Đề kiểm tra Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

TRƯỜNG THCS …

TỔ TOÁN – TIN HỌC

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ

Môn: Toán – Lớp 9

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Quy trình giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

- Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số, đặt đơn vị và xác định điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết (chú ý tính đồng nhất của đơn vị đo).
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng, từ đó thiết lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Bước 2. Giải hệ phương trình:
- Sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để tìm nghiệm của hệ phương trình.
- Bước 3. Trả lời và kết luận:
- Kiểm tra các giá trị tìm được có thoả mãn điều kiện của ẩn số hay không.
- Trả lời yêu cầu của bài toán (kèm theo đơn vị đo thích hợp).

B. ĐỀ KIỂM TRA

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1 (0,25 điểm). Tổng của hai số bằng $45$ và hiệu của chúng bằng $15$ . Nếu gọi số lớn là $x$ , số bé là $y$ thì hệ phương trình biểu thị giả thiết của bài toán là

A. $\begin{cases} x + y = 45 \\ x - y = 15 \end{cases}$

B. $\begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = 45 \end{cases}$

C. $\begin{cases} x - y = 45 \\ x + y = 15 \end{cases}$

D. $\begin{cases} x + y = 45 \\ y - x = 15 \end{cases}$

Câu 2 (0,25 điểm). Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $60$ m. Nếu gọi chiều dài là $x$ (m) và chiều rộng là $y$ (m) ( $x > y > 0$ ) thì phương trình biểu thị chu vi của mảnh vườn là

A. $x + y = 60$

B. $x + y = 30$

C. $2x + y = 60$

D. $x \cdot y = 30$

Câu 3 (0,25 điểm). Hai bạn An và Bình cùng mua sách. Bạn An mua $3$ quyển vở và $2$ cây bút hết $40\,000$ đồng. Bạn Bình mua $2$ quyển vở và $4$ cây bút cùng loại hết $48\,000$ đồng. Gọi giá tiền một quyển vở là $x$ (đồng), giá tiền một cây bút là $y$ (đồng). Hệ phương trình nào sau đây đúng?

A. $\begin{cases} 3x + 2y = 48\,000 \\ 2x + 4y = 40\,000 \end{cases}$

B. $\begin{cases} 2x + 3y = 40\,000 \\ 4x + 2y = 48\,000 \end{cases}$

C. $\begin{cases} 3x + 2y = 40\,000 \\ 2x + 4y = 48\,000 \end{cases}$

D. $\begin{cases} 3x + 4y = 40\,000 \\ 2x + 2y = 48\,000 \end{cases}$

Câu 4 (0,25 điểm). Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $3$ . Nếu gọi chữ số hàng chục là $x$ , chữ số hàng đơn vị là $y$ thì điều kiện đúng của các ẩn là

A. $x, y \in \mathbb{N}; 0 \le x \le 9; 0 \le y \le 9$

B. $x, y \in \mathbb{N}; 1 \le x \le 9; 0 \le y \le 9$

C. $x, y \in \mathbb{Z}; 0 < x < 10; 0 < y < 10$

D. $x, y \in \mathbb{R}; x \ge 1; y \ge 0$

Câu 5 (0,25 điểm). Một canô xuôi dòng trên một khúc sông hết $2$ giờ và ngược dòng trên khúc sông đó hết $3$ giờ. Biết vận tốc dòng nước là $3$ km/h. Gọi vận tốc thực của canô là $x$ (km/h, $x > 3$ ). Biểu thức tính quãng đường xuôi dòng của canô là

A. $2(x - 3)$ (km)

B. $3(x + 3)$ (km)

C. $2(x + 3)$ (km)

D. $\dfrac{x + 3}{2}$ (km)

Câu 6 (0,25 điểm). Một tổ công nhân dự định làm một số sản phẩm trong thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày làm thêm $5$ sản phẩm thì hoàn thành trước dự định $2$ ngày. Nếu gọi số sản phẩm làm mỗi ngày theo dự định là $x$ (sản phẩm, $x > 0$ ) và thời gian dự định là $y$ (ngày, $y > 2$ ) thì tổng số sản phẩm cần làm được biểu diễn là

