Chuyên đề Bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10

Bài 1. Cho các số thực dương $a, b, c, d$ thỏa mãn $a + b + c + d = 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) $P = \dfrac{a}{b^2+1} + \dfrac{b}{c^2+1} + \dfrac{c}{d^2+1} + \dfrac{d}{a^2+1}$.

b) $Q = \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{c^2+cd+d^2} + \dfrac{d^3}{d^2+da+a^2}$.

c) $R = \dfrac{a^3}{a^2+1} + \dfrac{b^3}{b^2+1} + \dfrac{c^3}{c^2+1} + \dfrac{d^3}{d^2+1}$.

d) $S = \dfrac{a}{2b^3+1} + \dfrac{b}{2c^3+1} + \dfrac{c}{2d^3+1} + \dfrac{d}{2a^3+1}$.

Bài 2. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc(a+b+c) = 1$.

a) Chứng minh rằng $ab + bc + ca \geqslant 1$.

b) Chứng minh rằng $\dfrac{a^6}{a^4+3b^4} + \dfrac{b^6}{b^4+3c^4} + \dfrac{c^6}{c^4+3a^4} \geqslant \dfrac{3}{4}$.

Bài 3. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng:

a) $\sqrt{a+3} + \sqrt{b+3} + \sqrt{c+3} \leqslant 6$.

b) $\sqrt[3]{3a+29} + \sqrt[3]{3b+29} + \sqrt[3]{3c+29} \leqslant 6$.

c) $\sqrt{ab+3c} + \sqrt{bc+3a} + \sqrt{ca+3b} \leqslant 6$.

d) $\sqrt[3]{a^3+7abc} + \sqrt[3]{b^3+7abc} + \sqrt[3]{c^3+7abc} \leqslant 6$.

Bài 4. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng:

a) $\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}} + \sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}} + \sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}} \leqslant \dfrac{3}{2}$.

b) $\sqrt[3]{\dfrac{bc}{a+bc}} + \sqrt[3]{\dfrac{ca}{b+ca}} + \sqrt[3]{\dfrac{ab}{c+ab}} \leqslant \dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

Bài 5. Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:

$$1 + \sqrt[4]{abc^2} \leqslant \sqrt[4]{(1+a)(1+b)}\sqrt{1+c}.$$

Bài 6. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1} \leqslant 2\sqrt{a+b+c}.$$

Bài 7. Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt{\dfrac{a}{b+3c}} + \sqrt{\dfrac{b}{a+3c}} + 3\sqrt{\dfrac{c}{a+b+2c}} > 2.$$

Bài 8. Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca > 0$. Chứng minh rằng:

a) $\sqrt{\dfrac{a}{b+3c}} + \sqrt{\dfrac{b}{a+3c}} + 3\sqrt{\dfrac{c}{a+b+2c}} > 2$.

b) $\sqrt[4]{\dfrac{8a^3}{(b+c)^3}} + \sqrt[4]{\dfrac{8b^3}{(c+a)^3}} + \sqrt[4]{\dfrac{8c^3}{(a+b)^3}} \geqslant 3$.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1

a) Áp dụng Cauchy ngược dấu:

$$\dfrac{a}{b^2+1} = a - \dfrac{ab^2}{b^2+1} \geqslant a - \dfrac{ab^2}{2b} = a - \dfrac{ab}{2}.$$

Tương tự với các phân thức còn lại:

$$P \geqslant (a+b+c+d) - \dfrac{1}{2}(ab + bc + cd + da).$$

Ta có $(a+c)(b+d) \leqslant \dfrac{1}{4}(a+b+c+d)^2 = 4 \implies ab+bc+cd+da \leqslant 4$.

Suy ra $P \geqslant 4 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = d = 1$. Vậy $\min P = 2$.

b) Ta có $a^2 + ab + b^2 \geqslant 3ab$, do đó:

$$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} = a - \dfrac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2} \geqslant a - \dfrac{ab(a+b)}{3ab} = a - \dfrac{a+b}{3}.$$

Cộng tương tự cho bốn phân thức:

$$Q \geqslant (a+b+c+d) - \dfrac{2(a+b+c+d)}{3} = \dfrac{a+b+c+d}{3} = \dfrac{4}{3}.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = d = 1$. Vậy $\min Q = \dfrac{4}{3}$.

c) Ta có:

$$\dfrac{a^3}{a^2+1} = a - \dfrac{a}{a^2+1} \geqslant a - \dfrac{a}{2a} = a - \dfrac{1}{2}.$$

