Đề kiểm tra định kỳ Toán 9 - Bất đẳng thức, Hệ Phương Trình

Đáp án

B

A

A

A

B

A

A

B

A

C

1

a)

Khi $m = 2$, phương trình trở thành $x^2 - 2(2-1)x + 2^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$. Khẳng định đúng.

Đ

b)

$\Delta' = (m-1)^2 - (m^2 - 3) = m^2 - 2m + 1 - m^2 + 3 = 4 - 2m$.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta' > 0 \Leftrightarrow 4 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < 2$. Ý b ghi "với mọi $m$" là Sai.

S

c)

Khi $m = 2$, $\Delta' = 0$, phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{b'}{a} = 1$. Khẳng định đúng.

Đ

d)

Điều kiện có nghiệm: $m \le 2$. Theo Viète: $x_1 + x_2 = 2(m-1)$, $x_1 x_2 = m^2 - 3$.
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4(m-1)^2 - 2(m^2-3) = 2m^2 - 8m + 10$.
Phương trình $2m^2 - 8m + 10 = 10 \Leftrightarrow 2m^2 - 8m = 0 \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = 4$.
So sánh điều kiện $m \le 2$, chỉ nhận $m = 0$ (loại $m = 4$). Do đó chỉ có đúng $1$ giá trị của $m$. Khẳng định d là Sai.

S

1

1

Giải phương trình $2x^2 - 5x + 2 = 0$ (0,75 điểm)

0,75

Ta có: $a = 2, b = -5, c = 2$. Biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0$.

0,25

Vì $\Delta > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\sqrt{\Delta} = 3$.
$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5 + 3}{4} = 2$.

0,25

$x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{2; \dfrac{1}{2}\right\}$.

0,25

2

Tính giá trị của biểu thức $T = x_1^2 + x_2^2 + 3x_1x_2$ (0,75 điểm)

0,75

Phương trình $x^2 - 6x + 5 = 0$ có $a = 1, b = -6, c = 5$. Vì $\Delta' = (-3)^2 - 5 = 4 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$.

0,25

Theo hệ thức Viète, ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ x_1 x_2 = 5 \end{cases}$

0,25

Ta có: $T = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 + 3x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 + x_1 x_2$.
Thay số vào: $T = 6^2 + 5 = 36 + 5 = 41$.

0,25

2

1

Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$ (0,75 điểm)

0,75

Từ phương trình thứ hai ta có $y = 2x - 3$. Thế vào phương trình thứ nhất:
$3x + 2(2x - 3) = 8 \Leftrightarrow 3x + 4x - 6 = 8$.

0,25

$\Leftrightarrow 7x = 14 \Leftrightarrow x = 2$.

0,25

Thay $x = 2$ vào biểu thức của $y$: $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; 1)$.

0,25

2

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 4$ (0,75 điểm)

0,75

Vẽ đường thẳng $(d): 2x + y = 4$:
- Cho $x = 0 \Rightarrow y = 4$, ta được điểm $A(0; 4)$.
- Cho $y = 0 \Rightarrow x = 2$, ta được điểm $B(2; 0)$.
Đường thẳng $(d)$ đi qua hai điểm $A(0; 4)$ và $B(2; 0)$.

0,25

Xét gốc toạ độ $O(0; 0)$: thay toạ độ điểm $O$ vào biểu thức vế trái ta được $2 \cdot 0 + 0 = 0 \le 4$ (luôn đúng).

0,25

Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $(d)$ chứa điểm $O(0; 0)$ (kể cả bờ $(d)$).

0,25

3

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (1,0 điểm)

1,0

Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình hoàn thành đoạn mương là $x$ (ngày), thời gian đội thứ hai làm một mình hoàn thành đoạn mương là $y$ (ngày).
Điều kiện: $x > 12, y > 12$.

