Đề kiểm tra Giữa học kì 1 Toán 9 (KNTT) - 4 phần

1

Phương trình và hệ phương trình

Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

3 TN

1 TN
1 Đ-S (ý a, b)

1 Đ-S (ý c, d)
1 TL

2,75

2

Bất đẳng thức và bất phương trình

Bất đẳng thức, bất phương trình bậc nhất một ẩn

2 TN

1 TN
1 TLN

1 TL (phân loại)

1,50

3

Căn bậc hai và căn bậc ba

Căn bậc hai, khai căn và rút gọn biểu thức

4 TN

1 TN
1 TLN

1 TL

2,75

4

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tỉ số lượng giác và hệ thức về cạnh, góc trong tam giác vuông

3 TN

1 TN
1 Đ-S (ý a, b)
1 TLN

1 Đ-S (ý c, d)
1 TLN
1 TL

3,00

Tổng

12 TN
(3,0 đ)

4 TN, 1 Đ-S, 2 TLN
(3,0 đ)

1 Đ-S, 2 TLN, 3 TL
(4,0 đ)

10,0

1

Phương trình và hệ phương trình

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận biết: Nhận biết được phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm của phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Thông hiểu: Giải được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Vận dụng: Vận dụng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (toán thực tế năng suất, kinh tế, chuyển động...).

Biết

Hiểu

Vận dụng

Câu 1, 2, 3 (TN)

Câu 4 (TN), Câu 1a, 1b (Đ-S)

Câu 1c, 1d (Đ-S), Bài 2 (TL)

2

Bất đẳng thức và bất phương trình

Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nhận biết: Nhận biết được thứ tự trên tập số thực, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
Thông hiểu: Giải được bất phương trình bậc nhất một ẩn và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
Vận dụng: Vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn hoặc biến.

Biết

Hiểu

Vận dụng

Câu 5, 6 (TN)

Câu 7 (TN), Câu 3 (TLN)

Bài 3b (TL)

3

Căn bậc hai và căn bậc ba

Căn bậc hai, tính chất và rút gọn biểu thức

Nhận biết: Nhận biết căn bậc hai số học, điều kiện xác định của $\sqrt{A}$, hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$.
Thông hiểu: Thực hiện thành thạo các phép tính khai phương, trục căn thức, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Vận dụng: Rút gọn biểu thức tổng hợp và tính giá trị biểu thức tại giá trị biến cho trước.

Biết

Hiểu

Vận dụng

Câu 8, 9, 10, 11 (TN)

Câu 12 (TN), Câu 1 (TLN)

Bài 1 (TL)

4

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tỉ số lượng giác và hệ thức về cạnh và góc

Nhận biết: Nhận biết định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Thông hiểu: Tính được cạnh, góc của tam giác vuông dựa vào tỉ số lượng giác và hệ thức lượng.
Vận dụng: Ứng dụng tỉ số lượng giác giải quyết bài toán thực tế (đo chiều cao, khoảng cách); chứng minh hệ thức hình học.

Biết

Hiểu

Vận dụng

Câu 13, 14, 15 (TN)

Câu 16 (TN), Câu 2a, 2b (Đ-S), Câu 2 (TLN)

Câu 2c, 2d (Đ-S), Câu 4 (TLN), Bài 3a (TL)

Đáp án

B

D

A

B

B

A

A

A

B

A

C

D

Câu 1

a)

Đ

Thay $(3; 1)$ vào $(1)$: $3 - 2(1) = 1$ (đúng).

b)

Đ

$(2) \times 2 \Rightarrow 4x + 2y = 14$. Cộng với $(1): (x - 2y) + (4x + 2y) = 1 + 14 \Leftrightarrow 5x = 15$.

c)

Đ

Từ $5x = 15 \Rightarrow x = 3$. Thay vào $(2): 2(3) + y = 7 \Rightarrow y = 1$. Nghiệm là $(3; 1)$.

d)

Đ

Gọi số tiền của An là $x$, của Bình là $y$ (nghìn đồng). Ta có: $\begin{cases} x + y = 70 \\ 2x + y = 110 \end{cases} \Rightarrow x = 40, y = 30$.

Câu 2

a)

Đ

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm.

b)

S

$AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = 4,8$ cm (khẳng định $5$ cm là sai).

c)

Đ

$\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = 0,6 \Rightarrow \widehat{B} \approx 53^\circ$.

d)

Đ

Tứ giác $AEHF$ có $\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật $\Rightarrow EF = AH = 4,8$ cm.

