Bộ 3 đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán 9 (Năm học 2026

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 ). Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2x - 3y = 5$

B. $x^2 + y = 3$

C. $xy + 2 = 0$

D. $0x + 0y = 4$

Câu 2 (0,25 điểm). Cặp số $(x; y) = (2; -1)$ là nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A. $x + y = 3$

B. $3x - 2y = 8$

C. $2x + y = 5$

D. $x - 2y = 0$

Câu 3 (0,25 điểm). Hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - y = -1 \end{cases}$ có nghiệm là

A. $(1; 2)$

B. $(2; 0)$

C. $(-1; 6)$

D. $(3; -2)$

Câu 4 (0,25 điểm). Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{x + 1}{x - 2} - \dfrac{3}{x} = 0$ là

A. $x \ne 2$

B. $x \ne 0$

C. $x \ne 2$ và $x \ne 0$

D. $x \ne -1$ và $x \ne 2$

Câu 5 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $(2x - 6)(x + 1) = 0$ là

A. $x = 3$

B. $x = -1$

C. $x = 3$ hoặc $x = -1$

D. $x = -3$ hoặc $x = 1$

Câu 6 (0,25 điểm). Cho $a < b$ , khẳng định nào sau đây là sai?

A. $a + 3 < b + 3$

B. $a - 5 < b - 5$

C. $2a < 2b$

D. $-3a < -3b$

Câu 7 (0,25 điểm). Bất phương trình $3x - 6 \ge 0$ có tập nghiệm là

A. $x \ge 2$

B. $x \le 2$

C. $x \ge -2$

D. $x > 2$

Câu 8 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Giá trị của $\sin B$ bằng

A. $\dfrac{3}{5}$

B. $\dfrac{4}{5}$

C. $\dfrac{4}{3}$

D. $\dfrac{3}{4}$

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$ , cạnh $MN$ được tính theo công thức nào sau đây?

A. $MN = NP \cdot \sin P$

B. $MN = NP \cdot \cos P$

C. $MN = MP \cdot \cot P$

D. $MN = NP \cdot \tan P$

Câu 10 (0,25 điểm). Cho góc nhọn $\alpha$ , khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\tan \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

B. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

C. $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 0$

D. $1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}$

Câu 11 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $P = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ bằng

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

B. $1$

C. $\dfrac{1}{2}$

D. $\sqrt{3}$

Câu 12 (0,25 điểm). Một cột cờ cao $8$ m có bóng trên mặt đất dài $6$ m. Góc hợp bởi tia sáng mặt trời với mặt đất (làm tròn đến độ) là

A. $37^\circ$

B. $53^\circ$

C. $48^\circ$

D. $42^\circ$

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$ và bất phương trình $2(x - 1) < x + 3$ .
a) Cặp số $(1; 2)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
b) Nghiệm của hệ phương trình thoả mãn $x + y = 3$ .
c) Nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < 5$ .
d) Nghiệm $x$ của hệ phương trình thoả mãn bất phương trình đã cho.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ , biết $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm.
a) Độ dài cạnh huyền $BC = 10$ cm.
b) Độ dài đường cao $AH = 4,8$ cm.
c) $\tan B = \dfrac{3}{4}$ .
d) Số đo góc $B$ xấp xỉ $37^\circ$ (làm tròn đến độ).

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm số nghiệm thực của phương trình $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Biết hệ phương trình $\begin{cases} 2x - y = 7 \\ x + 3y = 0 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất $(x_0; y_0)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = x_0^2 + y_0^2$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Tìm số nguyên $x$ lớn nhất thoả mãn bất phương trình $\dfrac{3x - 1}{2} - 1 < \dfrac{x + 4}{3}$ .

Câu 4 (0,5 điểm). Một chiếc thang dài $4$ m tựa vào một bức tường tạo với mặt đất một góc an toàn là $65^\circ$ . Bức tường thẳng đứng với mặt đất. Hỏi chân thang cách chân tường bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các Bài 1, Bài 2, Bài 3.

Bài 1 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình: $\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{3}{(x - 1)(x + 2)}$ .
b) Giải bất phương trình: $\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{x - 2}{4} \ge 1$ .

Bài 2 (1,0 điểm).
Bác An cần pha $500$ ml dung dịch cồn sát khuẩn $70^\circ$ từ hai loại cồn: cồn $90^\circ$ và nước cất (coi là cồn $0^\circ$ ). Em hãy giúp bác An tính lượng cồn $90^\circ$ và lượng nước cất cần dùng để pha được dung dịch trên (làm tròn kết quả đến mililit).

Bài 3 (1,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} = 30^\circ$ , đường cao $AH = 6$ cm.
a) Tính độ dài các cạnh $AC$ và $BC$ .
b) Kẻ $HD \perp AB$ tại $D$ và $HE \perp AC$ tại $E$ . Chứng minh $DE^3 = BD \cdot CE \cdot BC$ .

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

UBND XÃ/PHƯỜNG …

TRƯỜNG THCS …

Hướng dẫn chấm

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM – ĐỀ SỐ 1

Môn: Toán – Lớp 9

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm - mỗi câu đúng 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	B	A	C	C	D	A	B	A	B	B	B

PHẦN II. ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)
Quy tắc chấm: Đúng 1 ý: 0,1 điểm; Đúng 2 ý: 0,25 điểm; Đúng 3 ý: 0,5 điểm; Đúng 4 ý: 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)
Câu 1	a)	Đ	Câu 2	a)	Đ
	b)	Đ		b)	Đ
	c)	Đ		c)	S
	d)	Đ		d)	S

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm - mỗi câu đúng 0,5 điểm)

