Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán 9 - Kết nối tri thức

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1 (0,25 điểm). Cặp số $(x; y) = (2; -1)$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$ có nghiệm là

Câu 3 (0,25 điểm). Căn bậc hai số học của số thực $49$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{2x - 6}$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $\sqrt{(-5)^2}$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây là đúng với mọi biểu thức $A, B$ thỏa mãn $A \ge 0, B \ge 0$?

Câu 7 (0,25 điểm). Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ta được kết quả là

Câu 8 (0,25 điểm). Căn bậc ba của số $-64$ là

Câu 9 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có góc $\widehat{B} = \alpha$. Khi đó, $\sin \alpha$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$, đường cao $MH$. Biết $NH = 2\text{ cm}$, $HP = 8\text{ cm}$. Độ dài đoạn thẳng $MH$ là

Câu 12 (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức $P = \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ$ bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hệ phương trình hai ẩn $x, y$: $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + 3y = -1 \end{cases}$.
a) Hệ phương trình đã cho là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Cặp số $(x; y) = (2; -1)$ là nghiệm của phương trình thứ nhất $2x - y = 5$.
c) Cộng từng vế của hai phương trình ta được phương trình $3x + 2y = 4$.
d) Nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(x; y) = (2; -1)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho biểu thức $A = \left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \dfrac{1}{x - \sqrt{x}}\right) : \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ với $x > 0, x \ne 1$.
a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ge 0$ và $x \ne 1$.
b) Với $x > 0, x \ne 1$, ta có $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \dfrac{1}{x - \sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$.
c) Rút gọn biểu thức $A$ ta được $A = \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$.
d) Giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$ là $\dfrac{3}{2}$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức $M = \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} + \sqrt{5}$.

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $x$ để căn thức $\sqrt{15 - 3x}$ có nghĩa.

Câu 3 (0,5 điểm). Một bạn học sinh đứng ở vị trí cách gốc cây $12\text{ m}$ nhìn lên đỉnh cây với góc nâng $35^\circ$ so với phương nằm ngang. Biết khoảng cách từ mắt của bạn học sinh đến mặt đất là $1,5\text{ m}$. Tính chiều cao của cây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất, biết $\tan 35^\circ \approx 0,7002$).

Câu 4 (0,5 điểm). Hai lớp $9A$ và $9B$ có tổng cộng $82$ học sinh. Trong đợt quyên góp sách ủng hộ vùng lũ, mỗi học sinh lớp $9A$ quyên góp được $3$ quyển sách, mỗi học sinh lớp $9B$ quyên góp được $4$ quyển sách. Tổng số sách cả hai lớp quyên góp được là $288$ quyển. Hỏi lớp $9A$ có bao nhiêu học sinh?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết cho các bài toán sau.

Bài 1 (1,0 điểm).
Cho hai biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}$ và $Q = \dfrac{x-3}{x-9} + \dfrac{1}{\sqrt{x}+3}$ với $x \ge 0, x \ne 9$.
a) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x = 16$.
b) Rút gọn biểu thức $Q$ và tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $M = \dfrac{P}{Q}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 2 (1,0 điểm).
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $56\text{ m}$. Nếu tăng chiều rộng thêm $2\text{ m}$ và giảm chiều dài đi $4\text{ m}$ thì diện tích mảnh đất giảm đi $8\text{ m}^2$. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất hình chữ nhật đó.

Bài 3 (1,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$), đường cao $AH$ kẻ từ đỉnh $A$ xuống cạnh huyền $BC$.
a) Cho biết $HB = 4\text{ cm}$ và $HC = 9\text{ cm}$. Tính độ dài đường cao $AH$ và diện tích tam giác $ABC$.
b) Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AB$ và $AC$. Chứng minh hệ thức:

$$DE^3 = BC \cdot BD \cdot CE$$

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1.
Thay cặp số $(x; y) = (2; -1)$ vào từng phương trình:
- Với phương trình $x + y = 3$: $2 + (-1) = 1 \ne 3$.
- Với phương trình $2x + y = 3$: $2 \cdot 2 + (-1) = 3$ (thỏa mãn).
- Với phương trình $x - 2y = 0$: $2 - 2 \cdot (-1) = 4 \ne 0$.
- Với phương trình $3x + 2y = 5$: $3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 4 \ne 5$.

