Đề kiểm tra chuyên đề Toán 9 HK2: Hàm số y=ax^2 và Phương trình bậc hai một ẩn

UBND XÃ/PHƯỜNG …

TRƯỜNG THCS …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ HỌC KỲ II

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 9

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian giao đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 10. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,3 điểm). Đồ thị hàm số $y = ax^2$ ( $a \ne 0$ ) đi qua điểm $M(-2; 2)$ . Giá trị của hệ số $a$ bằng

A. $a = \dfrac{1}{2}$

B. $a = -\dfrac{1}{2}$

C. $a = 2$

D. $a = -2$

Câu 2 (0,3 điểm). Cho phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \ne 0$ ) có biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình vô nghiệm.

B. Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

C. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

D. Nếu $\Delta \ge 0$ thì phương trình có nghiệm kép.

Câu 3 (0,3 điểm). Cho hàm số $y = ax^2$ ( $a \ne 0$ ) có đồ thị parabol như hình vẽ bên dưới:

[Đồ thị]

Công thức xác định hàm số đó là

A. $y = 2x^2$

B. $y = \dfrac{1}{2}x^2$

C. $y = -\dfrac{1}{2}x^2$

D. $y = x^2$

Câu 4 (0,3 điểm). Cho phương trình bậc hai $2x^2 - 7x + 3 = 0$ . Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tích $x_1 \cdot x_2$ bằng

A. $\dfrac{7}{2}$

B. $-\dfrac{7}{2}$

C. $-\dfrac{3}{2}$

D. $\dfrac{3}{2}$

Câu 5 (0,3 điểm). Phương trình bậc hai $3x^2 - 5x + 2 = 0$ có các hệ số thoả mãn $a + b + c = 3 + (-5) + 2 = 0$ . Hai nghiệm của phương trình là

A. $x_1 = 1;\ x_2 = \dfrac{2}{3}$

B. $x_1 = -1;\ x_2 = -\dfrac{2}{3}$

C. $x_1 = 1;\ x_2 = -\dfrac{2}{3}$

D. $x_1 = -1;\ x_2 = \dfrac{2}{3}$

Câu 6 (0,3 điểm). Toạ độ các giao điểm của parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $d: y = 2x + 3$ là

A. $(-1; -1)$ và $(3; 9)$

B. $(1; 1)$ và $(-3; 9)$

C. $(-1; 1)$ và $(3; 9)$

D. $(-1; 1)$ và $(3; -3)$

Câu 7 (0,3 điểm). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = -\dfrac{1}{2}x^2$ ?

A. $M(2; 2)$

B. $N(-2; -2)$

C. $P\left(1; -\dfrac{1}{4}\right)$

D. $Q(-4; 8)$

Câu 8 (0,3 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^2 - 4x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

A. $0 < m < 4$

B. $m < 4$

C. $m > 0$

D. $m \le 4$

Câu 9 (0,3 điểm). Cho phương trình $x^2 - 3x - 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ . Giá trị của biểu thức $T = x_1^2 + x_2^2$ bằng

A. $-1$

B. $11$

C. $14$

D. $19$

Câu 10 (0,3 điểm). Một vật rơi tự do từ độ cao so với mặt đất, quãng đường rơi $s$ (tính bằng mét) sau thời gian $t$ (tính bằng giây) được cho xấp xỉ bởi công thức $s = 5t^2$ . Một hòn sỏi được thả từ đỉnh toà tháp cao $80$ m xuống mặt đất. Thời gian để hòn sỏi chạm đất là

A. $2$ giây

B. $4$ giây

C. $8$ giây

D. $16$ giây

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$ có đồ thị là parabol $(P)$ và đường thẳng $d: y = x + 4$ .
a) Parabol $(P)$ có bề lõm quay lên trên và đi qua điểm $A(2; 2)$ .
b) Hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$ đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$ .
c) Hoành độ giao điểm của $(P)$ và đường thẳng $d$ là nghiệm của phương trình $\dfrac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$ , có hai nghiệm là $x_1 = -2$ và $x_2 = 4$ .
d) Gọi $A(-2; 2)$ và $B(4; 8)$ là hai giao điểm của $(P)$ và $d$ . Diện tích tam giác $OAB$ (với $O$ là gốc toạ độ) bằng $12$ đơn vị diện tích.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho phương trình bậc hai một ẩn: $x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 3 = 0$ ( $m$ là tham số).
a) Khi $m = 2$ , phương trình trở thành $x^2 - 2x + 1 = 0$ và có nghiệm kép $x = 1$ .
b) Biệt thức thu gọn của phương trình là $\Delta' = -2m + 4$ .
c) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m \in \mathbb{R}$ .
d) Khi phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ , để $x_1^2 + x_2^2 = 10$ thì giá trị của $m$ là $m = -1$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Một chiếc cổng trường học được xây dựng theo mô hình vòm parabol. Chiều rộng chân cổng trên mặt đất là $AB = 8$ m, chiều cao từ mặt đất lên đến đỉnh cổng là $8$ m. Người ta gắn hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc $O$ là trung điểm chân cổng $AB$ , tia $Ox$ hướng sang phải theo mặt đất, tia $Oy$ hướng thẳng đứng lên trên đi qua đỉnh cổng (đơn vị trên mỗi trục là mét) như hình vẽ:

