Bài tập ôn tập lượng giác nâng cao – Toán 10

TRẮC NGHIỆM

Mỗi câu hỏi có bốn phương án lựa chọn, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

Câu 1. Cho $\tan\alpha = 3$. Tính $P = \dfrac{2\sin^2\alpha - 5\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}$.

Câu 2. Cho $\cot\alpha = 2$. Tính $P = \dfrac{3\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}$.

Câu 3. Cho $\tan\alpha = -2$. Tính $P = \dfrac{\sin^2\alpha + 3\sin\alpha\cos\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha}$.

Câu 4. Cho $\cot\alpha = -3$. Tính $P = \dfrac{2\sin^2\alpha + \sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}$.

Câu 5. Cho $\alpha$ là góc tù và $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$. Tính $P = \dfrac{\tan\alpha + 2\cot\alpha}{\tan\alpha - \cot\alpha}$.

Câu 6. Cho $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$. Tính $P = \dfrac{2\cot\alpha + \tan\alpha}{\cot\alpha + \tan\alpha}$.

Câu 7. Cho $\tan\alpha = 2$. Tính $P = \dfrac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}$.

Câu 8. Cho $\cot\alpha = 2$. Tính $P = \dfrac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}$.

Câu 9. Cho $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\alpha \ne 135^\circ$. Rút gọn $P = \dfrac{\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$.

Câu 10. Cho $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\alpha \ne 45^\circ$. Rút gọn $P = \dfrac{\sin^3\alpha - \cos^3\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$.

Câu 11. Cho $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\alpha \ne 90^\circ$. Rút gọn
$P = \cos^2\alpha\left(\dfrac{1}{1-\sin\alpha} + \dfrac{1}{1+\sin\alpha}\right)$.

Câu 12. Cho $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\alpha \ne 90^\circ$. Rút gọn
$P = \cos^2\alpha\left(\dfrac{1}{1-\sin\alpha} - \dfrac{1}{1+\sin\alpha}\right)$.

Câu 13. Cho $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\alpha \ne 90^\circ$. Rút gọn $P = (\tan\alpha+\cot\alpha)^2-(\tan\alpha-\cot\alpha)^2$.

Câu 14. Cho $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$. Rút gọn $P = (\sin\alpha+\cos\alpha)^4+(\sin\alpha-\cos\alpha)^4$.

Câu 15. Cho $0^\circ < \alpha < 180^\circ$, $\alpha \ne 45^\circ$ và $\alpha \ne 135^\circ$. Rút gọn
$P = \dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\dfrac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}$.

Câu 16. Cho $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\alpha \ne 90^\circ$. Rút gọn $P = \dfrac{\tan^2\alpha-\cot^2\alpha}{\tan\alpha+\cot\alpha}$.

Câu 17. Cho góc tù $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha=\dfrac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $A=\sin\alpha\cdot\cot(180^\circ-\alpha)+\cos(180^\circ-\alpha)\cdot\cot(90^\circ-\alpha)$ bằng

Câu 18. Cho góc tù $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha=-\dfrac{3}{5}$. Giá trị của biểu thức $B=\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\dfrac{\cos(180^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}$ bằng

Câu 19. Cho $0^\circ<\alpha<90^\circ$ và $\tan\alpha=2$. Giá trị của biểu thức $C=\dfrac{[\sin(180^\circ-\alpha)-\sin(90^\circ-\alpha)]^2}{\sin\alpha\cos\alpha}$ bằng

Câu 20. Cho góc tù $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$. Giá trị của biểu thức $D=\dfrac{\cot(180^\circ-\alpha)-\tan(180^\circ-\alpha)}{\sin(180^\circ-\alpha)+\cos(90^\circ-\alpha)}$ bằng

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ GIẢI CHI TIẾT

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm; tổng điểm toàn bài là 10,0 điểm.

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

C. HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Chia tử và mẫu cho $\cos^2\alpha$:
$P=\dfrac{2\cdot 3^2-5\cdot 3+1}{3^2+1}=\dfrac{2}{5}$. Chọn A.

Câu 2. Chia tử và mẫu cho $\sin^2\alpha$:
$P=\dfrac{3-2\cdot 2}{1+2^2}=-\dfrac{1}{5}$. Chọn B.

Câu 3. Chia tử và mẫu cho $\cos^2\alpha$:
$P=\dfrac{(-2)^2+3(-2)+2}{(-2)^2-(-2)+1}=0$. Chọn C.