Chọn B.

Câu 2.
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$:
Từ phương trình thứ nhất, ta có $x = 4 - 2y$. Thay vào phương trình thứ hai:

$$2(4 - 2y) - y = 3 \Leftrightarrow 8 - 5y = 3 \Leftrightarrow 5y = 5 \Leftrightarrow y = 1$$

Với $y = 1$, ta được $x = 4 - 2 \cdot 1 = 2$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $(2; 1)$.

Chọn A.

Câu 3.
Căn bậc hai số học của một số thực không âm $a$ là số không âm $\sqrt{a}$.
Do đó, căn bậc hai số học của $49$ là $\sqrt{49} = 7$.

Chọn C.

Câu 4.
Biểu thức $\sqrt{2x - 6}$ xác định khi và chỉ khi:

$$2x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 6 \Leftrightarrow x \ge 3$$

Chọn A.

Câu 5.
Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$, ta có:

$$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$$

Chọn C.

Câu 6.
Theo tính chất khai căn của một tích, với $A \ge 0, B \ge 0$ thì $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$.

Chọn B.

Câu 7.
Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$:

$$\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$

Chọn A.

Câu 8.
Căn bậc ba của một số $a$ là số $x$ sao cho $x^3 = a$.
Vì $(-4)^3 = -64$ nên $\sqrt[3]{-64} = -4$.

Chọn B.

Câu 9.
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, theo các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
- $AH^2 = HB \cdot HC$ (đúng)
- $AB^2 = BH \cdot BC$ (đúng)
- $AB \cdot AC = AH \cdot BC$ (đúng)

Do đó, cả ba khẳng định A, B, C đều đúng.

Chọn D.

Câu 10.
Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác $\sin$ của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền:

$$\sin \alpha = \sin B = \dfrac{AC}{BC}$$

Chọn B.

Câu 11.
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác $MNP$ vuông tại $M$, đường cao $MH$:

$$MH^2 = NH \cdot HP = 2 \cdot 8 = 16 \Rightarrow MH = \sqrt{16} = 4\text{ cm}$$

Chọn A.

Câu 12.
Vì hai góc $35^\circ$ và $55^\circ$ phụ nhau ($35^\circ + 55^\circ = 90^\circ$), nên $\sin 55^\circ = \cos 35^\circ$.
Khi đó:

$$P = \sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ = 1$$

Chọn B.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1.
a) Đúng. Mỗi phương trình trong hệ đều có dạng $ax + by = c$ với $a, b$ không đồng thời bằng $0$, nên đây là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Đúng. Thay $x = 2, y = -1$ vào vế trái phương trình thứ nhất: $2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$ bằng vế phải.
c) Đúng. Cộng từng vế của hai phương trình:

$$(2x - y) + (x + 3y) = 5 + (-1) \Leftrightarrow 3x + 2y = 4$$

d) Đúng. Thay $(x; y) = (2; -1)$ vào phương trình thứ hai: $2 + 3(-1) = 2 - 3 = -1$ (thỏa mãn). Vì $(2; -1)$ thỏa mãn cả hai phương trình nên là nghiệm của hệ.