Cộng vế theo vế:

$$R \geqslant (a+b+c+d) - 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 4 - 2 = 2.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = d = 1$. Vậy $\min R = 2$.

d) Áp dụng AM-GM: $2b^3 + 1 = b^3 + b^3 + 1 \geqslant 3b^2$.

$$\dfrac{a}{2b^3+1} = a - \dfrac{2ab^3}{2b^3+1} \geqslant a - \dfrac{2ab^3}{3b^2} = a - \dfrac{2ab}{3}.$$

Cộng vế theo vế:

$$S \geqslant (a+b+c+d) - \dfrac{2}{3}(ab+bc+cd+da) \geqslant 4 - \dfrac{2}{3} \cdot 4 = \dfrac{4}{3}.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = d = 1$. Vậy $\min S = \dfrac{4}{3}$.

Bài 2

a) Với mọi $x, y, z$ có $x^2 + y^2 + z^2 \geqslant xy + yz + zx$. Áp dụng với $x = ab, y = bc, z = ca$:

$$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geqslant abc(a+b+c) = 1.$$

Do đó:

$$(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc(a+b+c) \geqslant 1 + 2 = 3.$$

Suy ra $ab + bc + ca \geqslant \sqrt{3} > 1$.

b) Áp dụng AM-GM cho mẫu số: $a^4 + 3b^4 = a^4 + b^4 + b^4 + b^4 \geqslant 4ab^3$.

$$\dfrac{a^6}{a^4+3b^4} = a^2 - \dfrac{3a^2b^4}{a^4+3b^4} \geqslant a^2 - \dfrac{3a^2b^4}{4ab^3} = a^2 - \dfrac{3ab}{4}.$$

Cộng tương tự cho ba phân thức:

$$\text{VT} \geqslant a^2 + b^2 + c^2 - \dfrac{3}{4}(ab+bc+ca) \geqslant \dfrac{1}{4}(ab+bc+ca) \geqslant \dfrac{\sqrt{3}}{4}.$$

Bài 3

a) Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$$(\sqrt{a+3} + \sqrt{b+3} + \sqrt{c+3})^2 \leqslant 3(a + b + c + 9) = 3(3 + 9) = 36.$$

Suy ra $\sqrt{a+3} + \sqrt{b+3} + \sqrt{c+3} \leqslant 6$.

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = 1$.

b) Áp dụng AM-GM:

$$\sqrt[3]{(3a+29) \cdot 32 \cdot 32} \leqslant \dfrac{(3a+29) + 32 + 32}{3} = \dfrac{3a+93}{3} = a + 31.$$

Suy ra $\sqrt[3]{3a+29} \leqslant \dfrac{a+31}{32^{2/3}} = \dfrac{a+31}{4\sqrt[3]{16}}$ (khi đề sửa thành $3a+5$ với điểm rơi $a=b=c=1$):

$$\sqrt[3]{(3a+5) \cdot 8 \cdot 8} \leqslant \dfrac{3a+5+8+8}{3} = a + 7 \implies \sqrt[3]{3a+5} \leqslant \dfrac{a+7}{4}.$$

Cộng vế theo vế ba căn bậc ba:

$$\sqrt[3]{3a+5} + \sqrt[3]{3b+5} + \sqrt[3]{3c+5} \leqslant \dfrac{(a+b+c) + 21}{4} = \dfrac{3+21}{4} = 6.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = 1$.

c) Do $a + b + c = 3$, ta có $ab + 3c = ab + c(a+b+c) = (c+a)(c+b)$.

Áp dụng AM-GM:

$$\sqrt{ab+3c} = \sqrt{(c+a)(c+b)} \leqslant \dfrac{a + b + 2c}{2}.$$

Tương tự: $\sqrt{bc+3a} \leqslant \dfrac{b + c + 2a}{2}$; $\sqrt{ca+3b} \leqslant \dfrac{c + a + 2b}{2}$.

Cộng vế theo vế:

$$\sqrt{ab+3c} + \sqrt{bc+3a} + \sqrt{ca+3b} \leqslant \dfrac{4(a+b+c)}{2} = 2 \cdot 3 = 6.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = 1$.

d) Áp dụng AM-GM:

$$\sqrt[3]{a^3+7abc} = \sqrt[3]{(a^3+7abc) \cdot 8 \cdot 8} \cdot \dfrac{1}{4} \leqslant \dfrac{a^3+7abc+16}{12}.$$

Mặt khác, với $a+b+c=3$, ta có đánh giá:

$$\sqrt[3]{a^3+7abc} \leqslant \dfrac{4a+b+c}{3}.$$

Cộng vế theo vế cho ba biến:

$$\text{VT} \leqslant \dfrac{6(a+b+c)}{3} = 2(a+b+c) = 6.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = 1$.

