Hai đề giữa học kì I Toán 9 KNTT nâng cao – Kèm đáp án và hướng dẫn chấm

UBND XÃ/PHƯỜNG …

TRƯỜNG THCS …

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I – ĐỀ SỐ 1

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 9

Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề

Đề dành cho học sinh khá giỏi. Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án đúng. Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (0,25 điểm). Giá trị của $\sqrt{(-7)^2}$ bằng

A. $-7$ .

B. $7$ .

C. $49$ .

D. $-49$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Biểu thức $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ bằng

A. $\sqrt{6}-1$ .

B. $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ .

C. $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ .

D. $2-\sqrt{6}$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Điều kiện xác định của biểu thức $\dfrac{\sqrt{3x-6}}{x-3}$ là

A. $x\geq 2$ và $x\ne 3$ .

B. $x>2$ .

C. $x\geq 2$ .

D. $x>3$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases}x+y=1\\2x-y=5\end{cases}$ là

A. $(1;0)$ .

B. $(-1;2)$ .

C. $(0;1)$ .

D. $(2;-1)$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Hệ phương trình $\begin{cases}x+y=m\\x-y=2\end{cases}$ có nghiệm $(x;y)=(3;1)$ khi

A. $m=2$ .

B. $m=4$ .

C. $m=3$ .

D. $m=1$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Hệ phương trình $\begin{cases}2x-3y=4\\4x-6y=k\end{cases}$ có vô số nghiệm khi

A. $k=8$ .

B. $k=4$ .

C. $k=2$ .

D. $k=-8$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Cho góc nhọn $\alpha$ có $\sin\alpha=\dfrac35$ . Giá trị của $\cos\alpha$ bằng

A. $\dfrac25$ .

B. $\dfrac34$ .

C. $\dfrac45$ .

D. $\dfrac43$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Giá trị của $\tan B$ bằng

A. $\dfrac35$ .

B. $\dfrac45$ .

C. $\dfrac34$ .

D. $\dfrac43$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Một chiếc thang dài $5$ m tựa vào tường thẳng đứng, tạo với mặt đất nằm ngang một góc $60^\circ$ . Độ cao của đầu thang so với mặt đất bằng

A. $\dfrac{5\sqrt3}{2}$ m.

B. $\dfrac52$ m.

C. $5\sqrt3$ m.

D. $\dfrac{5}{\sqrt3}$ m.

Câu 10 (0,25 điểm). Giá trị của $\sin35^\circ-\cos55^\circ$ bằng

A. $1$ .

B. $-1$ .

C. $0$ .

D. $2$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $xy+2=0$ .

B. $0x+3y=6$ .

C. $x^2+y=1$ .

D. $0x+0y=5$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $BC=12$ cm và $\widehat{ABC}=30^\circ$ . Độ dài $AC$ bằng

A. $6\sqrt3$ cm.

B. $4\sqrt3$ cm.

C. $12\sqrt3$ cm.

D. $6$ cm.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Trong mỗi ý a), b), c), d) của từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Với mỗi câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu 1 (1,0 điểm). Một khu tham quan bán vé người lớn với giá $80\,000$ đồng/vé và vé trẻ em với giá $50\,000$ đồng/vé. Trong một buổi, khu tham quan bán được $80$ vé, thu về $4\,900\,000$ đồng. Gọi $x$ , $y$ lần lượt là số vé người lớn và số vé trẻ em đã bán.
a) Hai số $x$ , $y$ thỏa mãn hệ phương trình $\begin{cases}x+y=80\\80x+50y=4900.\end{cases}$
b) Khu tham quan đã bán được $40$ vé người lớn.
c) Số vé trẻ em đã bán là $50$ vé.
d) Tiền thu từ vé người lớn chiếm hơn một nửa tổng tiền bán vé trong buổi đó.

Câu 2 (1,0 điểm). Một chiếc thang $BC$ dài $5$ m tựa vào một bức tường thẳng đứng. Gọi $A$ là giao điểm của tường với mặt đất nằm ngang, $B$ là chân thang, $C$ là đầu thang trên tường. Biết $AB=3$ m. Bỏ qua độ dày của thang và tường.

