Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán lớp 9 - Đề số 2

Bài 1

a

Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$ (0,5 điểm)

Thay $x = 16$ (thoả mãn điều kiện $x \ge 0, x \ne 9$) vào biểu thức $A$:

0,25

$A = \dfrac{\sqrt{16} + 2}{\sqrt{16} - 3} = \dfrac{4 + 2}{4 - 3} = \dfrac{6}{1} = 6$.
Vậy khi $x = 16$ thì $A = 6$.

0,25

b

Rút gọn biểu thức $B$ (1,0 điểm)

Với $x \ge 0, x \ne 9$, ta có:
$B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{3x + 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

0,25

$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) - (3x + 9)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

0,25

$B = \dfrac{x - 3\sqrt{x} + 2x + 6\sqrt{x} - 3x - 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \dfrac{3\sqrt{x} - 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

0,25

$B = \dfrac{3(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \dfrac{3}{\sqrt{x} + 3}$.

0,25

c

Tìm $x \in \mathbb{Z}$ để $P = \dfrac{B}{A}$ nguyên (0,5 điểm)

$P = \dfrac{B}{A} = \dfrac{3}{\sqrt{x} + 3} : \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} = \dfrac{3(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 2)}$.
Ta có: với $x \ge 0, x \ne 9 \implies \sqrt{x} + 3 \ge 3 > 0$ và $\sqrt{x} + 2 \ge 2 > 0 \implies (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 2) \ge 6$.
Mặt khác, $3(\sqrt{x} - 3) < 3(\sqrt{x} + 2) \le (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 2)$ nên $P < 1$.

0,25

Lại có $\sqrt{x} \ge 0 \implies 3(\sqrt{x} - 3) \ge -9$ và mẫu số $(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}+2) > 0$.
Để $P \in \mathbb{Z}$ thì $P$ chỉ có thể nhận các giá trị nguyên thoả mãn $-2 < P < 1$. Do đó $P \in \{-1; 0\}$.
+ Nếu $P = 0 \iff 3(\sqrt{x} - 3) = 0 \iff \sqrt{x} = 3 \iff x = 9$ (loại vì không thoả mãn ĐKXĐ).
+ Nếu $P = -1 \iff \dfrac{3\sqrt{x} - 9}{x + 5\sqrt{x} + 6} = -1 \iff x + 8\sqrt{x} - 3 = 0$.
Phương trình này có $\Delta' = 4^2 - 1\cdot(-3) = 19 \implies \sqrt{x} = -4 + \sqrt{19}$ (không là số nguyên).
Vậy không có giá trị nguyên nào của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

0,25

Bài 2

1

Giải hệ phương trình (1,0 điểm)

$\begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases} \iff \begin{cases} 4x - 6y = 14 \\ 9x + 6y = 12 \end{cases}$

0,25

Cộng hai phương trình của hệ: $13x = 26 \iff x = 2$.

0,25

Thay $x = 2$ vào phương trình $3x + 2y = 4$ được: $3(2) + 2y = 4 \iff 2y = -2 \iff y = -1$.

0,25

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (2; -1)$.

0,25

2

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (1,0 điểm)

Gọi thời gian lớp 9A làm riêng hoàn thành công việc là $x$ (ngày, điều kiện: $x > 4$).
Gọi thời gian lớp 9B làm riêng hoàn thành công việc là $y$ (ngày, điều kiện: $y > 4$).
Trong 1 ngày, lớp 9A làm được $\dfrac{1}{x}$ (công việc), lớp 9B làm được $\dfrac{1}{y}$ (công việc).

0,25

Vì hai lớp cùng làm trong 4 ngày thì xong công việc nên ta có phương trình:
$\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} = 1 \iff \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}$ (1)

0,25

Lớp 9A làm trong 3 ngày được $\dfrac{3}{x}$ (công việc), lớp 9B làm trong 6 ngày được $\dfrac{6}{y}$ (công việc).
Vì hai lớp hoàn thành được $\dfrac{5}{6}$ khối lượng công việc nên ta có phương trình:
$\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{5}{6}$ (2)

