soandethi.com

Bộ 4 đề giữa học kì I Toán 11 – Kỳ Anh 2026–2027 – Mã 0001–0004 và hướng dẫn chấm

ToánLớp 11NChia sẻ bởi Nguyễn Tiến Trung 0 lượt sử dụng đề

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

TỔ TOÁN

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 0001

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chọn một phương án. Trong các công thức nghiệm, k∈Zk\in\mathbb Z.

Câu 1. Góc 150∘150^\circ có số đo bằng

A. 5π3\dfrac{5\pi}{3}.

B. 5π6\dfrac{5\pi}{6}.

C. 3π5\dfrac{3\pi}{5}.

D. π6\dfrac{\pi}{6}.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi góc α\alpha mà các biểu thức có nghĩa?

A. sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha)=\sin\alpha.

B. tan⁡(−α)=tan⁡α\tan(-\alpha)=\tan\alpha.

C. cot⁡(−α)=cot⁡α\cot(-\alpha)=\cot\alpha.

D. cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha.

Câu 3. Đặt p=a+b2p=\dfrac{a+b}{2}, q=a−b2q=\dfrac{a-b}{2}. Công thức nào sau đây sai?

A. cos⁡a−cos⁡b=2sin⁡psin⁡q\cos a-\cos b=2\sin p\sin q.

B. sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡pcos⁡q\sin a+\sin b=2\sin p\cos q.

C. sin⁡a−sin⁡b=2cos⁡psin⁡q\sin a-\sin b=2\cos p\sin q.

D. cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡pcos⁡q\cos a+\cos b=2\cos p\cos q.

Câu 4. Cho u1=2u_1=2, un+1=un+3u_{n+1}=u_n+3 với n≥1n\geq1. Giá trị của u3u_3 bằng

A. 55.

B. 1111.

C. 88.

D. 66.

Câu 5. Tập nghiệm của phương trình cos⁡x=1\cos x=1 là

A. { π+2kπ∣k∈Z }\{\,\pi+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

B. { 2kπ∣k∈Z }\{\,2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

C. { π2+kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

D. { kπ∣k∈Z }\{\,k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

Câu 6. Công thức nào sau đây đúng với mọi α\alpha?

A. sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.

B. cos⁡2α=1−2cos⁡2α\cos2\alpha=1-2\cos^2\alpha.

C. sin⁡2α=sin⁡2α−cos⁡2α\sin2\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha.

D. cos⁡2α=2sin⁡2α−1\cos2\alpha=2\sin^2\alpha-1.

Câu 7. Tập nghiệm của phương trình sin⁡x=0\sin x=0 là

A. { 2kπ∣k∈Z }\{\,2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

B. { π+2kπ∣k∈Z }\{\,\pi+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

C. { π2+kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

D. { kπ∣k∈Z }\{\,k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

Câu 8. Với n≥1n\geq1, dãy số nào sau đây giảm?

A. un=2n+1u_n=2n+1.

B. un=n2u_n=n^2.

C. un=4−2nu_n=4-2n.

D. un=1−1nu_n=1-\dfrac1n.

Câu 9. Cho cos⁡α=35\cos\alpha=\dfrac35, 0<α<π20<\alpha<\dfrac{\pi}{2}. Giá trị sin⁡α\sin\alpha bằng

A. 45\dfrac45.

B. −45-\dfrac45.

C. 25\dfrac25.

D. 34\dfrac34.

Câu 10. Cho dãy số un=2n+1u_n=2n+1 với n≥1n\geq1. Giá trị u4u_4 bằng

A. 77.

B. 88.

C. 1111.

D. 99.

Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=3+2sin⁡xy=3+2\sin x là

A. −1-1.

B. 11.

C. 33.

D. 55.

Câu 12. Ba số 44, xx, 1212 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị xx bằng

A. 44.

B. 1616.

C. 88.

D. 66.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 13 đến Câu 16; trong mỗi ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai.

Câu 13. Cho cos⁡α=−35\cos\alpha=-\dfrac35 và π2<α<π\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi.
a) sin⁡α>0\sin\alpha>0.
b) tan⁡α>0\tan\alpha>0.
c) cos⁡(π−α)=−35\cos(\pi-\alpha)=-\dfrac35.
d) sin⁡2α=−2425\sin2\alpha=-\dfrac{24}{25}.

Câu 14. Thời gian tự học Toán mỗi ngày của một nhóm học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (phút)

[0;10)[0;10)

[10;20)[10;20)

[20;30)[20;30)

[30;40)[30;40)

[40;50)[40;50)

Số học sinh

22

44

88

44

22

a) Mẫu số liệu được chia thành 55 nhóm.
b) Cỡ mẫu bằng 2222.
c) Số trung bình của mẫu ghép nhóm được tính bởi x‾=2⋅5+4⋅15+8⋅25+4⋅35+2⋅4520\overline{x}=\dfrac{2\cdot5+4\cdot15+8\cdot25+4\cdot35+2\cdot45}{20}.
d) Trung vị của mẫu ghép nhóm bằng 3030 phút.

Câu 15. Năm đầu, thư viện nhập 120120 cuốn sách; mỗi năm tiếp theo nhập nhiều hơn năm trước 2020 cuốn. Gọi unu_n là số sách nhập trong năm thứ nn.
a) u1=120u_1=120.
b) Dãy (un)(u_n) là cấp số cộng có công sai 2525.
c) Năm thứ năm, thư viện nhập 200200 cuốn.
d) Tổng số sách nhập trong năm năm đầu là 900900 cuốn.

Câu 16. Một ô tô có giá ban đầu 800800 triệu đồng. Sau mỗi năm, giá trị xe giảm 20%20\% so với đầu năm đó. Gọi VnV_n là giá trị xe sau nn năm, với V0=800V_0=800 (triệu đồng).
a) Dãy (Vn)(V_n) là cấp số nhân có công bội 0,80{,}8.
b) Sau một năm, giá trị xe là 640640 triệu đồng.
c) Sau hai năm, giá trị xe là 500500 triệu đồng.
d) Số năm nguyên tối thiểu để giá trị xe dưới một nửa ban đầu là 33.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 17 đến Câu 22. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 17. Cho cos⁡α=35\cos\alpha=\dfrac35. Tính P=25sin⁡2αP=25\sin^2\alpha.

Câu 18. Cho cấp số nhân (un)(u_n) có u2=6u_2=6, u3=12u_3=12. Tính tổng năm số hạng đầu.

Câu 19. Bốn số 33, xx, 1111, 1515 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm xx.

Câu 20. Phương trình sin⁡x=12\sin x=\dfrac12 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0;3π][0;3\pi]?

Câu 21. Một bức tường dạng hình thang được ốp gạch thành 1212 hàng ngang. Hàng trên cùng có 88 viên; mỗi hàng dưới nhiều hơn hàng liền trên 22 viên. Tính tổng số viên gạch cần dùng, không kể hao hụt.

Câu 22. Một người vay 100100 triệu đồng, lãi suất 1%1\%/tháng tính trên dư nợ. Cuối mỗi tháng, sau khi tính lãi, người đó trả 2121 triệu đồng; lần cuối chỉ trả số tiền còn nợ. Không có phí khác. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ?