Câu 2.
a) Sai. Để biểu thức $A$ xác định thì $x > 0$ và $x \ne 1$ (nếu $x = 0$ thì mẫu $x - \sqrt{x} = 0$, biểu thức không xác định).
b) Đúng. Biến đổi phần trong ngoặc:

$$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$$

c) Đúng. Thực hiện phép chia:

$$A = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} : \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} = \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$$

d) Sai. Với $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện), ta có:

$$A = \dfrac{\sqrt{4}-1}{\sqrt{4}} = \dfrac{2-1}{2} = \dfrac{1}{2} \ne \dfrac{3}{2}$$

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
Biến đổi biểu thức:

$$M = \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} + \sqrt{5} = |\sqrt{5} - 3| + \sqrt{5}$$

Vì $\sqrt{5} < \sqrt{9} = 3$ nên $\sqrt{5} - 3 < 0$, do đó $|\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}$.
Suy ra:

$$M = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} = 3$$

Đáp án: $3$

Câu 2.
Căn thức $\sqrt{15 - 3x}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$$15 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow 3x \le 15 \Leftrightarrow x \le 5$$

Do đó, giá trị nguyên lớn nhất của $x$ thỏa mãn là $5$.

Đáp án: $5$

Câu 3.
Gọi khoảng cách từ mắt bạn học sinh đến gốc cây theo phương nằm ngang là $d = 12\text{ m}$.
Chiều cao từ đường ngắm nằm ngang lên đến đỉnh cây là:

$$h_1 = d \cdot \tan 35^\circ = 12 \cdot \tan 35^\circ \approx 12 \cdot 0,7002 = 8,4024\text{ m}$$

Chiều cao của cây là:

$$h = h_1 + 1,5 \approx 8,4024 + 1,5 = 9,9024\text{ m} \approx 9,9\text{ m}$$

Đáp án: $9,9\text{ m}$

Câu 4.
Gọi số học sinh của lớp $9A$ là $x$ và số học sinh của lớp $9B$ là $y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*, x, y < 82$).
Tổng số học sinh của hai lớp là $82$, nên ta có phương trình:

$$x + y = 82 \quad (1)$$

Tổng số sách hai lớp quyên góp được là $288$ quyển, nên ta có phương trình:

$$3x + 4y = 288 \quad (2)$$

Từ $(1)$ suy ra $y = 82 - x$. Thay vào $(2)$:

$$3x + 4(82 - x) = 288 \Leftrightarrow 3x + 328 - 4x = 288 \Leftrightarrow x = 328 - 288 = 40$$

Giá trị $x = 40$ thỏa mãn điều kiện bài toán. Khi đó $y = 82 - 40 = 42$.
Vậy lớp $9A$ có $40$ học sinh.

Đáp án: $40$

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Bài 1.
a) Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge 0, x \ne 9$) vào biểu thức $P$:

$$P = \dfrac{\sqrt{16} + 2}{\sqrt{16} - 3} = \dfrac{4 + 2}{4 - 3} = \dfrac{6}{1} = 6$$

Vậy khi $x = 16$ thì $P = 6$.

b) Với $x \ge 0, x \ne 9$, ta có:

$$Q = \dfrac{x - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} + \dfrac{\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$$

$$Q = \dfrac{x - 3 + \sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \dfrac{x + \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$$

Phân tích tử thức thành nhân tử: $x + \sqrt{x} - 6 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)$.
Do đó:

$$Q = \dfrac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3}$$

Xét biểu thức $M = \dfrac{P}{Q}$. Để $M$ xác định thì $Q \ne 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 4$.
Khi đó:

$$M = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} : \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}$$

Biến đổi $M$:

$$M = \dfrac{(\sqrt{x} - 2) + 4}{\sqrt{x} - 2} = 1 + \dfrac{4}{\sqrt{x} - 2}$$

Để $M \in \mathbb{Z}$ thì $\dfrac{4}{\sqrt{x} - 2} \in \mathbb{Z}$, hay $\sqrt{x} - 2$ phải là ước của $4$.
Ta có $\text{Ư}(4) = \{-4; -2; -1; 1; 2; 4\}$. Vì $\sqrt{x} \ge 0$ nên $\sqrt{x} - 2 \ge -2$.
Ta xét các trường hợp:
- $\sqrt{x} - 2 = -2 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn điều kiện).
- $\sqrt{x} - 2 = -1 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn điều kiện).
- $\sqrt{x} - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 3 \Leftrightarrow x = 9$ (loại do điều kiện $x \ne 9$).
- $\sqrt{x} - 2 = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 4 \Leftrightarrow x = 16$ (thỏa mãn điều kiện).
- $\sqrt{x} - 2 = 4 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 6 \Leftrightarrow x = 36$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy các giá trị của $x$ để biểu thức $M$ nhận giá trị nguyên là $x \in \{0; 1; 16; 36\}$.

