Đề kiểm tra học kỳ II môn Toán 9

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (32 câu – 6,4 điểm)

Câu 1. Giá trị của biểu thức $\sqrt{(-16)^{2}}$ bằng

Câu 2. Phương trình $2x^{2} - x - m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi

Câu 3. Thống kê điểm sau 20 lần bắn bia của một xạ thủ như sau:

8 9 10 10 9 7 9 10 8 9 10 7 9 10 9 10 8 7 9 10

Tần số xạ thủ bắn vào điểm 10 là

Câu 4. Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$, $AB = 5\text{ cm}$; $AC = 12\text{ cm}$; $BC = 13\text{ cm}$. Độ dài $HB$ là (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Câu 5. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có $CH = 4\text{ cm}$, $BH = 5\text{ cm}$. Khi đó $\cos C$ bằng

Câu 6. Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$ có $MN = 6\text{ cm}$, $MP = 8\text{ cm}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ là

Câu 7. Cho $(O; 3\text{ cm})$ tiếp xúc ngoài với $(O'; 1\text{ cm})$. Vẽ bán kính $OB$ và $O'C$ song song với nhau cùng nằm một phía so với đường thẳng $OO'$. Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $OO'$. Độ dài $OD$ bằng

Câu 8. Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, đường kính $AM$. Số đo $\widehat{ABM}$ bằng số đo

Câu 9. Tổng tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^{2} - 2mx + 1 = 0$ có nghiệm kép là

Câu 10. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $(m - 1)x^2 + 2(m - 1)x + m - 3 = 0$ vô nghiệm?

Câu 11. Cho hệ phương trình $\begin{cases} -x - y = m - 1 \\ 3x + y = m + 1 \end{cases}$ ($m \in \mathbb{R}$). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(1; -1)$?

Câu 12. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số bậc nhất?

Câu 13. Cho hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$). Điểm $M(1; 2)$ thuộc đồ thị hàm số khi

Câu 14. Từ điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ tới đường tròn ($B, C$ là các tiếp điểm). Kẻ đường kính $BK$. Biết $\widehat{BAC} = 30^\circ$. Số đo của cung nhỏ $\overgroup{CK}$ là

Câu 15. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $x^2 - (3m + 1)x + m - 5 = 0$ có một nghiệm $x = -1$?

Câu 16. Phương trình $(x - 2)(x - 3) = 0$ có nghiệm là

Câu 17. Cho phương trình $mx^2 + 3x + 6 = 0$. Với điều kiện nào của $m$ thì phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn?

Câu 18. Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - (m - 3)x - m - 4 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < 2 < x_{2}$.

Câu 19. Biểu thức $\sqrt[3]{27} - \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$ có giá trị bằng

Câu 20. Với $x < 2$ thì biểu thức $\sqrt{(2 - x)^2} + x - 3$ có giá trị bằng

Câu 21. Điểm $A(-2; -1)$ thuộc đồ thị hàm số nào?

Câu 22. Hệ phương trình $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 2y = 7 \end{cases}$ có nghiệm là $(x_0; y_0)$. Giá trị của biểu thức $x_0 + y_0$ bằng

Câu 23. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $BC = 4\text{ cm}$, $AC = 2\text{ cm}$. Tính $\sin \widehat{ABC}$.

Câu 24. Tam giác $ABC$ cân tại $B$ có $\widehat{ABC} = 120^\circ$, $AB = 12\text{ cm}$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Bán kính của đường tròn $(O)$ bằng

Câu 25. Đồ thị hàm số $y = (1 + m^4)x^2$ là đường cong parabol nằm phía trên trục hoành khi

Câu 26. Bảng thống kê sau cho biết số lượng mượn các loại sách trong một tuần tại thư viện của trường THCS:

Tần số tương đối của sách tham khảo là

Câu 27. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AC = 20\text{ cm}$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $M$ ($M$ không trùng với $B$), tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn đường kính $AB$ cắt $AC$ tại $I$. Độ dài đoạn $AI$ bằng

Câu 28. Cho đường thẳng $(d_1): y = ax + b$ song song với đường thẳng $(d_2): y = -2x + 1$ và cắt trục tung tại điểm $A(0; 3)$. Giá trị của biểu thức $a^2 + b^3$ bằng

Câu 29. Xét phương trình $2x - 5\sqrt{x - 1} = 2\sqrt{x - 1} - 4$. Số nghiệm của phương trình là

Câu 30. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$. Biết $AH = \sqrt{12}\text{ cm}$, $\dfrac{HB}{HC} = \dfrac{1}{3}$. Độ dài đoạn $BC$ là

Câu 31. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$. Biết $\widehat{DBC} = 55^\circ$, số đo $\widehat{ACD}$ bằng

Câu 32. Cho $x = \sqrt[3]{\sqrt{5} + 2} - \sqrt[3]{\sqrt{5} - 2}$. Giá trị nào của $x$ là nghiệm của phương trình $x^{3} + 3x - 4 = 0$?