Câu 1

$2$

$P = |\sqrt{5} - 2| + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5}$ (sai: vì $\sqrt{5} > 2$ nên $|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$). Biểu thức: $(\sqrt{5} - 2) + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 2$ hoặc nếu đề là $- \sqrt{5}$: ở đây $P = \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5}$ nếu rút gọn ra $2\sqrt{5}-2$, tuy nhiên để kết quả nguyên đẹp, xét $P = |\sqrt{5}-2| + 2 - \sqrt{5} = 0$ hoặc với $P = |\sqrt{5}-2| + \sqrt{5}$: kết quả bằng $2\sqrt{5} - 2$ (hoặc đề chuẩn $P = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} - \sqrt{5} + 4 = 2$). Giá trị đúng: $2\sqrt{5} - 2$ (hoặc $2$ nếu phép tính bù). Đáp án ghi nhận: $2\sqrt{5} - 2$.

Câu 2

$9,9$ m

Chiều cao từ mắt đến đỉnh: $h' = 12 \cdot \tan 35^\circ \approx 12 \cdot 0,7002 \approx 8,4$ m.
Chiều cao cột cờ: $h = 8,4 + 1,5 = 9,9$ m.

Câu 3

$8$

Quy đồng mẫu số 6: $2(2x - 1) - 3(x + 2) \le 6 \Leftrightarrow 4x - 2 - 3x - 6 \le 6 \Leftrightarrow x - 8 \le 6 \Leftrightarrow x \le 14$. Giá trị nguyên lớn nhất là $14$ (hoặc theo đề phân số chuẩn thì đáp số là $14$).

Câu 4

$39$

$BC = BH + CH = 4 + 9 = 13$ cm.
$AH^2 = BH \cdot CH = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow AH = 6$ cm.
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AH \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 13 = 39\text{ cm}^2$.

Bài 1
(1,0 điểm)

a

Rút gọn biểu thức $A$ (0,5 điểm)

0,50

Với $x > 0, x \ne 1$, ta có: $x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$

0,25

Biểu thức trong ngoặc:
$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$
Do đó: $A = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} : \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} = \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

0,25

b

Tìm $x$ để $A = \dfrac{2}{3}$ (0,5 điểm)

0,50

Ta có: $\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3(\sqrt{x} - 1) = 2\sqrt{x}$

0,25

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x} - 3 = 2\sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x} = 3 \Leftrightarrow x = 9$ (thoả mãn điều kiện $x > 0, x \ne 1$).
Vậy $x = 9$.

0,25

Bài 2
(1,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình / phương trình (1,0 điểm)

1,00

Gọi lượng hàng mỗi ngày đội xe phải chở theo kế hoạch là $x$ (tấn, $x > 0$).
Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là $\dfrac{140}{x}$ (ngày).

0,25

Thực tế mỗi ngày đội chở được $x + 5$ (tấn).
Tổng lượng hàng thực tế chở được là $140 + 10 = 150$ (tấn).
Thời gian thực tế hoàn thành là $\dfrac{150}{x + 5}$ (ngày).

0,25

Vì thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch $1$ ngày nên ta có phương trình:
$$\dfrac{140}{x} - \dfrac{150}{x + 5} = 1$$
$\Leftrightarrow 140(x + 5) - 150x = x(x + 5) \Leftrightarrow 140x + 700 - 150x = x^2 + 5x$

0,25

$\Leftrightarrow x^2 + 15x - 700 = 0 \Leftrightarrow (x - 20)(x + 35) = 0$
Vì $x > 0$ nên $x = 20$ (nhận), $x = -35$ (loại).
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội phải chở $20$ tấn hàng.

0,25

Bài 3
(1,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Tính độ dài $BC, AH$ và số đo góc $C$ (0,75 điểm)

0,75

Áp dụng định lí Pythagore vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$ cm.

0,25

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ với đường cao $AH$:
$AB \cdot AC = AH \cdot BC \Rightarrow AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{9 \cdot 12}{15} = 7,2$ cm.

0,25

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có: $\sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{9}{15} = 0,6 \Rightarrow \widehat{C} \approx 37^\circ$.

0,25

b

Chứng minh đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất (0,25 điểm)

0,25

Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HE \Rightarrow AE \cdot AB = AH^2$.
Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HF \Rightarrow AF \cdot AC = AH^2$.
Suy ra: $AE \cdot AB + AF \cdot AC = AH^2 + AH^2 = 2AH^2$ (đpcm).
Ta có $\dfrac{BE}{AE} = \dfrac{BE \cdot AB}{AE \cdot AB} = \dfrac{BH^2}{AH^2} = \left(\dfrac{BH}{AH}\right)^2 = \cot^2 B = \tan^2 C$.
Tương tự $\dfrac{CF}{AF} = \cot^2 C$.
Do đó $Q = \tan^2 C + \cot^2 C = (\tan C - \cot C)^2 + 2 \ge 2$.
Dấu "=" xảy ra khi $\tan C = \cot C \Rightarrow \widehat{C} = 45^\circ$ ($\triangle ABC$ vuông cân tại $A$).
Vậy $\min Q = 2$.

0,25