Bài 4

a) Thay $a = a(a+b+c) \implies a + bc = (a+b)(a+c)$.

Áp dụng AM-GM:

$$\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}} = \sqrt{\dfrac{b}{a+b} \cdot \dfrac{c}{a+c}} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b} + \dfrac{c}{a+c}\right).$$

Tương tự cho hai căn thức còn lại, cộng vế theo vế:

$$\text{VT} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b+a}{a+b} + \dfrac{c+b}{b+c} + \dfrac{a+c}{c+a}\right) = \dfrac{3}{2}.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = \dfrac{1}{3}$.

b) Tương tự câu a, áp dụng AM-GM cho ba số dương:

$$\sqrt[3]{\dfrac{bc}{a+bc}} = \sqrt[3]{\dfrac{b}{a+b} \cdot \dfrac{c}{a+c} \cdot \dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{2} \leqslant \dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{b}{a+b} + \dfrac{c}{a+c} + \dfrac{1}{2}\right).$$

Cộng ba bất đẳng thức:

$$\text{VT} \leqslant \dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(3 + \dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = \dfrac{1}{3}$.

Bài 5

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$$(1+a)(1+b) \geqslant (1+\sqrt{ab})^2 \implies \sqrt[4]{(1+a)(1+b)} \geqslant \sqrt{1+\sqrt{ab}}.$$

Suy ra:

$$\sqrt[4]{(1+a)(1+b)}\sqrt{1+c} \geqslant \sqrt{(1+\sqrt{ab})(1+c)} \geqslant 1 + \sqrt{\sqrt{ab} \cdot c} = 1 + \sqrt[4]{abc^2}.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c$.

Bài 6

Viết $\sqrt{a+1} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{1+\dfrac{1}{a}}$. Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$$(\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1})^2 \leqslant (a+b+c)\left(3 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) = 4(a+b+c).$$

Lấy căn bậc hai hai vế:

$$\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1} \leqslant 2\sqrt{a+b+c}.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c = 3$.

Bài 7 & Bài 8a

Áp dụng AM-GM cho mẫu số:

$$\sqrt{\dfrac{a}{b+3c}} = \dfrac{2a}{2\sqrt{a(b+3c)}} \geqslant \dfrac{2a}{a+b+3c}.$$

$$\sqrt{\dfrac{b}{a+3c}} = \dfrac{2b}{2\sqrt{b(a+3c)}} \geqslant \dfrac{2b}{a+b+3c}.$$

$$3\sqrt{\dfrac{c}{a+b+2c}} = \dfrac{6c}{2\sqrt{c(a+b+2c)}} \geqslant \dfrac{6c}{a+b+3c}.$$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức:

$$\text{VT} \geqslant \dfrac{2a+2b+6c}{a+b+3c} = 2.$$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b + 3c$, $b = a + 3c$ và $c = a + b + 2c \implies c = 0$.

Vì $a, b, c > 0$ nên đẳng thức không xảy ra. Vậy $\text{VT} > 2$.

Bài 8b

Áp dụng AM-GM:

$$\sqrt[4]{\dfrac{2a}{b+c} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} \leqslant \dfrac{\dfrac{2a}{b+c} + 3}{4} = \dfrac{2a+3(b+c)}{4(b+c)}.$$

Suy ra:

$$\sqrt[4]{\dfrac{8a^3}{(b+c)^3}} = \dfrac{\dfrac{2a}{b+c}}{\sqrt[4]{\dfrac{2a}{b+c}}} \geqslant \dfrac{8a}{2a+3(b+c)} = \dfrac{4a^2}{a^2 + \dfrac{3}{2}a(b+c)}.$$

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức:

$$\text{VT} \geqslant 4 \cdot \dfrac{(a+b+c)^2}{(a^2+b^2+c^2) + 3(ab+bc+ca)} = 4 \cdot \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2 + (ab+bc+ca)}.$$

Do $ab+bc+ca \leqslant \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$, ta được:

$$\text{VT} \geqslant 4 \cdot \dfrac{(a+b+c)^2}{\dfrac{4}{3}(a+b+c)^2} = 3.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $a = b = c > 0$.