Đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán lớp 9 (Nâng cao ý 7c)

Câu 1

Giải các hệ phương trình sau (1,5 điểm)

a

Giải hệ: $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}$ (0,75 điểm)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2$:
$\begin{cases} 4x + 2y = 14 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}$

0,25

Cộng từng vế hai phương trình của hệ: $7x = 21 \iff x = 3$.

0,25

Thay $x = 3$ vào $2x + y = 7 \implies 2 \cdot 3 + y = 7 \iff y = 1$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (3; 1)$.

0,25

b

Giải hệ: $\begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = 2 \\ \dfrac{6}{x} - \dfrac{2}{y} = 1 \end{cases}$ (0,75 điểm)

Điều kiện xác định: $x \ne 0, y \ne 0$.
Đặt $u = \dfrac{1}{x}; v = \dfrac{1}{y}$, hệ trở thành: $\begin{cases} 2u + v = 2 \\ 6u - 2v = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} 4u + 2v = 4 \\ 6u - 2v = 1 \end{cases}$

0,25

Cộng từng vế hai phương trình: $10u = 5 \iff u = \dfrac{1}{2}$.
Thay $u = \dfrac{1}{2}$ vào $2u + v = 2 \implies 2 \cdot \dfrac{1}{2} + v = 2 \iff v = 1$.

0,25

Với $u = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} \iff x = 2$ (thỏa mãn ĐKXĐ).
Với $v = 1 \implies \dfrac{1}{y} = 1 \iff y = 1$ (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; 1)$.

0,25

Câu 2

Giải các phương trình sau (1,5 điểm)

a

Giải phương trình: $(x - 3)(2x + 7) = (x - 3)(x - 1)$ (0,75 điểm)

Chuyển vế: $(x - 3)(2x + 7) - (x - 3)(x - 1) = 0$.

0,25

Đặt nhân tử chung: $(x - 3)[(2x + 7) - (x - 1)] = 0 \iff (x - 3)(x + 8) = 0$.

0,25

$\iff x - 3 = 0$ hoặc $x + 8 = 0 \iff x = 3$ hoặc $x = -8$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{3; -8\}$.

0,25

b

Giải phương trình: $\dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{2}{x + 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}$ (0,75 điểm)

Điều kiện xác định: $x \ne 2$ và $x \ne -2$.
Quy đồng và khử mẫu: $x(x + 2) + 2(x - 2) = 8$.

0,25

$\iff x^2 + 2x + 2x - 4 = 8 \iff x^2 + 4x - 12 = 0 \iff (x - 2)(x + 6) = 0$
$\iff x = 2$ hoặc $x = -6$.

0,25

Đối chiếu điều kiện:
- $x = 2$ (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ).
- $x = -6$ (nhận).
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-6\}$.

0,25

Câu 3

Bất phương trình và bất đẳng thức (1,0 điểm)

a

Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm (0,75 điểm)

Quy đồng với mẫu chung $6$ và khử mẫu:
$3(2x - 3) - 2(x - 1) \ge x + 5$

0,25

$\iff 6x - 9 - 2x + 2 \ge x + 5 \iff 4x - 7 \ge x + 5 \iff 3x \ge 12 \iff x \ge 4$.
Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge 4$.

0,25

Biểu diễn đúng trên trục số: vạch số $4$ dùng ngoặc vuông $[$, gạch bỏ phần nhỏ hơn $4$.

0,25

b

Chứng minh: $2a + 3 > 2b + 1$ (0,25 điểm)

Vì $a > b$ và $2 > 0$ nên $2a > 2b$.
Cộng hai vế với $3$, ta có: $2a + 3 > 2b + 3$ $(1)$.
Vì $3 > 1$ nên $2b + 3 > 2b + 1$ $(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$, theo tính chất bắc cầu suy ra: $2a + 3 > 2b + 1$ (đpcm).

0,25

Câu 4

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (1,5 điểm)

a

Tính số học sinh đăng ký dự thi vào mỗi trường (1,0 điểm)

Gọi số học sinh đăng ký thi vào trường A và trường B lần lượt là $x$ và $y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*, x, y < 1850$).
Tổng số học sinh đăng ký là $1.850$ nên: $x + y = 1850$ $(1)$.

0,25

Số học sinh trúng tuyển trường A là $0,3x$, trường B là $0,8y$.
Tổng số học sinh trúng tuyển là $680$ em nên: $0,3x + 0,8y = 680$ $(2)$.

