Đề kiểm tra Giữa học kỳ I Toán 9 năm học 2026 – 2027

Bài I

Giải hệ phương trình, phương trình và bất phương trình

2,5

1

$\begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 4x - y = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ y = 4x - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x + 2(4x - 9) = 4 \\ y = 4x - 9 \end{cases}$

0,25

$\Leftrightarrow \begin{cases} 11x = 22 \\ y = 4x - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$. Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(2; -1)$.

0,25

2

$(2x - 5)(x + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5 = 0$ hoặc $x + 3 = 0$

0,25

$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}$ hoặc $x = -3$. Tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{-3; \dfrac{5}{2}\right\}$.

0,25

3

$x(2x - 1) + 5(2x - 1) = 0 \Leftrightarrow (2x - 1)(x + 5) = 0$

0,25

$\Leftrightarrow 2x - 1 = 0$ hoặc $x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ hoặc $x = -5$. Tập nghiệm là $S = \left\{-5; \dfrac{1}{2}\right\}$.

0,25

4

ĐKXĐ: $x \ne 0$ và $x \ne 2$.
Quy đồng và khử mẫu: $x(x + 2) - 5(x - 2) = 8$

0,25

$\Leftrightarrow x^2 + 2x - 5x + 10 = 8 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0$
$\Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc $x = 2$ (loại). Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{1\}$.

0,25

5

$5x - 7 < 2x + 8 \Leftrightarrow 5x - 2x < 8 + 7 \Leftrightarrow 3x < 15 \Leftrightarrow x < 5$.
Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < 5$.

0,25

6

$\dfrac{2x - 3}{3} \le \dfrac{3x - 2}{4} \Leftrightarrow 4(2x - 3) \le 3(3x - 2)$

0,25

$\Leftrightarrow 8x - 12 \le 9x - 6 \Leftrightarrow 8x - 9x \le -6 + 12 \Leftrightarrow -x \le 6 \Leftrightarrow x \ge -6$.
Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge -6$.

0,25

Bài II

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

3,5

1

Gọi số sản phẩm tổ phải sản xuất theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm, $x \in \mathbb{N}^*$).
Thời gian dự định hoàn thành là $\dfrac{x}{40}$ (ngày).

0,25

Thực tế tổ sản xuất được $x + 10$ sản phẩm với năng suất 45 sản phẩm/ngày.
Thời gian thực tế làm xong là $\dfrac{x + 10}{45}$ (ngày).

0,25

Vì tổ hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:
$\dfrac{x}{40} - \dfrac{x + 10}{45} = 1$

0,25

Giải phương trình: $9x - 8(x + 10) = 360 \Leftrightarrow x - 80 = 360 \Leftrightarrow x = 440$ (thỏa mãn).
Vậy theo kế hoạch tổ phải sản xuất 440 sản phẩm.

0,25

2

Gọi số dụng cụ xí nghiệp I và xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch lần lượt là $x, y$ dụng cụ ($x, y \in \mathbb{N}^*, x, y < 350$).

0,25

Hai xí nghiệp phải làm tổng cộng 350 dụng cụ nên có phương trình: $x + y = 350$ (1)

0,25

Thực tế: xí nghiệp I làm được $1,2x$ dụng cụ, xí nghiệp II làm được $1,1y$ dụng cụ.
Cả hai xí nghiệp làm được 400 dụng cụ nên có phương trình: $1,2x + 1,1y = 400$ (2)

0,25

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 350 \\ 1,2x + 1,1y = 400 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1,1x + 1,1y = 385 \\ 1,2x + 1,1y = 400 \end{cases}$

0,25

$\Leftrightarrow \begin{cases} 0,1x = 15 \\ x + y = 350 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 150 \\ y = 200 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy xí nghiệp I phải làm 150 dụng cụ, xí nghiệp II phải làm 200 dụng cụ.

0,5

3

Gọi số quả bóng học sinh ném trúng vào rổ là $x$ (quả, $x \in \mathbb{N}, x \le 20$).
Số quả bóng ném ra ngoài là $20 - x$ (quả).

0,25

Tổng số điểm học sinh đạt được là: $3x - 1(20 - x) = 4x - 20$ (điểm).

0,25

Để trúng tuyển, số điểm đạt được phải từ 28 điểm trở lên nên ta có bất phương trình:
$4x - 20 \ge 28$

0,25

$\Leftrightarrow 4x \ge 48 \Leftrightarrow x \ge 12$. Kết hợp điều kiện ta được $12 \le x \le 20, x \in \mathbb{N}$.
Vậy học sinh đó phải ném trúng vào rổ ít nhất 12 quả bóng để được trúng tuyển.