--------- HẾT ---------

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

TỔ TOÁN

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 0002

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chọn một phương án. Trong các công thức nghiệm, k∈Zk\in\mathbb Z.

Câu 1. Góc 210∘210^\circ có số đo bằng

A. 7π3\dfrac{7\pi}{3}.

B. 6π7\dfrac{6\pi}{7}.

C. 7π6\dfrac{7\pi}{6}.

D. π6\dfrac{\pi}{6}.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi góc β\beta mà các biểu thức có nghĩa?

A. sin⁡(−β)=−sin⁡β\sin(-\beta)=-\sin\beta.

B. cos⁡(−β)=−cos⁡β\cos(-\beta)=-\cos\beta.

C. tan⁡(−β)=tan⁡β\tan(-\beta)=\tan\beta.

D. cot⁡(−β)=cot⁡β\cot(-\beta)=\cot\beta.

Câu 3. Đặt p=a+b2p=\dfrac{a+b}{2}, q=a−b2q=\dfrac{a-b}{2}. Công thức nào sau đây sai?

A. cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡pcos⁡q\cos a+\cos b=2\cos p\cos q.

B. cos⁡a−cos⁡b=−2sin⁡psin⁡q\cos a-\cos b=-2\sin p\sin q.

C. sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡pcos⁡q\sin a+\sin b=2\sin p\cos q.

D. sin⁡a−sin⁡b=2sin⁡pcos⁡q\sin a-\sin b=2\sin p\cos q.

Câu 4. Cho u1=3u_1=3, un+1=un+4u_{n+1}=u_n+4 với n≥1n\geq1. Giá trị của u3u_3 bằng

A. 77.

B. 1111.

C. 1515.

D. 1212.

Câu 5. Tập nghiệm của phương trình sin⁡x=1\sin x=1 là

A. { π2+2kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

B. { π2+kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

C. { 2kπ∣k∈Z }\{\,2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

D. { −π2+2kπ∣k∈Z }\{\,-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

Câu 6. Công thức nào sau đây đúng với mọi α\alpha?

A. sin⁡2α=sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha.

B. cos⁡2α=2sin⁡2α−1\cos2\alpha=2\sin^2\alpha-1.

C. cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1.

D. sin⁡2α=2sin⁡2α\sin2\alpha=2\sin^2\alpha.

Câu 7. Tập nghiệm của phương trình tan⁡x=0\tan x=0 là

A. { 2kπ∣k∈Z }\{\,2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

B. { kπ∣k∈Z }\{\,k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

C. { π2+kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

D. { π+2kπ∣k∈Z }\{\,\pi+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

Câu 8. Với n≥1n\geq1, dãy số nào sau đây giảm?

A. un=2nu_n=2n.

B. un=n2+1u_n=n^2+1.

C. un=2−1nu_n=2-\dfrac1n.

D. un=5−3nu_n=5-3n.

Câu 9. Cho cos⁡α=513\cos\alpha=\dfrac5{13}, 0<α<π20<\alpha<\dfrac{\pi}{2}. Giá trị sin⁡α\sin\alpha bằng

A. 813\dfrac8{13}.

B. −1213-\dfrac{12}{13}.

C. 1213\dfrac{12}{13}.

D. 512\dfrac5{12}.

Câu 10. Cho dãy số un=3n−1u_n=3n-1 với n≥1n\geq1. Giá trị u4u_4 bằng

A. 88.

B. 1111.

C. 1212.

D. 1414.

Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4+3cos⁡xy=4+3\cos x là

A. −1-1.

B. 44.

C. 77.

D. 11.

Câu 12. Ba số 55, xx, 1515 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị xx bằng

A. 1010.

B. 2020.

C. 55.

D. 1515.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 13 đến Câu 16; trong mỗi ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai.

Câu 13. Cho cos⁡α=−513\cos\alpha=-\dfrac5{13} và π2<α<π\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi.
a) sin⁡α<0\sin\alpha<0.
b) tan⁡α<0\tan\alpha<0.
c) cos⁡(π−α)=513\cos(\pi-\alpha)=\dfrac5{13}.
d) sin⁡2α=120169\sin2\alpha=\dfrac{120}{169}.

Câu 14. Thời gian tự học Toán mỗi ngày của một nhóm học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (phút)

[10;20)[10;20)

[20;30)[20;30)

[30;40)[30;40)

[40;50)[40;50)

[50;60)[50;60)

Số học sinh

33

55

44

55

33

a) Mẫu số liệu được chia thành 44 nhóm.
b) Cỡ mẫu bằng 2020.
c) Số trung bình của mẫu ghép nhóm được tính bởi x‾=3⋅15+5⋅25+4⋅35+5⋅45+3⋅555\overline{x}=\dfrac{3\cdot15+5\cdot25+4\cdot35+5\cdot45+3\cdot55}{5}.
d) Trung vị của mẫu ghép nhóm bằng 3535 phút.

Câu 15. Năm đầu, thư viện nhập 150150 cuốn sách; mỗi năm tiếp theo nhập nhiều hơn năm trước 3030 cuốn. Gọi unu_n là số sách nhập trong năm thứ nn.
a) u1=180u_1=180.
b) Dãy (un)(u_n) là cấp số cộng có công sai 3030.
c) Năm thứ năm, thư viện nhập 240240 cuốn.
d) Tổng số sách nhập trong năm năm đầu là 10501050 cuốn.

Câu 16. Một ô tô có giá ban đầu 900900 triệu đồng. Sau mỗi năm, giá trị xe giảm 25%25\% so với đầu năm đó. Gọi VnV_n là giá trị xe sau nn năm, với V0=900V_0=900 (triệu đồng).
a) Dãy (Vn)(V_n) là cấp số nhân có công bội 0,750{,}75.
b) Sau một năm, giá trị xe là 650650 triệu đồng.
c) Sau hai năm, giá trị xe là 506,25506{,}25 triệu đồng.
d) Số năm nguyên tối thiểu để giá trị xe dưới một nửa ban đầu là 33.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 17 đến Câu 22. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 17. Cho cos⁡α=513\cos\alpha=\dfrac5{13}. Tính P=169sin⁡2αP=169\sin^2\alpha.

Câu 18. Cho cấp số nhân (un)(u_n) có u2=8u_2=8, u3=16u_3=16. Tính tổng năm số hạng đầu.

Câu 19. Bốn số 44, xx, 1414, 1919 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm xx.

Câu 20. Phương trình cos⁡x=12\cos x=\dfrac12 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0;3π][0;3\pi]?

Câu 21. Một bức tường dạng hình thang được ốp gạch thành 1414 hàng ngang. Hàng trên cùng có 1010 viên; mỗi hàng dưới nhiều hơn hàng liền trên 22 viên. Tính tổng số viên gạch cần dùng, không kể hao hụt.

Câu 22. Một người vay 120120 triệu đồng, lãi suất 1%1\%/tháng tính trên dư nợ. Cuối mỗi tháng, sau khi tính lãi, người đó trả 2222 triệu đồng; lần cuối chỉ trả số tiền còn nợ. Không có phí khác. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ?

