Đề kiểm tra cuối học kỳ II môn Toán lớp 9 – Trung tâm ATINA

Tháng 6

250

200

Tháng 7

320

285

Tháng 8

260

240

Tần số

10

12

20

5

2

Đáp án

D

A

A

D

D

A

B

C

C

A

Đáp án

B

D

D

C

A

C

C

B

C

C

Đáp án

A

A

A

D

D

B

A

D

B

A

Đáp án

C

B

Bài 1
(1,5 điểm)

a

Giải bất phương trình $-4x + 8 \leq 0$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có: $-4x + 8 \leq 0 \Leftrightarrow -4x \leq -8 \Leftrightarrow x \geq 2$.

0,25

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \geq 2$.

0,25

b

Rút gọn biểu thức $A$ (0,5 điểm)

0,5

Với $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$, ta có:
$A = \left[\dfrac{3}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}\right] : \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} - 3} = \dfrac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} : (\sqrt{x} + 3)$

0,25

$A = \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$.
Vậy với $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$ thì $A = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$.

0,25

c

Giải phương trình $\dfrac{4}{x - 2} = \dfrac{5}{x + 2}$ (0,5 điểm)

0,5

ĐKXĐ: $x \neq 2; x \neq -2$.
Phương trình tương đương: $4(x + 2) = 5(x - 2) \Leftrightarrow 4x + 8 = 5x - 10$

0,25

$\Leftrightarrow x = 18$ (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 18$.

0,25

Bài 2
(1,0 điểm)

a

Giải phương trình khi $m = -2$ (0,5 điểm)

0,5

Thay $m = -2$ vào phương trình ta được: $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Phương trình có các hệ số: $a = 1, b = -2, c = -3$.

0,25

Do $a - b + c = 1 - (-2) + (-3) = 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = -1; x_2 = -\dfrac{c}{a} = 3$.
Vậy khi $m = -2$, phương trình có tập nghiệm $S = \{-1; 3\}$.

0,25

b

Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm đối nhau (0,5 điểm)

0,5

Ta có: $\Delta' = (m + 3)^2 - (2m + 1) = m^2 + 6m + 9 - 2m - 1 = m^2 + 4m + 8 = (m + 2)^2 + 4 > 0, \forall m$.
Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$.

0,25

Theo định lí Viète: $x_1 + x_2 = 2(m + 3)$.
Để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì $x_1 + x_2 = 0 \Leftrightarrow 2(m + 3) = 0 \Leftrightarrow m = -3$.
Vậy $m = -3$ là giá trị cần tìm.

0,25

Bài 3
(1,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (1,0 điểm)

1,0

Gọi số xe loại $45$ chỗ là $x$ (chiếc) và số xe loại $15$ chỗ là $y$ (chiếc).
Điều kiện: $x, y \in \mathbb{N}^*; x, y < 9$.
Vì nhà trường thuê tổng cộng $9$ xe nên ta có phương trình: $x + y = 9$ (1).

0,25

Số người chở bởi các xe $45$ chỗ là $45x$ (người).
Số người chở bởi các xe $15$ chỗ là $15y$ (người).
Vì tổng số người tham gia là $345$ người và không xe nào trống chỗ nên ta có phương trình:
$45x + 15y = 345 \Leftrightarrow 3x + y = 23$ (2).

0,25

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} x + y = 9 \\ 3x + y = 23 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = 14 \\ x + y = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 7 \\ y = 2 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện).

0,25

Vậy có $7$ chiếc xe loại $45$ chỗ và $2$ chiếc xe loại $15$ chỗ.

0,25

Bài 4
(2,0 điểm)

[Hình vẽ]

a

Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp (1,0 điểm)

1,0

Ta có: $BE \perp AC \Rightarrow \widehat{AEH} = 90^\circ$ nên điểm $E$ thuộc đường tròn đường kính $AH$.

0,25

Tương tự, $CF \perp AB \Rightarrow \widehat{AFH} = 90^\circ$ nên điểm $F$ thuộc đường tròn đường kính $AH$.

0,25

Do đó bốn điểm $A, E, H, F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$.

0,25

Vậy tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.

