Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán - Ma trận 4 phần chuẩn

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Điều kiện xác định của biểu thức $P = \sqrt{3 - 2x} + \dfrac{1}{x + 1}$ là:

Câu 2 (0,25 điểm). Cặp số $(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases}$. Giá trị của biểu thức $x_0 + y_0$ bằng:

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc nhất $y = (m^2 - 4)x + 3m - 1$ (với $m$ là tham số). Giá trị của $m$ để đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = 5x - 7$ là:

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hai số thực dương $a, b$ thỏa mãn $a + b = 2$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Câu 5 (0,25 điểm). Một thiết bị bay không người lái (flycam) đang bay ở độ cao $120$ m so với mặt đất quan sát thấy một trạm phát sóng viễn thông với góc hạ $32^\circ$. Khoảng cách theo phương ngang từ flycam đến trạm phát sóng (làm tròn đến hàng đơn vị của mét) xấp xỉ bằng:

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hai đường tròn đồng tâm $(O; 10\text{ cm})$ và $(O; 6\text{ cm})$. Một dây cung $AB$ của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng:

Câu 7 (0,25 điểm). Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Biết $\widehat{BCD} = 115^\circ$ và $\widehat{CDA} = 75^\circ$. Số đo của góc $\widehat{DAB}$ là:

Câu 8 (0,25 điểm). Cho phương trình $x^2 - 5x + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Giá trị của biểu thức $T = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 - 2x_1 x_2$ bằng:

Câu 9 (0,25 điểm). Số giao điểm của đồ thị hàm số $(P): y = -x^2$ và đường thẳng $(d): y = 2x + 3$ là:

Câu 10 (0,25 điểm). Một que kem ốc quế gồm phần kem phía trên là một nửa hình cầu bán kính $3\text{ cm}$, phần vỏ bánh phía dưới là một hình nón có bán kính đáy $3\text{ cm}$ và chiều cao $8\text{ cm}$. Thể tích của chiếc kem đó (bỏ qua độ dày vỏ bánh) bằng:

Câu 11 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày của $40$ học sinh lớp 9 thu được bảng số liệu ghép nhóm sau:

Tần số tương đối của nhóm học sinh có thời gian tự học từ $2$ đến dưới $3$ giờ là:

Câu 12 (0,25 điểm). Một hộp chứa $12$ tấm thẻ cùng loại được đánh số thứ tự từ $1$ đến $12$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Xác suất để số ghi trên tấm thẻ rút được là một số nguyên tố bằng:

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 13 đến Câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 13 (1,0 điểm). Cho phương trình bậc hai: $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2m - 3 = 0$ ($m$ là tham số).
a) Khi $m = 1$, phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x_1 = 0$ và $x_2 = 4$.
b) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số $m$.
c) Hai nghiệm của phương trình theo tham số $m$ là $x_1 = m - 1$ và $x_2 = m + 3$.
d) Có đúng hai giá trị nguyên của tham số $m$ để biểu thức $A = \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + 10}{x_1 x_2 + 7}$ nhận giá trị nguyên.

Câu 14 (1,0 điểm). Một đài phun nước nghệ thuật phun nước từ một vòi đặt tại điểm $A$ cách mặt đất $1{,}2\text{ m}$. Tia nước phun ra chuyển động theo quỹ đạo là một phần của đường parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ trong hệ trục tọa độ $Oxy$ (gốc $O$ nằm trên mặt đất, trục $Ox$ nằm ngang dọc theo mặt đất, đơn vị trên các trục tính bằng mét). Vòi phun $A$ nằm trên trục tung $Oy$. Tia nước đạt độ cao cực đại là $4\text{ m}$ tại điểm cách trục tung $2\text{ m}$, sau đó rơi xuống hồ nước trên mặt đất.
a) Tọa độ của điểm phun nước là $A(0; 1{,}2)$ và tọa độ đỉnh của parabol quỹ đạo là $I(2; 4)$.
b) Công thức hàm số bậc hai biểu diễn quỹ đạo của tia nước là $y = -0{,}7x^2 + 2{,}8x + 1{,}2$.
c) Một người cao $1{,}7\text{ m}$ đi thẳng đứng dưới tia nước tại vị trí cách trục tung $3\text{ m}$ sẽ không bị tia nước chạm vào đầu.
d) Điểm tiếp đất của tia nước cách gốc tọa độ $O$ một khoảng lớn hơn $4{,}5\text{ m}$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 15 đến Câu 18.