0,25

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ: $\begin{cases} x + y = 1850 \\ 0,3x + 0,8y = 680 \end{cases} \iff \begin{cases} 3x + 3y = 5550 \\ 3x + 8y = 6800 \end{cases}$
Trừ từng vế: $5y = 1250 \iff y = 250$. Thay vào $(1) \implies x = 1600$.

0,25

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy có $1.600$ học sinh đăng ký thi vào trường A và $250$ học sinh đăng ký vào trường B.

0,25

b

Tính số học sinh trúng tuyển của mỗi trường (0,5 điểm)

Số học sinh trúng tuyển trường A: $1600 \cdot 30\% = 480$ (học sinh).
Số học sinh trúng tuyển trường B: $250 \cdot 80\% = 200$ (học sinh).

0,5

Câu 5

Giải tam giác vuông $ABC$ (1,0 điểm)

Trong tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$:
$\widehat{B} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

0,25

Cạnh huyền: $BC = \dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{0,5} = 12\text{ cm}$.

0,5

Cạnh góc vuông: $AC = AB \cdot \cot C = 6 \cdot \cot 30^\circ = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ (hoặc tính $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{144 - 36} = 6\sqrt{3}\text{ cm} \approx 10,4\text{ cm}$).

0,25

Câu 6

Bài toán thực tế tỉ số lượng giác (1,0 điểm)

Gọi chiều cao tòa tháp là $h$, khoảng cách từ người đến chân tháp là $d = 30\text{ m}$.
Chiều cao từ mặt đất đến mắt người là $h_0 = 1,6\text{ m}$.

0,25

Phần chiều cao của tháp từ phương nhìn ngang của mắt trở lên là:
$x = d \cdot \tan 42^\circ = 30 \cdot \tan 42^\circ$

0,25

Tính được: $x \approx 30 \cdot 0,9004 \approx 27,01\text{ m}$.

0,25

Chiều cao của tòa tháp là:
$h = x + h_0 \approx 27,01 + 1,6 = 28,61 \approx 28,6\text{ m}$.
Vậy tòa tháp cao khoảng $28,6\text{ m}$.

0,25

Câu 7

[Hình vẽ]

a

Tính độ dài cạnh $BC$ và $AC$ (0,5 điểm)

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
$BC = \dfrac{AB}{\cos B} = \dfrac{6}{\cos 60^\circ} = \dfrac{6}{0,5} = 12\text{ cm}$.

0,25

$AC = AB \cdot \tan B = 6 \cdot \tan 60^\circ = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ (hoặc $AC = BC \cdot \sin B = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$).

0,25

b

Tính diện tích tam giác $ABC$ (0,5 điểm)

Diện tích tam giác vuông $ABC$ là:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC$

0,25

Thay số: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\text{ cm}^2$ ($\approx 31,18\text{ cm}^2$).

0,25

c

[Hình vẽ]

Kẻ $HD \perp AB$ tại $D$. Chứng minh rằng: $BD = BC \cdot \cos^3 B$ (0,5 điểm)

Trong tam giác $BHD$ vuông tại $D$, ta có:
$BD = BH \cdot \cos B$ $(1)$
Trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có:
$BH = AB \cdot \cos B$ $(2)$

0,25

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$AB = BC \cdot \cos B$ $(3)$
Thay $(3)$ vào $(2)$, rồi thay vào $(1)$, ta được:
$BD = (BC \cdot \cos B) \cdot \cos B \cdot \cos B = BC \cdot \cos^3 B$ (đpcm).

0,25

Câu 8

Tính giá trị biểu thức lượng giác (1,0 điểm)

Vì $25^\circ + 65^\circ = 90^\circ$ nên $\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$.
Suy ra: $\dfrac{\sin 25^\circ}{\cos 65^\circ} = \dfrac{\sin 25^\circ}{\sin 25^\circ} = 1$.

0,25

Vì $32^\circ + 58^\circ = 90^\circ$ nên $\tan 58^\circ = \cot 32^\circ$.
Suy ra: $\tan 32^\circ \cdot \tan 58^\circ = \tan 32^\circ \cdot \cot 32^\circ = 1$.

0,25

Vì $40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$ nên $\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$.
Suy ra: $\cos 40^\circ - \sin 50^\circ = \cos 40^\circ - \cos 40^\circ = 0$.

0,25

Do đó biểu thức: $A = 1 + 1 - 2 \cdot 0 = 2$.
Vậy $A = 2$.

0,25

TỔNG ĐIỂM

10,0