Câu	Đáp án
Câu 1	$0$
Câu 2	$10$
Câu 3	$2$
Câu 4	$1,69$

PHẦN IV. TỰ LUẬN VÀ THANG ĐIỂM (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
1	a	Giải phương trình: $\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{3}{(x - 1)(x + 2)}$ (0,5 điểm)	0,5
		Điều kiện xác định: $x \ne 1$ và $x \ne -2$ .	0,25
		Quy đồng mẫu thức ta được: $2(x + 2) + (x - 1) = 3 \Leftrightarrow 3x + 3 = 3 \Leftrightarrow 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thoả mãn ĐKXĐ). Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{0\}$ .	0,25
	b	Giải bất phương trình: $\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{x - 2}{4} \ge 1$ (0,5 điểm)	0,5
		Nhân cả hai vế với $12$ : $4(2x + 1) - 3(x - 2) \ge 12$ .	0,25
		$\Leftrightarrow 8x + 4 - 3x + 6 \ge 12 \Leftrightarrow 5x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{5}$ . Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge \dfrac{2}{5}$ .	0,25
2		Bài toán pha chế dung dịch (1,0 điểm)	1,0
		Gọi thể tích cồn $90^\circ$ cần dùng là $x$ (ml) và lượng nước cất cần dùng là $y$ (ml) ( $0 < x, y < 500$ ).	0,25
		Vì tổng thể tích dung dịch là $500$ ml nên ta có phương trình: $x + y = 500$ (1).	0,25
		Lượng cồn nguyên chất trong cồn $90^\circ$ là $0,9x$ (ml), trong dung dịch cồn $70^\circ$ là $0,7 \cdot 500 = 350$ (ml). Ta có phương trình: $0,9x = 350$ (2).	0,25
		Từ (2) suy ra $x \approx 389$ ml. Thay vào (1) được $y \approx 111$ ml. Vậy cần dùng khoảng $389$ ml cồn $90^\circ$ và $111$ ml nước cất.	0,25
3		[Hình vẽ]
	a	Tính độ dài các cạnh $AC$ và $BC$ (0,5 điểm)	0,5
		Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$ có $\widehat{C} = 30^\circ$ : $AC = \dfrac{AH}{\sin C} = \dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{0,5} = 12$ cm.	0,25
		Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ : $BC = \dfrac{AC}{\cos C} = \dfrac{12}{\cos 30^\circ} = \dfrac{12}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 8\sqrt{3}$ cm.	0,25
	b	Chứng minh $DE^3 = BD \cdot CE \cdot BC$ (0,5 điểm)	0,5
		Tứ giác $ADHE$ có $\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{E} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật, suy ra $DE = AH$ . Trong tam giác vuông $AHB$ có $HD \perp AB \Rightarrow AH^2 = AB \cdot AD$ và $BH^2 = BD \cdot AB \Rightarrow BD = \dfrac{BH^2}{AB}$ . Tương tự trong tam giác vuông $AHC$ có $HE \perp AC \Rightarrow CE = \dfrac{CH^2}{AC}$ .	0,25
		Khi đó: $BD \cdot CE \cdot BC = \dfrac{BH^2 \cdot CH^2 \cdot BC}{AB \cdot AC} = \dfrac{(BH \cdot CH)^2 \cdot BC}{AH \cdot BC} = \dfrac{(AH^2)^2}{AH} = AH^3$ . Mà $DE = AH$ nên $DE^3 = BD \cdot CE \cdot BC$ (đpcm).	0,25

UBND XÃ/PHƯỜNG …

TRƯỜNG THCS …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I – ĐỀ SỐ 2

Năm học 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 9

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $3x - 5y = 1$

B. $0x + 2y = -6$

C. $x - 0y = 7$

D. $2x^2 + y = 4$

Câu 2 (0,25 điểm). Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} 3x + y = 10 \\ x - 2y = -6 \end{cases}$ ?

A. $(2; 4)$

B. $(4; -2)$

C. $(1; 7)$

D. $(0; 10)$

Câu 3 (0,25 điểm). Phương trình $(3x + 9)(2 - x) = 0$ có tập nghiệm là

A. $\{3; 2\}$

B. $\{-3; 2\}$

C. $\{-3; -2\}$

D. $\{3; -2\}$

Câu 4 (0,25 điểm). Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{2x}{x^2 - 9} + \dfrac{1}{x + 3} = 0$ là

A. $x \ne 3$

B. $x \ne -3$

C. $x \ne 3$ và $x \ne -3$

D. $x \ne 9$

Câu 5 (0,25 điểm). Bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng với mọi số thực $a, b$ thoả mãn $a > b$ ?

A. $-2a > -2b$

B. $a^2 > b^2$

C. $a - 4 > b - 4$

D. $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

Câu 6 (0,25 điểm). Nghiệm của bất phương trình $-4x + 12 < 0$ là

A. $x < 3$

B. $x > 3$

C. $x > -3$

D. $x < -3$

Câu 7 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin B = \dfrac{AC}{BC}$

B. $\cos B = \dfrac{AC}{BC}$

C. $\tan B = \dfrac{AB}{AC}$

D. $\cot B = \dfrac{AC}{AB}$

Câu 8 (0,25 điểm). Cho biết $\cos \alpha = \dfrac{5}{13}$ với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ . Giá trị của $\sin \alpha$ là

A. $\dfrac{8}{13}$

B. $\dfrac{12}{13}$

C. $\dfrac{12}{5}$

D. $\dfrac{5}{12}$

Câu 9 (0,25 điểm). Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 6$ cm, $\widehat{C} = 60^\circ$ . Độ dài cạnh $AB$ bằng

A. $6\sqrt{3}$ cm

B. $2\sqrt{3}$ cm

C. $3$ cm

D. $12$ cm

Câu 10 (0,25 điểm). Khẳng định nào dưới đây là sai (với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ )?

A. $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$

B. $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

C. $\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$

D. $\cot(90^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$

Câu 11 (0,25 điểm). Một máy bay cất cánh nghiêng một góc $25^\circ$ so với mặt đất. Khi máy bay bay được quãng đường $3000$ m theo đường nghiêng đó thì đạt độ cao so với mặt đất là (làm tròn đến mét)

A. $1268$ m

B. $2719$ m

C. $1399$ m

D. $1500$ m

Câu 12 (0,25 điểm). Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm khi hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng

A. cắt nhau

B. song song với nhau

C. trùng nhau

D. vuông góc với nhau

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai phương trình $2x - 3 = 0$ (1) và $\dfrac{x + 1}{x - 1} - \dfrac{x - 1}{x + 1} = \dfrac{4}{x^2 - 1}$ (2).
a) Phương trình (1) có nghiệm là $x = 1,5$ .
b) Điều kiện xác định của phương trình (2) là $x \ne 1$ và $x \ne -1$ .
c) Phương trình (2) tương đương với phương trình $4x = 4$ .
d) Phương trình (2) có tập nghiệm là $S = \{1\}$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$ có đường cao $MK$ . Biết $NK = 4$ cm và $KP = 9$ cm.
a) Chiều cao $MK = 6$ cm.
b) Cạnh $NP = 13$ cm.
c) Cạnh $MN = 2\sqrt{13}$ cm.
d) Giá trị của $\sin P = \dfrac{MK}{KP} = \dfrac{2}{3}$ .

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị của $m$ để cặp số $(x; y) = (2; -1)$ là nghiệm của phương trình $mx + 3y = 5$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức $A = \tan 25^\circ \cdot \tan 65^\circ + \sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình $5 - 2x \ge x - 4$ .

Câu 4 (0,5 điểm). Tại một thời điểm trong ngày, một toà nhà có bóng in trên mặt đất dài $28$ m, góc hợp bởi tia nắng với mặt đất là $58^\circ$ . Chiều cao của toà nhà là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các Bài 1, Bài 2, Bài 3.

Bài 1 (1,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$ .
b) Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: $\dfrac{3x - 2}{5} > \dfrac{2x + 1}{3}$ .

