Chuyên đề Toán 9 - Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

TÓM TẮT LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Dây và đường kính của đường tròn

- Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn.
- Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn. Đường kính của đường tròn bán kính $R$ có độ dài bằng $2R$.

Định lí: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

2. Góc ở tâm, cung và số đo của một cung

a) Khái niệm góc ở tâm và cung tròn
- Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Chú ý:
- Khi góc $\widehat{AOB}$ không bẹt thì cung nằm trong góc $\widehat{AOB}$ gọi là cung nhỏ, kí hiệu là $\overparen{AmB}$ hay $\overparen{AB}$. Cung còn lại $\overparen{AnB}$ gọi là cung lớn. Khi góc $\widehat{AOB}$ bẹt thì mỗi cung $\overparen{AB}$ gọi là một nửa đường tròn.
- Ta còn nói góc $\widehat{AOB}$ chắn cung $\overparen{AB}$ hay cung $\overparen{AB}$ bị chắn bởi góc $\widehat{AOB}$.

b) Cách xác định số đo của một cung
- Số đo của cung nửa đường tròn bằng $180^\circ$.
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^\circ$ và số đo của cung nhỏ có chung hai mút.
- Số đo của cung $AB$ được kí hiệu là $\mathrm{sđ}\,\overparen{AB}$.

Trên hình vẽ: $\mathrm{sđ}\,\overparen{AmB} = \widehat{AOB} = \alpha$; $\mathrm{sđ}\,\overparen{AnB} = 360^\circ - \alpha$.

Chú ý:
- Cung có số đo $n^\circ$ còn gọi là cung $n^\circ$. Cả đường tròn được coi là cung $360^\circ$.
- Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo.
- Nếu điểm $C$ thuộc cung $\overparen{AB}$ thì: $\mathrm{sđ}\,\overparen{AB} = \mathrm{sđ}\,\overparen{AC} + \mathrm{sđ}\,\overparen{CB}$.

PHẦN A. TỰ LUẬN PHÂN DẠNG TOÁN

DẠNG 1. TÍNH SỐ ĐO GÓC Ở TÂM VÀ SỐ ĐO CUNG BỊ CHẮN

Kiến thức cần nhớ:
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó: $\mathrm{sđ}\,\overparen{AmB} = \widehat{AOB} = \alpha$.
- Số đo của cung lớn: $\mathrm{sđ}\,\overparen{AnB} = 360^\circ - \alpha$.
- Số đo cung của nửa đường tròn bằng $180^\circ$.
- Nếu $B$ là một điểm thuộc cung $\overparen{ABC}$ thì $\mathrm{sđ}\,\overparen{ABC} = \mathrm{sđ}\,\overparen{AB} + \mathrm{sđ}\,\overparen{BC}$.

Bài 1. Cho ba điểm $A, B$ và $C$ thuộc đường tròn $(O)$ như hình vẽ.

a) Tìm các góc ở tâm có hai cạnh đi qua hai trong ba điểm $A, B, C$.
b) Tìm các cung có hai mút là hai trong ba điểm $A, B, C$.

Bài 2. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ dưới đây, biết rằng $\widehat{AOC} = 30^\circ$ và $\widehat{BOC} = 80^\circ$.

a) Tính số đo cung $AC$.
b) Tính số đo cung $AB$.

Bài 3. Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $BC$. $A$ là điểm trên đường tròn sao cho $\widehat{AOC} = 78^\circ$.

a) Tính số đo cung $BC$.
b) So sánh hai cung nhỏ $AC$ và $AB$.

Bài 4. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết rằng $\widehat{AOB} = 110^\circ$ và $\widehat{OAC} = 30^\circ$.

a) Tính số đo cung nhỏ $AB$.
b) Tính số đo cung nhỏ $AC$.
c) Tính số đo cung lớn $BC$.

Bài 5. Trong hình vẽ sau, coi mỗi vành đồng hồ là một đường tròn.

Tìm số đo của cung nhỏ $AB$ và cung lớn $CD$.

Bài 6. Trên một chiếc đồng hồ có các vạch chia như hình bên.

Tính số đo góc ở tâm được tạo thành khi kim giờ quay:
a) Từ 6 giờ đến 8 giờ.
b) Từ 9 giờ đến 12 giờ.

Bài 7. Trên một chiếc đồng hồ có các vạch chia như hình bên.

Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian 28 phút:
a) Đầu kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?
b) Đầu kim giờ vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

Bài 8. Biểu đồ hình quạt tròn ở hình bên mô tả các thành phần của một chai nước ép hoa quả (tính theo tỉ số phần trăm). Hãy cho biết các cung tương ứng với phần biểu diễn thành phần việt quất, táo, mật ong lần lượt có số đo là bao nhiêu độ.

Bài 9. Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Xác định số đo của các cung $\overparen{AB}, \overparen{AC}, \overparen{AD}$.

Bài 10. Cho đường tròn $(O)$ có $BC$ là đường kính. Trên đường tròn $(O)$ lấy điểm $A$ sao cho $ABC$ là tam giác vuông cân tại đỉnh $A$. Tính số đo của các cung có các đầu mút là hai trong các điểm $A, B, C$.

Bài 11. Cho $C$ là điểm trên đường tròn $(O)$. Đường trung trực của đoạn $OC$ cắt $(O)$ tại $A$ và $B$. Tính số đo của $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ABC}$.

Bài 12. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Vẽ đường tròn tâm $O$, đường kính $BC$. Đường tròn $(O)$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$.
a) Chứng minh hai cung nhỏ $BM$ và $CN$ có số đo bằng nhau.
b) Giả sử $\widehat{BAC} = 50^\circ$, tính $\widehat{MON}$.

Bài 13. Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ và $C$ là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên các cung $CA$ và $CB$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\mathrm{sđ}\,\overparen{CM} = \mathrm{sđ}\,\overparen{BN}$.
a) Chứng minh $\mathrm{sđ}\,\overparen{AM} = \mathrm{sđ}\,\overparen{CN}$.
b) Chứng minh $\mathrm{sđ}\,\overparen{MN} = \mathrm{sđ}\,\overparen{CA} = \mathrm{sđ}\,\overparen{CB}$.

Bài 14. Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AE$. Gọi $B, C, D$ là ba điểm trên nửa đường tròn sao cho $\mathrm{sđ}\,\overparen{AC} = 2\,\mathrm{sđ}\,\overparen{AB}$; $\mathrm{sđ}\,\overparen{AD} = 3\,\mathrm{sđ}\,\overparen{AB}$.
a) Chứng minh rằng: $\mathrm{sđ}\,\overparen{AB} = \mathrm{sđ}\,\overparen{BC} = \mathrm{sđ}\,\overparen{CD}$.
b) Chứng minh rằng: $\mathrm{sđ}\,\overparen{AC} = \mathrm{sđ}\,\overparen{BD}$.
c) Chứng minh cung $AD$ và $BC$ có chung điểm chính giữa.

DẠNG 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Kiến thức cần nhớ:
- Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.
- Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính của đường tròn đó.
- Bổ đề 1: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- Bổ đề 2: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Bài 1. Quan sát hình vẽ bên dưới.

a) So sánh $MN$ và $OM + ON$.
b) So sánh $MN$ và $AB$.

Bài 2. Bạn Minh Hiền căng ba đoạn chỉ $AB, CD, EF$ có độ dài lần lượt là $26\text{ cm}, 24\text{ cm}$ và $30\text{ cm}$ trên một khung thêu hình tròn bán kính $15\text{ cm}$ (như hình vẽ). Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường tròn? Giải thích.

Bài 3. Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B} = \widehat{D} = 90^\circ$.
a) Chứng minh bốn điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) So sánh độ dài $AC$ và $BD$.

Bài 4. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $3\text{ cm}$ và hai dây $AB, AC$. Biết $AB = 5\text{ cm}, AC = 2\text{ cm}$.
a) Tính khoảng cách từ $O$ đến dây $AB$.
b) Tính khoảng cách từ $O$ đến dây $AC$.

Bài 5. Cho đường tròn tâm $(O; R)$ và một dây cung $AB$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, tia $OI$ cắt cung $AB$ tại $M$.
a) Cho $R = 5\text{ cm}, AB = 6\text{ cm}$. Tính độ dài dây cung $MA$.
b) Gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $O$, giả sử $MA = 5\text{ cm}; AB = 6\text{ cm}$. Tính bán kính $R$.

Bài 6. Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Dây $CD$ cắt $AB$ tại $M$, biết $MC = 4\text{ cm}, MD = 12\text{ cm}$, $\widehat{BMD} = 30^\circ$.
a) Tính khoảng cách từ $O$ đến $CD$.
b) Tính bán kính của đường tròn $(O)$.

Bài 7. Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. Lấy điểm $C$ là trung điểm đoạn $OB$. Kẻ dây $MN$ qua $C$ và dây $AD \parallel MN$. So sánh độ dài $AD$ và $MN$.