0,25

Bài III

Hình học

3,5

1

Mô hình hóa bài toán thành tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trong đó $AB$ là chiều cao của cây, $AC$ là bóng cây trên mặt đất ($AC = 22\text{ m}$), góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là $\widehat{C} = 35^\circ$.

0,25

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$\tan C = \dfrac{AB}{AC} \Rightarrow AB = AC \cdot \tan C$

0,25

Thay số: $AB = 22 \cdot \tan 35^\circ \approx 22 \cdot 0,7002 \approx 15,4\text{ (m)}$.
Vậy chiều cao của cái cây là khoảng $15,4\text{ m}$.

0,5

2

[Hình vẽ]

a) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100 \Rightarrow BC = 10\text{ cm}$.

0,25

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ có đường cao $AH$:
$AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = 4,8\text{ cm}$.

0,25

Ta có: $\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = 0,8 \Rightarrow \widehat{B} \approx 53^\circ$.

0,5

b) Tứ giác $AEHF$ có $\widehat{EAF} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$); $\widehat{AEH} = 90^\circ$ (do $HE \perp AB$); $\widehat{AFH} = 90^\circ$ (do $HF \perp AC$).
Do đó, tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

0,5

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$: $AH^2 = AE \cdot AB$.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HF$: $AH^2 = AF \cdot AC$.
Suy ra $AE \cdot AB = AF \cdot AC$ ($= AH^2$).

0,5

c) Gọi $K = AD \cap EF$. Theo giả thiết $AD \perp EF \Rightarrow \widehat{AKE} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{KAE} + \widehat{AEK} = 90^\circ$.
Vì $AEHF$ là hình chữ nhật nên $\widehat{AEF} = \widehat{AHE}$. Lại có $\widehat{AHE} = \widehat{ABH}$ (cùng phụ với $\widehat{EHA}$).
Suy ra $\widehat{AEK} = \widehat{B}$.

0,25

Từ $\widehat{KAE} + \widehat{AEK} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{DAB} + \widehat{B} = 90^\circ$.
Mặt khác, trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} + \widehat{B} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{DAB} = \widehat{C}$.
Lại có $\widehat{DAC} = 90^\circ - \widehat{DAB} = 90^\circ - \widehat{C} = \widehat{B} \Rightarrow \triangle DAB$ cân tại $D$ ($DA = DB$) và $\triangle DAC$ cân tại $D$ ($DA = DC$).
Suy ra $DB = DC = DA$, hay $D$ là trung điểm của cạnh $BC$.

0,25

Bài V

Bài toán nâng cao

0,5

<

Chiều rộng đáy là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$), chiều dài đáy là $2x\text{ (m)}$. Diện tích đáy là $S_{\text{đáy}} = x \cdot 2x = 2x^2\text{ (m}^2\text{)}$.
Thể tích bể là $V = 2x^2 \cdot h = 36\text{ m}^3 \Rightarrow$ Chiều cao của bể là $h = \dfrac{36}{2x^2} = \dfrac{18}{x^2}\text{ (m)}$.

0,25

<

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2(x + 2x) \cdot h = 6x \cdot \dfrac{18}{x^2} = \dfrac{108}{x}\text{ (m}^2\text{)}$.
Tổng diện tích cần xây là: $S = S_{\text{đáy}} + S_{xq} = 2x^2 + \dfrac{108}{x} = 2x^2 + \dfrac{54}{x} + \dfrac{54}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $2x^2, \dfrac{54}{x}, \dfrac{54}{x}$:
$S \ge 3\sqrt[3]{2x^2 \cdot \dfrac{54}{x} \cdot \dfrac{54}{x}} = 3\sqrt[3]{2 \cdot 54 \cdot 54} = 3\sqrt[3]{5832} = 3 \cdot 18 = 54\text{ (m}^2\text{)}$.
Dấu "=" xảy ra khi $2x^2 = \dfrac{54}{x} \Leftrightarrow 2x^3 = 54 \Leftrightarrow x^3 = 27 \Leftrightarrow x = 3\text{ (m)}$ (thỏa mãn $x > 0$).
Vậy để diện tích cần xây nhỏ nhất thì chiều rộng đáy bể phải bằng $3\text{ m}$.