Câu 4. Chia tử và mẫu cho $\sin^2\alpha$:
$P=\dfrac{2-3}{1+(-3)^2}=-\dfrac{1}{10}$. Chọn D.

Câu 5. Vì $\alpha$ là góc tù nên $\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}$. Do đó
$P=\dfrac{\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}=\dfrac{9+32}{9-16}=-\dfrac{41}{7}$. Chọn A.

Câu 6. Ta có $\sin^2\alpha=\dfrac{16}{25}$. Suy ra
$P=\dfrac{2\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}=\dfrac{18+16}{25}=\dfrac{34}{25}$. Chọn B.

Câu 7. Đặt $t=\tan\alpha=2$. Chia tử và mẫu cho $\cos^3\alpha$, rồi dùng $\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+t^2$:
$P=\dfrac{(2t-1)(1+t^2)}{t^3+1}=\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}$. Chọn C.

Câu 8. Đặt $u=\cot\alpha=2$. Chia tử và mẫu cho $\sin^3\alpha$, rồi dùng $\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=1+u^2$:
$P=\dfrac{(1-3u)(1+u^2)}{1+u^3}=-\dfrac{25}{9}$. Chọn D.

Câu 9. Dùng hằng đẳng thức tổng hai lập phương:
$P=\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1-\sin\alpha\cos\alpha$. Chọn A.

Câu 10. Dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:
$P=\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+\sin\alpha\cos\alpha$. Chọn B.

Câu 11. Quy đồng hai phân thức và dùng $1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$:
$P=\cos^2\alpha\cdot\dfrac{2}{1-\sin^2\alpha}=2$. Chọn C.

Câu 12. Quy đồng hai phân thức:
$P=\cos^2\alpha\cdot\dfrac{2\sin\alpha}{1-\sin^2\alpha}=2\sin\alpha$. Chọn D.

Câu 13. Theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương,
$P=4\tan\alpha\cot\alpha=4$. Chọn A.

Câu 14. Vì $(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2=1\pm2\sin\alpha\cos\alpha$ nên
$P=(1+2\sin\alpha\cos\alpha)^2+(1-2\sin\alpha\cos\alpha)^2=2+8\sin^2\alpha\cos^2\alpha$. Chọn B.

Câu 15. Quy đồng:
$P=\dfrac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}=\dfrac{2}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$. Chọn C.

Câu 16. Vì $\tan\alpha+\cot\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\ne0$, ta được
$P=\dfrac{(\tan\alpha-\cot\alpha)(\tan\alpha+\cot\alpha)}{\tan\alpha+\cot\alpha}=\tan\alpha-\cot\alpha$. Chọn D.

Câu 17. Vì $\alpha$ là góc tù nên $\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Do đó $\tan\alpha=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$, $\cot\alpha=-2\sqrt{2}$. Các biểu thức đã cho đều xác định. Sử dụng các hệ thức góc bù, góc phụ, ta có

$$A=-\sin\alpha\cot\alpha+\cos\alpha\tan\alpha =\dfrac{2\sqrt{2}}{3}+\dfrac{1}{3} =\dfrac{1+2\sqrt{2}}{3}.$$

Chọn A.

Câu 18. Vì $\alpha$ là góc tù nên $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{4}{5}$. Khi đó $\sin\alpha-\cos\alpha=\dfrac{7}{5}\ne0$ và $\sin\alpha\ne0$, nên biểu thức xác định. Ta có $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$, suy ra

$$B=\dfrac{\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}+\frac{3}{5}}+\dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} =\dfrac{1}{7}+\dfrac{3}{4} =\dfrac{25}{28}.$$

Chọn B.

Câu 19. Vì $0^\circ<\alpha<90^\circ$ nên $\sin\alpha\cos\alpha\ne0$ và biểu thức xác định. Theo các hệ thức góc bù, góc phụ,

$$C=\dfrac{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha} =\dfrac{1-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\tan\alpha+\cot\alpha-2 =2+\dfrac{1}{2}-2=\dfrac{1}{2}.$$

Chọn C.

Câu 20. Vì $\alpha$ là góc tù nên $\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\dfrac{4}{5}$, từ đó $\tan\alpha=-\dfrac{3}{4}$ và $\cot\alpha=-\dfrac{4}{3}$. Các giá trị lượng giác trong biểu thức đều xác định; mẫu số bằng $2\sin\alpha=\dfrac{6}{5}\ne0$. Do đó

$$D=\dfrac{-\cot\alpha+\tan\alpha}{2\sin\alpha} =\dfrac{\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}{\frac{6}{5}} =\dfrac{35}{72}.$$

Chọn D.