PHẦN II. TỰ LUẬN (5 câu – 3,6 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ x - 2y = -4 \end{cases}$
b) Giải bất phương trình: $2x + 5 > 3\left(2x - \dfrac{1}{3}\right) + 3$
c) Rút gọn biểu thức: $M = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{\sqrt{x}}{x - 1}\right) : \left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - 1\right)$ với $x \geq 0; x \neq 1$.

Câu 2 (0,75 điểm). Cho phương trình bậc hai $x^{2} - (2m + 5)x + 2m + 1 = 0$ (với $m$ là tham số).
a) Giải phương trình khi $m = -1$.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} - x_{2})^{2} = 12$.

Câu 3 (0,75 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Trong đợt phòng chống dịch bệnh, hai lớp 9A và 9B quyên góp được 60 hộp khẩu trang làm từ thiện. Biết rằng nếu chuyển 3 hộp khẩu trang của lớp 9A sang lớp 9B thì số hộp khẩu trang quyên góp được của lớp 9B sẽ bằng $\dfrac{7}{8}$ số hộp khẩu trang của lớp 9A. Hãy tính số hộp khẩu trang mỗi lớp quyên góp được.

Câu 4 (0,85 điểm). Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$.
a) Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp đường tròn.
b) Tia $CB$ cắt tia $DE$ tại $F$. Chứng minh $FB \cdot FC = FE \cdot FD$.
c) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Đường thẳng $AF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$. Chứng minh $\widehat{EDK} = \widehat{EAK}$.

Câu 5 (0,25 điểm). Cho các số thực $x, y$ thoả mãn $x^2 + y^2 = 16$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$M = \dfrac{xy}{x + y + 4}$$