PHẦN B. TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

Câu 2. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là:

Câu 3. Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng:

Câu 4. Trong một đường tròn, số đo cung lớn bằng:

Câu 5. Trong hai cung của một đường tròn, cung nào nhỏ hơn thì

Câu 6. Trong hai cung của một đường tròn:

Câu 7. Cho hình a, hình b và hình c như sau:

Hình a

Hình b

Hình c

Nhận xét nào sau đây sai?

Câu 8. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ:

Nhận xét nào sau đây sai?

Câu 9. Cho tam giác $MNP$ có ba đỉnh nằm trên đường tròn $(I)$ như hình vẽ.

Các góc ở tâm của đường tròn $(I)$ là:

Câu 10. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, hãy cho biết có bao nhiêu góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai điểm trong bốn điểm $A, B, C, D$?

Câu 11. Trong hình vẽ sau, coi mỗi khung đồng hồ là một đường tròn, kim giờ và kim phút là các tia số. Góc ở tâm tạo bởi kim giờ và kim phút có số đo là bao nhiêu?

Câu 12. Trong hình vẽ sau, coi mỗi khung đồng hồ là một đường tròn, kim giờ và kim phút là các tia số. Góc ở tâm tạo bởi kim giờ và kim phút có số đo là bao nhiêu?

Câu 13. Trong hình vẽ sau, coi mỗi khung đồng hồ là một đường tròn, kim giờ và kim phút là các tia số. Kim giờ và kim phút tạo thành cung bị chắn có số đo là bao nhiêu?

Câu 14. Trong hình vẽ sau, coi mỗi khung đồng hồ là một đường tròn, kim giờ và kim phút là các tia số. Kim giờ và kim phút tạo thành cung bị chắn có số đo là bao nhiêu?

Câu 15. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu vào thời điểm 2 giờ đúng?

Câu 16. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu vào thời điểm 8 giờ đúng?

Câu 17. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu vào thời điểm 20 giờ?

Câu 18. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu vào thời điểm 21 giờ?

Câu 19. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết $\mathrm{sđ}\,\overparen{AmB} = 65^\circ$.

Số đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$ là:

Câu 20. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ sau:

Nhận xét nào sau đây đúng?

Câu 21. Trên cung $AB$ có số đo $90^\circ$ của đường tròn $(O)$, lấy điểm $M$ sao cho cung $AM$ có số đo $15^\circ$. Tính số đo của cung $MB$.

Câu 22. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết số đo góc $\widehat{MPO} = 25^\circ$.

Số đo góc ở tâm $\widehat{MOP}$ bằng:

Câu 23. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết số đo góc $\widehat{OMP} = 45^\circ$.

Số đo cung nhỏ $\overparen{MP}$ bằng:

Câu 24. Cho hình vẽ, biết ba đỉnh của tam giác đều $MNP$ nằm trên đường tròn $(O)$.

Số đo góc ở tâm $\widehat{NOP}$ bằng:

Câu 25. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và dây $CD$ không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 26. Xét dây $AB$ tuỳ ý không đi qua tâm của đường tròn $(O; R)$. Nhận định nào sau đây đúng?

Câu 27. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Câu 28. Trên đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ lấy hai điểm $A$ và $B$. Khi đó:

Câu 29. Bạn Trúc Linh căng ba đoạn chỉ $AB, CD, FE$ có độ dài lần lượt là $16\text{ cm}, 14\text{ cm}$ và $20\text{ cm}$ trên một khung thêu hình tròn bán kính $10\text{ cm}$. Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường tròn?

Câu 30. Cho đường tròn $(I)$ có các dây $AB, CD, FE$. Cho biết $AB$ và $CD$ đi qua tâm $I$, $FE$ không đi qua $I$ như hình vẽ.

Nhận xét nào sau đây sai?

Câu 31. Cho đường tròn $(O)$ có $AB$ là đường kính, $OC$ là bán kính, $PQ$ là dây cung không đi qua $O$. Nhận xét nào sau đây sai?

Câu 32. Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Nhận xét nào sau đây đúng?

Câu 33. Trong một trò chơi, hai bạn An (kí hiệu điểm $A$) và Bình (kí hiệu điểm $B$) cùng chạy trên một đường tròn tâm $O$ có bán kính $30\text{ m}$ như hình vẽ. Dây $AB$ là khoảng cách giữa bạn An và Bình ở một thời điểm nào đó.

Nhận xét nào sau đây sai?