--------- HẾT ---------

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

TỔ TOÁN

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 0003

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chọn một phương án. Trong các công thức nghiệm, k∈Zk\in\mathbb Z.

Câu 1. Góc 240∘240^\circ có số đo bằng

A. 3π4\dfrac{3\pi}{4}.

B. 8π3\dfrac{8\pi}{3}.

C. 2π3\dfrac{2\pi}{3}.

D. 4π3\dfrac{4\pi}{3}.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi góc tt mà các biểu thức có nghĩa?

A. cos⁡(−t)=−cos⁡t\cos(-t)=-\cos t.

B. tan⁡(−t)=−tan⁡t\tan(-t)=-\tan t.

C. sin⁡(−t)=sin⁡t\sin(-t)=\sin t.

D. cot⁡(−t)=cot⁡t\cot(-t)=\cot t.

Câu 3. Đặt p=a+b2p=\dfrac{a+b}{2}, q=a−b2q=\dfrac{a-b}{2}. Công thức nào sau đây sai?

A. sin⁡a−sin⁡b=2cos⁡psin⁡q\sin a-\sin b=2\cos p\sin q.

B. cos⁡a−cos⁡b=−2sin⁡psin⁡q\cos a-\cos b=-2\sin p\sin q.

C. cos⁡a+cos⁡b=2sin⁡pcos⁡q\cos a+\cos b=2\sin p\cos q.

D. sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡pcos⁡q\sin a+\sin b=2\sin p\cos q.

Câu 4. Cho u1=4u_1=4, un+1=un+2u_{n+1}=u_n+2 với n≥1n\geq1. Giá trị của u3u_3 bằng

A. 88.

B. 66.

C. 1010.

D. 1212.

Câu 5. Tập nghiệm của phương trình tan⁡x=1\tan x=1 là

A. { π4+2kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

B. { −π4+kπ∣k∈Z }\{\,-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

C. { π2+kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

D. { π4+kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{4}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

Câu 6. Công thức nào sau đây đúng với mọi α\alpha?

A. sin⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2α\sin2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha.

B. cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha.

C. cos⁡2α=1−2cos⁡2α\cos2\alpha=1-2\cos^2\alpha.

D. sin⁡2α=2sin⁡2α\sin2\alpha=2\sin^2\alpha.

Câu 7. Tập nghiệm của phương trình cos⁡x=0\cos x=0 là

A. { π2+kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

B. { kπ∣k∈Z }\{\,k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

C. { π2+2kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

D. { π+2kπ∣k∈Z }\{\,\pi+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

Câu 8. Với n≥1n\geq1, dãy số nào sau đây giảm?

A. un=3n+1u_n=3n+1.

B. un=n2+2u_n=n^2+2.

C. un=6−4nu_n=6-4n.

D. un=3−1nu_n=3-\dfrac1n.

Câu 9. Cho cos⁡α=817\cos\alpha=\dfrac8{17}, 0<α<π20<\alpha<\dfrac{\pi}{2}. Giá trị sin⁡α\sin\alpha bằng

A. −1517-\dfrac{15}{17}.

B. 1517\dfrac{15}{17}.

C. 917\dfrac9{17}.

D. 815\dfrac8{15}.

Câu 10. Cho dãy số un=2n+3u_n=2n+3 với n≥1n\geq1. Giá trị u4u_4 bằng

A. 1111.

B. 99.

C. 1313.

D. 88.

Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=5+2cos⁡xy=5+2\cos x là

A. −3-3.

B. 55.

C. 33.

D. 77.

Câu 12. Ba số 66, xx, 1818 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị xx bằng

A. 66.

B. 2424.

C. 1818.

D. 1212.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 13 đến Câu 16; trong mỗi ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai.

Câu 13. Cho cos⁡α=817\cos\alpha=\dfrac8{17} và 3π2<α<2π\dfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.
a) sin⁡α>0\sin\alpha>0.
b) tan⁡α<0\tan\alpha<0.
c) sin⁡(−α)=1517\sin(-\alpha)=\dfrac{15}{17}.
d) sin⁡2α=−240289\sin2\alpha=-\dfrac{240}{289}.

Câu 14. Thời gian tự học Toán mỗi ngày của một nhóm học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (phút)

[20;30)[20;30)

[30;40)[30;40)

[40;50)[40;50)

[50;60)[50;60)

[60;70)[60;70)

Số học sinh

11

55

88

55

11

a) Mẫu số liệu được chia thành 55 nhóm.
b) Cỡ mẫu bằng 2020.
c) Số trung bình của mẫu ghép nhóm được tính bởi x‾=1⋅25+5⋅35+8⋅45+5⋅55+1⋅655\overline{x}=\dfrac{1\cdot25+5\cdot35+8\cdot45+5\cdot55+1\cdot65}{5}.
d) Trung vị của mẫu ghép nhóm bằng 4545 phút.

Câu 15. Năm đầu, thư viện nhập 180180 cuốn sách; mỗi năm tiếp theo nhập nhiều hơn năm trước 2525 cuốn. Gọi unu_n là số sách nhập trong năm thứ nn.
a) u1=180u_1=180.
b) Dãy (un)(u_n) là cấp số cộng có công sai 2525.
c) Năm thứ năm, thư viện nhập 305305 cuốn.
d) Tổng số sách nhập trong năm năm đầu là 11501150 cuốn.

Câu 16. Một ô tô có giá ban đầu 750750 triệu đồng. Sau mỗi năm, giá trị xe giảm 10%10\% so với đầu năm đó. Gọi VnV_n là giá trị xe sau nn năm, với V0=750V_0=750 (triệu đồng).
a) Dãy (Vn)(V_n) là cấp số nhân có công bội 0,10{,}1.
b) Sau một năm, giá trị xe là 675675 triệu đồng.
c) Sau hai năm, giá trị xe là 607,5607{,}5 triệu đồng.
d) Số năm nguyên tối thiểu để giá trị xe dưới một nửa ban đầu là 66.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 17 đến Câu 22. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 17. Cho cos⁡α=817\cos\alpha=\dfrac8{17}. Tính P=289sin⁡2αP=289\sin^2\alpha.

Câu 18. Cho cấp số nhân (un)(u_n) có u2=10u_2=10, u3=20u_3=20. Tính tổng năm số hạng đầu.

Câu 19. Bốn số 55, xx, 1717, 2323 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm xx.

Câu 20. Phương trình sin⁡x=−12\sin x=-\dfrac12 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0;3π][0;3\pi]?

Câu 21. Một bức tường dạng hình thang được ốp gạch thành 1616 hàng ngang. Hàng trên cùng có 1212 viên; mỗi hàng dưới nhiều hơn hàng liền trên 22 viên. Tính tổng số viên gạch cần dùng, không kể hao hụt.

Câu 22. Một người vay 140140 triệu đồng, lãi suất 1%1\%/tháng tính trên dư nợ. Cuối mỗi tháng, sau khi tính lãi, người đó trả 2323 triệu đồng; lần cuối chỉ trả số tiền còn nợ. Không có phí khác. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ?

--------- HẾT ---------

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

TỔ TOÁN

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 0004

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chọn một phương án. Trong các công thức nghiệm, k∈Zk\in\mathbb Z.

