Hai đề ôn tập Toán 9 kèm lời giải chi tiết

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Chọn một phương án đúng trong mỗi câu sau.

Câu 1. Phương trình $2x-y=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Câu 2. Cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$?

Câu 3. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 4. Nghiệm tổng quát của phương trình $4x+0y=8$ là

Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x+3}$ là

Câu 6. Nếu $a>b$ và $c>d$ thì khẳng định nào luôn đúng?

Câu 7. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

Câu 8. Nghiệm của bất phương trình $x-3>5$ là

Câu 9. Nhiệt độ $t$ °C không thấp hơn $15$ °C được biểu diễn bởi

Câu 10. Giá trị của $\tan45^\circ$ bằng

Câu 11. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB=3$ cm, $AC=4$ cm. Giá trị của $\sin B$ bằng

Câu 12. Hệ thức nào sau đây đúng?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Trong mỗi ý a), b), c), d), hãy xác định khẳng định đúng hay sai.

Câu 1. Hai lớp $9A$ và $9B$ có tổng cộng $70$ học sinh. Mỗi học sinh lớp $9A$ trồng $4$ cây, mỗi học sinh lớp $9B$ trồng $3$ cây; cả hai lớp trồng được $245$ cây. Gọi $x$, $y$ lần lượt là số học sinh lớp $9A$ và lớp $9B$.
a) $x$, $y$ là các số nguyên dương.
b) Ta có phương trình $x+y=70$.
c) Ta có phương trình $3x+4y=245$.
d) Mỗi lớp có $35$ học sinh.

Câu 2. Cho $a<b$.
a) $3a<3b$.
b) $-2a<-2b$.
c) $a-5<b-5$.
d) $a+c<b+c$ với mọi số thực $c$.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Hai đường thẳng $2x-y=3$ và $x+y=0$ cắt nhau tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?

Câu 2. Phương trình $(x-2)(3x+6)=0$ có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu?

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức $A=\dfrac{\sin30^\circ+\cos60^\circ}{\tan45^\circ}$.

Câu 4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{B}=35^\circ$, $AB=8$ cm. Tính độ dài $AC$ theo đơn vị centimét, làm tròn đến hàng phần mười.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1. Giải các hệ phương trình:
a) $\begin{cases}x+y=7\\2x-y=2\end{cases}$
b) $\begin{cases}2(x-1)+(y+2)=7\\(x-1)-(y+2)=1\end{cases}$

Câu 2.
a) Giải phương trình $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{4}{x^2-1}$.
b) Giải bất phương trình $3(x+2)-5\ge2x+4$.
c) Một bạn có $100\,000$ đồng, mua một chiếc bút giá $16\,000$ đồng và một số quyển vở giá $7\,000$ đồng mỗi quyển. Hỏi bạn mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $AB=6$ cm, $AC=8$ cm.
a) Tính $BC$ và $AH$.
b) Tính số đo góc $B$, làm tròn đến độ.
c) Chứng minh $\sin B\cdot\cos B=\dfrac{AH}{BC}$.

--------- HẾT ĐỀ 1 ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Chọn một phương án đúng trong mỗi câu sau.

Câu 1. Cặp số nào là nghiệm của phương trình $-x+2y=5$?

Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases}x+y=4\\x-y=2\end{cases}$ là

Câu 3. Hệ nào sau đây là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$?

Câu 4. Phương trình $(x-3)(x+2)=0$ có các nghiệm là

Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{1}{x-4}$ là

Câu 6. Biết $5a<4a$. Khẳng định nào đúng?

Câu 7. Nếu $a<b$ và $c>0$ thì

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình $2x-6\le0$ là

Câu 9. Giá trị của $\tan30^\circ$ bằng

Câu 10. Cho $\alpha$ là góc nhọn và $\cot\alpha=\dfrac{4}{3}$. Khi đó $\tan\alpha$ bằng

Câu 11. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB=5$ cm, $AC=12$ cm. Giá trị của $\cos B$ bằng

Câu 12. Hệ thức nào sau đây sai?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Trong mỗi ý a), b), c), d), hãy xác định khẳng định đúng hay sai.

Câu 1. Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được tổng cộng $800$ sản phẩm. Tháng sau, tổ I sản xuất tăng $10\%$, tổ II tăng $20\%$ so với tháng đầu; cả hai tổ sản xuất được $920$ sản phẩm. Gọi $x$, $y$ lần lượt là số sản phẩm tháng đầu của tổ I và tổ II.
a) $x$, $y$ là các số nguyên dương.
b) $x+y=800$.
c) $1{,}1x+1{,}2y=920$.
d) Tháng đầu tổ I sản xuất $400$ sản phẩm.

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB=5$ cm, $AC=12$ cm, $BC=13$ cm.
a) $\sin C=\dfrac{5}{13}$.
b) $\cos B=\dfrac{12}{13}$.
c) $\tan B=\dfrac{12}{5}$.
d) $\sin B=\cos C=\dfrac{12}{13}$.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Hệ phương trình $\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$ có nghiệm $(x_0;y_0)$. Tính $x_0-y_0$.

Câu 2. Phương trình $\dfrac{1}{x-2}=1$ có bao nhiêu nghiệm?