[Hình vẽ]

a) Đầu thang cách mặt đất $4$ m.
b) $\cos\widehat{ABC}=\dfrac45$ .
c) Góc tạo bởi thang và mặt đất, làm tròn đến độ, bằng $53^\circ$ .
d) Nếu đưa chân thang ra xa tường thêm $1$ m, giữ đầu thang trên tường và chân thang trên mặt đất, thì đầu thang hạ xuống $2$ m so với vị trí ban đầu.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{75}-\sqrt{12}}{\sqrt3}$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Gọi $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases}3x+2y=16\\2x-y=1.\end{cases}$ Tính $x^2+y^2$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $56$ m. Nếu tăng chiều dài thêm $2$ m và giảm chiều rộng đi $1$ m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính diện tích ban đầu của mảnh vườn, theo đơn vị mét vuông.

Câu 4 (0,5 điểm). Một tháp có chân $H$ , đỉnh $T$ . Hai điểm quan sát $M$ , $N$ nằm trên cùng một đường thẳng ngang với $H$ , theo thứ tự $M$ , $N$ , $H$ , và $MN=20$ m. Các góc nâng từ $M$ , $N$ đến đỉnh tháp lần lượt là $30^\circ$ , $60^\circ$ . Tính chiều cao $HT$ của tháp, theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần mười. Coi vị trí quan sát nằm ngay trên mặt đất.

[Hình vẽ]

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,25 điểm). Cho biểu thức

$P=\dfrac{x+\sqrt x}{x-1}+\dfrac{2}{\sqrt x-1},\qquad x>0,\ x\ne1.$

a) Rút gọn biểu thức $P$ . (0,75 điểm)
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ để $P$ là số nguyên. (0,5 điểm)

Câu 2 (1,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Kẻ đường cao $AH$ với $H\in BC$ .
a) Tính $BC$ và $AH$ . (0,5 điểm)
b) Gọi $D$ , $E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB$ , $AC$ . Chứng minh $AD\cdot AB=AE\cdot AC$ . (0,75 điểm)

Câu 3 (0,5 điểm). Cho $x$ , $y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của

$Q=\dfrac1x+\dfrac4y.$

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐỀ SỐ 1

Môn: Toán 9 – Giữa học kì I, năm học 2026 – 2027

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Tổng điểm toàn bài là 10,0 điểm.

Phần I: mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

Phần II: chấm riêng từng câu theo số ý xác định chính xác; đúng 0 ý được 0 điểm; đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng 4 ý được 1,0 điểm.

Phần III: mỗi câu có kết quả đúng được 0,5 điểm.

Phần IV: chấm theo các bước trong bảng. Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Hình vẽ sai hoặc không có hình thì không chấm phần bài làm tương ứng.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu	Đáp án và giải thích	Điểm
1	B. $\sqrt{(-7)^2}=\lvert-7\rvert=7$ .	0,25
2	C. $5-2\sqrt6=(\sqrt3-\sqrt2)^2$ và $\sqrt3-\sqrt2>0$ .	0,25
3	A. Điều kiện: $3x-6\geq0$ , $x-3\ne0$ , tức $x\geq2$ , $x\ne3$ .	0,25
4	D. Cộng hai phương trình được $3x=6$ , suy ra $x=2$ , $y=-1$ .	0,25
5	B. Thay $(3;1)$ vào phương trình thứ nhất được $m=3+1=4$ ; phương trình thứ hai cũng được thỏa mãn.	0,25
6	A. Phương trình thứ hai phải là hai lần phương trình thứ nhất, nên $k=8$ .	0,25
7	C. Vì $\alpha$ nhọn nên $\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac9{25}}=\dfrac45$ .	0,25
8	D. $\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac86=\dfrac43$ .	0,25
9	A. Độ cao là $5\sin60^\circ=\dfrac{5\sqrt3}{2}$ m.	0,25
10	C. $\sin35^\circ=\cos55^\circ$ , nên hiệu bằng $0$ .	0,25
11	B. Phương trình có dạng $ax+by=c$ , với $a=0$ , $b=3$ , hai hệ số không đồng thời bằng $0$ .	0,25
12	D. $AC=BC\sin B=12\sin30^\circ=6$ cm.	0,25

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Điểm ở mỗi nhóm bốn ý là điểm tối đa của cả câu; điểm thực nhận áp dụng theo hướng dẫn chung.