[Đồ thị]

a) Toạ độ đỉnh cổng là $H(0; 8)$ và toạ độ hai chân cổng trên mặt đất là $A(-4; 0)$ , $B(4; 0)$ .
b) Phương trình parabol biểu diễn đường viền cổng vòm là $y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 8$ .
c) Tại vị trí cách trục đối xứng của cổng $2$ m theo phương ngang, chiều cao của cổng vòm là $7$ m.
d) Một xe tải chở thiết bị dạng khối hộp chữ nhật có bề rộng $3$ m và chiều cao $6,5$ m muốn đi qua chính giữa cổng vòm. Chiếc xe tải này có thể đi qua an toàn mà không bị va chạm vào vòm cổng.

Câu 4 (1,0 điểm). Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $60$ m. Bác Ba dự định làm một lối đi xung quanh rộng $1$ m thuộc phần đất bên trong khu vườn, diện tích phần đất còn lại dùng để trồng rau và hoa là $144\text{ m}^2$ . Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là $x$ (mét).
a) Nửa chu vi mảnh vườn là $30$ m và điều kiện của biến $x$ là $2 < x < 15$ .
b) Chiều dài ban đầu của mảnh vườn được biểu diễn theo $x$ là $30 - x$ (mét).
c) Chiều rộng và chiều dài của phần đất trồng hoa lần lượt là $x - 1$ (mét) và $29 - x$ (mét).
d) Chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là $10$ m.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,75 điểm). Cho phương trình $x^2 - 6x + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ . Tính giá trị của biểu thức $M = x_1^2 + x_2^2 - 3x_1 x_2$ .

Câu 2 (0,75 điểm). Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số $m$ để phương trình $(m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Câu 3 (0,75 điểm). Một quả bóng được sút lên từ mặt đất theo quỹ đạo hình parabol có phương trình độ cao $h(t) = -5t^2 + 20t$ , trong đó $h$ tính bằng mét và $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi sút ( $t \ge 0$ ). Quả bóng đạt độ cao lớn nhất bằng bao nhiêu mét?

Câu 4 (0,75 điểm). Một đội xe vận tải dự định dùng một số xe cùng loại để chở hết $120$ tấn hàng ủng hộ đồng bào vùng bão lũ. Khi bắt đầu làm việc, có $2$ xe được điều động đi làm nhiệm vụ khẩn cấp khác, nên mỗi xe còn lại phải chở thêm $2$ tấn hàng so với dự định ban đầu. Biết rằng sức chở của mỗi xe là như nhau, hỏi ban đầu đội có bao nhiêu chiếc xe?

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

UBND XÃ/PHƯỜNG …

TRƯỜNG THCS …

Hướng dẫn chấm chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ HKII

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 9

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Cán bộ chấm thi bám sát đáp án và thang điểm để chấm bài.
- Điểm toàn bài là tổng điểm các phần thành phần, không làm tròn số điểm.
- Các cách giải khác đúng quy tắc toán học và logic đều được hưởng điểm tối đa tương ứng.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,3 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	A	C	B	D	A	C	B	A	D	B