Câu 15 (0,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức $M = \sqrt{17 - 4\sqrt{13}} + \sqrt{29 - 8\sqrt{13}}$.

Câu 16 (0,5 điểm). Một hợp tác xã dự định thu hoạch $120$ tấn thanh long theo kế hoạch với năng suất định trước. Khi thực hiện, nhờ áp dụng công nghệ mới, mỗi ngày hợp tác xã đã thu hoạch vượt mức dự định $5$ tấn. Do đó, hợp tác xã không những hoàn thành sớm hơn kế hoạch $1$ ngày mà còn thu hoạch thêm được $5$ tấn thanh long ngoài dự kiến. Hỏi theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày hợp tác xã dự định thu hoạch bao nhiêu tấn thanh long?

Câu 17 (0,5 điểm). Một bể nuôi cá cảnh có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước đáy là $40\text{ cm} \times 50\text{ cm}$, chiều cao bể là $60\text{ cm}$, mực nước ban đầu trong bể cao $35\text{ cm}$. Người ta thả chìm hoàn toàn vào bể một khối kim loại đặc trang trí có dạng hình chóp tam giác đều với diện tích đáy bằng $300\text{ cm}^2$ và chiều cao $20\text{ cm}$ (nước không bị tràn ra ngoài). Hỏi sau khi thả khối kim loại vào thì mực nước trong bể dâng lên thêm bao nhiêu xentimét?

Câu 18 (0,5 điểm). Một hộ gia đình sử dụng một cuộn lưới thép dài $60\text{ m}$ để rào xung quanh một mảnh đất hình chữ nhật trồng rau sạch tiếp giáp với bờ một con kênh thẳng (bờ kênh đóng vai trò một cạnh của mảnh đất nên không cần rào lưới). Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh đất mà hộ gia đình có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày chi tiết lời giải từ Câu 19 đến Câu 21.

Câu 19 (1,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y = \dfrac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y = x + 4$. Bằng phép tính, hãy tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(d)$.
b) Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} \dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{1}{y + 2} = 5 \\ \dfrac{5}{x - 1} - \dfrac{3}{y + 2} = 7 \end{cases}$$

Câu 20 (1,0 điểm).
Bác Ba dự định dùng số vốn $2\,100\,000$ đồng để mua tổng cộng $100\text{ kg}$ hoa quả gồm hai loại: xoài Cát Chu và xoài Đài Loan về bán lẻ. Giá mua vào của xoài Cát Chu là $25\,000$ đồng/kg và xoài Đài Loan là $15\,000$ đồng/kg.
a) Tính số kilôgam mỗi loại xoài mà bác Ba đã mua.
b) Khi bán lẻ, bác Ba bán xoài Cát Chu với giá $35\,000$ đồng/kg và xoài Đài Loan với giá $22\,000$ đồng/kg. Tuy nhiên, trong quá trình vận chuyển có $5\%$ khối lượng xoài Cát Chu và $10\%$ khối lượng xoài Đài Loan bị dập hỏng không thể bán được. Tính số tiền lãi thực tế mà bác Ba thu được sau khi đã bán hết toàn bộ số xoài còn lại.

Câu 21 (1,0 điểm).
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$.
a) Chứng minh tứ giác $BCEF$ là tứ giác nội tiếp và $OA \perp EF$.
b) Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh tam giác $ABD$ đồng dạng với tam giác $AKC$, từ đó chứng minh diện tích $S$ của tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức:

$$S = \dfrac{AB \cdot BC \cdot CA}{4R}$$

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.