Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán lớp 9

Đáp án

B

A

C

C

A

B

B

D

C

A

Câu 1

$15$ (hoặc $15$ quyển)

0,5

Câu 1

a)

$BC = 10\text{ cm}$

Đúng

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$.

b)

$AH = 5\text{ cm}$

Sai

$AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = 4,8\text{ cm} \ne 5\text{ cm}$.

c)

$\sin \widehat{ABC} = 0,8$

Đúng

$\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = 0,8$.

d)

$BH = 3,6\text{ cm}$

Đúng

$BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{6^2}{10} = 3,6\text{ cm}$.

Bài 1
(1,5 đ)

a

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 2x - 3y = 7 \end{cases}$ (0,75 điểm)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $3$, ta được hệ: $\begin{cases} 9x + 3y = 15 \\ 2x - 3y = 7 \end{cases}$

0,25

Cộng từng vế hai phương trình của hệ: $11x = 22 \Rightarrow x = 2$.

0,25

Thay $x = 2$ vào phương trình $3x + y = 5$, ta được: $3 \cdot 2 + y = 5 \Rightarrow y = -1$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(2; -1)$.

0,25

b

Giải phương trình: $\dfrac{x + 2}{x - 2} - \dfrac{2}{x(x - 2)} = \dfrac{1}{x}$ (0,75 điểm)

Điều kiện xác định: $x \ne 0$ và $x \ne 2$.

0,25

Quy đồng và khử mẫu: $x(x + 2) - 2 = x - 2 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 2 = x - 2$
$\Leftrightarrow x^2 + x = 0 \Leftrightarrow x(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = -1 \end{array}\right.$

0,25

Đối chiếu điều kiện:
• $x = 0$ (loại).
• $x = -1$ (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-1\}$.

0,25

Bài 2
(1,0 đ)

Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm: (1,0 điểm)

$\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} \le \dfrac{5 - 4x}{6}$
Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu số chung là $6$:
$2(2x - 1) - 3(x + 2) \le 5 - 4x$

0,25

Khai triển: $4x - 2 - 3x - 6 \le 5 - 4x \Leftrightarrow x - 8 \le 5 - 4x$

0,25

$\Leftrightarrow x + 4x \le 5 + 8 \Leftrightarrow 5x \le 13 \Leftrightarrow x \le \dfrac{13}{5}$.
Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le \dfrac{13}{5}$ (hoặc $x \le 2,6$).

0,25

Biểu diễn đúng tập nghiệm trên trục số (đánh dấu điểm $\dfrac{13}{5}$, dùng ngoặc vuông quay về phía trái và gạch phần bên phải).

0,25

Bài 3
(1,0 đ)

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: (1,0 điểm)

Gọi số sản phẩm xí nghiệp I và xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch lần lượt là $x$ và $y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*$, $x < 720, y < 720$).

0,25

Theo kế hoạch cả hai xí nghiệp phải làm $720$ sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 720$ (1)

0,25

Thực tế xí nghiệp I làm được $1,15x$ sản phẩm, xí nghiệp II làm được $1,12y$ sản phẩm.
Vì cả hai làm được $819$ sản phẩm nên ta có phương trình: $1,15x + 1,12y = 819$ (2)

0,25

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 720 \\ 1,15x + 1,12y = 819 \end{cases}$
Giải hệ: Từ (1) suy ra $y = 720 - x$, thay vào (2):
$1,15x + 1,12(720 - x) = 819 \Leftrightarrow 0,03x + 806,4 = 819 \Leftrightarrow 0,03x = 12,6 \Rightarrow x = 420$ (thỏa mãn).
Suy ra $y = 720 - 420 = 300$ (thỏa mãn).
Vậy theo kế hoạch, xí nghiệp I phải làm $420$ sản phẩm, xí nghiệp II phải làm $300$ sản phẩm.

0,25

Bài 4
(2,0 đ)

[Hình vẽ]

a

Chứng minh tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật và $AE \cdot AB = AF \cdot AC$ (1,0 điểm)

Ta có: $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$);
$HE \perp AB \Rightarrow \widehat{AEH} = 90^\circ$; $HF \perp AC \Rightarrow \widehat{AFH} = 90^\circ$.
Tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông: $\widehat{EAF} = \widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

0,5

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $AHB$ có đường cao $HE$:
$AH^2 = AE \cdot AB$ (1).
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $AHC$ có đường cao $HF$:
$AH^2 = AF \cdot AC$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $AE \cdot AB = AF \cdot AC$ ($= AH^2$).

0,5

b

Chứng minh $EF^3 = BE \cdot CF \cdot BC$ (1,0 điểm)

Vì tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau: $EF = AH$.
Do đó cần chứng minh: $AH^3 = BE \cdot CF \cdot BC$.

0,25

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
• Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HE$: $BH^2 = BE \cdot AB \Rightarrow BE = \dfrac{BH^2}{AB}$.
• Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HF$: $CH^2 = CF \cdot AC \Rightarrow CF = \dfrac{CH^2}{AC}$.

0,25

Nhân từng vế: $BE \cdot CF = \dfrac{BH^2 \cdot CH^2}{AB \cdot AC} = \dfrac{(BH \cdot CH)^2}{AB \cdot AC}$.
Mà trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có: $BH \cdot CH = AH^2$ và $AB \cdot AC = AH \cdot BC$.

0,25

Suy ra: $BE \cdot CF = \dfrac{(AH^2)^2}{AH \cdot BC} = \dfrac{AH^4}{AH \cdot BC} = \dfrac{AH^3}{BC}$.
$\Rightarrow AH^3 = BE \cdot CF \cdot BC$.
Vì $EF = AH$ nên $EF^3 = BE \cdot CF \cdot BC$ (đpcm).

0,25

Bài 5
(0,5 đ)

Tìm các cặp số thực $(x; y)$ thỏa mãn hệ thức: (0,5 điểm)

Biến đổi hệ thức đã cho:
$x^2 + 4y^2 - 4x + 4y + 5 + |2x - y - 3| = 0$
$\Leftrightarrow (x^2 - 4x + 4) + (4y^2 + 4y + 1) + |2x - y - 3| = 0$
$\Leftrightarrow (x - 2)^2 + (2y + 1)^2 + |2x - y - 3| = 0$

0,25

Nhận thấy với mọi $x, y \in \mathbb{R}$ ta luôn có:
$(x - 2)^2 \ge 0$, $(2y + 1)^2 \ge 0$, $|2x - y - 3| \ge 0$.
Do đó tổng của ba số không âm bằng $0$ khi và chỉ khi cả ba số đồng thời bằng $0$:
$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ 2y + 1 = 0 \\ 2x - y - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = -\dfrac{1}{2} \end{cases}$
Kiểm tra điều kiện thứ ba: $2(2) - \left(-\dfrac{1}{2}\right) - 3 = 4 + \dfrac{1}{2} - 3 = \dfrac{3}{2} \ne 0$.
Như vậy không tồn tại cặp số $(x; y)$ nào thỏa mãn cả ba phương trình cùng lúc.
Vậy không có cặp số $(x; y)$ nào thỏa mãn hệ thức đã cho.

0,25