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)
Quy tắc tính điểm mỗi câu:
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm
- Đúng 3 ý: 0,5 điểm
- Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 1	a)	Đ	$a = \dfrac{1}{2} > 0$ nên parabol có bề lõm quay lên trên. Thay $x = 2 \implies y = \dfrac{1}{2} \cdot 2^2 = 2 \implies A(2; 2) \in (P)$ .
	b)	S	Vì $a = \dfrac{1}{2} > 0$ nên hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$ .
	c)	Đ	Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{1}{2}x^2 = x + 4 \iff \dfrac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0 \iff x^2 - 2x - 8 = 0$ . Phương trình có hai nghiệm $x_1 = -2; x_2 = 4$ .
	d)	Đ	Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $Oy$ là $C(0; 4) \implies OC = 4$ . $S_{OAB} = S_{OCA} + S_{OCB} = \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot \|x_A\| + \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot \|x_B\| = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 + \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 4 + 8 = 12$ (đvdt).
Câu 2	a)	Đ	Với $m = 2$ : $x^2 - 2(2 - 1)x + 2^2 - 3 = 0 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \iff (x - 1)^2 = 0 \iff x = 1$ .
	b)	Đ	$\Delta' = [-(m-1)]^2 - 1 \cdot (m^2 - 3) = m^2 - 2m + 1 - m^2 + 3 = -2m + 4$ .
	c)	S	Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta' > 0 \iff -2m + 4 > 0 \iff m < 2$ , không phải với mọi $m \in \mathbb{R}$ .
	d)	S	Theo hệ thức Viète: $x_1 + x_2 = 2(m-1)$ , $x_1 x_2 = m^2 - 3$ . $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 4(m-1)^2 - 2(m^2-3) = 2m^2 - 8m + 10$ . $2m^2 - 8m + 10 = 10 \iff 2m(m - 4) = 0 \iff m = 0$ hoặc $m = 4$ . Đối chiếu điều kiện $m < 2$ ta nhận $m = 0$ . Do đó $m = -1$ là sai.
Câu 3	a)	Đ	Chiều cao $8$ m nên đỉnh $H(0; 8)$ . Chiều rộng $8$ m, $O$ là trung điểm nên $A(-4; 0)$ và $B(4; 0)$ .
	b)	Đ	Parabol có đỉnh trên trục tung nên có dạng $y = ax^2 + 8$ . Đi qua $B(4; 0) \implies 0 = a \cdot 4^2 + 8 \implies a = -\dfrac{1}{2}$ . Vậy $y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 8$ .
	c)	S	Vị trí cách tâm $2$ m ứng với $x = 2$ (hoặc $x = -2$ ). Chiều cao: $y = -\dfrac{1}{2} \cdot 2^2 + 8 = -2 + 8 = 6$ m (khác $7$ m).
	d)	Đ	Xe có chiều rộng $3$ m đi ở chính giữa nên hai mép xe ứng với hoành độ $x = -1,5$ và $x = 1,5$ . Tại $x = 1,5$ : $y = -\dfrac{1}{2} \cdot (1,5)^2 + 8 = -1,125 + 8 = 6,875$ m. Vì $6,875\text{ m} > 6,5\text{ m}$ nên xe chui lọt an toàn qua vòm cổng.
Câu 4	a)	Đ	Nửa chu vi: $60 : 2 = 30$ m. Do chiều rộng $x < \text{chiều dài}$ nên $x < 15$ . Để làm được lối đi $1$ m ở cả hai phía thì $x > 2$ . Vậy $2 < x < 15$ .
	b)	Đ	Chiều dài ban đầu bằng nửa chu vi trừ chiều rộng: $30 - x$ (m).
	c)	S	Lối đi rộng $1$ m ở mỗi phía nên chiều rộng phần đất còn lại là $x - 2$ (m) và chiều dài phần đất còn lại là $(30 - x) - 2 = 28 - x$ (m).
	d)	Đ	Diện tích đất trồng hoa: $(x - 2)(28 - x) = 144 \iff -x^2 + 30x - 56 = 144 \iff x^2 - 30x + 200 = 0$ . Giải phương trình được $x_1 = 10$ (thỏa mãn) và $x_2 = 20$ (loại). Vậy chiều rộng ban đầu là $10$ m.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,75 điểm.

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải tóm tắt
Câu 1	16	Phương trình có $\Delta' = 3^2 - 4 = 5 > 0$ nên luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Viète: $x_1 + x_2 = 6$ và $x_1 x_2 = 4$ . Biến đổi biểu thức: $M = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 - 3x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 5x_1 x_2$ . Thay số: $M = 6^2 - 5 \cdot 4 = 36 - 20 = 16$ .
Câu 2	2	Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 1) $a \ne 0 \iff m - 1 \ne 0 \iff m \ne 1$ . 2) $\Delta' = [-(m+1)]^2 - (m - 1)(m - 2) = (m^2 + 2m + 1) - (m^2 - 3m + 2) = 5m - 1 > 0 \iff m > \dfrac{1}{5}$ . Kết hợp lại: $m > \dfrac{1}{5}$ và $m \ne 1$ . Do đó các giá trị nguyên của $m$ là $2, 3, 4, \dots$ Giá trị nguyên nhỏ nhất cần tìm là $m = 2$ .
Câu 3	20	Hàm số $h(t) = -5t^2 + 20t = -5(t^2 - 4t + 4) + 20 = -5(t - 2)^2 + 20$ . Vì $-(t - 2)^2 \le 0$ với mọi $t$ nên $-5(t - 2)^2 + 20 \le 20$ . Dấu "=" xảy ra khi $t - 2 = 0 \iff t = 2$ (giây). Vậy quả bóng đạt độ cao lớn nhất bằng $20$ mét.
Câu 4	12	Gọi số xe ban đầu của đội là $x$ chiếc ( $x \in \mathbb{N}^*, x > 2$ ). Dự định mỗi xe phải chở: $\dfrac{120}{x}$ (tấn hàng). Thực tế số xe hoạt động là $x - 2$ chiếc, mỗi xe phải chở: $\dfrac{120}{x - 2}$ (tấn hàng). Vì mỗi xe chở thêm $2$ tấn so với dự định nên ta có phương trình: $\dfrac{120}{x - 2} - \dfrac{120}{x} = 2 \iff \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{60} \iff \dfrac{2}{x(x - 2)} = \dfrac{1}{60}$ $\iff x(x - 2) = 120 \iff x^2 - 2x - 120 = 0$ . Giải phương trình được $x_1 = 12$ (nhận) và $x_2 = -10$ (loại). Vậy ban đầu đội có $12$ chiếc xe.