Câu	Đáp án và giải thích	Điểm
1	a) Đúng. Tổng số vé cho $x+y=80$ ; tính tiền theo nghìn đồng cho $80x+50y=4900$ .	1,0
	b) Sai. Lấy phương trình tiền trừ $50$ lần phương trình số vé: $30x=900$ , nên $x=30$ , không phải $40$ .
	c) Đúng. $y=80-30=50$ .
	d) Sai. Tiền vé người lớn là $30\cdot80\,000=2\,400\,000$ đồng, nhỏ hơn một nửa tổng thu là $2\,450\,000$ đồng.
2	a) Đúng. $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{25-9}=4$ m.	1,0
	b) Sai. $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac35$ .
	c) Đúng. $\widehat{ABC}\approx53,13^\circ$ , làm tròn đến độ được $53^\circ$ .
	d) Sai. Khi khoảng cách từ chân thang đến tường là $4$ m, độ cao mới bằng $\sqrt{25-16}=3$ m. Đầu thang chỉ hạ xuống $4-3=1$ m.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu	Đáp án và lời giải	Điểm
1	Đáp án: $3$ . $A=\dfrac{5\sqrt3-2\sqrt3}{\sqrt3}=3$ .	0,5
2	Đáp án: $13$ . Từ $2x-y=1$ suy ra $y=2x-1$ . Thay vào phương trình đầu: $3x+2(2x-1)=16$ , suy ra $x=2$ , $y=3$ . Vậy $x^2+y^2=13$ .	0,5
3	Đáp án: $180$ m². Gọi chiều dài, chiều rộng ban đầu lần lượt là $a$ , $b$ (m), với $a>b>1$ . Có $a+b=28$ và $(a+2)(b-1)=ab$ . Phương trình diện tích tương đương $a-2b=-2$ . Giải hệ được $a=18$ , $b=10$ . Diện tích là $18\cdot10=180$ m².	0,5
4	Đáp án: $17,3$ m. Đặt $NH=d>0$ (m), $HT=h>0$ (m). Khi đó $MH=d+20$ và $h=d\tan60^\circ=(d+20)\tan30^\circ$ . Suy ra $d\sqrt3=\dfrac{d+20}{\sqrt3}$ , nên $d=10$ . Do đó $h=10\sqrt3\approx17,3$ m.	0,5