0,25

TỔNG ĐIỂM

10,0

Bài I

1

$\begin{cases} 3x - y = 6 \\ 2x + 3y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9x - 3y = 18 \\ 2x + 3y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 11x = 22 \\ y = 3x - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases}$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(2; 0)$.

0,5

2

$(x + 2)(3 - 3x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x + 2 &= 0 \\ 3 - 3x &= 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= -2 \\ x &= 1 \end{aligned}\right.$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-2; 1\}$.

0,5

3

$5x(x - 6) - 2(x - 6) = 0 \Leftrightarrow (x - 6)(5x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 6 \\ x &= \dfrac{2}{5} \end{aligned}\right.$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{\dfrac{2}{5}; 6\right\}$.

0,5

4

ĐKXĐ: $x \ne 0; x \ne 2$.
Quy đồng và khử mẫu: $x(x + 2) - 5(x - 2) = 8 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 5x + 10 = 8 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$.
$\Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (TMĐK) hoặc $x = 2$ (loại).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$.

0,5

5

$7x + 20 \ge 0 \Leftrightarrow 7x \ge -20 \Leftrightarrow x \ge -\dfrac{20}{7}$.

0,25

6

$\dfrac{2x - 1}{3} < \dfrac{x + 6}{2} \Leftrightarrow 2(2x - 1) < 3(x + 6) \Leftrightarrow 4x - 2 < 3x + 18 \Leftrightarrow x < 20$.

0,25

Bài II

1

Đổi $1\text{ giờ }15\text{ phút} = \dfrac{5}{4}\text{ giờ}$.
Gọi tốc độ ca nô khi nước yên lặng là $x$ (km/h), tốc độ dòng nước là $y$ (km/h) ($x > y > 0$).
Tốc độ xuôi dòng: $x + y$ (km/h); tốc độ ngược dòng: $x - y$ (km/h).
Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = \dfrac{30}{1} = 30 \\ x - y = \dfrac{30}{5/4} = 24 \end{cases}$.
Cộng hai vế: $2x = 54 \Rightarrow x = 27$ (TMĐK). Thay vào tìm được $y = 3$ (TMĐK).
Vậy tốc độ ca nô khi nước yên lặng là $27$ km/h, tốc độ dòng nước là $3$ km/h.

1,5

2

Nửa chu vi mảnh vườn là $34 : 2 = 17$ (m).
Gọi chiều dài ban đầu là $x$ (m), chiều rộng ban đầu là $y$ (m) ($17 > x > y > 0$).
Vì nửa chu vi là $17$ m nên: $x + y = 17$.
Diện tích ban đầu: $xy\text{ (m}^2\text{)}$. Sau khi tăng kích thước, diện tích mới là $(x + 3)(y + 2)\text{ (m}^2\text{)}$.
Ta có phương trình: $(x + 3)(y + 2) - xy = 45 \Leftrightarrow 2x + 3y + 6 = 45 \Leftrightarrow 2x + 3y = 39$.
Giải hệ $\begin{cases} x + y = 17 \\ 2x + 3y = 39 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 12 \\ y = 5 \end{cases}$ (TMĐK).
Vậy chiều dài ban đầu là $12$ m, chiều rộng ban đầu là $5$ m.

1,0

3

Lợi nhuận từ mỗi chiếc áo sơ mi là: $380 - 250 = 130$ (nghìn đồng) $= 0,13$ (triệu đồng).
Gọi số áo sơ mi bán được trong một tháng là $x$ chiếc ($x \in \mathbb{N}^*$).
Tổng lợi nhuận thu về trong tháng là: $0,13x - 390$ (triệu đồng).
Để lợi nhuận ít nhất $65$ triệu đồng: $0,13x - 390 \ge 65 \Leftrightarrow 0,13x \ge 455 \Leftrightarrow x \ge 3500$.
Vậy doanh nghiệp phải bán ít nhất $3500$ chiếc áo sơ mi.

1,0

Bài III

1

Mô hình hoá bài toán bằng tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $BC = 4,5$ m, $\widehat{C} = 28^\circ$.
Khoảng cách cần tìm là đoạn $AB$: $AB = BC \cdot \sin C = 4,5 \cdot \sin 28^\circ \approx 2,1$ m.

0,5

2

[Hình vẽ]

a)

Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm.
Hệ thức lượng: $AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow AH = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = 4,8$ cm.
$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = 0,8 \Rightarrow \widehat{B} \approx 53^\circ$.

