Bài toán Vận dụng cao Tập hợp – Toán 10

Câu hỏi (Vận dụng cao).
Cho hai tập hợp khác rỗng:

$$A = [m - 1; 2m + 3]$$

$$B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \ge 3\}$$

với $m$ là tham số thực.

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \cap B = \varnothing$.

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tập hợp $A \setminus B$ có đúng 4 phần tử là các số nguyên.

--------- HẾT ---------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

1. Điều kiện xác định của các tập hợp

- Tập hợp $A = [m - 1; 2m + 3]$ là một đoạn khác rỗng khi và chỉ khi:

$$m - 1 \le 2m + 3 \iff m \ge -4$$

- Xét tập hợp $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \ge 3\}$:
Ta có:

$$|x - 2| \ge 3 \iff \left[\begin{array}{l} x - 2 \ge 3 \\ x - 2 \le -3 \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} x \ge 5 \\ x \le -1 \end{array}\right.$$

Do đó:

$$B = (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$$

- Phần bù của $B$ trong $\mathbb{R}$ là:

$$C_{\mathbb{R}}B = \mathbb{R} \setminus B = (-1; 5)$$

2. Lời giải câu a

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \cap B = \varnothing$.

Theo định nghĩa phép bù, ta có:

$$A \cap B = \varnothing \iff A \subset C_{\mathbb{R}}B \iff [m - 1; 2m + 3] \subset (-1; 5)$$

Vì $(-1; 5)$ là khoảng mở nên để đoạn $[m - 1; 2m + 3] \subset (-1; 5)$, điều kiện cần và đủ là:

$$\begin{cases} m \ge -4 \text{ (điều kiện } A \ne \varnothing \text{)} \\ m - 1 > -1 \\ 2m + 3 < 5 \end{cases} \iff \begin{cases} m \ge -4 \\ m > 0 \\ 2m < 2 \end{cases} \iff \begin{cases} m > 0 \\ m < 1 \end{cases} \iff 0 < m < 1$$

Thử lại tại các điểm biên:
- Khi $m = 0$: $A = [-1; 3] \implies A \cap B = \{-1\} \ne \varnothing$ (loại).
- Khi $m = 1$: $A = [0; 5] \implies A \cap B = \{5\} \ne \varnothing$ (loại).

Vậy tập hợp các giá trị $m$ cần tìm là $m \in (0; 1)$.

3. Lời giải câu b

Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để $A \setminus B$ có đúng 4 phần tử là các số nguyên.

Ta có:

$$A \setminus B = A \cap C_{\mathbb{R}}B = [m - 1; 2m + 3] \cap (-1; 5)$$

Tập hợp tất cả các số nguyên nằm trong khoảng $(-1; 5)$ là:

$$S = \{0; 1; 2; 3; 4\}$$

Tập $S$ gồm đúng 5 số nguyên liên tiếp.

Do đó, một số nguyên $k$ thuộc $A \setminus B$ khi và chỉ khi:

$$k \in S \quad \text{và} \quad k \in [m - 1; 2m + 3] \iff \begin{cases} k \in \{0; 1; 2; 3; 4\} \\ m - 1 \le k \le 2m + 3 \end{cases}$$

Vì $A$ là một đoạn nên các số nguyên thuộc $A \setminus B$ phải là các số nguyên liên tiếp trong tập $S$. Để $A \setminus B$ chứa đúng 4 số nguyên, ta chỉ có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Tập các số nguyên thuộc $A \setminus B$ là $\{0; 1; 2; 3\}$ (loại số 4)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
- Các số $0, 1, 2, 3$ đều thuộc $A = [m - 1; 2m + 3]$.
- Số $4$ không thuộc $A$ (tức là đầu mút phải của $A$ nhỏ hơn 4).
- Các số $\le -1$ dù có thuộc $A$ hay không thì khi giao với $(-1; 5)$ cũng bị loại bỏ, nên không ảnh hưởng.

Do đó, ta có hệ điều kiện:

$$\begin{cases} m - 1 \le 0 \text{ (chứa 0)} \\ 2m + 3 \ge 3 \text{ (chứa 3)} \\ 2m + 3 < 4 \text{ (không chứa 4)} \end{cases} \iff \begin{cases} m \le 1 \\ m \ge 0 \\ 2m < 1 \end{cases} \iff 0 \le m < \dfrac{1}{2}$$

Kiểm tra:
- Với $m = 0$: $A = [-1; 3] \implies A \setminus B = (-1; 3]$, chứa các số nguyên $\{0; 1; 2; 3\}$ (thỏa mãn).
- Với $m \in \left[0; \dfrac{1}{2}\right)$: đầu mút phải $2m + 3 \in [3; 4)$ nên luôn nhận đúng 4 số nguyên $\{0; 1; 2; 3\}$.

Trường hợp 2: Tập các số nguyên thuộc $A \setminus B$ là $\{1; 2; 3; 4\}$ (loại số 0)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
- Số $0$ không thuộc $A$ (tức là đầu mút trái của $A$ phải lớn hơn 0).
- Các số $1, 2, 3, 4$ đều thuộc $A = [m - 1; 2m + 3]$.
- Các số $\ge 5$ dù có thuộc $A$ hay không thì khi giao với $(-1; 5)$ cũng bị loại bỏ, nên không ảnh hưởng.

Do đó, ta có hệ điều kiện:

$$\begin{cases} m - 1 > 0 \text{ (không chứa 0)} \\ m - 1 \le 1 \text{ (chứa 1)} \\ 2m + 3 \ge 4 \text{ (chứa 4)} \end{cases} \iff \begin{cases} m > 1 \\ m \le 2 \\ m \ge \dfrac{1}{2} \end{cases} \iff 1 < m \le 2$$

Kiểm tra:
- Với $m = 2$: $A = [1; 7] \implies A \setminus B = [1; 7] \cap (-1; 5) = [1; 5)$, chứa các số nguyên $\{1; 2; 3; 4\}$ (thỏa mãn).
- Với $m = 1$: $A = [0; 5] \implies A \setminus B = [0; 5)$, chứa cả số 0 nên có 5 số nguyên (loại).

Kết luận

Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$$m \in \left[0; \dfrac{1}{2}\right) \cup (1; 2]$$