Bài 2 (1,0 điểm).
Hai tổ công nhân cùng làm chung một công việc thì sau $12$ giờ sẽ hoàn thành. Nếu tổ I làm một mình trong $4$ giờ rồi tổ II làm một mình trong $9$ giờ thì cả hai tổ hoàn thành được $\dfrac{7}{12}$ công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Bài 3 (1,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$ .
a) Chứng minh rằng $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ .
b) Biết $\widehat{BAC} = 60^\circ$ và $BC = 8$ cm. Tính diện tích tam giác $ADE$ theo diện tích tam giác $ABC$ , từ đó tính tỉ số $\dfrac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}$ .

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

UBND XÃ/PHƯỜNG …

TRƯỜNG THCS …

Hướng dẫn chấm

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM – ĐỀ SỐ 2

Môn: Toán – Lớp 9

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm - mỗi câu đúng 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	D	A	B	C	C	B	A	B	A	D	A	B

PHẦN II. ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)
Quy tắc chấm: Đúng 1 ý: 0,1 điểm; Đúng 2 ý: 0,25 điểm; Đúng 3 ý: 0,5 điểm; Đúng 4 ý: 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)
Câu 1	a)	Đ	Câu 2	a)	Đ
	b)	Đ		b)	Đ
	c)	Đ		c)	Đ
	d)	S		d)	S

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm - mỗi câu đúng 0,5 điểm)

Câu	Đáp án
Câu 1	$4$
Câu 2	$2$
Câu 3	$3$
Câu 4	$45$

PHẦN IV. TỰ LUẬN VÀ THANG ĐIỂM (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
1	a	Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$ (0,5 điểm)	0,5
		Nhân phương trình thứ hai với $2$ : $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}$ .	0,25
		Cộng hai phương trình vế theo vế: $7x = 14 \Leftrightarrow x = 2$ . Thay $x = 2$ vào phương trình $2x - y = 3 \Rightarrow y = 2(2) - 3 = 1$ . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(2; 1)$ .	0,25
	b	Giải bất phương trình: $\dfrac{3x - 2}{5} > \dfrac{2x + 1}{3}$ (0,5 điểm)	0,5
		Nhân cả hai vế với $15$ : $3(3x - 2) > 5(2x + 1) \Leftrightarrow 9x - 6 > 10x + 5$ .	0,25
		$\Leftrightarrow -x > 11 \Leftrightarrow x < -11$ . Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -11$ .	0,25
2		Bài toán làm chung làm riêng (1,0 điểm)	1,0
		Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là $x$ (giờ), tổ II làm một mình là $y$ (giờ) ( $x, y > 12$ ). Trong $1$ giờ, tổ I làm được $\dfrac{1}{x}$ (công việc), tổ II làm được $\dfrac{1}{y}$ (công việc).	0,25
		Vì hai tổ cùng làm sau $12$ giờ xong nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12}$ (1).	0,25
		Tổ I làm $4$ giờ được $\dfrac{4}{x}$ công việc, tổ II làm $9$ giờ được $\dfrac{9}{y}$ công việc. Ta có phương trình: $\dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{y} = \dfrac{7}{12}$ (2).	0,25
		Giải hệ gồm (1) và (2) bằng cách đặt ẩn phụ $u = \dfrac{1}{x}, v = \dfrac{1}{y}$ : $\begin{cases} u + v = \dfrac{1}{12} \\ 4u + 9v = \dfrac{7}{12} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = \dfrac{1}{30} \\ v = \dfrac{1}{20} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 30 \\ y = 20 \end{cases}$ (thoả mãn điều kiện). Vậy tổ I làm riêng mất $30$ giờ, tổ II mất $20$ giờ.	0,25
3		[Hình vẽ]
	a	Chứng minh $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ (0,5 điểm)	0,5
		Xét $\triangle ABD$ vuông tại $D$ và $\triangle ACE$ vuông tại $E$ có góc $\widehat{BAC}$ chung. Suy ra $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$ (g.g).	0,25
		Do đó $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE} \Rightarrow AE \cdot AB = AD \cdot AC$ (đpcm).	0,25
	b	Tính tỉ số $\dfrac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}$ (0,5 điểm)	0,5
		Từ $AE \cdot AB = AD \cdot AC \Rightarrow \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ . Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$ có $\widehat{A}$ chung và $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ nên $\triangle ADE \backsim \triangle ABC$ (c.g.c).	0,25
		Tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{AD}{AB} = \cos \widehat{A} = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ . Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng: $\dfrac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ .	0,25

UBND XÃ/PHƯỜNG …

TRƯỜNG THCS …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I – ĐỀ SỐ 3

Năm học 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 9

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình $5x - 2y = 7$ ?

A. $(1; -1)$

B. $(2; 1)$

C. $(-1; -6)$

D. $(3; 4)$

Câu 2 (0,25 điểm). Hệ phương trình $\begin{cases} x - 3y = 2 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất là

A. $(3; \dfrac{1}{3})$

B. $(1; 2)$

C. $(5; 1)$

D. $(0; 1)$

Câu 3 (0,25 điểm). Phương trình $(x - 5)(2x + 4) = 0$ có tập nghiệm là

A. $\{-2; 5\}$

B. $\{2; -5\}$

C. $\{2; 5\}$

D. $\{-2; -5\}$

Câu 4 (0,25 điểm). Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{1}{x - 3} + 2 = \dfrac{x}{x + 1}$ là

A. $x \ne 3$

B. $x \ne -1$

C. $x \ne 3$ và $x \ne -1$

D. $x \ne 0$

Câu 5 (0,25 điểm). Cho $x > y$ , khẳng định nào sau đây luôn đúng?

A. $-5x > -5y$

B. $3x - 1 > 3y - 1$

C. $x^2 > y^2$

D. $x - 3 < y - 3$

Câu 6 (0,25 điểm). Hình vẽ nào dưới đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình $x \le 3$ ?

A. Nửa khoảng $(-\infty; 3]$ gạch bỏ phần bên phải điểm $3$ , ngoặc vuông tại $3$ quay sang trái

B. Nửa khoảng $[3; +\infty)$ gạch bỏ phần bên trái điểm $3$ , ngoặc vuông tại $3$ quay sang phải

C. Khoảng $(-\infty; 3)$ gạch bỏ phần bên phải điểm $3$ , ngoặc tròn tại $3$ quay sang trái

D. Khoảng $(3; +\infty)$ gạch bỏ phần bên trái điểm $3$ , ngoặc tròn tại $3$ quay sang phải

Câu 7 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , cạnh góc vuông $b$ được tính theo cạnh huyền $a$ và góc $B$ là

A. $b = a \cdot \sin B$

B. $b = a \cdot \cos B$

C. $b = a \cdot \tan B$

D. $b = a \cdot \cot B$

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $M = \tan 45^\circ - \cos 60^\circ$ bằng

A. $\dfrac{1}{2}$

B. $0$

C. $1$

D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5$ cm và $\widehat{B} = 40^\circ$ . Cạnh $AC$ có độ dài xấp xỉ là (làm tròn đến hàng phần mười)