Câu 1. Góc 135∘135^\circ có số đo bằng

A. 3π4\dfrac{3\pi}{4}.

B. 4π3\dfrac{4\pi}{3}.

C. 3π2\dfrac{3\pi}{2}.

D. π4\dfrac{\pi}{4}.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi góc uu mà các biểu thức có nghĩa?

A. sin⁡(−u)=sin⁡u\sin(-u)=\sin u.

B. cos⁡(−u)=−cos⁡u\cos(-u)=-\cos u.

C. cot⁡(−u)=−cot⁡u\cot(-u)=-\cot u.

D. tan⁡(−u)=tan⁡u\tan(-u)=\tan u.

Câu 3. Đặt p=a+b2p=\dfrac{a+b}{2}, q=a−b2q=\dfrac{a-b}{2}. Công thức nào sau đây sai?

A. cos⁡a−cos⁡b=−2sin⁡psin⁡q\cos a-\cos b=-2\sin p\sin q.

B. sin⁡a+sin⁡b=2cos⁡pcos⁡q\sin a+\sin b=2\cos p\cos q.

C. cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡pcos⁡q\cos a+\cos b=2\cos p\cos q.

D. sin⁡a−sin⁡b=2cos⁡psin⁡q\sin a-\sin b=2\cos p\sin q.

Câu 4. Cho u1=5u_1=5, un+1=un+3u_{n+1}=u_n+3 với n≥1n\geq1. Giá trị của u3u_3 bằng

A. 88.

B. 1414.

C. 1515.

D. 1111.

Câu 5. Tập nghiệm của phương trình cos⁡x=−1\cos x=-1 là

A. { 2kπ∣k∈Z }\{\,2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

B. { kπ∣k∈Z }\{\,k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

C. { π+2kπ∣k∈Z }\{\,\pi+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

D. { π2+kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

Câu 6. Công thức nào sau đây đúng với mọi α\alpha?

A. cos⁡2α=2sin⁡2α−1\cos2\alpha=2\sin^2\alpha-1.

B. sin⁡2α=2sin⁡2α\sin2\alpha=2\sin^2\alpha.

C. cos⁡2α=1−2cos⁡2α\cos2\alpha=1-2\cos^2\alpha.

D. sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.

Câu 7. Tập nghiệm của phương trình cot⁡x=0\cot x=0 là

A. { π2+kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

B. { kπ∣k∈Z }\{\,k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

C. { π2+2kπ∣k∈Z }\{\,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

D. { 2kπ∣k∈Z }\{\,2k\pi\mid k\in\mathbb Z\,\}.

Câu 8. Với n≥1n\geq1, dãy số nào sau đây giảm?

A. un=4n+1u_n=4n+1.

B. un=7−2nu_n=7-2n.

C. un=n2+3u_n=n^2+3.

D. un=4−1nu_n=4-\dfrac1n.

Câu 9. Cho cos⁡α=725\cos\alpha=\dfrac7{25}, 0<α<π20<\alpha<\dfrac{\pi}{2}. Giá trị sin⁡α\sin\alpha bằng

A. −2425-\dfrac{24}{25}.

B. 1825\dfrac{18}{25}.

C. 724\dfrac7{24}.

D. 2425\dfrac{24}{25}.

Câu 10. Cho dãy số un=4n−3u_n=4n-3 với n≥1n\geq1. Giá trị u4u_4 bằng

A. 99.

B. 1616.

C. 1313.

D. 1717.

Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=6+4sin⁡xy=6+4\sin x là

A. 22.

B. −2-2.

C. 66.

D. 1010.

Câu 12. Ba số 77, xx, 2121 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị xx bằng

A. 77.

B. 1414.

C. 2828.

D. 2121.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 13 đến Câu 16; trong mỗi ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai.

Câu 13. Cho cos⁡α=725\cos\alpha=\dfrac7{25} và 3π2<α<2π\dfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.
a) sin⁡α<0\sin\alpha<0.
b) tan⁡α>0\tan\alpha>0.
c) cos⁡(π−α)=−725\cos(\pi-\alpha)=-\dfrac7{25}.
d) sin⁡2α=336625\sin2\alpha=\dfrac{336}{625}.

Câu 14. Thời gian tự học Toán mỗi ngày của một nhóm học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (phút)

[30;40)[30;40)

[40;50)[40;50)

[50;60)[50;60)

[60;70)[60;70)

[70;80)[70;80)

Số học sinh

44

33

66

33

44

a) Mẫu số liệu được chia thành 44 nhóm.
b) Cỡ mẫu bằng 2222.
c) Số trung bình của mẫu ghép nhóm được tính bởi x‾=4⋅35+3⋅45+6⋅55+3⋅65+4⋅7520\overline{x}=\dfrac{4\cdot35+3\cdot45+6\cdot55+3\cdot65+4\cdot75}{20}.
d) Trung vị của mẫu ghép nhóm bằng 5555 phút.

Câu 15. Năm đầu, thư viện nhập 200200 cuốn sách; mỗi năm tiếp theo nhập nhiều hơn năm trước 4040 cuốn. Gọi unu_n là số sách nhập trong năm thứ nn.
a) u1=240u_1=240.
b) Dãy (un)(u_n) là cấp số cộng có công sai 4040.
c) Năm thứ năm, thư viện nhập 360360 cuốn.
d) Tổng số sách nhập trong năm năm đầu là 16001600 cuốn.

Câu 16. Một ô tô có giá ban đầu 850850 triệu đồng. Sau mỗi năm, giá trị xe giảm 15%15\% so với đầu năm đó. Gọi VnV_n là giá trị xe sau nn năm, với V0=850V_0=850 (triệu đồng).
a) Dãy (Vn)(V_n) là cấp số cộng có công sai −127,5-127{,}5.
b) Sau một năm, giá trị xe là 722,5722{,}5 triệu đồng.
c) Sau hai năm, giá trị xe là 612,5612{,}5 triệu đồng.
d) Số năm nguyên tối thiểu để giá trị xe dưới một nửa ban đầu là 55.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 17 đến Câu 22. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 17. Cho cos⁡α=725\cos\alpha=\dfrac7{25}. Tính P=625sin⁡2αP=625\sin^2\alpha.

Câu 18. Cho cấp số nhân (un)(u_n) có u2=12u_2=12, u3=24u_3=24. Tính tổng năm số hạng đầu.

Câu 19. Bốn số 66, xx, 2020, 2727 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm xx.

Câu 20. Phương trình cos⁡x=−12\cos x=-\dfrac12 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0;3π][0;3\pi]?

Câu 21. Một bức tường dạng hình thang được ốp gạch thành 1818 hàng ngang. Hàng trên cùng có 1414 viên; mỗi hàng dưới nhiều hơn hàng liền trên 22 viên. Tính tổng số viên gạch cần dùng, không kể hao hụt.

Câu 22. Một người vay 160160 triệu đồng, lãi suất 1%1\%/tháng tính trên dư nợ. Cuối mỗi tháng, sau khi tính lãi, người đó trả 2121 triệu đồng; lần cuối chỉ trả số tiền còn nợ. Không có phí khác. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ?