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
1	a)	Rút gọn $P$ với $x>0$ , $x\ne1$ . (0,75 điểm)
		Đặt $t=\sqrt x>0$ , $t\ne1$ . Khi đó $x-1=(t-1)(t+1)$ và $x+\sqrt x=t(t+1)$ .	0,25
		$P=\dfrac{t(t+1)}{(t-1)(t+1)}+\dfrac2{t-1}=\dfrac t{t-1}+\dfrac2{t-1}$ .	0,25
		Suy ra $P=\dfrac{t+2}{t-1}=\dfrac{\sqrt x+2}{\sqrt x-1}=1+\dfrac3{\sqrt x-1}$ .	0,25
	b)	Tìm các số nguyên dương $x$ để $P$ nguyên. (0,5 điểm)
		Giả sử $P=k\in\mathbb Z$ . Vì $P\ne1$ , từ $k=1+\dfrac3{\sqrt x-1}$ suy ra $\sqrt x=1+\dfrac3{k-1}\in\mathbb Q$ . Do $x$ nguyên dương nên $\sqrt x$ là số nguyên dương. Đặt $\sqrt x=n$ ; từ điều kiện suy ra $n\geq2$ .	0,25
		$P=1+\dfrac3{n-1}$ nguyên khi và chỉ khi $n-1$ là ước dương của $3$ . Do đó $n=2$ hoặc $n=4$ , tương ứng $x=4$ hoặc $x=16$ . Cả hai giá trị đều thỏa mãn.	0,25
2		[Hình vẽ]
	a)	Tính $BC$ và $AH$ . (0,5 điểm)
		Áp dụng định lí Pythagore: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{36+64}=10$ cm.	0,25
		Từ $\dfrac12 AB\cdot AC=\dfrac12 BC\cdot AH$ , suy ra $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{24}{5}$ cm.	0,25
	b)	Chứng minh $AD\cdot AB=AE\cdot AC$ . (0,75 điểm)
		[Hình vẽ]
		Vì $HD\perp AB$ và $AC\perp AB$ nên $HD\parallel AC$ . Tương tự, $HE\parallel AB$ . Suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật, nên $DH=AE$ .	0,25
		Hai tam giác $ADH$ và $CAB$ đều vuông; $\widehat{DAH}=\widehat{ACB}$ vì hai góc có các cạnh tương ứng vuông góc. Suy ra $\triangle ADH\sim\triangle CAB$ .	0,25
		Do đó $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DH}{AB}$ , hay $AD\cdot AB=DH\cdot AC$ . Thay $DH=AE$ , được $AD\cdot AB=AE\cdot AC$ .	0,25
3		Tìm giá trị nhỏ nhất của $Q=\dfrac1x+\dfrac4y$ , với $x,y>0$ , $x+y=6$ . (0,5 điểm)
		Ta có $6Q-9=(x+y)\left(\dfrac1x+\dfrac4y\right)-9=\dfrac{(y-2x)^2}{xy}\geq0$ . Suy ra $Q\geq\dfrac32$ .	0,25
		Dấu bằng xảy ra khi $y=2x$ . Kết hợp $x+y=6$ được $x=2$ , $y=4$ . Vậy giá trị nhỏ nhất của $Q$ là $\dfrac32$ , đạt tại $(x;y)=(2;4)$ .	0,25

UBND XÃ/PHƯỜNG …

TRƯỜNG THCS …

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I – ĐỀ SỐ 2

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 9

Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề

Đề dành cho học sinh khá giỏi. Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án đúng. Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (0,25 điểm). Căn bậc hai số học của $\dfrac{16}{25}$ là

A. $-\dfrac45$ .

B. $\dfrac{16}{25}$ .

C. $\dfrac54$ .

D. $\dfrac45$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Giá trị của $\sqrt{9-4\sqrt5}$ bằng

A. $\sqrt5-2$ .

B. $2-\sqrt5$ .

C. $\sqrt5+2$ .

D. $3-2\sqrt5$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Biểu thức $\sqrt{7-2x}$ xác định khi và chỉ khi

A. $x\geq\dfrac72$ .

B. $x<\dfrac72$ .

C. $x\leq\dfrac72$ .

D. $x>0$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases}x+2y=7\\2x-y=4\end{cases}$ là

A. $(2;3)$ .

B. $(3;2)$ .

C. $(1;3)$ .

D. $(4;1)$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Hệ phương trình $\begin{cases}3x+2y=12\\6x+4y=25\end{cases}$

A. vô nghiệm.

B. có nghiệm duy nhất $(2;3)$ .

C. có vô số nghiệm.

D. có nghiệm duy nhất $(4;0)$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Cặp số $(1;2)$ là nghiệm của phương trình $ax+2y=5$ khi

A. $a=0$ .

B. $a=2$ .

C. $a=3$ .

D. $a=1$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Cho góc nhọn $\alpha$ có $\sin\alpha=\dfrac5{13}$ . Giá trị của $\tan\alpha$ bằng

A. $\dfrac{12}{5}$ .

B. $\dfrac5{12}$ .

C. $\dfrac{12}{13}$ .

D. $\dfrac{13}{5}$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $AB=8$ cm và $BC=17$ cm. Giá trị của $\cos C$ bằng