Câu 34. Cho đường tròn $(O)$ có hai dây $AB$ và $CD$ biết $CD < AB$.

Hãy chọn khẳng định đúng:

Câu 35. Cho đường tròn $(O)$ có bán kính $R = 5\text{ cm}$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $3\text{ cm}$. Tính độ dài dây $AB$.

Câu 36. Cho đường tròn $(O)$ có bán kính $R = 6{,}5\text{ cm}$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $2{,}5\text{ cm}$. Tính độ dài dây $AB$.

Câu 37. Cho đường tròn đường kính $MN$. Với $P$ là một điểm bất kì (khác $M$ và $N$) nằm trên đường tròn.

Kết luận nào sau đây đúng?

Câu 38. Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. Kẻ hai dây $AC$ và $BD$ song song. So sánh độ dài $AC$ và $BD$.

Câu 39. Cho đường tròn $(O)$ có hai dây $AB, CD$ không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?

Câu 40. Cho đường tròn $(O)$ có hai dây $AB, CD$ không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến dây $AB$ lớn hơn khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $CD$. Kết luận nào sau đây là đúng?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 41. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết $\widehat{AOC} = 55^\circ, \widehat{AOD} = 45^\circ$.

a) $\widehat{COD} = 55^\circ$.
b) $\widehat{AOB} = 80^\circ$.
c) Số đo cung nhỏ $AB$ lớn hơn số đo cung nhỏ $CD$.
d) Số đo cung lớn $AB$ bằng $235^\circ$.

Câu 42. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết $\widehat{AOC} = 45^\circ, \widehat{BOC} = 30^\circ$.

a) Số đo cung nhỏ $BC$ bằng $45^\circ$.
b) $\widehat{AOB} = 75^\circ$.
c) Số đo cung lớn $AB$ bằng $75^\circ$.
d) $AC < BC$.

Câu 43. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết $\widehat{OAB} = 30^\circ, \widehat{OCD} = 40^\circ$.

a) $\triangle AOB$ cân tại $O$.
b) Số đo cung nhỏ $AB$ bằng $100^\circ$.
c) Số đo cung lớn $CD$ bằng $100^\circ$.
d) $AB > CD$.

Câu 44. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết $\widehat{OAC} = 90^\circ$ và $OA = OB = BC$.

a) $\widehat{AOB} = 60^\circ$.
b) $\triangle ABC$ là tam giác đều.
c) Số đo cung nhỏ $AB$ bằng $120^\circ$.
d) Số đo cung lớn $AB$ bằng $240^\circ$.

Câu 45. Cho tam giác đều $ABC$. Vẽ đường tròn đường kính $BC$ cắt cạnh $AB$ và $AC$ tại $D$ và $E$ như hình vẽ.

a) $\widehat{BOD} = 60^\circ$.
b) Số đo cung $\overparen{CED}$ bằng $100^\circ$.
c) $\widehat{BOD} = \widehat{DOE} = \widehat{EOC}$.
d) $\mathrm{sđ}\,\overparen{BD} = \mathrm{sđ}\,\overparen{DE} = \mathrm{sđ}\,\overparen{EC} = 60^\circ$.

Câu 46. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết $\widehat{AOC} = 135^\circ, \widehat{OAB} = 60^\circ$.

a) Số đo cung nhỏ $AC$ bằng $135^\circ$.
b) Tam giác $ABO$ là tam giác vuông cân.
c) Số đo cung lớn $AB$ bằng $300^\circ$.
d) $AC < BC$.

Câu 47. Cho đường tròn $(O; R)$ có hai dây $AB, CD$ bằng nhau và vuông góc với nhau tại $I$. Biết $IA = 2\text{ cm}; IB = 4\text{ cm}$. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $O$ trên $AB$ và $CD$.

a) $EA = EB$.
b) $EA = EB = FC = FD$.
c) $OE > OF$.
d) Tổng khoảng cách từ tâm $O$ đến hai dây $AB, CD$ bằng $3\text{ cm}$.

Câu 48. Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ và một dây $MN$. Kẻ $AE$ và $BF$ vuông góc với $MN$ lần lượt tại $E$ và $F$. Lấy $I$ là trung điểm của $MN$ và gọi $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $BE, OI$.

a) $OI \perp MN$.
b) $PE = PB$.
c) $IE > IF$.
d) $OE < OF$.

