Đề kiểm tra giữa học kỳ I Toán 9 - THCS Trần Bích San (Chuẩn 2 trang)

Đáp án

A

B

A

B

C

C

C

B

Bài 1
(1,0 điểm)

a

Giải phương trình: $(2x - 3)(x + 4) = 0$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có: $2x - 3 = 0$ hoặc $x + 4 = 0$

0,25

$2x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$ hoặc $x = -4$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{\dfrac{3}{2}; -4\right\}$.

0,25

b

Giải phương trình: $\dfrac{x + 2}{x - 2} - \dfrac{2}{x(x - 2)} = \dfrac{1}{x}$ (0,5 điểm)

0,5

Điều kiện xác định: $x \ne 0$ và $x \ne 2$.
Quy đồng mẫu thức hai vế: $\dfrac{x(x + 2)}{x(x - 2)} - \dfrac{2}{x(x - 2)} = \dfrac{x - 2}{x(x - 2)}$

0,25

Suy ra: $x^2 + 2x - 2 = x - 2 \Leftrightarrow x^2 + x = 0 \Leftrightarrow x(x + 1) = 0$.
$\Leftrightarrow x = 0$ (loại do không thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc $x = -1$ (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = -1$.

0,25

Bài 2
(1,0 điểm)

a

Cho $a \le b$. Chứng minh: $5 - 2a \ge 5 - 2b$ (0,5 điểm)

0,5

Vì $a \le b$, nhân cả hai vế với $-2 < 0$, ta đổi chiều bất đẳng thức được: $-2a \ge -2b$.

0,25

Cộng cả hai vế với $5$, ta được: $5 - 2a \ge 5 - 2b$ (đpcm).

0,25

b

Giải bất phương trình: $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x - 2}{2} > 1$ (0,5 điểm)

0,5

Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu chung là $6$:
$2(2x - 1) - 3(x - 2) > 6$

0,25

$\Leftrightarrow 4x - 2 - 3x + 6 > 6 \Leftrightarrow x + 4 > 6 \Leftrightarrow x > 2$.
Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > 2$. Biểu diễn đúng trên trục số: gạch bỏ phần $x \le 2$, dùng ngoặc tròn $($ tại điểm $2$ quay về bên phải.

0,25

Bài 3
(2,5 điểm)

1a

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$ (0,5 điểm)

0,5

Từ phương trình thứ hai suy ra $y = 2x$. Thay vào phương trình thứ nhất:
$3x + 2(2x) = 7 \Leftrightarrow 7x = 7 \Leftrightarrow x = 1$.

0,25

Với $x = 1 \Rightarrow y = 2 \cdot 1 = 2$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 2)$.

0,25

1b

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - 3y = -12 \end{cases}$ (0,5 điểm)

0,5

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với $3$, phương trình thứ hai với $2$:
$\begin{cases} 9x + 6y = 24 \\ 4x - 6y = -24 \end{cases}$
Cộng từng vế hai phương trình: $13x = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

0,25

Thay $x = 0$ vào phương trình $3x + 2y = 8 \Rightarrow 2y = 8 \Leftrightarrow y = 4$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (0; 4)$.

0,25

2

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (1,5 điểm)

1,5

Gọi số áo khoác tổ I phải may theo kế hoạch là $x$ (chiếc áo, $x \in \mathbb{N}^*$, $x < 900$).
Gọi số áo khoác tổ II phải may theo kế hoạch là $y$ (chiếc áo, $y \in \mathbb{N}^*$, $y < 900$).

0,25

Theo kế hoạch cả hai tổ may $900$ chiếc áo nên ta có phương trình:
$x + y = 900 \quad (1)$

0,25

Thực tế tổ I may vượt mức $15\%$ nên may được: $x + 15\%x = 1,15x$ (chiếc áo).
Thực tế tổ II may vượt mức $10\%$ nên may được: $y + 10\%y = 1,1y$ (chiếc áo).
Cả hai tổ may được $1010$ chiếc nên ta có phương trình:
$1,15x + 1,1y = 1010 \quad (2)$

0,5

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 900 \\ 1,15x + 1,1y = 1010 \end{cases}$
Giải hệ: Nhân $(1)$ với $1,1$: $1,1x + 1,1y = 990$.
Trừ từng vế: $0,05x = 20 \Rightarrow x = 400$ (thỏa mãn).
Suy ra $y = 900 - 400 = 500$ (thỏa mãn).

0,25

Vậy theo kế hoạch ban đầu, tổ I phải may $400$ chiếc áo, tổ II phải may $500$ chiếc áo.