0,25

b

Chứng minh $OI \perp BC$ (0,5 điểm)

0,5

Vì $AK$ là đường kính của $(O)$ nên $\widehat{ABK} = 90^\circ \Rightarrow BK \perp AB$.
Mà $CH \perp AB$ (do $CF$ là đường cao) $\Rightarrow BK \parallel CH$ (1).
Tương tự: $\widehat{ACK} = 90^\circ \Rightarrow CK \perp AC$, mà $BH \perp AC \Rightarrow CK \parallel BH$ (2).

0,25

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $BHCK$ là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo $BC$ và $HK$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà $I$ là giao điểm của $BC$ và $HK$ nên $I$ là trung điểm của $BC$.
Tam giác $OBC$ cân tại $O$ (vì $OB = OC = R$), có $OI$ là đường trung tuyến nên $OI$ đồng thời là đường cao $\Rightarrow OI \perp BC$.

0,25

c

Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{AH}{AD} + \dfrac{BH}{BE} + \dfrac{CH}{CF}$ (0,5 điểm)

0,5

Ta có: $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AD - HD}{AD} = 1 - \dfrac{HD}{AD}$.
Tương tự: $\dfrac{BH}{BE} = 1 - \dfrac{HE}{BE}$ và $\dfrac{CH}{CF} = 1 - \dfrac{HF}{CF}$.
Suy ra: $P = 3 - \left(\dfrac{HD}{AD} + \dfrac{HE}{BE} + \dfrac{HF}{CF}\right)$.

0,25

Ta có: $\dfrac{HD}{AD} = \dfrac{\frac{1}{2} HD \cdot BC}{\frac{1}{2} AD \cdot BC} = \dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}$.
Tương tự: $\dfrac{HE}{BE} = \dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}$ và $\dfrac{HF}{CF} = \dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}$.
Do đó: $\dfrac{HD}{AD} + \dfrac{HE}{BE} + \dfrac{HF}{CF} = \dfrac{S_{HBC} + S_{HAC} + S_{HAB}}{S_{ABC}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = 1$.
Vậy $P = 3 - 1 = 2$.

0,25

Bài 5
(1,0 điểm)

a

Tính bán kính đường tròn chứa cung $AMB$ (0,5 điểm)

0,5

Gọi $(O; R)$ là đường tròn chứa cung tròn $AMB$.
Theo đề bài $MK \perp AB$ tại $K$, đường thẳng $MK$ đi qua tâm $O$ nên $K$ là trung điểm của $AB \Rightarrow KA = KB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\text{ m}$.
Kéo dài $MK$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $N$, khi đó $MN$ là đường kính của $(O)$ nên $MN = 2R$ và $KN = MN - KM = 2R - 3$.

0,25

Vì tam giác $MAN$ nội tiếp đường tròn đường kính $MN$ nên $\triangle MAN$ vuông tại $A$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $MAN$ có đường cao $AK$:
$AK^2 = KM \cdot KN \Leftrightarrow 20^2 = 3 \cdot (2R - 3) \Leftrightarrow 400 = 6R - 9 \Leftrightarrow 6R = 409 \Leftrightarrow R = \dfrac{409}{6} \approx 68,17\text{ m}$.
Vậy bán kính đường tròn chứa cung $AMB$ là khoảng $68,17\text{ m}$.

0,25

b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ (0,5 điểm)

0,5

Do phương trình $ax^2 + bx + c + 2025 = 0$ nhận $x = 1$ là nghiệm nên:
$a(1)^2 + b(1) + c + 2025 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = -2025$.
Ta có các biến đổi:
$3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a + b)^2 + 2(a - b)^2 \geq (a + b)^2 \Rightarrow \sqrt{3a^2 - 2ab + 3b^2} \geq |a + b|$.
$5b^2 - 6bc + 5c^2 = (b + c)^2 + 4(b - c)^2 \geq (b + c)^2 \Rightarrow \sqrt{5b^2 - 6bc + 5c^2} \geq |b + c|$.
$6c^2 - 8ca + 6a^2 = (c + a)^2 + 5(c - a)^2 \geq (c + a)^2 \Rightarrow \sqrt{6c^2 - 8ca + 6a^2} \geq |c + a|$.

0,25

Khi đó: $P \geq |a + b| + |b + c| + |c + a| \geq |(a + b) + (b + c) + (c + a)| = |2(a + b + c)| = 2 \cdot 2025 = 4050$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $a = b = c = \dfrac{-2025}{3} = -675$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $4050$ khi $a = b = c = -675$.

0,25