0,25

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{5}{6} \end{cases}$
Đặt $u = \dfrac{1}{x}, v = \dfrac{1}{y}$ ($u, v > 0$), giải hệ ta được $u = \dfrac{2}{9}, v = \dfrac{1}{36}$ là sai.
Giải đúng: $\begin{cases} 3u + 3v = \dfrac{3}{4} \\ 3u + 6v = \dfrac{5}{6} \end{cases} \implies 3v = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{12} \implies v = \dfrac{1}{36}$.
Từ đó $u = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{36} = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9} \implies x = \dfrac{9}{2} = 4,5$ (TM); $y = 36$ (TM).
Vậy lớp 9A làm một mình hết 4,5 ngày (hoặc 4 ngày 12 giờ), lớp 9B làm một mình hết 36 ngày.

0,25

Bài 3

a

Tính giá niêm yết ban đầu (0,75 điểm)

Tiền lãi dự kiến tính trên mỗi chiếc máy sấy tóc là:
$200\,000 \times 40\% = 80\,000$ (đồng).

0,25

Giá niêm yết ban đầu của mỗi chiếc máy sấy tóc là:
$200\,000 + 80\,000 = 280\,000$ (đồng).
(hoặc tính gộp: $200\,000 \times (1 + 40\%) = 280\,000$ đồng).

0,5

b

Tính số tiền phải trả khi mua 4 chiếc (0,75 điểm)

Giá của một chiếc máy sấy tóc sau khi giảm $10\%$ là:
$280\,000 \times (1 - 10\%) = 280\,000 \times 0,9 = 252\,000$ (đồng).
Số tiền phải trả cho 2 chiếc máy sấy tóc đầu tiên là:
$252\,000 \times 2 = 504\,000$ (đồng).

0,25

Giá của chiếc máy sấy tóc từ chiếc thứ 3 sau khi giảm thêm $5\%$ là:
$252\,000 \times (1 - 5\%) = 252\,000 \times 0,95 = 239\,400$ (đồng).
Số tiền phải trả cho 2 chiếc máy sấy tóc tiếp theo (chiếc thứ 3 và thứ 4) là:
$239\,400 \times 2 = 478\,800$ (đồng).

0,25

Tổng số tiền gia đình đó phải trả là:
$504\,000 + 478\,800 = 982\,800$ (đồng).

0,25

Bài 4

[Hình vẽ]

a

Tính $BC$, $AH$ và $\widehat{B}$ (1,0 điểm)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100 \implies BC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.

0,25

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:
$AB \cdot AC = BC \cdot AH \implies AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = 4,8\text{ cm}$.

0,25

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = 0,8$.

0,25

Suy ra $\widehat{B} \approx 53^\circ$.

0,25

b

Chứng minh $ADHE$ là hình chữ nhật và $AD \cdot AB = AE \cdot AC$ (1,5 điểm)

Xét tứ giác $ADHE$ có:
$\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $A$),
$\widehat{ADH} = 90^\circ$ (do $HD \perp AB$),
$\widehat{AEH} = 90^\circ$ (do $HE \perp AC$).

0,25

Tứ giác $ADHE$ có ba góc vuông nên $ADHE$ là hình chữ nhật.

0,25

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, có đường cao $HD$ ($HD \perp AB$).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $AH^2 = AD \cdot AB$ (1).

0,5

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, có đường cao $HE$ ($HE \perp AC$).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $AH^2 = AE \cdot AC$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $AD \cdot AB = AE \cdot AC$ (đpcm).

0,5

c

Chứng minh $M$ là trung điểm của $BC$ (1,0 điểm)

Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $DE$. Theo giả thiết $AM \perp DE$ tại $K$, suy ra tam giác $AKE$ vuông tại $K$, do đó $\widehat{KAE} + \widehat{AED} = 90^\circ$ hay $\widehat{MAC} + \widehat{AED} = 90^\circ$ (*).
Vì $ADHE$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo $AH$ và $DE$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi $O$ là giao điểm của $AH$ và $DE$, ta có $OE = OA \implies \triangle OAE$ cân tại $O \implies \widehat{OEA} = \widehat{OAE}$ hay $\widehat{AED} = \widehat{HAC}$.