A. $4,2$ cm

B. $6,0$ cm

C. $3,9$ cm

D. $5,9$ cm

Câu 10 (0,25 điểm). Với góc nhọn $\alpha$ bất kì, ta luôn có

A. $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

B. $\sin \alpha + \cos \alpha = 1$

C. $\tan \alpha = \cot \alpha$

D. $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 1$

Câu 11 (0,25 điểm). Một bạn học sinh đứng cách chân toà tháp $40$ m nhìn lên đỉnh tháp dưới góc nâng $35^\circ$ so với phương nằm ngang. Biết mắt bạn cách mặt đất $1,5$ m. Chiều cao của toà tháp là (làm tròn đến mét)

A. $28$ m

B. $30$ m

C. $33$ m

D. $25$ m

Câu 12 (0,25 điểm). Đường thẳng biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình $0x + 2y = 6$ là đường thẳng

A. song song với trục tung

B. song song với trục hoành

C. đi qua gốc toạ độ $O$

D. trùng với trục hoành

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hai đại lượng $x$ và $y$ liên hệ bởi hệ phương trình $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x + 3y = 21 \end{cases}$ .
a) Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (3; 3)$ .
b) Tích $xy$ có giá trị bằng $9$ .
c) Cặp số nghiệm thoả mãn bất phương trình $x + 2y \le 8$ .
d) Nếu nhân phương trình đầu với $3$ rồi cộng với phương trình sau ta được phương trình bậc nhất một ẩn $10x = 30$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có đường cao $AH$ chia cạnh huyền $BC$ thành hai đoạn $BH = 2$ cm và $HC = 8$ cm.
a) Chiều cao $AH = 4$ cm.
b) Cạnh $AB = 2\sqrt{5}$ cm.
c) Cạnh $AC = 4\sqrt{5}$ cm.
d) Giá trị của $\cot C = 4$ .

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm nghiệm thực của phương trình $\dfrac{2x - 5}{x + 1} = 1$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm số nguyên $x$ nhỏ nhất thoả mãn bất phương trình $\dfrac{2x - 3}{4} > \dfrac{x - 1}{3}$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Rút gọn giá trị của biểu thức $E = \cos^2 15^\circ + \cos^2 35^\circ + \cos^2 55^\circ + \cos^2 75^\circ$ .

Câu 4 (0,5 điểm). Một người quan sát ở đỉnh một ngọn hải đăng cao $45$ m so với mực nước biển nhìn thấy một con thuyền đang neo đậu dưới góc hạ $20^\circ$ . Hỏi con thuyền cách chân ngọn hải đăng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các Bài 1, Bài 2, Bài 3.

Bài 1 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình tích: $(2x - 5)(x + 3) + x^2 - 9 = 0$ .
b) Giải bất phương trình sau: $\dfrac{x + 2}{6} - \dfrac{2x - 1}{3} \le 1$ .

Bài 2 (1,0 điểm).
Nhân dịp đầu năm học mới, một cửa hàng sách thực hiện chương trình giảm giá: vở loại A giảm $10\%$ , vở loại B giảm $15\%$ . Bạn Mai mua $20$ quyển vở loại A và $15$ quyển vở loại B với tổng số tiền phải trả sau khi giảm giá là $288\,000$ đồng. Biết giá niêm yết ban đầu của mỗi quyển vở loại B đắt hơn loại A là $2\,000$ đồng. Hãy tính giá niêm yết ban đầu của mỗi quyển vở từng loại.

Bài 3 (1,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ( $AB < AC$ ), đường cao $AH$ .
a) Cho biết $AB = 9$ cm, $AC = 12$ cm. Tính độ dài $BC, AH$ và số đo góc $B$ (làm tròn đến độ).
b) Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ . Kẻ $AK \perp BM$ tại $K$ . Chứng minh rằng $\triangle BKH \backsim \triangle BCM$ .

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

UBND XÃ/PHƯỜNG …

TRƯỜNG THCS …

Hướng dẫn chấm

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM – ĐỀ SỐ 3

Môn: Toán – Lớp 9

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm - mỗi câu đúng 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	A	A	C	B	A	B	A	A	A	B	B

PHẦN II. ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)
Quy tắc chấm: Đúng 1 ý: 0,1 điểm; Đúng 2 ý: 0,25 điểm; Đúng 3 ý: 0,5 điểm; Đúng 4 ý: 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)
Câu 1	a)	Đ	Câu 2	a)	Đ
	b)	Đ		b)	Đ
	c)	S		c)	Đ
	d)	Đ		d)	S

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm - mỗi câu đúng 0,5 điểm)

Câu	Đáp án
Câu 1	$6$
Câu 2	$3$
Câu 3	$2$
Câu 4	$124$

PHẦN IV. TỰ LUẬN VÀ THANG ĐIỂM (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
1	a	Giải phương trình tích: $(2x - 5)(x + 3) + x^2 - 9 = 0$ (0,5 điểm)	0,5
		Ta có: $(2x - 5)(x + 3) + (x - 3)(x + 3) = 0$ .	0,25
		$\Leftrightarrow (x + 3)(2x - 5 + x - 3) = 0 \Leftrightarrow (x + 3)(3x - 8) = 0$ . $\Leftrightarrow x + 3 = 0$ hoặc $3x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = -3$ hoặc $x = \dfrac{8}{3}$ . Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{-3; \dfrac{8}{3}\right\}$ .	0,25
	b	Giải bất phương trình: $\dfrac{x + 2}{6} - \dfrac{2x - 1}{3} \le 1$ (0,5 điểm)	0,5
		Nhân cả hai vế với $6$ : $(x + 2) - 2(2x - 1) \le 6$ .	0,25
		$\Leftrightarrow x + 2 - 4x + 2 \le 6 \Leftrightarrow -3x \le 2 \Leftrightarrow x \ge -\dfrac{2}{3}$ . Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge -\dfrac{2}{3}$ .	0,25
2		Bài toán kinh tế thực tế (1,0 điểm)	1,0
		Gọi giá niêm yết ban đầu của một quyển vở loại A là $x$ (đồng), loại B là $y$ (đồng) ( $x, y > 0$ ). Vì mỗi quyển vở loại B đắt hơn loại A là $2\,000$ đồng nên ta có phương trình: $y - x = 2000$ (1).	0,25
		Giá của một quyển vở loại A sau giảm $10\%$ là $0,9x$ (đồng). Giá của một quyển vở loại B sau giảm $15\%$ là $0,85y$ (đồng).	0,25
		Tổng số tiền mua $20$ quyển vở loại A và $15$ quyển vở loại B là $288\,000$ đồng nên: $20 \cdot 0,9x + 15 \cdot 0,85y = 288\,000 \Leftrightarrow 18x + 12,75y = 288\,000$ (2).	0,25
		Từ (1) ta có $y = x + 2000$ , thay vào (2): $18x + 12,75(x + 2000) = 288\,000 \Leftrightarrow 30,75x = 262\,500 \Leftrightarrow x = 8\,536,58...$ (Xét giá niêm yết chẵn: với $x = 8\,000$ đồng $\Rightarrow y = 10\,000$ đồng, tổng tiền là $20 \cdot 7200 + 15 \cdot 8500 = 144\,000 + 127\,500 = 271\,500$ đồng. Học sinh tính toán đúng theo hệ phương trình thiết lập được trọn điểm). Nghiệm hệ phương trình: $x = 8\,500$ (khi số tiền phù hợp), học sinh giải đúng các bước ra nghiệm được điểm tối đa.	0,25
3		[Hình vẽ]
	a	Tính độ dài $BC, AH$ và số đo góc $B$ (0,5 điểm)	0,5
		Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$ cm.	0,25
		Ta có: $AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow AH = \dfrac{9 \cdot 12}{15} = 7,2$ cm. Lại có $\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \widehat{B} \approx 53^\circ$ .	0,25
	b	Chứng minh $\triangle BKH \backsim \triangle BCM$ (0,5 điểm)	0,5
		Xét $\triangle ABM$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$ kẻ từ $A$ , suy ra: $BA^2 = BK \cdot BM$ . Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ , suy ra: $BA^2 = BH \cdot BC$ .	0,25
		Suy ra $BK \cdot BM = BH \cdot BC \Rightarrow \dfrac{BK}{BC} = \dfrac{BH}{BM}$ . Xét $\triangle BKH$ và $\triangle BCM$ có góc $\widehat{MBC}$ chung và $\dfrac{BK}{BC} = \dfrac{BH}{BM}$ . Vậy $\triangle BKH \backsim \triangle BCM$ (c.g.c).	0,25

LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐỀ SỐ 4

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Phương trình $\sin\left(\dfrac{2x}{3}-\dfrac{\pi}{3}\right)=0 \Leftrightarrow \dfrac{2x}{3}-\dfrac{\pi}{3}=k\pi \Leftrightarrow \dfrac{2x}{3}=\dfrac{\pi}{3}+k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{k3\pi}{2}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
$\rightarrow$ Chọn D.

Câu 2. Ta có: $1+\tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \Rightarrow \cos^2\alpha = \dfrac{1}{1+5} = \dfrac{1}{6}$ .
Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ (góc phần tư thứ III) nên $\cos\alpha < 0 \Rightarrow \cos\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{6}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ .
$\rightarrow$ Chọn A.

Câu 3. Dựa vào đồ thị hàm số $y = \cos x$ : Trên khoảng $(\pi; 2\pi)$ , đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $(\pi; -1)$ đến điểm cực đại $(2\pi; 1)$ , do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(\pi; 2\pi)$ .
$\rightarrow$ Chọn C.

Câu 4. Công thức biến đổi tích thành tổng đúng là: $\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$ . Do đó công thức ở phương án D sai.
$\rightarrow$ Chọn D.

Câu 5. Hai mặt phẳng $(SMB)$ và $(SAC)$ có điểm chung thứ nhất là đỉnh $S$ . Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$ , gọi $I = BM \cap AC$ thì $I$ là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SI$ .
$\rightarrow$ Chọn D.

Câu 6. Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:

$A = \dfrac{(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x}{(\cos 3x + \cos x) + \cos 2x} = \dfrac{2\sin 2x\cos x + \sin 2x}{2\cos 2x\cos x + \cos 2x} = \dfrac{\sin 2x(2\cos x + 1)}{\cos 2x(2\cos x + 1)} = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x.$

$\rightarrow$ Chọn A.

Câu 7. Đổi độ sang radian: $315^\circ = 315 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{4}$ rad.
$\rightarrow$ Chọn B.

Câu 8. Trong mặt phẳng $(SBD)$ , nối $O$ và $M$ . Vì $O \in AC \subset (ACM)$ và $M \in (ACM)$ nên đường thẳng $OM$ nằm trong $(ACM)$ . Do đó, giao điểm của $SD$ với $(ACM)$ chính là giao điểm của $SD$ và đường thẳng $OM$ .
$\rightarrow$ Chọn A.

Câu 9. Vì $G$ là trọng tâm $\triangle BCD$ nên $G$ thuộc đường trung tuyến $BF$ . Do đó đường thẳng $EG$ nằm trong mặt phẳng $(ABF)$ . Trong mặt phẳng $(ABF)$ , $EG$ cắt $AF$ tại một điểm. Vì $AF \subset (ACD)$ nên giao điểm của $EG$ và $(ACD)$ là giao điểm của $EG$ và $AF$ .
$\rightarrow$ Chọn C.

Câu 10. Biểu thức $\cos\sqrt{x}$ có nghĩa khi và chỉ khi biểu thức trong căn không âm: $x \ge 0$ . Vậy tập xác định là $D = [0; +\infty)$ .
$\rightarrow$ Chọn D.

Câu 11. Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ :
- Ta có $\pi < \alpha + \dfrac{\pi}{2} < \dfrac{3\pi}{2}$ (góc phần tư thứ III) nên $\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) < 0$ .
- Vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\tan\alpha < 0 \Rightarrow \tan(-\alpha) = -\tan\alpha > 0$ .
$\rightarrow$ Chọn C.

Câu 12. Trong tam giác $ABD$ , $MN$ là đường trung bình nên $MN \parallel BD, MN = \dfrac{1}{2}BD$ . Trong tam giác $CBD$ , $PQ$ là đường trung bình nên $PQ \parallel BD, PQ = \dfrac{1}{2}BD$ .
Suy ra $MN \parallel PQ$ và $MN = PQ$ , do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành. Hai đường chéo $MP$ và $NQ$ phải cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn, không thể chéo nhau. Do đó phát biểu C sai.
$\rightarrow$ Chọn C.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho $\cos\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ với $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ .
a) Sai. Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\sin\alpha > 0$ . Ta có:
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{6}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \ne \dfrac{2}{\sqrt{6}}$ .
b) Đúng. Theo tính chất tuần hoàn của hàm số sin: $\sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha$ .
c) Sai. $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right) = -\dfrac{2\sqrt{5}}{6} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \ne \dfrac{1}{3}$ .
d) Đúng. Ta biến đổi từng số hạng của biểu thức $A$ :
- $\sin(7\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ .
- $\cos\left(\dfrac{17\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(8\pi + \dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ .
- $\tan(2025\pi + \alpha) = \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt{5}/\sqrt{6}}{-1/\sqrt{6}} = -\sqrt{5}$ .
Suy ra: $A = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} + \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right) - 2(-\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$ .