--------- HẾT ---------

TRƯỜNG THPT KỲ ANH

TỔ TOÁN

Hướng dẫn chấm

KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 11

Các mã đề: 0001, 0002, 0003, 0004

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Phần I: mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm; tổng 3,0 điểm.

Phần II: mỗi câu tối đa 1,0 điểm, chấm theo số ý trả lời đúng trong câu:
Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
Đúng 3 ý: 0,5 điểm.
Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm.
Không đúng ý nào: 0 điểm.
Tổng phần II: 4,0 điểm.

Phần III: mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm; tổng 3,0 điểm. Đây là phần trả lời ngắn, không chia điểm theo bước giải.

Các phép tính và lập luận dưới đây dùng để kiểm tra đáp án. Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

I. BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN I

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Mã 0001

B

D

A

C

B

A

D

C

A

D

Mã 0002

C

A

D

B

A

C

B

D

C

B

Mã 0003

D

B

C

A

D

B

A

C

B

A

Mã 0004

A

C

B

D

C

D

A

B

D

C

Câu

11

12

Mã 0001

B

C

Mã 0002

D

A

Mã 0003

C

D

Mã 0004

A

B

II. BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN II

Đ: đúng; S: sai. Điểm mỗi câu tính theo quy định tại mục A.

Câu – ý

13a

13b

13c

13d

14a

14b

14c

14d

Mã 0001

Đ

S

S

Đ

Đ

S

Đ

S

Mã 0002

S

Đ

Đ

S

S

Đ

S

Đ

Mã 0003

S

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

S

Đ

Mã 0004

Đ

S

Đ

S

S

S

Đ

Đ

Câu – ý

15a

15b

15c

15d

16a

16b

16c

16d

Mã 0001

Đ

S

Đ

S

Đ

Đ

S

S

Mã 0002

S

Đ

S

Đ

Đ

S

Đ

Đ

Mã 0003

Đ

Đ

S

Đ

S

Đ

Đ

S

Mã 0004

S

Đ

Đ

S

S

Đ

S

Đ

III. BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN III

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu

17

18

19

20

21

22

Mã 0001

1616

9393

77

44

228228

55

Mã 0002

144144

124124

99

33

322322

66

Mã 0003

225225

155155

1111

22

432432

77

Mã 0004

576576

186186

1313

33

558558

88

IV. GIẢI THÍCH ĐÁP ÁN PHẦN I

Trong mỗi hàng dưới đây, kết quả được ghi theo thứ tự mã 0001, 0002, 0003, 0004. Mức điểm áp dụng cho từng câu của từng mã.

Câu

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

1

Dùng công thức đổi góc α∘=απ180\alpha^\circ=\dfrac{\alpha\pi}{180} rad.
0001: 150π180=5π6\dfrac{150\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}, chọn B.
0002: 210π180=7π6\dfrac{210\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}, chọn C.
0003: 240π180=4π3\dfrac{240\pi}{180}=\dfrac{4\pi}{3}, chọn D.
0004: 135π180=3π4\dfrac{135\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}, chọn A.

0,25

2

Hai góc đối nhau có côsin bằng nhau; sin, tang, côtang đối nhau khi có nghĩa.
0001: cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha, chọn D.
0002: sin⁡(−β)=−sin⁡β\sin(-\beta)=-\sin\beta, chọn A.
0003: tan⁡(−t)=−tan⁡t\tan(-t)=-\tan t, chọn B.
0004: cot⁡(−u)=−cot⁡u\cot(-u)=-\cot u, chọn C.

0,25

3

Với p=a+b2p=\dfrac{a+b}{2}, q=a−b2q=\dfrac{a-b}{2}, các công thức đúng là:
sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡pcos⁡q\sin a+\sin b=2\sin p\cos q;
sin⁡a−sin⁡b=2cos⁡psin⁡q\sin a-\sin b=2\cos p\sin q;
cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡pcos⁡q\cos a+\cos b=2\cos p\cos q;
cos⁡a−cos⁡b=−2sin⁡psin⁡q\cos a-\cos b=-2\sin p\sin q.
Công thức sai ở các mã: 0001: A; 0002: D; 0003: C; 0004: B.

0,25

4

0001: u2=5u_2=5, u3=8u_3=8, chọn C.
0002: u2=7u_2=7, u3=11u_3=11, chọn B.
0003: u2=6u_2=6, u3=8u_3=8, chọn A.
0004: u2=8u_2=8, u3=11u_3=11, chọn D.

0,25

5

0001: cos⁡x=1⇔x=2kπ\cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi, chọn B.
0002: sin⁡x=1⇔x=π2+2kπ\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, chọn A.
0003: tan⁡x=1⇔x=π4+kπ\tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, chọn D.
0004: cos⁡x=−1⇔x=π+2kπ\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi, chọn C.
Trong các công thức trên, k∈Zk\in\mathbb Z.

0,25

6

Các công thức nhân đôi cần dùng:
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha;
cos⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha.
0001: A; 0002: C; 0003: B; 0004: D.

0,25

7

0001: sin⁡x=0⇔x=kπ\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi, chọn D.
0002: tan⁡x=0⇔x=kπ\tan x=0\Leftrightarrow x=k\pi, chọn B.
0003: cos⁡x=0⇔x=π2+kπ\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, chọn A.
0004: cot⁡x=0⇔x=π2+kπ\cot x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, chọn A.
Trong các công thức trên, k∈Zk\in\mathbb Z.

0,25

8

Xét hiệu un+1−unu_{n+1}-u_n.
0001: dãy 4−2n4-2n có hiệu −2<0-2<0, chọn C.
0002: dãy 5−3n5-3n có hiệu −3<0-3<0, chọn D.
0003: dãy 6−4n6-4n có hiệu −4<0-4<0, chọn C.
0004: dãy 7−2n7-2n có hiệu −2<0-2<0, chọn B.
Các dãy còn lại đều tăng với n≥1n\geq1.

0,25

9

Vì α\alpha thuộc góc phần tư I nên sin⁡α=1−cos⁡2α>0\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}>0.
0001: sin⁡α=1−925=45\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac9{25}}=\dfrac45, chọn A.
0002: sin⁡α=1−25169=1213\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}, chọn C.
0003: sin⁡α=1−64289=1517\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{64}{289}}=\dfrac{15}{17}, chọn B.
0004: sin⁡α=1−49625=2425\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=\dfrac{24}{25}, chọn D.

0,25

10

Thay n=4n=4 vào công thức số hạng tổng quát.
0001: u4=2⋅4+1=9u_4=2\cdot4+1=9, chọn D.
0002: u4=3⋅4−1=11u_4=3\cdot4-1=11, chọn B.
0003: u4=2⋅4+3=11u_4=2\cdot4+3=11, chọn A.
0004: u4=4⋅4−3=13u_4=4\cdot4-3=13, chọn C.

0,25

11

Dùng −1≤sin⁡x,cos⁡x≤1-1\leq\sin x,\cos x\leq1.
0001: min⁡y=3−2=1\min y=3-2=1, đạt khi sin⁡x=−1\sin x=-1, chọn B.
0002: min⁡y=4−3=1\min y=4-3=1, đạt khi cos⁡x=−1\cos x=-1, chọn D.
0003: min⁡y=5−2=3\min y=5-2=3, đạt khi cos⁡x=−1\cos x=-1, chọn C.
0004: min⁡y=6−4=2\min y=6-4=2, đạt khi sin⁡x=−1\sin x=-1, chọn A.