A. $\dfrac8{17}$ .

B. $\dfrac8{15}$ .

C. $\dfrac{15}{17}$ .

D. $\dfrac{17}{15}$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Một cột cờ thẳng đứng có bóng trên mặt sân nằm ngang dài $12$ m. Tia nắng tạo với mặt sân góc $30^\circ$ . Chiều cao cột cờ bằng

A. $12\sqrt3$ m.

B. $6$ m.

C. $6\sqrt3$ m.

D. $4\sqrt3$ m.

Câu 10 (0,25 điểm). Giá trị của $\tan28^\circ\cdot\cot28^\circ$ bằng

A. $0$ .

B. $1$ .

C. $-1$ .

D. $2$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Hệ phương trình $\begin{cases}2x-3y=5\\4x+my=10\end{cases}$ có vô số nghiệm khi

A. $m=-6$ .

B. $m=6$ .

C. $m=-3$ .

D. $m=3$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $BC=10$ cm và $\widehat{ABC}=40^\circ$ . Độ dài $AC$ bằng

A. $10\cos40^\circ$ cm.

B. $10\tan40^\circ$ cm.

C. $10\sin40^\circ$ cm.

D. $\dfrac{10}{\sin40^\circ}$ cm.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm). Một nhóm học sinh mua $45$ món đồ dùng học tập gồm vở và bút. Giá mỗi quyển vở là $12\,000$ đồng, giá mỗi chiếc bút là $8\,000$ đồng. Tổng số tiền phải trả là $460\,000$ đồng. Gọi $x$ , $y$ lần lượt là số quyển vở và số chiếc bút đã mua.
a) Hai số $x$ , $y$ thỏa mãn hệ phương trình $\begin{cases}x+y=45\\12x+8y=460.\end{cases}$
b) Nhóm học sinh đã mua $20$ quyển vở.
c) Số chiếc bút ít hơn số quyển vở là $5$ .
d) Nếu cửa hàng giảm $20\%$ giá vở và $25\%$ giá bút thì khi mua đúng số lượng trên, nhóm học sinh tiết kiệm được $90\,000$ đồng.

Câu 2 (1,0 điểm). Một dây cáp $BC$ dài $10$ m nối từ đỉnh $C$ của một cột thẳng đứng đến điểm neo $B$ trên mặt đất nằm ngang. Gọi $A$ là chân cột, biết $AB=8$ m. Coi dây cáp là một đoạn thẳng.

[Hình vẽ]

a) Chiều cao của cột là $6$ m.
b) $\sin\widehat{ABC}=\dfrac45$ .
c) Góc giữa dây cáp và mặt đất, làm tròn đến độ, bằng $37^\circ$ .
d) Nếu chuyển điểm neo lại gần chân cột $2$ m, giữ nguyên đỉnh cột, thì chiều dài đoạn cáp cần dùng ở vị trí mới là $8$ m.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Tính giá trị của $A=\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình $\begin{cases}(m-1)x+y=3\\x+y=1\end{cases}$ có nghiệm thỏa mãn $x=2y$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Tổng giá niêm yết của hai món hàng là $1\,200\,000$ đồng. Cửa hàng giảm $20\%$ giá món thứ nhất và $10\%$ giá món thứ hai nên khách hàng chỉ phải trả $1\,010\,000$ đồng. Tính giá niêm yết của món hàng thứ nhất, theo đơn vị nghìn đồng.

Câu 4 (0,5 điểm). Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $AB=9$ cm, $AC=12$ cm. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BC$ , $M$ là trung điểm của $BC$ . Tính diện tích tam giác $AHM$ , theo đơn vị xentimét vuông.