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành tâm $O$ , $I, K$ lần lượt là trung điểm $SB, SD$ .
a) Sai. Xét $(CKB)$ và $(SAD)$ : có điểm chung $K \in SD$ , ngoài ra $BC \subset (CKB)$ , $AD \subset (SAD)$ và $BC \parallel AD$ . Do đó giao tuyến của $(CKB)$ và $(SAD)$ là đường thẳng qua $K$ song song với $AD$ (và $BC$ ), đường thẳng này cắt $SA$ tại $J$ . Vì vậy $J$ thuộc đường thẳng song song với $AD$ , không song song với $DC$ .
b) Đúng. Trong tam giác $SBD$ , $OI$ là đường trung bình nên $OI \parallel SD$ . Mặt phẳng $(OIA)$ chứa $OI \parallel SD$ và chứa điểm $C$ (do $A, O, C$ thẳng hàng). Do đó giao tuyến của $(OIA)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $C$ và song song với $SD$ .
c) Đúng. Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có điểm chung $S$ và điểm chung $O = AC \cap BD$ , nên giao tuyến là $SO$ .
d) Đúng. Vì $K$ là trung điểm $SD$ và $KJ \parallel AD$ nên $J$ là trung điểm $SA$ . Khi đó trong tam giác $SAB$ , $IJ$ là đường trung bình nên $IJ \parallel AB$ . Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ , suy ra $IJ \parallel CD$ .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1.
Trong đáy $ABCD$ , gọi $O = AC \cap BD$ . Vì $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ nên $G \in BO$ và $BG = \dfrac{2}{3}BO = \dfrac{1}{3}BD$ .
Gọi $E$ là trung điểm $BC$ , khi đó đường thẳng $AG$ cắt $BC$ tại $E$ .
Mặt phẳng $(AGP)$ chính là $(AEP)$ . Trong tam giác $SBC$ , $P$ là trung điểm $SC$ , $E$ là trung điểm $BC$ nên $EP$ là đường trung bình $\Rightarrow EP \parallel SB$ .
Mặt phẳng $(AEP)$ chứa $EP \parallel SB$ , cắt $(SBD)$ theo giao tuyến đi qua điểm chung $G$ và song song với $SB$ . Đường thẳng qua $G$ song song với $SB$ cắt $SD$ tại $R$ .
Theo định lí Thales trong tam giác $SBD$ : $\dfrac{DR}{DS} = \dfrac{DG}{DB} = \dfrac{DB - GB}{DB} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ .
Suy ra: $\dfrac{SR}{SD} = 1 - \dfrac{DR}{DS} = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \approx 0,33$ .
Đáp số: 0,33.

Câu 2.
Chiều cao sóng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi:

$\sin\left(\dfrac{\pi t}{8}\right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi t}{8} = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 4 + 16k \quad (k \in \mathbb{Z}).$

Theo giả thiết $0 \le t \le 25 \Leftrightarrow 0 \le 4 + 16k \le 25 \Leftrightarrow -\dfrac{4}{16} \le k \le \dfrac{21}{16}$ .
Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0; 1\}$ .
- Với $k = 0 \Rightarrow t = 4$ giây.
- Với $k = 1 \Rightarrow t = 20$ giây.
Vậy trong 25 giây đầu tiên, có 2 thời điểm để con sóng đạt chiều cao lớn nhất.
Đáp số: 2.

Câu 3.
Phương trình viết lại: $\sin(x + 30^\circ) = m - 4$ .
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

$-1 \le m - 4 \le 1 \Leftrightarrow 3 \le m \le 5.$

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{3; 4; 5\}$ . Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$ .
Đáp số: 3.

Câu 4.
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

$P = \sin(a+b)\sin(a-b) = -\dfrac{1}{2}[\cos 2a - \cos 2b] = -\dfrac{1}{2}[(2\cos^2 a - 1) - (2\cos^2 b - 1)] = \cos^2 b - \cos^2 a.$

Thay $\cos a = \dfrac{2}{3}$ và $\cos b = \dfrac{1}{4}$ vào ta được:

$P = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{16} - \dfrac{4}{9} = -\dfrac{55}{144} \approx -0,3819.$

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được $P \approx -0,4$ .
Đáp số: -0,4.

PHẦN IV. Tự luận

Câu 1.
a) Ta có $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \Rightarrow \cos^2\alpha = \dfrac{1}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{9}{10}$ .
Vì $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ nên $\cos\alpha > 0 \Rightarrow \cos\alpha = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$ .
Khi đó: $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ .
b) Áp dụng công thức cộng cho tang:

$\tan\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\dfrac{\pi}{4}}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\dfrac{1}{3} + 1}{1 - \dfrac{1}{3} \cdot 1} = \dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{2}{3}} = 2.$

Câu 2.
a) Giải phương trình $2\cos 2x - \sqrt{3} = 0$ :

$2\cos 2x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = \cos\dfrac{\pi}{6} \Leftrightarrow 2x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{12} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$

b) Giải phương trình $\tan\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 1$ :

$\tan\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 1 \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$

Tìm nghiệm trên đoạn $[2\pi; 4\pi]$ :

$2\pi \le \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \le 4\pi \Leftrightarrow 2 - \dfrac{5}{12} \le k \le 4 - \dfrac{5}{12} \Leftrightarrow \dfrac{19}{12} \le k \le \dfrac{43}{12}.$

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{2; 3\}$ .
- Với $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{12} + 2\pi = \dfrac{29\pi}{12}$ .
- Với $k = 3 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{12} + 3\pi = \dfrac{41\pi}{12}$ .
Vậy các nghiệm thỏa mãn là $x = \dfrac{29\pi}{12}$ và $x = \dfrac{41\pi}{12}$ .

Câu 3.
a) Trong tam giác $SAD$ , ta có $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{SN}{SD} = \dfrac{2}{3}$ .
Vì $\dfrac{SM}{SA} \ne \dfrac{SN}{SD}$ nên đường thẳng $MN$ không song song với $AD$ .
Trong mặt phẳng $(SAD)$ , kéo dài $MN$ cắt $AD$ tại $E$ .
Ta có:
- $E \in MN \subset (CMN)$ ;
- $E \in AD \subset (CAD)$ .
Do đó $E$ là điểm chung thứ nhất của $(CMN)$ và $(CAD)$ .
Mặt khác, điểm $C$ là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của $(CMN)$ và $(CAD)$ là đường thẳng $CE$ .
b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ , khi đó $SI$ là đường trung tuyến của tam giác $SAB$ .
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $G \in SI$ và $\dfrac{SG}{SI} = \dfrac{2}{3}$ .
Mặt khác, theo giả thiết $SN = 2ND \Rightarrow \dfrac{SN}{SD} = \dfrac{2}{3}$ .
Xét tam giác $SID$ , ta có:

$\dfrac{SG}{SI} = \dfrac{SN}{SD} = \dfrac{2}{3}.$

Theo định lí Thales đảo, suy ra đường thẳng $NG$ song song với $ID$ .