0,25

12

Số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng bên cạnh.
0001: x=4+122=8x=\dfrac{4+12}{2}=8, chọn C.
0002: x=5+152=10x=\dfrac{5+15}{2}=10, chọn A.
0003: x=6+182=12x=\dfrac{6+18}{2}=12, chọn D.
0004: x=7+212=14x=\dfrac{7+21}{2}=14, chọn B.

0,25

V. GIẢI THÍCH ĐÁP ÁN PHẦN II

Mỗi hàng ứng với một câu đúng/sai của một mã đề. Cột điểm ghi điểm tối đa; điểm thực tế chấm theo số ý đúng tại mục A.

Câu 13. Giá trị lượng giác

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

α\alpha thuộc góc phần tư II nên sin⁡α>0\sin\alpha>0, tan⁡α<0\tan\alpha<0.
sin⁡α=1−925=45\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac9{25}}=\dfrac45; tan⁡α=−43\tan\alpha=-\dfrac43.
cos⁡(π−α)=−cos⁡α=35\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha=\dfrac35.
sin⁡2α=2⋅45⋅(−35)=−2425\sin2\alpha=2\cdot\dfrac45\cdot\left(-\dfrac35\right)=-\dfrac{24}{25}.
Kết luận: a) Đ; b) S; c) S; d) Đ.

1,0

0002

α\alpha thuộc góc phần tư II nên sin⁡α>0\sin\alpha>0, tan⁡α<0\tan\alpha<0.
sin⁡α=1213\sin\alpha=\dfrac{12}{13}; tan⁡α=−125\tan\alpha=-\dfrac{12}{5}.
cos⁡(π−α)=−cos⁡α=513\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha=\dfrac5{13}.
sin⁡2α=2⋅1213⋅(−513)=−120169\sin2\alpha=2\cdot\dfrac{12}{13}\cdot\left(-\dfrac5{13}\right)=-\dfrac{120}{169}.
Kết luận: a) S; b) Đ; c) Đ; d) S.

1,0

0003

α\alpha thuộc góc phần tư IV nên sin⁡α<0\sin\alpha<0, tan⁡α<0\tan\alpha<0.
sin⁡α=−1−64289=−1517\sin\alpha=-\sqrt{1-\dfrac{64}{289}}=-\dfrac{15}{17}; tan⁡α=−158\tan\alpha=-\dfrac{15}{8}.
sin⁡(−α)=−sin⁡α=1517\sin(-\alpha)=-\sin\alpha=\dfrac{15}{17}.
sin⁡2α=2⋅(−1517)⋅817=−240289\sin2\alpha=2\cdot\left(-\dfrac{15}{17}\right)\cdot\dfrac8{17}=-\dfrac{240}{289}.
Kết luận: a) S; b) Đ; c) Đ; d) Đ.

1,0

0004

α\alpha thuộc góc phần tư IV nên sin⁡α<0\sin\alpha<0, tan⁡α<0\tan\alpha<0.
sin⁡α=−2425\sin\alpha=-\dfrac{24}{25}; tan⁡α=−247\tan\alpha=-\dfrac{24}{7}.
cos⁡(π−α)=−cos⁡α=−725\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha=-\dfrac7{25}.
sin⁡2α=2⋅(−2425)⋅725=−336625\sin2\alpha=2\cdot\left(-\dfrac{24}{25}\right)\cdot\dfrac7{25}=-\dfrac{336}{625}.
Kết luận: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.

1,0

Câu 14. Mẫu số liệu ghép nhóm

Với giá trị đại diện xix_i, tần số fif_i, cỡ mẫu NN, số trung bình là x‾=∑fixiN\overline{x}=\dfrac{\sum f_ix_i}{N}.

Trung vị được tính theo công thức Me=L+N2−FfhM_e=L+\dfrac{\frac N2-F}{f}h, trong đó LL là đầu mút trái của nhóm chứa trung vị, FF là tần số tích lũy trước nhóm đó, ff là tần số của nhóm và hh là độ dài nhóm.

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

Có 55 nhóm; N=2+4+8+4+2=20N=2+4+8+4+2=20.
Các giá trị đại diện: 55; 1515; 2525; 3535; 4545.
x‾=2⋅5+4⋅15+8⋅25+4⋅35+2⋅4520=25\overline{x}=\dfrac{2\cdot5+4\cdot15+8\cdot25+4\cdot35+2\cdot45}{20}=25.
Tần số tích lũy: 22; 66; 1414; 1818; 2020. Nhóm chứa trung vị là [20;30)[20;30).
Me=20+10−68⋅10=25M_e=20+\dfrac{10-6}{8}\cdot10=25.
Kết luận: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.

1,0

0002

Có 55 nhóm; N=3+5+4+5+3=20N=3+5+4+5+3=20.
Các giá trị đại diện: 1515; 2525; 3535; 4545; 5555.
x‾=3⋅15+5⋅25+4⋅35+5⋅45+3⋅5520=35\overline{x}=\dfrac{3\cdot15+5\cdot25+4\cdot35+5\cdot45+3\cdot55}{20}=35. Mẫu số phải là 2020, không phải 55.
Tần số tích lũy: 33; 88; 1212; 1717; 2020. Nhóm chứa trung vị là [30;40)[30;40).
Me=30+10−84⋅10=35M_e=30+\dfrac{10-8}{4}\cdot10=35.
Kết luận: a) S; b) Đ; c) S; d) Đ.

1,0

0003

Có 55 nhóm; N=1+5+8+5+1=20N=1+5+8+5+1=20.
Các giá trị đại diện: 2525; 3535; 4545; 5555; 6565.
x‾=1⋅25+5⋅35+8⋅45+5⋅55+1⋅6520=45\overline{x}=\dfrac{1\cdot25+5\cdot35+8\cdot45+5\cdot55+1\cdot65}{20}=45. Mẫu số phải là 2020, không phải 55.
Tần số tích lũy: 11; 66; 1414; 1919; 2020. Nhóm chứa trung vị là [40;50)[40;50).
Me=40+10−68⋅10=45M_e=40+\dfrac{10-6}{8}\cdot10=45.
Kết luận: a) Đ; b) Đ; c) S; d) Đ.

1,0

0004

Có 55 nhóm; N=4+3+6+3+4=20N=4+3+6+3+4=20.
Các giá trị đại diện: 3535; 4545; 5555; 6565; 7575.
x‾=4⋅35+3⋅45+6⋅55+3⋅65+4⋅7520=55\overline{x}=\dfrac{4\cdot35+3\cdot45+6\cdot55+3\cdot65+4\cdot75}{20}=55.
Tần số tích lũy: 44; 77; 1313; 1616; 2020. Nhóm chứa trung vị là [50;60)[50;60).
Me=50+10−76⋅10=55M_e=50+\dfrac{10-7}{6}\cdot10=55.
Kết luận: a) S; b) S; c) Đ; d) Đ.