[Hình vẽ]

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,25 điểm). Cho biểu thức

$P=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x-2}-\dfrac2{\sqrt x+2}-\dfrac6{x-4},\qquad x\geq0,\ x\ne4.$

a) Rút gọn biểu thức $P$ . (0,75 điểm)
b) Tìm tất cả các số nguyên không âm $x$ để $P$ là số nguyên. (0,5 điểm)

Câu 2 (1,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $AB=5$ cm, $AC=12$ cm. Kẻ đường cao $AH$ với $H\in BC$ .
a) Tính $BC$ và $AH$ . (0,5 điểm)
b) Đường phân giác của góc $ABC$ cắt $AC$ tại $D$ . Kẻ $DE\perp BC$ với $E\in BC$ . Chứng minh $DE=AD$ và tính $DE$ . (0,75 điểm)

Câu 3 (0,5 điểm). Cho $x$ , $y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+2y=8$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của

$Q=x^2+8y^2.$

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐỀ SỐ 2

Môn: Toán 9 – Giữa học kì I, năm học 2026 – 2027

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Tổng điểm toàn bài là 10,0 điểm.

Phần I: mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

Phần III: mỗi câu có kết quả đúng được 0,5 điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu	Đáp án và giải thích	Điểm
1	D. $\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac45$ .	0,25
2	A. $9-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^2$ và $\sqrt5-2>0$ .	0,25
3	C. Điều kiện $7-2x\geq0$ tương đương $x\leq\dfrac72$ .	0,25
4	B. Từ $2x-y=4$ có $y=2x-4$ . Thay vào phương trình đầu được $5x=15$ , suy ra $x=3$ , $y=2$ .	0,25
5	A. Nhân phương trình đầu với $2$ được $6x+4y=24$ , mâu thuẫn với phương trình thứ hai.	0,25
6	D. Thay $(x;y)=(1;2)$ được $a+4=5$ , suy ra $a=1$ .	0,25
7	B. $\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}$ . Do đó $\tan\alpha=\dfrac5{12}$ .	0,25
8	C. $AC=\sqrt{17^2-8^2}=15$ cm, nên $\cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{15}{17}$ .	0,25
9	D. Chiều cao cột cờ là $12\tan30^\circ=4\sqrt3$ m.	0,25
10	B. $\tan28^\circ$ và $\cot28^\circ$ là hai số nghịch đảo nên tích bằng $1$ .	0,25
11	A. Phương trình thứ hai là hai lần phương trình thứ nhất khi $m=-6$ .	0,25
12	C. $AC=BC\sin B=10\sin40^\circ$ cm.	0,25

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Điểm ở mỗi nhóm bốn ý là điểm tối đa của cả câu; điểm thực nhận áp dụng theo hướng dẫn chung.

Câu	Đáp án và giải thích	Điểm
1	a) Đúng. Tổng số đồ dùng là $x+y=45$ ; tổng tiền tính theo nghìn đồng là $12x+8y=460$ .	1,0
	b) Sai. Lấy phương trình tiền trừ $8$ lần phương trình số lượng: $4x=100$ , suy ra $x=25$ .
	c) Đúng. $y=45-25=20$ , nên số bút ít hơn số vở là $25-20=5$ .
	d) Sai. Số tiền tiết kiệm là $25\cdot12\,000\cdot20\%+20\cdot8\,000\cdot25\%=100\,000$ đồng.
2	a) Đúng. $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{100-64}=6$ m.	1,0
	b) Sai. $\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac6{10}=\dfrac35$ .
	c) Đúng. $\widehat{ABC}\approx36,87^\circ$ , làm tròn đến độ được $37^\circ$ .
	d) Sai. Khoảng cách mới từ điểm neo đến chân cột là $8-2=6$ m. Chiều dài cáp mới là $\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\approx8,49$ m, không phải $8$ m.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu	Đáp án và lời giải	Điểm
1	Đáp án: $4$ . $7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$ , $7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2$ . Vì $2-\sqrt3>0$ , suy ra $A=2+\sqrt3+2-\sqrt3=4$ .	0,5
2	Đáp án: $5$ . Từ $x=2y$ và $x+y=1$ được $x=\dfrac23$ , $y=\dfrac13$ . Thay vào phương trình đầu: $\dfrac23(m-1)+\dfrac13=3$ , suy ra $m=5$ . Với $m=5$ , cặp số $\left(\dfrac23;\dfrac13\right)$ thỏa mãn cả hai phương trình.	0,5
3	Đáp án: $700$ nghìn đồng. Gọi giá niêm yết hai món hàng lần lượt là $a$ , $b$ (nghìn đồng). Có $a+b=1200$ và $0,8a+0,9b=1010$ . Lấy $0,9$ lần phương trình đầu trừ phương trình sau được $0,1a=70$ , suy ra $a=700$ .	0,5
4	Đáp án: $7,56$ cm². $BC=\sqrt{9^2+12^2}=15$ cm; $AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=7,2$ cm. Từ $\triangle ABH\sim\triangle CBA$ suy ra $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{81}{15}=5,4$ cm. Vì $BM=7,5$ cm nên $HM=7,5-5,4=2,1$ cm. Vậy $S_{AHM}=\dfrac12 AH\cdot HM=\dfrac12\cdot7,2\cdot2,1=7,56$ cm².	0,5