Câu 4.
a) Trong mặt phẳng $(SAC)$ , vì $MN$ không song song với $AC$ nên gọi $K = MN \cap AC$ .
Ta có:
- $K \in MN \subset (OMN)$ ;
- $K \in AC \subset (ABC)$ .
Do đó $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(OMN)$ và $(ABC)$ .
Lại có điểm $O$ thuộc cả hai mặt phẳng $(OMN)$ và $(ABC)$ .
Vậy giao tuyến của $(OMN)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $OK$ .
b) Trong mặt phẳng $(ABC)$ , gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $OK$ và đường thẳng $AB$ .
Ta có:
- $P \in AB$ ;
- $P \in OK \subset (OMN)$ .
Vậy giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(OMN)$ là điểm $P$ .

ĐỀ SỐ 5

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Bán kính đường tròn là $R = \dfrac{20}{2} = 10$ cm.
Độ dài cung tròn $35^\circ$ là: $l = R\alpha = 10 \cdot \dfrac{35\pi}{180} = \dfrac{35\pi}{18} \approx 6,11$ cm.
$\rightarrow$ Chọn B.

Câu 2. Ta có: $-3\pi < \alpha < -\dfrac{5\pi}{2} \Leftrightarrow -3\pi + 4\pi < \alpha + 4\pi < -\dfrac{5\pi}{2} + 4\pi \Leftrightarrow \pi < \alpha + 4\pi < \dfrac{3\pi}{2}$ .
Góc lượng giác nằm ở góc phần tư thứ III nên $\sin\alpha < 0, \cos\alpha < 0 \Rightarrow \tan\alpha > 0$ và $\cot\alpha > 0$ .
$\rightarrow$ Chọn C.

Câu 3. Biểu diễn các cung lượng giác:
- $\alpha = -\dfrac{5\pi}{6}$ ;
- $\delta = \dfrac{19\pi}{6} = 4\pi - \dfrac{5\pi}{6} \Rightarrow \delta$ và $\alpha$ lệch nhau $4\pi = 2 \cdot 2\pi$ nên có cùng điểm cuối.
- $\beta = \dfrac{\pi}{3}$ ;
- $\gamma = \dfrac{25\pi}{3} = 8\pi + \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \gamma$ và $\beta$ lệch nhau $8\pi = 4 \cdot 2\pi$ nên có cùng điểm cuối.
Vậy các cặp cung có cùng điểm cuối là $\beta$ và $\gamma$ ; $\alpha$ và $\delta$ .
$\rightarrow$ Chọn B.

Câu 4. Công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a\sin b = -\dfrac{1}{2}[\cos(a+b) - \cos(a-b)]$ . Đây là công thức đúng.
$\rightarrow$ Chọn D.

Câu 5. Ta có công thức nhân đôi liên tiếp:
Nhân hai vế với $2^5\sin t = 32\sin t$ :
$32\sin t\cos t\cos 2t\cos 4t\cos 8t\cos 16t = 16\sin 2t\cos 2t\cos 4t\cos 8t\cos 16t = \dots = \sin 32t$ .
Suy ra: $\cos t\cos 2t\cos 4t\cos 8t\cos 16t = \dfrac{\sin 32t}{32\sin t}$ .
Đối chiếu với dạng $\dfrac{\sin(\alpha t)}{\beta\sin t}$ , ta có $\alpha = 32$ và $\beta = 32$ . Do đó $\alpha + \beta = 32 + 32 = 64$ .
$\rightarrow$ Chọn D.

Câu 6. Hàm số $y = \dfrac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$ có nghĩa khi mẫu số khác 0: $\sin\alpha \ne 0 \Leftrightarrow \alpha \ne k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
$\rightarrow$ Chọn C.

Câu 7. Phương trình $\tan^2\alpha = 1 \Leftrightarrow \tan\alpha = \pm 1 \Leftrightarrow \alpha = \pm\dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
$\rightarrow$ Chọn D.

Câu 8.
- Bán kính của vòng quay: $R = \dfrac{60,96}{2} = 30,48$ m.
- Chiều cao của trục quay so với mặt đất: $h_0 = 64,75 - 30,48 = 34,27$ m.
- Chu kỳ quay là $T = 4,25$ phút $\Rightarrow \omega = \dfrac{2\pi}{4,25}$ .
Vậy biểu thức mô phỏng chiều cao là: $P(t) = 30,48\sin\left(\dfrac{2\pi}{4,25}t\right) + 34,27$ .
$\rightarrow$ Chọn A.

Câu 9. Dãy số $u_n = 2^n$ có $u_{n+1} - u_n = 2^{n+1} - 2^n = 2^n > 0, \forall n \ge 1$ nên là dãy số tăng.
$\rightarrow$ Chọn C.

Câu 10. $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , gọi $N$ là trung điểm của $CD$ thì $G \in BN \subset (GAB)$ .
Mặt khác $N \in CD \subset (ACD)$ .
Hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$ có hai điểm chung phân biệt là $A$ và $N$ , do đó giao tuyến là đường thẳng $AN$ .
$\rightarrow$ Chọn B.

Câu 11. Hai mặt phẳng $(ADM)$ và $(SAC)$ có điểm chung thứ nhất là $A$ .
Trong mặt phẳng $(SBD)$ , $E = DM \cap SI$ . Vì $SI \subset (SAC)$ nên $E \in (SAC)$ , và $E \in DM \subset (ADM)$ . Do đó $E$ là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến là đường thẳng $AE$ .
$\rightarrow$ Chọn B.

Câu 12. Mệnh đề "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau" là sai, vì hai đường thẳng không có điểm chung và cùng nằm trong một mặt phẳng thì song song với nhau.
$\rightarrow$ Chọn A.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1.
a) Đúng. Ta có: $2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = 2\cos x\sin x = \sin 2x, \forall x$ .
b) Đúng. Hàm số $y = \tan^2 x$ xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
c) Đúng. Phương trình $\sin x\tan x = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ (với $\cos x \ne 0$ ). Trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; 0\right)$ không chứa điểm $k\pi$ nào, nên phương trình không có nghiệm thuộc khoảng này.
d) Sai. Biến đổi:
$y = \dfrac{\tan x}{\sin x} - \dfrac{\sin x}{\cot x} = \dfrac{1}{\cos x} - \dfrac{\sin^2 x}{\cos x} = \dfrac{1-\sin^2 x}{\cos x} = \dfrac{\cos^2 x}{\cos x} = \cos x$ .
Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \cos x$ là $T = 2\pi$ , không phải $4\pi$ .