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức $A=2\sin30^\circ+\tan45^\circ-\cos60^\circ$.

Câu 4. Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$, $\widehat{N}=40^\circ$, $MN=10$ cm. Tính độ dài $MP$ theo đơn vị centimét, làm tròn đến hàng phần mười.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1. Giải các hệ phương trình:
a) $\begin{cases}x+y=8\\2x-y=4\end{cases}$
b) $\begin{cases}2(x+1)+(y-1)=8\\(x+1)-(y-1)=1\end{cases}$

Câu 2.
a) Giải phương trình $\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{5}{x^2-1}$.
b) Giải bất phương trình $5(x-2)+3<2x+5$.
c) Một người dự thi phải trả lời hết $12$ câu hỏi. Mỗi câu đúng được cộng $5$ điểm, mỗi câu sai bị trừ $2$ điểm; ban đầu người đó có $20$ điểm. Hỏi người dự thi phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu để đạt từ $50$ điểm trở lên?

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $AB=5$ cm, $AC=12$ cm.
a) Tính $BC$ và $AH$.
b) Tính số đo góc $B$, làm tròn đến độ.
c) Chứng minh $AB\cdot\cos B+AC\cdot\cos C=BC$.

--------- HẾT ĐỀ 2 ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 1

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. D. Phương trình tương đương $y=2x$; mỗi giá trị thực của $x$ cho một nghiệm.

Câu 2. A. Thay $(x;y)=(3;2)$ thỏa mãn cả hai phương trình.

Câu 3. C. Cả hai hệ số của $x$ và $y$ đều bằng $0$.

Câu 4. A. Từ $4x=8$ suy ra $x=2$; $y$ nhận giá trị thực tùy ý.

Câu 5. B. Các mẫu khác $0$ khi $x\ne1$ và $x\ne-3$.

Câu 6. C. Cộng từng vế của $a>b$ và $c>d$ được $a+c>b+d$.

Câu 7. D. Bất phương trình $3x-5\le0$ có dạng bậc nhất một ẩn với hệ số của $x$ khác $0$.

Câu 8. B. Chuyển vế được $x>5+3=8$.

Câu 9. D. “Không thấp hơn $15$ °C” nghĩa là $t\ge15$.

Câu 10. A. Theo giá trị lượng giác của góc đặc biệt, $\tan45^\circ=1$.

Câu 11. C. Theo định lí Pythagore, $BC=5$ cm. Do đó $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45$.

Câu 12. B. Hai góc $35^\circ$ và $55^\circ$ phụ nhau nên $\sin35^\circ=\cos55^\circ$.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1

a) Đúng. Số học sinh mỗi lớp là số nguyên dương.

b) Đúng. Tổng số học sinh hai lớp là $70$.

c) Sai. Số cây hai lớp trồng được là $4x+3y$, nên phương trình đúng là $4x+3y=245$.

d) Đúng. Giải hệ $\begin{cases}x+y=70\\4x+3y=245\end{cases}$ được $x=y=35$.

Câu 2

a) Đúng. Nhân hai vế của $a<b$ với $3>0$ giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

b) Sai. Nhân với $-2<0$ phải đổi chiều, được $-2a>-2b$.

c) Đúng. Cộng $-5$ vào hai vế giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

d) Đúng. Cộng cùng một số thực $c$ vào hai vế giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1

Từ $x+y=0$ suy ra $y=-x$. Thay vào $2x-y=3$ được $3x=3$, nên $x=1$, $y=-1$.

Đáp số: $-1$.

Câu 2

Phương trình có hai nghiệm $x=2$ và $x=-2$. Tổng các nghiệm bằng $0$.

Câu 3

$A=\dfrac{\frac12+\frac12}{1}=1$.

Câu 4

Ta có $\tan35^\circ=\dfrac{AC}{AB}$, nên $AC=8\tan35^\circ\approx5{,}6$ cm.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1

a) Cộng hai phương trình được $3x=9$, suy ra $x=3$. Thay vào $x+y=7$ được $y=4$.

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(3;4)$.

b) Đặt $u=x-1$, $v=y+2$. Hệ trở thành $\begin{cases}2u+v=7\\u-v=1\end{cases}$.

Cộng hai phương trình được $3u=8$, suy ra $u=\dfrac83$, $v=\dfrac53$.

Vậy $x=\dfrac{11}{3}$, $y=-\dfrac13$; nghiệm của hệ là $\left(\dfrac{11}{3};-\dfrac13\right)$.

Câu 2

a) Điều kiện xác định: $x\ne1$, $x\ne-1$.

Nhân hai vế với $x^2-1$, ta được:

$$x+1+x-1=4.$$

Suy ra $2x=4$, nên $x=2$, thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$.

b) Ta có:

$$3x+6-5\ge2x+4\iff x\ge3.$$

Vậy tập nghiệm là $\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge3\}$.

c) Gọi $n$ là số quyển vở, với $n$ là số nguyên không âm. Theo đề bài:

$$16\,000+7\,000n\le100\,000\iff n\le12.$$

Vậy bạn mua được nhiều nhất $12$ quyển vở.