A. $x + y$

B. $x \cdot y$

C. $(x + 5)(y - 2)$

D. $\dfrac{x}{y}$

Câu 7 (0,25 điểm). Hai đội thợ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $12$ ngày. Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là $x$ (ngày) và đội II làm một mình xong là $y$ (ngày) ( $x, y > 12$ ). Trong $1$ ngày, cả hai đội làm được khối lượng công việc là

A. $12$

B. $\dfrac{1}{12}$

C. $x + y$

D. $\dfrac{1}{x+y}$

Câu 8 (0,25 điểm). Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $120$ km, đi ngược chiều và gặp nhau sau $1,5$ giờ. Gọi vận tốc của xe đi từ $A$ là $x$ (km/h), vận tốc của xe đi từ $B$ là $y$ (km/h). Phương trình biểu thị quãng đường hai xe đã đi khi gặp nhau là

A. $1,5x + 1,5y = 120$

B. $1,5x - 1,5y = 120$

C. $x + y = 120 \cdot 1,5$

D. $\dfrac{120}{x} + \dfrac{120}{y} = 1,5$

Câu 9 (0,25 điểm). Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm $5$ m và giảm chiều dài đi $5$ m thì diện tích tăng thêm $50\text{ m}^2$ . Gọi chiều dài là $x$ (m), chiều rộng là $y$ (m) ( $x > y > 0$ ). Phương trình biểu thị mối quan hệ giữa chiều dài và chiều rộng ban đầu là

A. $y = 2x$

B. $x = 2y$

C. $x - y = 2$

D. $x + 2y = 0$

Câu 10 (0,25 điểm). Một lớp học có $40$ học sinh gồm cả nam và nữ. Biết số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là $4$ bạn. Gọi số học sinh nam là $x$ , số học sinh nữ là $y$ ( $x, y \in \mathbb{N}^*$ ). Hệ phương trình tìm $x$ và $y$ là

A. $\begin{cases} x + y = 40 \\ y - x = 4 \end{cases}$

B. $\begin{cases} x + y = 40 \\ x - y = 4 \end{cases}$

C. $\begin{cases} x - y = 40 \\ x + y = 4 \end{cases}$

D. $\begin{cases} 4x + y = 40 \\ x - y = 0 \end{cases}$

Câu 11 (0,25 điểm). Số tự nhiên có hai chữ số được biểu diễn theo giá trị các chữ số là

A. $xy$ với $x$ là chữ số hàng chục, $y$ là chữ số hàng đơn vị

B. $10x + y$ với $x$ là chữ số hàng chục, $y$ là chữ số hàng đơn vị

C. $x + 10y$ với $x$ là chữ số hàng chục, $y$ là chữ số hàng đơn vị

D. $10xy$ với $x$ là chữ số hàng chục, $y$ là chữ số hàng đơn vị

Câu 12 (0,25 điểm). Để chuẩn bị cho năm học mới, mẹ cho Nam $200\,000$ đồng để mua hai loại tập: loại A giá $12\,000$ đồng/cuốn và loại B giá $8\,000$ đồng/cuốn. Nam mua hết số tiền và được tổng cộng $20$ cuốn tập. Nếu gọi số cuốn tập loại A là $x$ và loại B là $y$ ( $x, y \in \mathbb{N}^*$ ), số cuốn tập loại A Nam đã mua là

A. $10$

B. $8$

C. $12$

D. $15$

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi bằng $140$ m. Người ta mở rộng thửa ruộng bằng cách tăng chiều dài thêm $5$ m và giảm chiều rộng đi $3$ m thì diện tích thửa ruộng không thay đổi. Gọi chiều dài thửa ruộng là $x$ (m) và chiều rộng là $y$ (m) ( $x > y > 3$ ).
a) Nửa chu vi thửa ruộng là $70$ m, do đó ta có phương trình $x + y = 70$ .
b) Diện tích thửa ruộng ban đầu là $x \cdot y$ ( $\text{m}^2$ ) và diện tích sau khi thay đổi kích thước là $(x + 5)(y - 3)$ ( $\text{m}^2$ ).
c) Hệ phương trình biểu thị bài toán là $\begin{cases} x + y = 70 \\ -3x + 5y = 15 \end{cases}$ .
d) Chiều rộng ban đầu của thửa ruộng là $25$ m.