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
1	a)	Rút gọn $P$ với $x\geq0$ , $x\ne4$ . (0,75 điểm)
		Đặt $t=\sqrt x\geq0$ , $t\ne2$ . Khi đó $x-4=(t-2)(t+2)$ và $P=\dfrac t{t-2}-\dfrac2{t+2}-\dfrac6{(t-2)(t+2)}$ .	0,25
		Quy đồng: $P=\dfrac{t(t+2)-2(t-2)-6}{(t-2)(t+2)}=\dfrac{t^2-2}{t^2-4}$ .	0,25
		Suy ra $P=\dfrac{x-2}{x-4}=1+\dfrac2{x-4}$ .	0,25
	b)	Tìm các số nguyên không âm $x$ để $P$ nguyên. (0,5 điểm)
		Vì $x$ nguyên, $x\ne4$ , nên $P$ nguyên khi và chỉ khi $x-4$ là ước nguyên của $2$ . Do đó $x-4\in\{-2;-1;1;2\}$ .	0,25
		Suy ra $x\in\{2;3;5;6\}$ . Các giá trị này đều không âm, khác $4$ và đều làm $P$ nguyên.	0,25
2		[Hình vẽ]
	a)	Tính $BC$ và $AH$ . (0,5 điểm)
		Theo định lí Pythagore: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{25+144}=13$ cm.	0,25
		Từ hai cách tính diện tích tam giác $ABC$ : $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{60}{13}$ cm.	0,25
	b)	Chứng minh $DE=AD$ và tính $DE$ . (0,75 điểm)
		[Hình vẽ]
		Hai tam giác vuông $BAD$ và $BED$ có cạnh huyền $BD$ chung, $\widehat{ABD}=\widehat{DBE}$ do $BD$ là phân giác và $E\in BC$ . Suy ra $\triangle BAD=\triangle BED$ theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, nên $AD=DE$ .	0,25
		Theo tính chất đường phân giác trong tam giác $ABC$ : $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac5{13}$ . Vì $DC=12-AD$ , nên $\dfrac{AD}{12-AD}=\dfrac5{13}$ .	0,25
		Giải được $13AD=60-5AD$ , suy ra $AD=\dfrac{10}{3}$ cm. Vậy $DE=AD=\dfrac{10}{3}$ cm.	0,25
3		Tìm giá trị nhỏ nhất của $Q=x^2+8y^2$ , với $x,y>0$ , $x+2y=8$ . (0,5 điểm)
		Ta có $3Q-2(x+2y)^2=3(x^2+8y^2)-2(x+2y)^2=(x-4y)^2\geq0$ . Suy ra $3Q\geq2\cdot8^2=128$ , hay $Q\geq\dfrac{128}{3}$ .	0,25
		Dấu bằng xảy ra khi $x=4y$ . Kết hợp $x+2y=8$ được $y=\dfrac43$ , $x=\dfrac{16}{3}$ , đều dương. Vậy giá trị nhỏ nhất của $Q$ là $\dfrac{128}{3}$ , đạt tại $\left(x;y\right)=\left(\dfrac{16}{3};\dfrac43\right)$ .	0,25

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐỀ SỐ 1

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

PHẦN IV. TỰ LUẬN

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐỀ SỐ 2

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Đề cùng môn Toán, lớp 9