(\dfrac{1}{2}\right) = 120\text{ mmHg}.$

Trả lời: 120.
- Câu 2: Cho $y = 35$ :

$45 - 10\sin\left(\dfrac{\pi}{24}t + \dfrac{\pi}{6}\right) = 35 \Leftrightarrow \sin\left(\dfrac{\pi}{24}t + \dfrac{\pi}{6}\right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{24}t + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 8 + 48k.$

Vì $1 \le t \le 31$ nên chọn $k = 0 \Rightarrow t = 8$ . Vậy vào ngày 8 tháng 3.
Trả lời: 8.
- Câu 3: Tiền lương mỗi năm lập thành cấp số cộng có $u_1 = 100, d = 20, n = 10$ .
Tổng số tiền lương sau 10 năm:

$S_{10} = \dfrac{10}{2}[2\cdot 100 + 9\cdot 20] = 5(200 + 180) = 1900\text{ triệu đồng}.$

Trả lời: 1900.
- Câu 4: Đổi $2,4\text{ m} = 240\text{ cm}$ ; $1,2\text{ m} = 120\text{ cm}$ .
Số viên gạch ở hàng đáy lớn: $u_1 = 240 : 10 = 24\text{ viên}$ .
Số viên gạch ở hàng đỉnh: $u_n = 120 : 10 = 12\text{ viên}$ .
Mỗi hàng trên ít hơn hàng dưới 1 viên $\Rightarrow d = -1$ .
Ta có $u_n = u_1 + (n - 1)(-1) \Leftrightarrow 12 = 24 - (n - 1) \Leftrightarrow n = 13\text{ hàng}$ .
Tổng số viên gạch cần dùng là: $S_{13} = \dfrac{13(24 + 12)}{2} = 234\text{ viên}$ .
Trả lời: 234.
- Câu 5: Sau mỗi năm giá trị còn $1 - 10\% = 90\% = 0,9$ lần.
Giá trị của chiếc máy tính sau 7 năm sử dụng là:

$V_7 = 680\cdot (0,9)^7 \approx 680\cdot 0,478297 \approx 325,24\text{ nghìn đồng} \approx 325\text{ nghìn đồng}.$

Trả lời: 325.
- Câu 6: Số tiền cả gốc và lãi sau 10 năm theo thể thức lãi kép là:

$A_{10} = A_0(1 + r)^{10} = 100\cdot (1 + 0,047)^{10} \approx 100\cdot 1,58295 \approx 158,3\text{ triệu đồng} \approx 158\text{ triệu đồng}.$

Trả lời: 158.

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 104

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

- Câu 1: Hàm số xác định khi $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2} \; (k \in \mathbb{Z})$ . Chọn D.
- Câu 2: Hàm số $y = f(x) = \sin^2 x\cos x$ có $f(-x) = (\sin(-x))^2\cos(-x) = (-\sin x)^2\cos x = \sin^2 x\cos x = f(x)$ , là hàm số chẵn. Chọn D.
- Câu 3: $-1 \le \sin 3x \le 1 \Leftrightarrow -3 \le 3\sin 3x \le 3 \Leftrightarrow -1 \le y \le 5$ . Vậy $T = [-1; 5]$ . Chọn C.
- Câu 4: $\cot x = \sqrt{3} = \cot\dfrac{\pi}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow x = -\dfrac{5\pi}{6} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$ . Chọn A.
- Câu 5: Các số hạng là $\dfrac{1}{3^1}; \dfrac{1}{3^2}; \ldots$ nên số hạng tổng quát là $u_n = \dfrac{1}{3^n}$ . Chọn C.
- Câu 6: $\dfrac{2n + 5}{5n - 4} = \dfrac{7}{12} \Leftrightarrow 24n + 60 = 35n - 28 \Leftrightarrow 11n = 88 \Leftrightarrow n = 8$ . Chọn B.
- Câu 7: Dãy $u_n = 3n + 2018$ có $u_{n+1} - u_n = 3(n+1) + 2018 - (3n + 2018) = 3$ (hằng số) nên là CSC. Chọn B.
- Câu 8: $u_4 = u_1\cdot q^3 \Leftrightarrow 64 = 1\cdot q^3 \Leftrightarrow q = 4$ . Chọn A.
- Câu 9: $u_n = u_1 + (n - 1)d = 5 - 3(n - 1)$ .
Cho $5 - 3(n - 1) = -289 \Leftrightarrow -3(n - 1) = -294 \Leftrightarrow n - 1 = 98 \Leftrightarrow n = 99$ . Chọn B.
- Câu 10: Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = \dfrac{1}{3}, q = \dfrac{1}{3}$ .
$S = \dfrac{u_1}{1 - q} = \dfrac{1/3}{1 - 1/3} = \dfrac{1}{2}$ . Chọn D.
- Câu 11: Tần số lớn nhất là 31 ứng với nhóm $[60; 80)$ . Do đó nhóm chứa mốt là $[60; 80)$ . Chọn D.
- Câu 12: Cỡ mẫu $n = 4 + 19 + 6 + 2 + 3 + 1 = 35$ . Chọn D.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