1,0

b)

Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$, $HM \perp AB \Rightarrow AH^2 = AM \cdot AB$.
Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$, $HN \perp AC \Rightarrow AH^2 = AN \cdot AC$.
Suy ra $AM \cdot AB = AN \cdot AC$.

1,0

c)

Tứ giác $AMHN$ có $\widehat{A} = \widehat{M} = \widehat{N} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật, suy ra $\widehat{ANM} = \widehat{AHM}$.
Lại có $\widehat{AHM} = \widehat{ABH}$ (cùng phụ $\widehat{BHM}$), nên $\widehat{ANM} = \widehat{B}$.
Gọi $K = AD \cap MN$. Vì $AD \perp MN$ tại $K$ nên $\widehat{KAN} = 90^\circ - \widehat{ANM} = 90^\circ - \widehat{B} = \widehat{C}$.
Mặt khác trong $\triangle ADC$ có $\widehat{DAC} = \widehat{KAN} = \widehat{C} \Rightarrow \triangle ADC$ cân tại $D \Rightarrow DA = DC$.
Tương tự $\widehat{DAB} = 90^\circ - \widehat{DAC} = 90^\circ - \widehat{C} = \widehat{B} \Rightarrow \triangle ADB$ cân tại $D \Rightarrow DA = DB$.
Do đó $DB = DC$, hay $D$ là trung điểm của $BC$.

1,0

Bài IV

Gọi chiều rộng đáy bể là $x$ (m) ($x > 0$), chiều dài đáy là $2x$ (m).
Gọi chiều cao bể là $h$ (m) ($h > 0$).
Thể tích bể: $V = 2x \cdot x \cdot h = 2x^2 h = 36 \Rightarrow h = \dfrac{18}{x^2}$.
Diện tích cần xây gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt xung quanh:
$S = 2x^2 + 2(x + 2x)h = 2x^2 + 6xh = 2x^2 + 6x \cdot \dfrac{18}{x^2} = 2x^2 + \dfrac{108}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương:
$S = 2x^2 + \dfrac{54}{x} + \dfrac{54}{x} \ge 3\sqrt[3]{2x^2 \cdot \dfrac{54}{x} \cdot \dfrac{54}{x}} = 3\sqrt[3]{5832} = 3 \cdot 18 = 54\text{ m}^2$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $2x^2 = \dfrac{54}{x} \Leftrightarrow x^3 = 27 \Leftrightarrow x = 3$ (m).
Vậy chiều rộng của đáy bể bằng $3$ m.

0,5

Bài I

1

Cộng hai vế của hệ: $5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
Thay $x = 3$ vào phương trình đầu: $2(3) - y = 5 \Rightarrow y = 1$.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(3; 1)$.

0,5

2

$(2x - 3)^2 - (x + 7)^2 = 0 \Leftrightarrow (2x - 3 - x - 7)(2x - 3 + x + 7) = 0$
$\Leftrightarrow (x - 10)(3x + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 10 \\ x &= -\dfrac{4}{3} \end{aligned}\right.$. Vậy $S = \left\{-\dfrac{4}{3}; 10\right\}$.

0,5

3

$2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0 \Leftrightarrow (x - 3)(2x + 5) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 3 \\ x &= -\dfrac{5}{2} \end{aligned}\right.$. Vậy $S = \left\{-\dfrac{5}{2}; 3\right\}$.

0,5

4

ĐKXĐ: $x \ne -2; x \ne 1$.
Khử mẫu: $5(x - 1) + 3(x + 2) = 3x + 4 \Leftrightarrow 5x - 5 + 3x + 6 = 3x + 4$
$\Leftrightarrow 8x + 1 = 3x + 4 \Leftrightarrow 5x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{5}$ (TMĐK).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{3}{5}$.

0,5

5

$-8x + 1 \le 5 \Leftrightarrow -8x \le 4 \Leftrightarrow x \ge -\dfrac{1}{2}$.

0,25

6

Quy đồng mẫu số chung là $6$:
$3(4x + 5) - 6x \le 2(5x + 6) + 6x \Leftrightarrow 12x + 15 - 6x \le 10x + 12 + 6x$
$\Leftrightarrow 6x + 15 \le 16x + 12 \Leftrightarrow -10x \le -3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{10}$.