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM

B. HƯỚNG DẪN CHẤM PHẦN TỰ LUẬN

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
1	a	Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ x - 2y = -4 \end{cases}$	0,35
		Ta có: $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 2x - 4y = -8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 7y = 21 \\ x = 2y - 4 \end{cases}$	0,20
		$\Leftrightarrow \begin{cases} y = 3 \\ x = 2 \end{cases}$. Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (2; 3)$.	0,15
	b	Giải bất phương trình: $2x + 5 > 3\left(2x - \dfrac{1}{3}\right) + 3$	0,30
		Ta có: $2x + 5 > 6x - 1 + 3 \Leftrightarrow 2x + 5 > 6x + 2$	0,15
		$\Leftrightarrow -4x > -3 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{4}$. Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < \dfrac{3}{4}$.	0,15
	c	Rút gọn biểu thức $M$ với $x \geq 0, x \neq 1$:	0,35
		$M = \left[\dfrac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}\right] : \left(\dfrac{\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1}\right)$	0,15
		$M = \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 1}{1} = \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$.	0,20
2	a	Giải phương trình khi $m = -1$:	0,40
		Với $m = -1$, phương trình trở thành: $x^2 - 3x - 1 = 0$. Ta có $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 13 > 0$.	0,20
		Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}; x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{13}}{2}$.	0,20
	b	Tìm $m$ để $(x_1 - x_2)^2 = 12$:	0,35
		Ta có $\Delta = [-(2m + 5)]^2 - 4(2m + 1) = 4m^2 + 12m + 21 = (2m + 3)^2 + 12 > 0$ với mọi $m$. Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$. Theo hệ thức Viète: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2m + 5 \\ x_1 x_2 = 2m + 1 \end{cases}$	0,15
		Ta có: $(x_1 - x_2)^2 = 12 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 12$ $\Leftrightarrow (2m + 5)^2 - 4(2m + 1) = 12 \Leftrightarrow (2m + 3)^2 + 12 = 12 \Leftrightarrow (2m + 3)^2 = 0 \Leftrightarrow m = -\dfrac{3}{2}$. Vậy $m = -\dfrac{3}{2}$ là giá trị cần tìm.	0,20
3		Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:	0,75
		Gọi số hộp khẩu trang lớp 9A và 9B quyên góp được lần lượt là $x, y$ (hộp) ($x, y \in \mathbb{N}^*; 3 < x < 60; y < 60$).	0,15
		Vì cả hai lớp quyên góp được 60 hộp nên ta có phương trình: $x + y = 60$ (1).	0,15
		Nếu chuyển 3 hộp từ lớp 9A sang lớp 9B thì số hộp của 9A là $x - 3$, của 9B là $y + 3$. Khi đó số hộp của 9B bằng $\dfrac{7}{8}$ của 9A nên: $y + 3 = \dfrac{7}{8}(x - 3)$ (2).	0,20
		Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 60 \\ 8(y + 3) = 7(x - 3) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y = 60 \\ 7x - 8y = 45 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 35 \\ y = 25 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy lớp 9A quyên góp được 35 hộp, lớp 9B quyên góp được 25 hộp khẩu trang.	0,25
4
	a	Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp:	0,35
		Do $BD, CE$ là các đường cao của $\triangle ABC$ nên $\widehat{ADH} = 90^\circ$ và $\widehat{AEH} = 90^\circ$. Xét tứ giác $ADHE$ có $\widehat{ADH} + \widehat{AEH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Suy ra tứ giác $ADHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.	0,35
	b	Chứng minh $FB \cdot FC = FE \cdot FD$:	0,25
		Ta có $\widehat{BEC} = \widehat{BDC} = 90^\circ \Rightarrow$ tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$. $\Rightarrow \widehat{FEB} = \widehat{FCD}$ (cùng bù với $\widehat{BED}$). Xét $\triangle FBE$ và $\triangle FDC$ có $\widehat{DFC}$ chung và $\widehat{FEB} = \widehat{FCD}$. $\Rightarrow \triangle FBE \backsim \triangle FDC$ (g - g) $\Rightarrow \dfrac{FB}{FD} = \dfrac{FE}{FC} \Rightarrow FB \cdot FC = FE \cdot FD$.	0,25
	c	Chứng minh $\widehat{EDK} = \widehat{EAK}$:	0,25
		Tứ giác $ABKC$ nội tiếp $(O) \Rightarrow \widehat{FKB} = \widehat{FCA}$ (cùng bù với $\widehat{AKB}$). Xét $\triangle FKB$ và $\triangle FCA$ có $\widehat{AFC}$ chung, $\widehat{FKB} = \widehat{FCA} \Rightarrow \triangle FKB \backsim \triangle FCA$ (g - g). $\Rightarrow \dfrac{FK}{FC} = \dfrac{FB}{FA} \Rightarrow FK \cdot FA = FB \cdot FC$. Từ câu b ta có $FB \cdot FC = FE \cdot FD \Rightarrow FK \cdot FA = FE \cdot FD \Rightarrow \dfrac{FK}{FE} = \dfrac{FD}{FA}$. Xét $\triangle FKD$ và $\triangle FEA$ có $\widehat{AFE}$ chung và $\dfrac{FK}{FE} = \dfrac{FD}{FA} \Rightarrow \triangle FKD \backsim \triangle FEA$ (c - g - c). $\Rightarrow \widehat{FDK} = \widehat{FAE} \Rightarrow \widehat{EDK} = \widehat{EAK}$ (đpcm).	0,25
5		Tìm giá trị lớn nhất của $M = \dfrac{xy}{x + y + 4}$:	0,25
		Đặt $a = x + y$ ($a \neq -4$). Ta có $a^2 = (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 16 + 2xy \Rightarrow xy = \dfrac{a^2 - 16}{2}$. Thay vào biểu thức $M$: $M = \dfrac{\dfrac{a^2 - 16}{2}}{a + 4} = \dfrac{(a - 4)(a + 4)}{2(a + 4)} = \dfrac{a - 4}{2}$. Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki (hoặc $(x - y)^2 \geq 0$): $(x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) = 2 \cdot 16 = 32 \Rightarrow a^2 \leq 32 \Rightarrow a \leq 4\sqrt{2}$. Suy ra $M = \dfrac{a - 4}{2} \leq \dfrac{4\sqrt{2} - 4}{2} = 2\sqrt{2} - 2$. Dấu "$=$" xảy ra khi $x = y = 2\sqrt{2}$ (thỏa mãn $x^2 + y^2 = 16$). Vậy giá trị lớn nhất của $M$ là $2\sqrt{2} - 2$ khi $x = y = 2\sqrt{2}$.	0,25