0,25

Bài 4
(2,5 điểm)

1

Tính chiều cao của tháp quan sát (1,0 điểm)

1,0

Mô hình hóa bài toán bằng tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với:
- Chiều cao tháp là đoạn thẳng $AB$.
- Bóng của tháp trên mặt đất là đoạn thẳng $AC = 86\text{ m}$.
- Góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là $\widehat{C} = 34^\circ$.

0,25

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông $ABC$:
$AB = AC \cdot \tan C$

0,25

Thay số: $AB = 86 \cdot \tan 34^\circ \approx 86 \cdot 0,6745 \approx 58,007\text{ m}$.

0,25

Chiều cao của tháp xấp xỉ $58,0\text{ m}$.

0,25

2

[Hình vẽ]

2a

Tính độ dài $AH, AB$ và số đo góc $B$ (1,0 điểm)

1,0

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$, đường cao $AH$:
$AH^2 = HB \cdot HC = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow AH = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$.

0,25

Cạnh huyền $BC = HB + HC = 4 + 9 = 13\text{ cm}$.
Ta có: $AB^2 = BH \cdot BC = 4 \cdot 13 = 52 \Rightarrow AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\text{ cm}$.

0,25

Trong tam giác vuông $ABH$ vuông tại $H$:
$\tan B = \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{6}{4} = 1,5$ (hoặc $\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{2\sqrt{13}}{13}$).

0,25

Suy ra $\widehat{B} \approx 56^\circ$.

0,25

2b

Chứng minh: $AD \cdot AB = AE \cdot AC$ và $DE^3 = BD \cdot CE \cdot BC$ (0,5 điểm)

0,5

Tứ giác $ADHE$ có $\widehat{DAE} = \widehat{ADH} = \widehat{AEH} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật $\Rightarrow AH = DE$.
Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$, $HD \perp AB \Rightarrow AH^2 = AD \cdot AB$.
Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$, $HE \perp AC \Rightarrow AH^2 = AE \cdot AC$.
Suy ra $AD \cdot AB = AE \cdot AC$ ($= AH^2$).

0,25

Ta có: $BD = \dfrac{BH^2}{AB}$ và $CE = \dfrac{CH^2}{AC}$.
$\Rightarrow BD \cdot CE \cdot BC = \dfrac{BH^2 \cdot CH^2 \cdot BC}{AB \cdot AC} = \dfrac{(BH \cdot CH)^2 \cdot BC}{AH \cdot BC} = \dfrac{(AH^2)^2}{AH} = AH^3$.
Mà $AH = DE$, suy ra $DE^3 = BD \cdot CE \cdot BC$ (đpcm).

0,25

Bài 5
(1,0 điểm)

a

Chứng minh $\tan B \cdot \tan C = \dfrac{AD}{HD}$ (0,5 điểm)

0,5

Trong tam giác $ABD$ vuông tại $D$: $\tan B = \dfrac{AD}{BD}$.
Trong tam giác $ADC$ vuông tại $D$: $\tan C = \dfrac{AD}{CD}$.
Suy ra: $\tan B \cdot \tan C = \dfrac{AD^2}{BD \cdot CD} = \dfrac{AD}{HD} \cdot \dfrac{AD \cdot HD}{BD \cdot CD}$.

0,25

Xét $\triangle BDH$ và $\triangle ADC$ vuông tại $D$ có: $\widehat{BHD} = \widehat{ACD}$ (cùng phụ với $\widehat{CAD}$).
$\Rightarrow \triangle BDH \backsim \triangle ADC\text{ (g.g)} \Rightarrow \dfrac{HD}{CD} = \dfrac{BD}{AD} \Rightarrow AD \cdot HD = BD \cdot CD$.
Do đó: $\tan B \cdot \tan C = \dfrac{AD}{HD} \cdot 1 = \dfrac{AD}{HD}$ (đpcm).

0,25

b

Tính độ cao của máy bay theo phương thẳng đứng (0,5 điểm)

0,5

Đổi thời gian: $2\text{ phút} = \dfrac{2}{60}\text{ giờ} = \dfrac{1}{30}\text{ giờ}$.
Quãng đường máy bay bay theo đường nghiêng là:
$s = v \cdot t = 540 \cdot \dfrac{1}{30} = 18\text{ km}$.

0,25

Độ cao $h$ của máy bay theo phương thẳng đứng là cạnh góc vuông đối diện với góc nâng $24^\circ$:
$h = s \cdot \sin 24^\circ = 18 \cdot \sin 24^\circ \approx 18 \cdot 0,4067 \approx 7,32\text{ km}$.
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, máy bay lên cao khoảng $7,3\text{ km}$.

0,25