Câu 3

[Hình vẽ]

a) Theo định lí Pythagore:

$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ cm}.$$

Từ $\dfrac12 AB\cdot AC=\dfrac12 BC\cdot AH$, suy ra:

$$AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot8}{10}=4{,}8\text{ cm}.$$

b) $\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac43$, nên $\widehat{B}\approx53^\circ$.

c) Ta có:

$$\sin B\cdot\cos B=\dfrac{AC}{BC}\cdot\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AB\cdot AC}{BC^2}.$$

Mặt khác, $AB\cdot AC=AH\cdot BC$. Do đó:

$$\sin B\cdot\cos B=\dfrac{AH}{BC}.$$

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 2

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. B. Thay $x=-1$, $y=2$ được $-x+2y=1+4=5$.

Câu 2. D. Cộng hai phương trình được $2x=6$, suy ra $x=3$, $y=1$.

Câu 3. A. Cả hai phương trình của hệ A đều là phương trình bậc nhất theo hai ẩn $x$, $y$.

Câu 4. C. Tích bằng $0$ khi $x-3=0$ hoặc $x+2=0$, nên $x=3$ hoặc $x=-2$.

Câu 5. B. Các mẫu khác $0$ khi $x\ne-2$ và $x\ne4$.

Câu 6. D. Trừ $4a$ ở hai vế được $a<0$.

Câu 7. A. Nhân hai vế của $a<b$ với $c>0$ giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

Câu 8. C. $2x-6\le0\iff2x\le6\iff x\le3$.

Câu 9. B. $\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Câu 10. D. $\tan\alpha=\dfrac{1}{\cot\alpha}=\dfrac34$.

Câu 11. A. $BC=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm, nên $\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac5{13}$.

Câu 12. C. $\tan60^\circ=\cot30^\circ$, không phải $\cot40^\circ$.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1

a) Đúng. Số sản phẩm của mỗi tổ là số nguyên dương.

b) Đúng. Tổng sản phẩm tháng đầu là $800$.

c) Đúng. Tháng sau, hai tổ lần lượt sản xuất $1{,}1x$ và $1{,}2y$ sản phẩm.

d) Sai. Từ hệ $\begin{cases}x+y=800\\1{,}1x+1{,}2y=920\end{cases}$ suy ra $y=400$, $x=400$; do đó khẳng định này thực ra đúng.

Câu 2

a) Đúng. $\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac5{13}$.

b) Sai. $\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac5{13}$.

c) Đúng. $\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{5}$.

d) Đúng. $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{13}$ và $\cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{13}$.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1

Cộng hai phương trình được $3x_0=6$, nên $x_0=2$, $y_0=3$.

Vậy $x_0-y_0=-1$.

Câu 2

Điều kiện $x\ne2$. Phương trình tương đương $x-2=1$, suy ra $x=3$, thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có $1$ nghiệm.

Câu 3

$A=2\cdot\dfrac12+1-\dfrac12=1{,}5$.

Câu 4

$\tan40^\circ=\dfrac{MP}{MN}$, do đó $MP=10\tan40^\circ\approx8{,}4$ cm.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1

a) Cộng hai phương trình được $3x=12$, suy ra $x=4$. Thay vào $x+y=8$ được $y=4$.

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(4;4)$.

b) Đặt $u=x+1$, $v=y-1$. Hệ trở thành $\begin{cases}2u+v=8\\u-v=1\end{cases}$.

Cộng hai phương trình được $3u=9$, nên $u=3$, $v=2$. Suy ra $x=2$, $y=3$.

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(2;3)$.

Câu 2

a) Điều kiện xác định: $x\ne1$, $x\ne-1$.

Nhân hai vế với $x^2-1$, được:

$$2(x+1)-(x-1)=5.$$

Suy ra $x+3=5$, nên $x=2$, thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$.

b) Ta có:

$$5x-10+3<2x+5\iff3x<12\iff x<4.$$

Vậy tập nghiệm là $\{x\in\mathbb{R}\mid x<4\}$.

c) Gọi $n$ là số câu trả lời đúng, với $n$ là số nguyên và $0\le n\le12$. Số câu sai là $12-n$. Tổng điểm là:

$$20+5n-2(12-n)=7n-4.$$

Để đạt từ $50$ điểm trở lên:

$$7n-4\ge50\iff n\ge\dfrac{54}{7}.$$

Vì $n$ là số nguyên, người dự thi phải trả lời đúng ít nhất $8$ câu.

Câu 3

[Hình vẽ]

a) Theo định lí Pythagore:

$$BC=\sqrt{5^2+12^2}=13\text{ cm}.$$

Từ $AB\cdot AC=BC\cdot AH$, suy ra:

$$AH=\dfrac{5\cdot12}{13}=\dfrac{60}{13}\text{ cm}.$$

b) $\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{5}$, nên $\widehat{B}\approx67^\circ$.

c) Vì $\cos B=\dfrac{AB}{BC}$ và $\cos C=\dfrac{AC}{BC}$, ta có:

$$AB\cdot\cos B+AC\cdot\cos C=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC}=\dfrac{BC^2}{BC}=BC.$$