Câu 2 (1,0 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm $A$ đến địa điểm $B$ rồi quay về ngay. Vận tốc lúc về lớn hơn vận tốc lúc đi là $10$ km/h, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là $30$ phút. Biết quãng đường $AB$ dài $120$ km. Gọi vận tốc lúc đi là $x$ (km/h) và vận tốc lúc về là $y$ (km/h) ( $y > x > 0$ ).
a) Thời gian lúc đi là $\dfrac{120}{x}$ (giờ) và thời gian lúc về là $\dfrac{120}{y}$ (giờ).
b) Đổi $30$ phút $= 0,5$ giờ, phương trình liên hệ giữa thời gian đi và thời gian về là $\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{y} = 0,5$ .
c) Phương trình liên hệ giữa hai vận tốc là $x - y = 10$ .
d) Vận tốc lúc đi của xe máy là $40$ km/h.

Câu 3 (1,0 điểm). Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau $4$ giờ $48$ phút đầy bể. Nếu mở vòi I chảy trong $3$ giờ và vòi II chảy trong $4$ giờ thì được $\dfrac{3}{4}$ bể nước. Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ), thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là $y$ (giờ) ( $x, y > 4,8$ ).
a) Đổi $4$ giờ $48$ phút $= \dfrac{24}{5}$ giờ $= 4,8$ giờ.
b) Trong $1$ giờ, vòi I chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể và vòi II chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể, ta có phương trình $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{24}{5}$ .
c) Trong $3$ giờ vòi I và $4$ giờ vòi II chảy được lượng nước tương ứng với phương trình $\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{3}{4}$ .
d) Thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là $8$ giờ.

Câu 4 (1,0 điểm). Bác Ba đầu tư $500$ triệu đồng vào hai khoản: gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất $6\%$ /năm và mua trái phiếu doanh nghiệp với lãi suất $8\%$ /năm. Sau một năm, tổng số tiền lãi bác Ba nhận được từ cả hai khoản là $34$ triệu đồng. Gọi số tiền gửi tiết kiệm là $x$ (triệu đồng) và số tiền mua trái phiếu là $y$ (triệu đồng) ( $0 < x, y < 500$ ).
a) Phương trình liên hệ giữa tổng số tiền đầu tư là $x + y = 500$ .
b) Tiền lãi thu được từ gửi tiết kiệm sau một năm là $0,06x$ (triệu đồng).
c) Hệ phương trình lập được từ bài toán là $\begin{cases} x + y = 500 \\ 0,08x + 0,06y = 34 \end{cases}$ .
d) Bác Ba đã đầu tư $300$ triệu đồng vào khoản gửi tiết kiệm ngân hàng.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu viết kết quả vào ô trả lời.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là $1$ đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới lớn hơn số cũ $27$ đơn vị.

Câu 2 (0,5 điểm). Một sân trường hình chữ nhật có chu vi $160$ m. Nếu bớt chiều dài đi $8$ m và tăng chiều rộng thêm $8$ m thì sân trường trở thành hình vuông. Tính diện tích của sân trường đó (theo đơn vị $\text{m}^2$ ).

Câu 3 (0,5 điểm). Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau $180$ km với vận tốc dự định. Sau khi đi được $1$ giờ với vận tốc dự định, xe dừng lại sửa chữa $15$ phút. Để đến B đúng giờ quy định, trên quãng đường còn lại xe phải tăng vận tốc thêm $10$ km/h. Tính vận tốc dự định của ôtô theo đơn vị km/h.

Câu 4 (0,5 điểm). Trong kỳ thi vào lớp 10 THPT, hai trường A và B có tổng cộng $450$ học sinh dự thi. Kết quả có $369$ học sinh trúng tuyển. Tỉ lệ trúng tuyển của trường A là $80\%$ , của trường B là $85\%$ . Hỏi trường A có bao nhiêu học sinh dự thi?

Câu 5 (0,5 điểm). Hai người thợ cùng làm một công việc trong $16$ giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong $3$ giờ và người thứ hai làm trong $6$ giờ thì chỉ hoàn thành được $25\%$ công việc. Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu giờ?