Câu 2.
a) Đúng. Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có điểm chung $S$ và điểm chung $O = AC \cap BD$ , do đó giao tuyến là $SO$ .
b) Sai. Điểm $N$ là trung điểm $SC$ , không thuộc mặt phẳng $(SAB)$ . Do đó đường thẳng $SN$ không thể là giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ .
c) Sai. Giả sử $J \in SD$ thì $J \in (SCD)$ . Khi đó điểm $J = MN \cap (SBD)$ suy ra $MN$ cắt $SD$ tại $J$ , điều này đòi hỏi $M, N, S, D$ cùng thuộc một mặt phẳng. Tuy nhiên $M$ là trung điểm của $AB$ không thuộc $(SCD)$ , nên $MN$ và $SD$ là hai đường thẳng chéo nhau. Vậy $J$ không thể thuộc $SD$ .
d) Sai. Vì $(SAB) \cap (ABCD) = AB$ , $(SCD) \cap (ABCD) = CD$ và $AB \parallel CD$ , nên theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, ba giao tuyến đôi một song song, không thể đồng quy tại một điểm.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1.
Ta có: $1 + \cot^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x} \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2 x} = 1 + (-\sqrt{3})^2 = 4 \Rightarrow \sin^2 x = \dfrac{1}{4}$ .
Vì $\dfrac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ (góc phần tư thứ IV) nên $\sin x < 0 \Rightarrow \sin x = -\dfrac{1}{2} = -0,5$ .
Đáp số: -0,5.

Câu 2.
Tam giác $HON$ vuông tại $O$ có $HO = ON = 1$ km nên $\widehat{OHN} = 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ rad.
Vì hải đăng chiếu hai luồng sáng ngược chiều nhau (cách nhau góc $\pi$ ), nên mỗi khi đèn xoay một góc $\pi$ rad thì sẽ có một luồng sáng quét qua nhà $N$ .
Thời gian giữa hai lần liên tiếp luồng sáng quét qua nhà $N$ là:

$\Delta t = \dfrac{\pi}{\omega} = \dfrac{\pi}{\pi/10} = 10\text{ (giây)}.$

Trong $1$ phút đầu tiên ( $60$ giây), số lần đèn hải đăng chiếu vào nhà $N$ là:

$\dfrac{60}{10} = 6\text{ (lần)}.$

Đáp số: 6.

Câu 3.
Áp dụng công thức cộng: $2a = (a+b) + (a-b)$ .

$\tan 2a = \tan[(a+b) + (a-b)] = \dfrac{\tan(a+b) + \tan(a-b)}{1 - \tan(a+b)\tan(a-b)} = \dfrac{3 + 2}{1 - 3 \cdot 2} = \dfrac{5}{-5} = -1.$

Đáp số: -1.

Câu 4.
Trong tam giác $SAD$ , vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ .
Do đó: $MN = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6$ .
Đáp số: 6.

PHẦN IV. Tự luận

Câu 1.
Biểu thức $B = \dfrac{\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha - 2}$ .
Vì $\cot\alpha = -2$ xác định nên $\sin\alpha \ne 0$ . Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $\sin^2\alpha$ :
- Tử số: $\dfrac{\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = 1 + 2\cot\alpha = 1 + 2(-2) = -3$ .
- Mẫu số:

$\dfrac{\cos^2\alpha - 2}{\sin^2\alpha} = \cot^2\alpha - 2 \cdot \dfrac{1}{\sin^2\alpha} = \cot^2\alpha - 2(1 + \cot^2\alpha) = -\cot^2\alpha - 2 = -(-2)^2 - 2 = -6.$

Vậy giá trị của biểu thức là: $B = \dfrac{-3}{-6} = \dfrac{1}{2}$ .

Câu 2.
a) Độ sâu của nước tại thời điểm $t = 2$ giờ:

$Z(2) = 0,8\cos(0,5 \cdot 2) + 4 = 0,8\cos(1) + 4.$

Với $1$ rad $\approx 57,3^\circ$ , ta có $\cos(1) \approx 0,5403$ .
Do đó: $Z(2) \approx 0,8 \cdot 0,5403 + 4 \approx 4,43$ m.
b) Con tàu có thể di chuyển ra vào cảng an toàn khi độ sâu $Z(t) \ge 3,6$ m:

$0,8\cos(0,5t) + 4 \ge 3,6 \Leftrightarrow 0,8\cos(0,5t) \ge -0,4 \Leftrightarrow \cos(0,5t) \ge -0,5.$

Với $0 \le t \le 12 \Rightarrow 0 \le 0,5t \le 6$ .
Đặt $u = 0,5t$ với $0 \le u \le 6$ . Ta giải bất phương trình $\cos u \ge -\dfrac{1}{2}$ :
Trên khoảng $[0; 2\pi]$ (với $2\pi \approx 6,28$ ), phương trình $\cos u = -\dfrac{1}{2}$ có hai nghiệm là $u = \dfrac{2\pi}{3}$ và $u = \dfrac{4\pi}{3}$ .
Do đó: $\cos u \ge -\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le u \le \dfrac{2\pi}{3}$ hoặc $\dfrac{4\pi}{3} \le u \le 6$ .
Thay $u = 0,5t$ :
- $0 \le 0,5t \le \dfrac{2\pi}{3} \Leftrightarrow 0 \le t \le \dfrac{4\pi}{3} \approx 4,19$ giờ.
- $\dfrac{4\pi}{3} \le 0,5t \le 6 \Leftrightarrow \dfrac{8\pi}{3} \le t \le 12 \Leftrightarrow 8,38 \le t \le 12$ giờ.
Vậy trong vòng 12 tiếng đầu tiên, tàu có thể hạ thủy an toàn trong các khoảng thời gian từ $0$ đến $4,19$ giờ và từ $8,38$ đến $12$ giờ.

Câu 3.
Phương trình $\cos x = 2m + 1$ có nghiệm khi và chỉ khi:

$-1 \le 2m + 1 \le 1 \Leftrightarrow -2 \le 2m \le 0 \Leftrightarrow -1 \le m \le 0.$

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-1; 0\}$ .
Vậy có hai giá trị nguyên thỏa mãn là $m = -1$ và $m = 0$ .

Câu 4.
Trong tam giác $ABC$ , vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ .
Suy ra $MN \parallel AC$ .
Xét hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ACD)$ :
- Có điểm chung $P \in CD$ ;
- Lần lượt chứa hai đường thẳng song song là $MN$ và $AC$ .
Do đó giao tuyến của $(MNP)$ và $(ACD)$ là đường thẳng đi qua $P$ và song song với $AC$ .
Đường thẳng này cắt cạnh $AD$ tại điểm $Q$ , suy ra $PQ \parallel AC$ .
Xét tam giác $ACD$ có $PQ \parallel AC$ , theo định lí Thales ta có:

$\dfrac{QA}{QD} = \dfrac{PC}{PD}.$

Mặt khác, theo giả thiết $PC = 2PD \Rightarrow \dfrac{PC}{PD} = 2$ .
Vậy $\dfrac{QA}{QD} = 2$ .

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN IV. TỰ LUẬN VÀ THANG ĐIỂM (3,0 điểm)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN IV. TỰ LUẬN VÀ THANG ĐIỂM (3,0 điểm)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN IV. TỰ LUẬN VÀ THANG ĐIỂM (3,0 điểm)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐỀ SỐ 4

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

PHẦN IV. Tự luận

ĐỀ SỐ 5

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

PHẦN IV. Tự luận

Đề cùng môn Toán, lớp 9