Câu 49. Cho đường tròn $(O; R)$. Gọi $H$ là trung điểm thuộc bán kính $OA$. Dây $CD$ vuông góc với $OA$ tại $H$.

a) $CH = 2CD$.
b) Tứ giác $OCAD$ là hình vuông.
c) Tam giác $OAC$ đều.
d) Số đo cung lớn $CD$ bằng $120^\circ$.

Câu 50. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, vẽ góc ở tâm $\widehat{AOC} = 55^\circ$. Vẽ dây $CD$ vuông góc với $AB$ và dây $DE$ song song với $AB$.

a) $\widehat{EDC} > 90^\circ$.
b) Ba điểm $E, O, C$ thẳng hàng.
c) Số đo cung nhỏ $BE$ bằng $60^\circ$.
d) Số đo cung lớn $BE$ bằng $300^\circ$.

Câu 51. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC} = 40^\circ$. Vẽ đường tròn tâm $O$, đường kính $BC$. Đường tròn $(O)$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $I, K$.

a) $\triangle IBC$ vuông tại $I$ và $\triangle KBC$ vuông tại $K$.
b) Số đo cung nhỏ $BI$ bằng số đo cung nhỏ $CK$.
c) $\widehat{IOK} = 80^\circ$.
d) Số đo cung lớn $BI$ bằng $280^\circ$.

Câu 52. Cho đường tròn $(O; 8\text{ cm})$. Dây $AB$ và $CD$ song song, có độ dài lần lượt là $14\text{ cm}$ và $10\text{ cm}$. Kẻ đường thẳng qua $O$ vuông góc với $CD$ tại $E$ và cắt $AB$ tại $F$.

a) $EF \perp AB$.
b) $ED > 5\text{ cm}$ và $FB > 7\text{ cm}$.
c) Khoảng cách từ $O$ đến dây $CD$ là $\sqrt{39}\text{ cm}$.
d) Khoảng cách giữa hai dây $AB$ và $CD$ bằng $\sqrt{39} + \sqrt{17}\text{ cm}$.

Câu 53. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 14\text{ cm}$, dây $CD$ có độ dài $12\text{ cm}$ vuông góc với $AB$ tại $H$ nằm giữa $O$ và $B$.

a) $CD$ là đường kính của đường tròn $(O)$.
b) $HD = 7\text{ cm}$.
c) Độ dài $OH$ bằng $\sqrt{14}\text{ cm}$.
d) Độ dài $HA$ bằng $7 + \sqrt{14}\text{ cm}$.

Câu 54. Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC$. Gọi $E$ là giao điểm của $CM$ và $DN$. Gọi $I$ là trung điểm của $DM$.

a) $\widehat{CDN} = \widehat{ECN}$.
b) $\widehat{CEN} > 90^\circ$.
c) Bốn điểm $A, D, E, M$ cùng thuộc đường tròn.
d) $DM = AE$.

Câu 55. Cho tam giác $ABC$ nhọn và có các đường cao $BD, CE$. Biết đường tròn $(O)$ đi qua ba đỉnh $A, B, C$. Lấy $I$ là trung điểm của $BC$.
a) $DI = IB = IC$.
b) $EI = \dfrac{BC}{3}$.
c) Bốn điểm $B, C, D, E$ cùng thuộc đường tròn $\left(I; \dfrac{DE}{2}\right)$.
d) $BC < DE$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 56. Hồ Kingsley ở hạt Clay của Florida (Mỹ) có dạng hình tròn với đường kính $3{,}2\text{ km}$. Người ta muốn xây dựng một cây cầu bắc qua hồ Kingsley sao cho khoảng cách từ cây cầu đến tâm của hồ là $1000\text{ m}$. Hãy tính chiều dài của cây cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của kilômét).

