Đề ôn thi giữa học kì II Toán 9 – Kết nối tri thức – Có hướng dẫn chấm

Đáp án

A

C

B

D

B

A

Đáp án

D

C

A

D

C

B

1

Thay $x=-2$: $y=-2\cdot(-2)^2=-8$. Chọn A.

0,25

2

Vì $M(2;2)$ thuộc đồ thị nên $2=a\cdot2^2$, suy ra $a=\dfrac12$. Chọn C.

0,25

3

$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$. Hai nghiệm là $-\dfrac12$ và $2$. Chọn B.

0,25

4

$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=-4<0$. Phương trình không có nghiệm thực. Chọn D.

0,25

5

Theo định lí Viète: $x_1+x_2=-\dfrac{-7}{1}=7$. Chọn B.

0,25

6

Theo định lí Viète: $x_1x_2=\dfrac{-4}{3}=-\dfrac43$. Chọn A.

0,25

7

$\Delta'=1-m$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $1-m>0$, tức $m<1$. Chọn D.

0,25

8

Chiều dài là $x+3$ m. Diện tích bằng $54$ m² nên $x(x+3)=54$. Chọn C.

0,25

9

Hai góc đối của tứ giác nội tiếp có tổng bằng $180^\circ$. Do đó $\widehat{BCD}=180^\circ-80^\circ=100^\circ$. Chọn A.

0,25

10

Góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn một cung: $\widehat{AOB}=2\cdot35^\circ=70^\circ$. Chọn D.

0,25

11

$BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm. Tam giác vuông có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\dfrac{BC}{2}=5$ cm. Chọn C.

0,25

12

Hình chữ nhật có tổng hai góc đối bằng $90^\circ+90^\circ=180^\circ$, nên luôn nội tiếp được một đường tròn. Chọn B.

0,25

Đáp án

Đ

S

Đ

S

Đ

S

Đ

Đ

Đáp án

Đ

S

Đ

S

Đ

S

Đ

Đ

1a

Đúng. Với $x=2$, ta có $y=2^2=4$, nên $N(2;4)\in(P)$.

0,25

1b

Sai. Khi $m=3$, phương trình hoành độ giao điểm là $x^2-2x-3=0$.
Suy ra $x=-1$ hoặc $x=3$. Hai giao điểm đúng là $(-1;1)$ và $(3;9)$.

0,25

1c

Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm là $x^2-2x-m=0$, có $\Delta'=1+m$.
Có hai giao điểm phân biệt khi và chỉ khi $m>-1$.

0,25

1d

Sai. Với $m>-1$, theo Viète: $x_1+x_2=2$, $x_1x_2=-m$.
$x_1^2+x_2^2=4+2m$.
$x_1^4+x_2^4=(4+2m)^2-2m^2=2m^2+16m+16$.
Điều kiện đã cho tương đương $m^2+8m-9<0$, hay $(m+9)(m-1)<0$.
Suy ra $-9<m<1$. Kết hợp $m>-1$ được $-1<m<1$. Chỉ có một giá trị nguyên là $m=0$.

0,25

2a

Đúng. Khi $m=1$, phương trình là $x^2-4x+2=0$, có $\Delta=8>0$ và tổng hai nghiệm bằng $4$.

0,25

2b

Sai. $\Delta'=(m+1)^2-(m^2+1)=2m$.
Có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m>0$. Với $m=0$, phương trình có nghiệm kép.

0,25

2c

Đúng. Với $m>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo Viète: $x_1+x_2=2(m+1)>0$ và $x_1x_2=m^2+1>0$. Vì vậy cả hai nghiệm đều dương.

0,25

2d

Đúng. $R=\dfrac{[2(m+1)]^2-2(m^2+1)}{m^2+1}=2+\dfrac{8m}{m^2+1}$.
Vì $(m-1)^2\geq0$ nên $m^2+1\geq2m$. Với $m>0$, suy ra $R\leq2+4=6$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=1$.

0,25

3a

Đúng. Ba cạnh cần rào có tổng chiều dài $2x+y=40$, nên $y=40-2x$.
Điều kiện $x>0$, $y>0$ cho $0<x<20$.

0,25

3b

Sai. Diện tích đúng là $S=xy=x(40-2x)$ m².

0,25

3c

Đúng. $x(40-2x)=192\Leftrightarrow x^2-20x+96=0$.
$\Leftrightarrow(x-8)(x-12)=0$. Cả $x=8$ và $x=12$ đều thỏa mãn $0<x<20$.

0,25

3d

Sai. Phần trồng rau có kích thước $x-2$ và $y-2=38-2x$, đơn vị mét; điều kiện $2<x<19$.
Diện tích không nhỏ hơn $126$ m² khi $(x-2)(38-2x)\geq126$.
$\Leftrightarrow x^2-21x+101\leq0$.
$\Leftrightarrow \dfrac{21-\sqrt{37}}2\leq x\leq\dfrac{21+\sqrt{37}}2$.
Hai đầu mút xấp xỉ $7{,}459$ và $13{,}541$. Có sáu giá trị nguyên: $8$, $9$, $10$, $11$, $12$, $13$.