1,0

Câu 15. Số sách thư viện nhập

Dãy số sách nhập là cấp số cộng: un=u1+(n−1)du_n=u_1+(n-1)d; tổng năm số hạng đầu là S5=52(2u1+4d)S_5=\dfrac52(2u_1+4d).

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

u1=120u_1=120, d=20d=20.
u5=120+4⋅20=200u_5=120+4\cdot20=200.
S5=52(2⋅120+4⋅20)=800S_5=\dfrac52(2\cdot120+4\cdot20)=800.
Kết luận: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.

1,0

0002

u1=150u_1=150, d=30d=30.
u5=150+4⋅30=270u_5=150+4\cdot30=270.
S5=52(2⋅150+4⋅30)=1050S_5=\dfrac52(2\cdot150+4\cdot30)=1050.
Kết luận: a) S; b) Đ; c) S; d) Đ.

1,0

0003

u1=180u_1=180, d=25d=25.
u5=180+4⋅25=280u_5=180+4\cdot25=280.
S5=52(2⋅180+4⋅25)=1150S_5=\dfrac52(2\cdot180+4\cdot25)=1150.
Kết luận: a) Đ; b) Đ; c) S; d) Đ.

1,0

0004

u1=200u_1=200, d=40d=40.
u5=200+4⋅40=360u_5=200+4\cdot40=360.
S5=52(2⋅200+4⋅40)=1400S_5=\dfrac52(2\cdot200+4\cdot40)=1400.
Kết luận: a) S; b) Đ; c) Đ; d) S.

1,0

Câu 16. Giá trị ô tô

Nếu mỗi năm giảm theo tỉ lệ rr thì Vn=V0(1−r)nV_n=V_0(1-r)^n. Dãy giá trị xe là cấp số nhân có công bội q=1−rq=1-r, với 0<q<10<q<1. Điều kiện giá trị xe dưới một nửa ban đầu là qn<12q^n<\dfrac12.

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

q=0,8q=0{,}8; Vn=800⋅0,8nV_n=800\cdot0{,}8^n (triệu đồng).
V1=640V_1=640; V2=512V_2=512.
0,83=0,512>0,50{,}8^3=0{,}512>0{,}5; 0,84=0,4096<0,50{,}8^4=0{,}4096<0{,}5. Do 0,8n0{,}8^n giảm theo nn, số năm tối thiểu là 44.
Kết luận: a) Đ; b) Đ; c) S; d) S.

1,0

0002

q=0,75q=0{,}75; Vn=900⋅0,75nV_n=900\cdot0{,}75^n (triệu đồng).
V1=675V_1=675; V2=506,25V_2=506{,}25.
0,752=0,5625>0,50{,}75^2=0{,}5625>0{,}5; 0,753=0,421875<0,50{,}75^3=0{,}421875<0{,}5. Số năm tối thiểu là 33.
Kết luận: a) Đ; b) S; c) Đ; d) Đ.

1,0

0003

q=0,9q=0{,}9; Vn=750⋅0,9nV_n=750\cdot0{,}9^n (triệu đồng).
V1=675V_1=675; V2=607,5V_2=607{,}5.
0,96=0,531441>0,50{,}9^6=0{,}531441>0{,}5; 0,97=0,4782969<0,50{,}9^7=0{,}4782969<0{,}5. Số năm tối thiểu là 77.
Kết luận: a) S; b) Đ; c) Đ; d) S.

1,0

0004

q=0,85q=0{,}85; Vn=850⋅0,85nV_n=850\cdot0{,}85^n (triệu đồng).
V1=722,5V_1=722{,}5; V2=614,125V_2=614{,}125.
Dãy không phải cấp số cộng vì mức giảm hằng năm không cố định.
0,854=0,52200625>0,50{,}85^4=0{,}52200625>0{,}5; 0,855=0,4437053125<0,50{,}85^5=0{,}4437053125<0{,}5. Số năm tối thiểu là 55.
Kết luận: a) S; b) Đ; c) S; d) Đ.

1,0

VI. KIỂM TRA KẾT QUẢ PHẦN III

Câu 17. Biểu thức lượng giác

Dùng sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha; không cần xác định dấu của sin⁡α\sin\alpha.

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

P=25(1−925)=16P=25\left(1-\dfrac9{25}\right)=16. Đáp án: 16.

0,5

0002

P=169(1−25169)=144P=169\left(1-\dfrac{25}{169}\right)=144. Đáp án: 144.

0,5

0003

P=289(1−64289)=225P=289\left(1-\dfrac{64}{289}\right)=225. Đáp án: 225.

0,5

0004

P=625(1−49625)=576P=625\left(1-\dfrac{49}{625}\right)=576. Đáp án: 576.

0,5

Câu 18. Tổng cấp số nhân

Vì u2≠0u_2\ne0, công bội là q=u3u2=2q=\dfrac{u_3}{u_2}=2. Suy ra u1=u22u_1=\dfrac{u_2}{2} và S5=u125−12−1=31u1S_5=u_1\dfrac{2^5-1}{2-1}=31u_1.

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

q=126=2q=\dfrac{12}{6}=2, u1=3u_1=3.
S5=3⋅31=93S_5=3\cdot31=93. Đáp án: 93.

0,5

0002

q=168=2q=\dfrac{16}{8}=2, u1=4u_1=4.
S5=4⋅31=124S_5=4\cdot31=124. Đáp án: 124.

0,5

0003

q=2010=2q=\dfrac{20}{10}=2, u1=5u_1=5.
S5=5⋅31=155S_5=5\cdot31=155. Đáp án: 155.

0,5

0004

q=2412=2q=\dfrac{24}{12}=2, u1=6u_1=6.
S5=6⋅31=186S_5=6\cdot31=186. Đáp án: 186.

0,5

Câu 19. Số hạng của cấp số cộng

Hai số cuối là hai số hạng liên tiếp, nên công sai bằng số cuối trừ số đứng trước nó.

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

d=15−11=4d=15-11=4; x=11−4=7x=11-4=7. Dãy là 33; 77; 1111; 1515. Đáp án: 7.

0,5

0002

d=19−14=5d=19-14=5; x=14−5=9x=14-5=9. Dãy là 44; 99; 1414; 1919. Đáp án: 9.

0,5

0003

d=23−17=6d=23-17=6; x=17−6=11x=17-6=11. Dãy là 55; 1111; 1717; 2323. Đáp án: 11.

0,5

0004

d=27−20=7d=27-20=7; x=20−7=13x=20-7=13. Dãy là 66; 1313; 2020; 2727. Đáp án: 13.

0,5

Câu 20. Đếm nghiệm phương trình lượng giác

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

sin⁡x=12⇔x=π6+2kπ\sin x=\dfrac12\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi hoặc x=5π6+2kπx=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z.
Trên [0;3π][0;3\pi], các nghiệm là π6\dfrac{\pi}{6}; 5π6\dfrac{5\pi}{6}; 13π6\dfrac{13\pi}{6}; 17π6\dfrac{17\pi}{6}.
Có 44 nghiệm. Đáp án: 4.