0,25

Bài II

1

Gọi số dụng cụ xí nghiệp I, II phải làm theo kế hoạch lần lượt là $x, y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*, x, y < 350$).
Theo kế hoạch: $x + y = 350$.
Thực tế xí nghiệp I vượt $20\%$, xí nghiệp II vượt $10\%$ nên tổng số sản phẩm vượt là:
$0,2x + 0,1y = 400 - 350 = 50 \Leftrightarrow 2x + y = 500$.
Giải hệ: $\begin{cases} x + y = 350 \\ 2x + y = 500 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 150 \\ y = 200 \end{cases}$ (TMĐK).
Vậy kế hoạch xí nghiệp I làm $150$ dụng cụ, xí nghiệp II làm $200$ dụng cụ.

1,5

2

Gọi chiều rộng mảnh đất ban đầu là $x$ (m) ($x > 4$). Chiều dài ban đầu là $x + 5$ (m).
Diện tích ban đầu: $x(x + 5)\text{ (m}^2\text{)}$.
Chiều dài sau khi giảm: $x + 5 - 5 = x$ (m); chiều rộng sau khi giảm: $x - 4$ (m).
Diện tích mới: $x(x - 4)\text{ (m}^2\text{)}$.
Ta có phương trình: $x(x + 5) - x(x - 4) = 180 \Leftrightarrow 9x = 180 \Leftrightarrow x = 20$ (TMĐK).
Vậy chiều rộng mảnh đất là $20$ m, chiều dài mảnh đất là $25$ m.

1,0

3

Gọi số tiền bà Mai cần gửi là $x$ (triệu đồng) ($x > 0$).
Số tiền lãi nhận được sau một năm là: $7,4\% \cdot x = 0,074x$ (triệu đồng).
Để có ít nhất $59,2$ triệu tiền lãi: $0,074x \ge 59,2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{59,2}{0,074} = 800$.
Vậy số tiền bà Mai cần gửi tiết kiệm ít nhất là $800$ triệu đồng.

1,0

Bài III

1

Chiều cao của cây là $h = 22 \cdot \tan 35^\circ \approx 22 \cdot 0,7002 \approx 15$ m.

0,5

2

[Hình vẽ]

a)

$\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{B} = 60^\circ$.
Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$: $BH = AB \cdot \cos B = 3 \cdot \dfrac{1}{2} = 1,5$ cm.
$AH = AB \cdot \sin B = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 2,6$ cm.

1,0

b)

Tứ giác $AMHN$ có $\widehat{MAN} = \widehat{AMH} = \widehat{ANH} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông $AHB$ và $AHC$:
$AH^2 = AM \cdot AB$ và $AH^2 = AN \cdot AC$. Suy ra $AM \cdot AB = AN \cdot AC = AH^2$.

1,0

c)

Hệ thức lượng: $BM = \dfrac{BH^2}{AB}$, $CN = \dfrac{CH^2}{AC}$.
Do đó $BM \cdot CN \cdot BC = \dfrac{BH^2 \cdot CH^2 \cdot BC}{AB \cdot AC} = \dfrac{(BH \cdot CH)^2 \cdot BC}{AH \cdot BC} = \dfrac{(AH^2)^2}{AH} = AH^3$.

1,0

Bài IV

Phương trình viết lại: $y(x - 2) = -x^2 + x + 5 \Leftrightarrow y = \dfrac{-x^2 + x + 5}{x - 2}$ (với $x \ne 2$).
Thực hiện chia đa thức: $y = \dfrac{-(x^2 - 4) + (x - 2) + 3}{x - 2} = -(x + 2) + 1 + \dfrac{3}{x - 2} = -x - 1 + \dfrac{3}{x - 2}$.
Để $y \in \mathbb{Z}$ thì $x - 2 \in \text{Ư}(3) = \{\pm 1; \pm 3\}$.
- $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = -3 - 1 + 3 = -1$.
- $x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = -1 - 1 - 3 = -5$.
- $x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow y = -5 - 1 + 1 = -5$.
- $x - 2 = -3 \Rightarrow x = -1 \Rightarrow y = 1 - 1 - 1 = -1$.
Vậy các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn là: $(3; -1), (1; -5), (5; -5), (-1; -1)$.

0,5

Bài I

1

$\begin{cases} 4x - 3y = 6 \\ 0,4x + 0,2y = 0,8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4x - 3y = 6 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5y = 2 \\ 4x = 3y + 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = 0,4 \\ x = 1,8 \end{cases}$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(1,8; 0,4)$.