0,25

4a

Đúng. $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^\circ$, nên $D$, $E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$. Vì thế tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn đó.

0,25

4b

Sai. Vì $BD\perp AC$, $CE\perp AB$, ta có $\widehat{HBC}=90^\circ-\widehat{ACB}$ và $\widehat{HCB}=90^\circ-\widehat{ABC}$.
Suy ra $\widehat{BHC}=180^\circ-\widehat{BAC}$. Tam giác nhọn có $\widehat{BAC}<90^\circ$, nên hai góc này không bằng nhau.

0,25

4c

Đúng. Hai tam giác vuông $ADB$ và $AEC$ đồng dạng vì cùng có góc tại $A$.
Suy ra $\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}$, nên $AD\cdot AC=AE\cdot AB$.

0,25

4d

Đúng. Khi $\widehat{BAC}=60^\circ$: $AD=\dfrac{AB}{2}$, $AE=\dfrac{AC}{2}$.
$\triangle ADE\sim\triangle ABC$ theo trường hợp cạnh – góc – cạnh, với sự tương ứng $A\leftrightarrow A$, $D\leftrightarrow B$, $E\leftrightarrow C$ và tỉ số $\dfrac12$. Do đó $DE=\dfrac{BC}{2}=3$ cm.
Đặt $AB=u$, $AC=v$. Trong tam giác vuông $ABD$: $AD=\dfrac u2$, $BD^2=\dfrac{3u^2}{4}$.
Trong tam giác vuông $BDC$: $36=BD^2+DC^2=\dfrac{3u^2}{4}+\left(v-\dfrac u2\right)^2=u^2+v^2-uv$.
Vì $uv\leq\dfrac{(u+v)^2}{4}$ nên $36=(u+v)^2-3uv\geq\dfrac{(u+v)^2}{4}$. Suy ra $u+v\leq12$.
Chu vi tam giác $ADE$ là $\dfrac{u+v}{2}+3\leq9$ cm.
Dấu bằng đạt được khi $u=v=6$, tức tam giác $ABC$ đều cạnh $6$ cm.

0,25

Đáp án

$13{,}5$

$23$

$15$

$3$

$48$

$4$

1

Vì $M(-2;6)$ thuộc đồ thị nên $6=a\cdot(-2)^2$, suy ra $a=\dfrac32$.
Tại $x=3$: $y=\dfrac32\cdot3^2=\dfrac{27}{2}=13{,}5$.
Đáp án: $13{,}5$.

0,5

2

Phương trình có $\Delta=21>0$. Theo Viète: $x_1+x_2=5$, $x_1x_2=1$, nên các mẫu số đều khác $0$.
$T=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{25-2}{1}=23$.
Đáp án: $23$.

0,5

3

Gọi thời gian máy II bơm riêng đầy bể là $t$ giờ, với $t>5$. Máy I cần $t-5$ giờ.
Mỗi giờ hai máy bơm được $\dfrac1t+\dfrac1{t-5}$ bể, nên $\dfrac1t+\dfrac1{t-5}=\dfrac16$.
$6(t-5)+6t=t(t-5)\Leftrightarrow t^2-17t+30=0$.
$\Leftrightarrow(t-15)(t-2)=0$. Vì $t>5$, nhận $t=15$.
Đáp án: $15$ giờ.

0,5

4

Chân cổng $(4;0)$ thuộc parabol nên $0=16a+4$, suy ra $a=-\dfrac14$.
Vòm cổng có phương trình $y=-\dfrac14x^2+4$.
Xe rộng $4$ m và đi chính giữa cổng nên hai cạnh bên có hoành độ $-2$ và $2$.
Độ cao của vòm tại hai vị trí đó bằng $-\dfrac14\cdot2^2+4=3$ m. Trên đoạn $-2\leq x\leq2$, độ cao của vòm không nhỏ hơn $3$ m.
Vậy chiều cao lớn nhất của xe là $3$ m.
Đáp án: $3$ m.

0,5

5

Đường chéo của hình chữ nhật nội tiếp là đường kính khung tròn, nên $AC=10$ dm.
Gọi chiều rộng là $x$ dm, chiều dài là $x+2$ dm, với $x>0$.
Theo định lí Pythagore: $x^2+(x+2)^2=100$.
$\Leftrightarrow x^2+2x-48=0\Leftrightarrow(x+8)(x-6)=0$.
Nhận $x=6$; chiều dài bằng $8$ dm. Diện tích là $6\cdot8=48$ dm².
Đáp án: $48$ dm².

0,5

6

Theo Viète: $x_1+x_2=m+4$, $x_1x_2=3m$.
Do $x_2=3x_1$ nên $4x_1=m+4$ và $3x_1^2=3m$.
Suy ra $x_1=\dfrac{m+4}{4}$, $x_1^2=m$, nên $(m+4)^2=16m$.
$\Leftrightarrow m^2-8m+16=0\Leftrightarrow(m-4)^2=0$.
Với $m=4$, phương trình thành $x^2-8x+12=0$, có hai nghiệm $2$ và $6$, đều dương và $6=3\cdot2$.
Đáp án: $4$.

0,5