Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 9 – Không có căn thức

1

a)

Giải hệ phương trình $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2.\end{cases}$ (1,0 điểm)

Cộng hai phương trình, được $3x=9$.

0,25

Suy ra $x=3$.

0,25

Thay $x=3$ vào $x-y=2$, được $y=1$.

0,25

Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(3;1)$.

0,25

b)

Tìm $m$ để hệ có nghiệm thỏa mãn $x>0$, $y>0$ (1,0 điểm)

Cộng hai phương trình của hệ, được $3x=m+3$, suy ra $x=\dfrac{m+3}{3}$.

0,25

Suy ra $y=m-x=\dfrac{2m-3}{3}$. Hệ có nghiệm duy nhất với mọi $m$.

0,25

Điều kiện $x>0$, $y>0$ tương đương $\begin{cases}m>-3\\m>\dfrac{3}{2}.\end{cases}$

0,25

Kết luận $m>\dfrac{3}{2}$.

0,25

2

Tìm số vé người lớn và số vé học sinh đã bán (2,0 điểm)

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số vé người lớn và số vé học sinh đã bán; $x$, $y$ là các số nguyên không âm.

0,25

Theo tổng số vé, có $x+y=100$.

0,25

Theo tổng số tiền thu được, có $60000x+40000y=4800000$.

0,25

Lập được hệ $\begin{cases}x+y=100\\3x+2y=240.\end{cases}$

0,25

Lấy phương trình thứ hai trừ hai lần phương trình thứ nhất, được $x=40$.

0,25

Suy ra $y=100-40=60$.

0,25

Các giá trị $x=40$, $y=60$ thỏa mãn điều kiện.

0,25

Kết luận đã bán được 40 vé người lớn và 60 vé học sinh.

0,25

3

a)

Chứng minh $3a-2b\ge 3b-2a$ khi $a\ge b$ (0,5 điểm)

Có $(3a-2b)-(3b-2a)=5(a-b)$.

0,25

Vì $a\ge b$ nên $5(a-b)\ge0$. Do đó $3a-2b\ge3b-2a$.

0,25

b)

Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm (1,0 điểm)

[Hình vẽ]

Nhân hai vế với $6>0$, được $2(2x-1)-3(x+2)\le6$.

0,25

Biến đổi: $4x-2-3x-6\le6$, hay $x-8\le6$.

0,25

Suy ra $x\le14$. Tập nghiệm là $S=(-\infty;14]$.

0,25

Biểu diễn đúng trên trục số: lấy điểm $14$ và phần trục số về phía bên trái điểm $14$.

0,25

4

a)

Chứng minh $\triangle ABH\sim\triangle CBA$; tính $BH$, $CH$ (1,25 điểm)

[Hình vẽ]

Vì $AH\perp BC$ và $AB\perp AC$ nên $\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^\circ$.

0,25

Do $H\in BC$ nên $\widehat{ABH}=\widehat{CBA}$. Suy ra $\triangle ABH\sim\triangle CBA$ (góc – góc).

0,25

Từ hai tam giác đồng dạng, có $\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BH}{BA}$, suy ra $BH=\dfrac{AB^2}{BC}$.

0,25

Tính được $BH=\dfrac{9^2}{15}=5{,}4$ cm.

0,25

Suy ra $CH=BC-BH=15-5{,}4=9{,}6$ cm.

0,25

b)

Tính $AH$ và số đo các góc $B$, $C$ (1,25 điểm)

Tính diện tích tam giác $ABC$ theo hai cách: $\dfrac{1}{2}AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}BC\cdot AH$.

0,25

Suy ra $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{9\cdot12}{15}=7{,}2$ cm.

0,25

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$.

0,25

Dùng máy tính cầm tay, được $\widehat{B}\approx53{,}1^\circ$.

0,25

Vì $\widehat{B}+\widehat{C}=90^\circ$ nên $\widehat{C}\approx36{,}9^\circ$.

0,25

c)

Tính chiều cao của tòa tháp (1,0 điểm)

[Hình vẽ]

Gọi $S$, $T$ lần lượt là đỉnh và chân tháp; $E$ là mắt người quan sát; $K$ là giao điểm của đường ngang qua $E$ với $ST$. Khi đó $EK=18$ m, $KT=1{,}5$ m và $\widehat{SEK}=35^\circ$.

0,25

Trong tam giác $SEK$ vuông tại $K$, có $\tan35^\circ=\dfrac{SK}{EK}$, suy ra $SK=18\tan35^\circ$.

0,25

Chiều cao tháp là $ST=SK+KT=18\tan35^\circ+1{,}5$.

0,25

Tính được $ST\approx14{,}1$ m. Vậy tòa tháp cao khoảng 14,1 m.

0,25

5

Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^3y+xy^3$ khi $x+y=6$ (1,0 điểm)

Có $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=36-2xy$.

0,25

Suy ra $P=xy(x^2+y^2)=36xy-2(xy)^2$.

0,25

Biến đổi $P=162-2(xy-9)^2\le162$.

0,25

Dấu bằng xảy ra khi $xy=9$. Kết hợp $x+y=6$, có $(x-y)^2=36-36=0$, nên $x=y=3$. Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $162$, đạt được khi $x=y=3$.

0,25

Tổng

Toàn bài

10,0