0,5

0002

cos⁡x=12⇔x=±π3+2kπ\cos x=\dfrac12\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z.
Trên [0;3π][0;3\pi], các nghiệm là π3\dfrac{\pi}{3}; 5π3\dfrac{5\pi}{3}; 7π3\dfrac{7\pi}{3}.
Có 33 nghiệm. Đáp án: 3.

0,5

0003

sin⁡x=−12⇔x=−π6+2kπ\sin x=-\dfrac12\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi hoặc x=7π6+2kπx=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z.
Trên [0;3π][0;3\pi], các nghiệm là 7π6\dfrac{7\pi}{6}; 11π6\dfrac{11\pi}{6}.
Có 22 nghiệm. Đáp án: 2.

0,5

0004

cos⁡x=−12⇔x=±2π3+2kπ\cos x=-\dfrac12\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z.
Trên [0;3π][0;3\pi], các nghiệm là 2π3\dfrac{2\pi}{3}; 4π3\dfrac{4\pi}{3}; 8π3\dfrac{8\pi}{3}.
Có 33 nghiệm. Đáp án: 3.

0,5

Câu 21. Số viên gạch ốp tường

Số viên gạch theo từng hàng là cấp số cộng có công sai d=2d=2. Với nn hàng, số viên hàng đầu aa, tổng số viên là Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n=\dfrac n2[2a+(n-1)d].

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

n=12n=12, a=8a=8, d=2d=2.
Hàng cuối có 8+11⋅2=308+11\cdot2=30 viên.
S12=12(8+30)2=228S_{12}=\dfrac{12(8+30)}2=228 viên. Đáp án: 228.

0,5

0002

n=14n=14, a=10a=10, d=2d=2.
Hàng cuối có 10+13⋅2=3610+13\cdot2=36 viên.
S14=14(10+36)2=322S_{14}=\dfrac{14(10+36)}2=322 viên. Đáp án: 322.

0,5

0003

n=16n=16, a=12a=12, d=2d=2.
Hàng cuối có 12+15⋅2=4212+15\cdot2=42 viên.
S16=16(12+42)2=432S_{16}=\dfrac{16(12+42)}2=432 viên. Đáp án: 432.

0,5

0004

n=18n=18, a=14a=14, d=2d=2.
Hàng cuối có 14+17⋅2=4814+17\cdot2=48 viên.
S18=18(14+48)2=558S_{18}=\dfrac{18(14+48)}2=558 viên. Đáp án: 558.

0,5

Câu 22. Thời gian trả hết tiền vay

Tính tiền theo đơn vị triệu đồng. Gọi PP là số tiền vay, AA là số tiền dự kiến trả cuối mỗi tháng, q=1,01q=1{,}01.

Nếu hình thức trả đều được tiếp tục thì biểu thức dư nợ sau lần trả thứ nn là

Dn=Pqn−A(1+q+⋯+qn−1)=Pqn−Aqn−10,01.D_n=Pq^n-A(1+q+\cdots+q^{n-1})=Pq^n-A\dfrac{q^n-1}{0{,}01}.

Tháng trả hết nợ là số nguyên dương nhỏ nhất để Dn≤0D_n\leq0. Dấu không dương chỉ là điều kiện kiểm tra khả năng thanh toán; trên thực tế, tháng cuối chỉ trả khoản còn nợ.

Vì trong cả bốn mã đều có A−0,01P>0A-0{,}01P>0, điều kiện tương đương

qn≥AA−0,01P.q^n\geq\dfrac{A}{A-0{,}01P}.

So sánh các lũy thừa liên tiếp bằng máy tính; không cần sử dụng lôgarit.

Mã đề

Nội dung kiểm tra đáp án

Điểm

0001

P=100P=100, A=21A=21. Điều kiện trả hết nợ:
1,01n≥2121−1=1,051{,}01^n\geq\dfrac{21}{21-1}=1{,}05.
1,014=1,04060401<1,051{,}01^4=1{,}04060401<1{,}05;
1,015=1,0510100501>1,051{,}01^5=1{,}0510100501>1{,}05.
Do 1,01n1{,}01^n tăng theo nn, số tháng tối thiểu là 55. Đáp án: 5.

0,5

0002

P=120P=120, A=22A=22. Điều kiện trả hết nợ:
1,01n≥2222−1,2=55521{,}01^n\geq\dfrac{22}{22-1{,}2}=\dfrac{55}{52}.
1,015≈1,051010<5552≈1,0576921{,}01^5\approx1{,}051010<\dfrac{55}{52}\approx1{,}057692;
1,016≈1,061520>55521{,}01^6\approx1{,}061520>\dfrac{55}{52}.
Số tháng tối thiểu là 66. Đáp án: 6.

0,5

0003

P=140P=140, A=23A=23. Điều kiện trả hết nợ:
1,01n≥2323−1,4=1151081{,}01^n\geq\dfrac{23}{23-1{,}4}=\dfrac{115}{108}.
1,016≈1,061520<115108≈1,0648151{,}01^6\approx1{,}061520<\dfrac{115}{108}\approx1{,}064815;
1,017≈1,072135>1151081{,}01^7\approx1{,}072135>\dfrac{115}{108}.
Số tháng tối thiểu là 77. Đáp án: 7.

0,5

0004

P=160P=160, A=21A=21. Điều kiện trả hết nợ:
1,01n≥2121−1,6=105971{,}01^n\geq\dfrac{21}{21-1{,}6}=\dfrac{105}{97}.
1,017≈1,072135<10597≈1,0824741{,}01^7\approx1{,}072135<\dfrac{105}{97}\approx1{,}082474;
1,018≈1,082857>105971{,}01^8\approx1{,}082857>\dfrac{105}{97}.
Số tháng tối thiểu là 88. Đáp án: 8.

0,5

HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM

Đề cùng môn Toán, lớp 11

Xem tất cả

Đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán 11 - Năm học 2026 – 2027

ToánLớp 11
Ttrang nguyen 6

Đề kiểm tra Toán 11 – Đề 1

ToánLớp 11
TThầy Hoàng Sơn 7

Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 11 – Kết nối tri thức – Có hướng dẫn chấm

ToánLớp 11
TToán 1 6

Hai đề giữa học kỳ I Toán 11 năm học 2026–2027 – Mã đề 101 và 102

ToánLớp 11
RRB Đỗ 0

Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán 11 - Kết nối tri thức

ToánLớp 11
DDHai Nguyen 4

Đề kiểm tra Chuyên đề Cấp số cộng - Toán 11

ToánLớp 11
NNguyen Thanh Nhan 4

Chuyên đề Vận dụng cao: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm – Toán 11

ToánLớp 11
TTo Nguyen 2

Bộ 2 đề kiểm tra Giữa học kỳ I Toán 11 năm học 2026 - 2027

ToánLớp 11
HHoài Thương Thân Thị 0

Đề ôn tập Giữa học kì I - Môn Toán 11

ToánLớp 11
NNga Nguyễn 3

Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 11

ToánLớp 11
TTrần Thị Ngân Bình 1

Đề kiểm tra cuối chương Quan hệ song song – Toán 11

ToánLớp 11
ĐĐinh Mỹ Hạnh 2

Đề cương ôn tập kiểm tra định kỳ Toán 11 - Năm học 2026 - 2027

ToánLớp 11
Lliên trịnh 0