Bài 2.
Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là:

$$56 : 2 = 28\text{ (m)}$$

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh đất là $x\text{ (m)}$, chiều rộng ban đầu là $y\text{ (m)}$.
Điều kiện: $0 < y < x < 28$.
Vì nửa chu vi là $28\text{ m}$ nên ta có phương trình:

$$x + y = 28 \quad (1)$$

Diện tích ban đầu của mảnh đất là $xy\text{ (m}^2\text{)}$.
Khi tăng chiều rộng thêm $2\text{ m}$ thì chiều rộng mới là $y + 2\text{ (m)}$.
Khi giảm chiều dài đi $4\text{ m}$ thì chiều dài mới là $x - 4\text{ (m)}$.
Diện tích mới của mảnh đất là $(x - 4)(y + 2)\text{ (m}^2\text{)}$.
Vì diện tích mới giảm đi $8\text{ m}^2$ so với ban đầu nên ta có phương trình:

$$xy - (x - 4)(y + 2) = 8$$

Biến đổi phương trình trên:

$$xy - (xy + 2x - 4y - 8) = 8 \Leftrightarrow -2x + 4y + 8 = 8 \Leftrightarrow -2x + 4y = 0 \Leftrightarrow x = 2y \quad (2)$$

Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được:

$$2y + y = 28 \Leftrightarrow 3y = 28 \Leftrightarrow y = \dfrac{28}{3}\text{ (thỏa mãn)}$$

Từ đó tính được chiều dài:

$$x = 2 \cdot \dfrac{28}{3} = \dfrac{56}{3}\text{ (thỏa mãn)}$$

Vậy chiều dài ban đầu của mảnh đất là $\dfrac{56}{3}\text{ m}$ (khoảng $18,67\text{ m}$) và chiều rộng ban đầu là $\dfrac{28}{3}\text{ m}$ (khoảng $9,33\text{ m}$).

Bài 3.
a) Ta có $BC = HB + HC = 4 + 9 = 13\text{ (cm)}$.
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:

$$AH^2 = HB \cdot HC = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow AH = 6\text{ (cm)}$$

Diện tích tam giác vuông $ABC$ là:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AH \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 13 = 39\text{ (cm}^2\text{)}$$

b) Xét tứ giác $ADHE$ có:
- $\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$)
- $\widehat{ADH} = 90^\circ$ ($D$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$)
- $\widehat{AEH} = 90^\circ$ ($E$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$)

Suy ra tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật. Do đó, hai đường chéo bằng nhau: $DE = AH$.

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
- Trong tam giác $AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$:

$$BH^2 = BD \cdot AB \Rightarrow BD = \dfrac{BH^2}{AB}$$

- Trong tam giác $AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HE$:

$$CH^2 = CE \cdot AC \Rightarrow CE = \dfrac{CH^2}{AC}$$

Nhân từng vế hai đẳng thức trên:

$$BD \cdot CE = \dfrac{BH^2 \cdot CH^2}{AB \cdot AC} = \dfrac{(BH \cdot CH)^2}{AB \cdot AC}$$

Mặt khác, trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:
- $BH \cdot CH = AH^2$
- $AB \cdot AC = AH \cdot BC$

Thay vào hệ thức trên, ta được:

$$BD \cdot CE = \dfrac{(AH^2)^2}{AH \cdot BC} = \dfrac{AH^4}{AH \cdot BC} = \dfrac{AH^3}{BC}$$

Suy ra:

$$BC \cdot BD \cdot CE = AH^3$$

Vì $DE = AH$ nên:

$$DE^3 = BC \cdot BD \cdot CE$$

Đẳng thức được chứng minh.