0,25

Trong 1 ngày, đội thứ nhất làm được $\dfrac{1}{x}$ đoạn mương, đội thứ hai làm được $\dfrac{1}{y}$ đoạn mương.
Cả hai đội cùng làm trong 12 ngày thì xong nên trong 1 ngày làm được $\dfrac{1}{12}$ đoạn mương, ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12}$ (1).

0,25

Trong 4 ngày đội I làm được $\dfrac{4}{x}$ đoạn mương. Trong 10 ngày đội II làm được $\dfrac{10}{y}$ đoạn mương.
Theo đề bài ta có phương trình: $\dfrac{4}{x} + \dfrac{10}{y} = \dfrac{7}{12}$ (2).

0,25

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\ \dfrac{4}{x} + \dfrac{10}{y} = \dfrac{7}{12} \end{cases}$
Đặt $u = \dfrac{1}{x}, v = \dfrac{1}{y}$ ($u, v > 0$): $\begin{cases} u + v = \dfrac{1}{12} \\ 4u + 10v = \dfrac{7}{12} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4u + 4v = \dfrac{4}{12} \\ 4u + 10v = \dfrac{7}{12} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6v = \dfrac{3}{12} \\ u = \dfrac{1}{12} - v \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v = \dfrac{1}{24} \\ u = \dfrac{1}{24} \end{cases}$
Suy ra $x = 24, y = 24$ (thoả mãn điều kiện).
Vậy nếu làm một mình, mỗi đội đều cần $24$ ngày để hoàn thành đoạn mương.

0,25

4

[Hình vẽ]

1

Tính độ dài $BC$, $AH$ và tính $\cos B$, $\tan C$ (1,0 điểm)

1,0

Áp dụng định lí Pythagore cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = 15\text{ cm}$.

0,25

Áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:
$AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{9 \cdot 12}{15} = 7,2\text{ cm}$.

0,25

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, theo định nghĩa tỉ số lượng giác:
$\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = 0,6$.

0,25

$\tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} = 0,75$.

0,25

2

Chứng minh $AE \cdot AB = AF \cdot AC$ và $EF = AH$ (1,0 điểm)

1,0

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông $AHB$ có đường cao $HE$ ($HE \perp AB$):
$AH^2 = AE \cdot AB$.

0,25

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông $AHC$ có đường cao $HF$ ($HF \perp AC$):
$AH^2 = AF \cdot AC$.
Từ đó suy ra $AE \cdot AB = AF \cdot AC$ (vì cùng bằng $AH^2$).

0,25

Tứ giác $AEHF$ có $\widehat{EAF} = 90^\circ$, $\widehat{AEH} = 90^\circ$, $\widehat{AFH} = 90^\circ$.
Do đó $AEHF$ là hình chữ nhật.

0,25

Suy ra hai đường chéo bằng nhau: $EF = AH$.

0,25

3

Chứng minh hệ thức: $\dfrac{BE}{CF} = \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3$ (0,5 điểm)

0,5

Trong tam giác vuông $AHB$ có $HE$ là đường cao: $BH^2 = BE \cdot AB \Rightarrow BE = \dfrac{BH^2}{AB}$.
Trong tam giác vuông $AHC$ có $HF$ là đường cao: $CH^2 = CF \cdot AC \Rightarrow CF = \dfrac{CH^2}{AC}$.

0,25

Suy ra: $\dfrac{BE}{CF} = \dfrac{BH^2}{AB} : \dfrac{CH^2}{AC} = \left(\dfrac{BH}{CH}\right)^2 \cdot \dfrac{AC}{AB}$.
Mặt khác, trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AH \perp BC$: $AB^2 = BH \cdot BC$ và $AC^2 = CH \cdot BC \Rightarrow \dfrac{BH}{CH} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$.
Do đó: $\dfrac{BE}{CF} = \left(\dfrac{AB^2}{AC^2}\right)^2 \cdot \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AB^4}{AC^4} \cdot \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AB^3}{AC^3} = \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3$ (đpcm).

0,25