Chuyên đề bài tập rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Bài 1. Cho biểu thức:

$$P = (a^{2013} - 8a^{2012} + 11a^{2011}) + (b^{2013} - 8b^{2012} + 11b^{2011})$$

Tính giá trị của biểu thức $P$ với $a = 4+\sqrt{5}$ và $b = 4-\sqrt{5}$.

Bài 2. Cho $-\dfrac{3}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}$; $x \ne 0$ và $\sqrt{3+2x} - \sqrt{3-2x} = a$. Tính giá trị của biểu thức sau theo $a$:

$$P = \dfrac{\sqrt{6+2\sqrt{9-4x^2}}}{x}$$

Bài 3. Tính giá trị của biểu thức $A = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2$ với:

$$x = \sqrt{2+\dfrac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2}} + \sqrt{2-\dfrac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2}} - \sqrt{3-\sqrt{5}} - 1$$

Bài 4. Cho biểu thức:

$$A = \left( \dfrac{3x+\sqrt{16x}-7}{x+2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3} - \dfrac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}-1} \right) : \left( 2 - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right)$$

a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Tìm $x$ để $A = -6$.

Bài 5. Rút gọn biểu thức:

$$P = \left( \dfrac{\sqrt{a-2}+2}{3} \right)\left( \dfrac{\sqrt{a-2}}{3+\sqrt{a-2}} + \dfrac{a+7}{11-a} \right) : \left( \dfrac{3\sqrt{a-2}+1}{a-3\sqrt{a-2}-2} - \dfrac{1}{\sqrt{a-2}} \right)$$

Bài 6. Cho $x, y, z$ thoả mãn điều kiện $xyz = 100$. Tính giá trị của biểu thức:

$$A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+10} + \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1} + \dfrac{10\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+10\sqrt{z}+10}$$

Bài 7. Cho số $a = \sqrt[3]{55+\sqrt{3024}} + \sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$. Tính giá trị của biểu thức:

$$P = \dfrac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$$

Bài 8. Rút gọn biểu thức:

$$B = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{6}} + \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{6}} + \dfrac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}} \right) - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

Bài 9. Cho $\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} = \sqrt{2}$ với $|x| < 1$, $x \ne 0$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{x-1}{x+1} = 12\sqrt{2} - 17$$

Bài 10. Cho biểu thức:

$$M = \dfrac{2}{3}\left[ \dfrac{1}{1+\left( \dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{3}} \right)^2} + \dfrac{1}{1+\left( \dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{3}} \right)^2} \right]\cdot \dfrac{2020}{x+1}$$

a) Rút gọn biểu thức $M$.
b) Tìm giá trị lớn nhất của $M$.

Bài 11. Cho biểu thức:

$$A = \left( \dfrac{2}{\sqrt{x}-2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x}+1} - \dfrac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2} \right) : \dfrac{2\sqrt{x}+3}{3x-6\sqrt{x}} \quad (x > 0, x \ne 4)$$

a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Tìm $x$ để $A = 2\sqrt{x} - 1$.

Bài 12. Cho các số dương $x, y, z$ thoả mãn điều kiện $xyz = 4$. Tính $\sqrt{P}$ với:

$$P = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2} + \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1} + \dfrac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}$$

Bài 13. Cho biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}+1} + \dfrac{\sqrt{n+1}+3}{\sqrt{n+1}-3} - \dfrac{n-\sqrt{n+1}+7}{n-2\sqrt{n+1}-2}$ với $n \in \mathbb{N}$, $n \ne 8$.
a) Rút gọn biểu thức $Q = \dfrac{P}{n+3\sqrt{n+1}+1}$ với $n \in \mathbb{N}$, $n \ne 8$.
b) Tìm tất cả các giá trị $n$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \ne 8$) sao cho $P$ là số nguyên tố.

Bài 14. Cho $x, y, z > 0$ và đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $P$ sau không phụ thuộc vào vị trí của các biến:

$$P = \dfrac{x}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{z})} + \dfrac{y}{(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{y}-\sqrt{x})} + \dfrac{z}{(\sqrt{z}-\sqrt{x})(\sqrt{z}-\sqrt{y})}$$

Bài 15. Cho biểu thức:

$$P = \left( \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}} \right)\cdot \dfrac{x^3 y - xy^3}{x+y} - \dfrac{2y}{x-y}$$

Chứng minh rằng $P$ luôn nhận giá trị nguyên với mọi $x, y$ thoả mãn điều kiện $x > 0$, $y > 0$, $x \ne y$.

Bài 16. Cho biểu thức:

$$P = \left( \dfrac{2x+1}{\sqrt{x^3}-1} - \dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \right) : \left( \dfrac{3}{\sqrt{x}-1} + \dfrac{2\sqrt{x}+5}{1-x} \right)$$

a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x = \dfrac{8}{3-\sqrt{5}}$.
c) Tìm các giá trị của $x$ để $P$ nhận giá trị là số tự nhiên.
d) Tìm $x$ để $P < -1$.