Câu 57. Một chiếc cầu được thiết kế như hình bên dưới có độ dài $AB = 50\text{ m}$, chiều cao $MK = 4\text{ m}$. Tính bán kính của đường tròn chứa cung $AMB$ ($MK$ đi qua tâm của đường tròn chứa cung $AMB$ và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Câu 58. Một ngọn đèn hải đăng cao $100\text{ m}$ đặt tại bờ biển có góc nâng của đèn không quá $85^\circ$ so với phương thẳng đứng. Biết rằng ánh sáng của ngọn đèn hải đăng phát ra xem như một đường thẳng và đèn có thể xoay tròn xung quanh ngọn hải đăng. Một cây cầu bắc qua biển cách ngọn đèn hải đăng $750\text{ m}$. Khi ngọn đèn hải đăng xoay tròn với góc nâng $85^\circ$ thì chiếu sáng được một đoạn của chiếc cầu, hãy tính độ dài đoạn cầu được chiếu sáng đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Câu 59. Đường hầm vượt eo biển Măng-sơ nối hai nước Anh và Pháp có chiều dài khoảng $50\text{ km}$ (trong đó có $38\text{ km}$ chạy xuyên dưới đáy biển). Giả sử rằng vị trí hai đầu đường hầm thuộc Anh và Pháp nằm trên cùng một kinh tuyến ở bề mặt Trái Đất (Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính $6400\text{ km}$). Hãy tính độ sâu nhất của đường hầm so với bề mặt Trái Đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Câu 60. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết $\mathrm{sđ}\,\overparen{PK} = 50^\circ$. Số đo $\widehat{MOP}$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 61. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết số đo $\widehat{MNO} = 25^\circ$. Số đo cung nhỏ $NP$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 62. Cho đường tròn $(O)$ như hình vẽ, biết số đo cung nhỏ $BC$ bằng $54^\circ$. Số đo $\widehat{BAC}$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 63. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$, điểm $A$ nằm trên đường tròn sao cho $\widehat{AOC} = 120^\circ$. Số đo cung nhỏ $AB$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 64. Cho đường tròn $(O; R)$ và dây $AB = R$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $C$ sao cho $BC = R$. Kéo dài $CO$ cắt $(O)$ lần lượt tại $D$ và $E$. Số đo cung nhỏ $BE$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 65. Cho đường tròn $(O)$ có đường kính bằng $2026\text{ cm}$ và dây $AB = 1013\text{ cm}$. Số đo cung lớn $AB$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 66. Cho đường tròn $(O; R)$ và dây cung $MN = R\sqrt{2}$. Kẻ $OI$ vuông góc với $MN$ tại $I$. Số đo cung nhỏ $MN$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 67. Số đo cung nhỏ $AB$ trong hình ngôi sao năm cánh sau đây bằng bao nhiêu độ?

Câu 68. Cho đường tròn $(O; R)$. Gọi $H$ là điểm thuộc bán kính $OA$ sao cho $OH = \dfrac{\sqrt{3}}{2}OA$. Dây $CD$ vuông góc với $OA$ tại $H$. Số đo cung lớn $CD$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 69. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, vẽ góc ở tâm $\widehat{AOC} = 60^\circ$. Vẽ dây $CD$ vuông góc với $AB$ và dây $DE$ song song với $AB$. Số đo cung nhỏ $BE$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 70. Cho đường tròn $(O; 10\text{ cm})$. Lấy một điểm $A$ tùy ý thuộc $(O)$, vẽ dây $MN$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm của $OA$. Độ dài dây $MN$ bằng bao nhiêu centimét? (làm tròn kết quả đến hàng thập phân thứ nhất).

Câu 71. Cho đường tròn $(O; R)$ và dây $MN = R = 5\sqrt{3}\text{ cm}$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $MN$ bằng bao nhiêu centimét?

Câu 72. Cho đường tròn $(O; 10\text{ cm})$ và dây cung $MN = 16\text{ cm}$. Kẻ $OI$ vuông góc với $MN$ tại $I$. Độ dài $OI$ bằng bao nhiêu centimét?

Câu 73. Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $AB$ là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết $AB = 6\text{ cm}$. Hỏi khoảng cách từ $O$ đến dây $AB$ bằng bao nhiêu centimét?

Câu 74. Tâm $O$ của một đường tròn cách dây $AB$ của nó một khoảng $3\text{ cm}$ và $\widehat{AOB} = 100^\circ$. Hỏi bán kính của đường tròn $(O)$ bằng bao nhiêu centimét? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 75. Cho đường tròn $(O; 10\text{ cm})$ có dây $EF$, biết khoảng cách từ tâm $O$ tới dây $EF$ bằng $8\text{ cm}$. Hỏi độ dài dây $EF$ bằng bao nhiêu centimét?

Câu 76. Cho đường tròn $(O; 3\sqrt{2}\text{ cm})$ và dây $AB$ sao cho $\widehat{AOB} = 90^\circ$. Hỏi khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ bằng bao nhiêu centimét?

Câu 77. Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $AB$ là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết $AB = 6\text{ cm}$. Khoảng cách từ $O$ đến dây $AB$ bằng bao nhiêu centimét?

Câu 78. Cho đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ và dây $AB$. Biết rằng $\mathrm{sđ}\,\overparen{AB} = 90^\circ$. Khoảng cách từ $O$ đến dây $AB$ bằng bao nhiêu centimét? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).