0,25

Thay vào (*), ta được: $\widehat{MAC} + \widehat{HAC} = 90^\circ$.
Mặt khác, trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $\widehat{C} + \widehat{HAC} = 90^\circ$ (do tam giác $AHC$ vuông tại $H$).
Suy ra $\widehat{MAC} = \widehat{C}$, do đó tam giác $MAC$ cân tại $M \implies MA = MC$ (3).

0,25

Ta lại có: $\widehat{MAB} = 90^\circ - \widehat{MAC}$ và $\widehat{B} = 90^\circ - \widehat{C}$.
Mà $\widehat{MAC} = \widehat{C}$ nên $\widehat{MAB} = \widehat{B} \implies \triangle MAB$ cân tại $M \implies MA = MB$ (4).

0,25

Từ (3) và (4) suy ra $MB = MC = MA$.
Mà $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$ nên $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ (đpcm).

0,25

Bài 5

Chứng minh bất đẳng thức (1,0 điểm)

Với các số thực dương $a, b$, áp dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu, ta biến đổi biểu thức:
$\dfrac{a^2}{a + 2b^2} = \dfrac{a(a + 2b^2) - 2ab^2}{a + 2b^2} = a - \dfrac{2ab^2}{a + 2b^2}$.

0,25

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $a$ và $2b^2$, ta có:
$a + 2b^2 \ge 2\sqrt{a \cdot 2b^2} = 2b\sqrt{2a}$.
Do đó: $\dfrac{2ab^2}{a + 2b^2} \le \dfrac{2ab^2}{2b\sqrt{2a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{\sqrt{2}} = b \sqrt{\dfrac{a}{2}}$.

0,25

Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $b \sqrt{\dfrac{a}{2}} \le b \cdot \dfrac{a + \frac{1}{2}}{2\sqrt{\frac{1}{2}}} = \dots$ hay đánh giá trực tiếp:
Ta dùng: $a + 2b^2 = a + b^2 + b^2 \ge 3\sqrt[3]{ab^4}$
$\implies \dfrac{a^2}{a+2b^2} = a - \dfrac{2ab^2}{a+b^2+b^2} \ge a - \dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}} = a - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2} \ge a - \dfrac{2(2ab + 1)}{9}$ (hoặc áp dụng AM-GM dạng $a + b^2 + b^2 \ge 3b^{\frac{4}{3}}a^{\frac{1}{3}}$).
Cách khác đơn giản hơn: Theo Cauchy-Schwarz (BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức):
$\dfrac{a^2}{a + 2b^2} + \dfrac{b^2}{b + 2c^2} + \dfrac{c^2}{c + 2a^2} \ge \dfrac{(a + b + c)^2}{a + b + c + 2(a^2 + b^2 + c^2)}$.

0,25

Chứng minh bổ đề hoặc hoàn tất đánh giá Cauchy ngược dấu:
$\dfrac{a^2}{a + 2b^2} = a - \dfrac{2ab^2}{a + b^2 + b^2} \ge a - \dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}} = a - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{a^2 b^2}$.
Áp dụng BĐT AM-GM: $\sqrt[3]{a^2 b^2} = \sqrt[3]{ab \cdot ab \cdot 1} \le \dfrac{ab + ab + 1}{3}$ chưa tối ưu, mà viết: $\sqrt[3]{a \cdot a \cdot b^2} \le \dfrac{a + a + b^2}{3}$ hoặc dùng $\sqrt[3]{a^2b^2} \le \dfrac{a + b + ab}{3}$ (hoặc dùng $2b^2 + 1 \ge 3\sqrt[3]{b^4}$):
Nhận xét với $a=b=c=1$ thì đẳng thức xảy ra. Biến đổi chuẩn:
$\dfrac{a^2}{a + 2b^2} \ge a - \dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}} = a - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2} \ge a - \dfrac{2(2a + b)}{9} = \dfrac{5a - 2b}{9}$.
Tương tự:
$\dfrac{b^2}{b + 2c^2} \ge \dfrac{5b - 2c}{9}$ và $\dfrac{c^2}{c + 2a^2} \ge \dfrac{5c - 2a}{9}$.
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được:
$\text{VT} \ge \dfrac{(5a - 2b) + (5b - 2c) + (5c - 2a)}{9} = \dfrac{3(a + b + c)}{9} = \dfrac{a + b + c}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.
Bất đẳng thức được chứng minh.

0,25