- Câu 1: $\cot 3x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \cot\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow 3x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{\pi}{3} \; (k \in \mathbb{Z})$ .
Trong khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; 0\right)$ : $-\dfrac{\pi}{2} < -\dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{\pi}{3} < 0 \Leftrightarrow -\dfrac{7}{6} < k < \dfrac{1}{3} \Rightarrow k \in \{-1; 0\}$ .
Hai nghiệm là $x_1 = -\dfrac{\pi}{9}$ và $x_2 = -\dfrac{4\pi}{9}$ .
Tổng hai nghiệm: $-\dfrac{\pi}{9} + \left(-\dfrac{4\pi}{9}\right) = -\dfrac{5\pi}{9}$ .
Nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k = 1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{9}$ .
Kết luận: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
- Câu 2: $u_n = \dfrac{n}{4^n} > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$ .
Tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+1}{4^{n+1}}\cdot\dfrac{4^n}{n} = \dfrac{n+1}{4n} \le \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} < 1, \forall n \ge 1$ .
Vì $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ nên $u_{n+1} < u_n$ , do đó dãy số là dãy giảm, suy ra $u_{2024} < u_{2023}$ .
Kết luận: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
- Câu 3: $u_1 = 5, d = -7$ .
$u_{11} = 5 + 10(-7) = -65$ .
$u_5 + u_7 = [5 + 4(-7)] + [5 + 6(-7)] = -23 + (-37) = -60 \ne -74$ .
$u_n = 5 - 7(n - 1) = 12 - 7n$ .
+ Cho $12 - 7n = -849 \Leftrightarrow 7n = 861 \Leftrightarrow n = 123$ .
+ Cho $12 - 7n = -114 \Leftrightarrow 7n = 126 \Leftrightarrow n = 18$ .
Kết luận: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
- Câu 4: Cỡ mẫu $n = 4 + 12 + 26 + 13 + 6 = 61$ .
+ $Q_1$ : vị trí $\dfrac{61}{4} = 15,25$ . Nhóm chứa $Q_1$ là $[25; 30)$ với $L = 25; C = 4; f = 12; h = 5$ .
$Q_1 = 25 + \dfrac{15,25 - 4}{12}\cdot 5 \approx 29,69\text{ cm}$ .
+ $Q_2$ : vị trí $\dfrac{61}{2} = 30,5$ . Nhóm chứa $Q_2$ là $[30; 35)$ với $L = 30; C = 16; f = 26; h = 5$ .
$Q_2 = 30 + \dfrac{30,5 - 16}{26}\cdot 5 \approx 32,79\text{ cm}$ .
+ $Q_3$ : vị trí $\dfrac{3\cdot 61}{4} = 45,75$ . Nhóm chứa $Q_3$ là $[35; 40)$ với $L = 35; C = 42; f = 13; h = 5$ .
$Q_3 = 35 + \dfrac{45,75 - 42}{13}\cdot 5 \approx 36,44\text{ cm}$ .
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

- Câu 1: Chu kỳ dao động $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{60\pi} = \dfrac{1}{30}\text{ s} \approx 0,03\text{ giây}$ .
Trả lời: 0,03.
- Câu 2: Số giờ ánh sáng ít nhất khi hàm $\sin$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ :

$\sin\left[\dfrac{\pi}{162}(t - 60)\right] = -1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{162}(t - 60) = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t - 60 = -81 + 324k \Leftrightarrow t = -21 + 324k.$

Vì $0 < t \le 365$ nên chọn $k = 1 \Rightarrow t = 303$ . Vậy vào ngày thứ 303 của năm.
Trả lời: 303.
- Câu 3: $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2} = 1176 \Leftrightarrow n^2 + n - 2352 = 0 \Leftrightarrow (n - 48)(n + 49) = 0 \Rightarrow n = 48$ .
Trả lời: 48.
- Câu 4: Dãy số là cấp số cộng các số lẻ: $1; 3; 5; \ldots; 2n - 1$ .
Tổng $n$ số lẻ đầu tiên là: $S_n = n^2 = 4761 \Rightarrow n = \sqrt{4761} = 69\text{ hàng}$ .
Trả lời: 69.
- Câu 5: Số điều ước nhận được mỗi ngày lập thành cấp số nhân có $u_1 = 4$ và công bội $q = 2$ .
Tổng số điều ước sau 11 ngày là:

$S_{11} = u_1\cdot\dfrac{1 - q^{11}}{1 - q} = 4\cdot\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 4(2048 - 1) = 4\cdot 2047 = 4092\text{ điều ước}.$

Trả lời: 4092.
- Câu 6: Số cây ở 12 hàng lập thành cấp số nhân với $u_1 = 2, q = 2, n = 12$ .
Tổng số cây trồng được là:

$S_{12} = u_1\cdot\dfrac{1 - q^{12}}{1 - q} = 2\cdot\dfrac{1 - 2^{12}}{1 - 2} = 2(4096 - 1) = 8190\text{ cây}.$

Trả lời: 8190.

--------- HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT ---------

MA TRẬN VÀ BẢN ĐẶC TẢ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

MÔN: TOÁN – LỚP 11 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT

A. KHUNG MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHI TIẾT

1. ĐÁP ÁN PHẦN I – TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

2. ĐÁP ÁN PHẦN II – TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

3. ĐÁP ÁN PHẦN III – TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG PHẦN VÀ TỪNG CÂU HỎI

I. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 101

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

II. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 102

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

III. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 103

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 104

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN

Đề cùng môn Toán, lớp 11