Câu 6 (0,5 điểm). Bác thợ rèn có hai thỏi hợp kim đồng – kẽm. Thỏi thứ nhất chứa $40\%$ đồng, thỏi thứ hai chứa $70\%$ đồng. Bác đem nung chảy hai thỏi này lại với nhau để được một thỏi hợp kim mới nặng $60$ kg chứa $50\%$ đồng. Tính khối lượng thỏi hợp kim thứ nhất cần dùng (theo đơn vị kg).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

TRƯỜNG THCS …

TỔ TOÁN – TIN HỌC

Hướng dẫn chấm

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

Chuyên đề: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Toán 9

Năm học 2026 – 2027

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng phần.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các phần thi, tính theo thang điểm 10,0 làm tròn đến 0,25 điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	A	B	C	B	C	B	B	A	B	B	B	A

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu: Đúng 1 ý: 0,10 điểm; Đúng 2 ý: 0,25 điểm; Đúng 3 ý: 0,50 điểm; Đúng cả 4 ý: 1,00 điểm.

Câu	Ý	Lệnh hỏi	Đáp án	Điểm
Câu 1	a)	Nửa chu vi thửa ruộng là $70$ m, do đó ta có phương trình $x + y = 70$ .	Đ	0,10
	b)	Diện tích thửa ruộng ban đầu là $x \cdot y$ ( $\text{m}^2$ ) và diện tích sau khi thay đổi kích thước là $(x + 5)(y - 3)$ ( $\text{m}^2$ ).	Đ	0,25
	c)	Hệ phương trình biểu thị bài toán là $\begin{cases} x + y = 70 \\ -3x + 5y = 15 \end{cases}$ .	Đ	0,50
	d)	Chiều rộng ban đầu của thửa ruộng là $25$ m.	S	1,00
Câu 2	a)	Thời gian lúc đi là $\dfrac{120}{x}$ (giờ) và thời gian lúc về là $\dfrac{120}{y}$ (giờ).	Đ	0,10
	b)	Đổi $30$ phút $= 0,5$ giờ, phương trình liên hệ giữa thời gian đi và thời gian về là $\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{y} = 0,5$ .	Đ	0,25
	c)	Phương trình liên hệ giữa hai vận tốc là $x - y = 10$ .	S	0,50
	d)	Vận tốc lúc đi của xe máy là $40$ km/h.	Đ	1,00
Câu 3	a)	Đổi $4$ giờ $48$ phút $= \dfrac{24}{5}$ giờ $= 4,8$ giờ.	Đ	0,10
	b)	Trong $1$ giờ, vòi I chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể và vòi II chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể, ta có phương trình $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{24}{5}$ .	S	0,25
	c)	Trong $3$ giờ vòi I và $4$ giờ vòi II chảy được lượng nước tương ứng với phương trình $\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{3}{4}$ .	Đ	0,50
	d)	Thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là $8$ giờ.	Đ	1,00
Câu 4	a)	Phương trình liên hệ giữa tổng số tiền đầu tư là $x + y = 500$ .	Đ	0,10
	b)	Tiền lãi thu được từ gửi tiết kiệm sau một năm là $0,06x$ (triệu đồng).	Đ	0,25
	c)	Hệ phương trình lập được từ bài toán là $\begin{cases} x + y = 500 \\ 0,08x + 0,06y = 34 \end{cases}$ .	S	0,50
	d)	Bác Ba đã đầu tư $300$ triệu đồng vào khoản gửi tiết kiệm ngân hàng.	Đ	1,00

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	Lời giải vắn tắt	Đáp số	Điểm
1	Gọi chữ số hàng chục là $x$ , hàng đơn vị là $y$ ( $x, y \in \mathbb{N}; 1 \le x \le 9; 0 \le y \le 9$ ). Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} 2y - x = 1 \\ (10y + x) - (10x + y) = 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -x + 2y = 1 \\ -9x + 9y = 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \\ y = 3 \end{cases}$ .	53	0,5
2	Gọi chiều dài là $x$ (m), chiều rộng là $y$ (m) ( $x > y > 0$ ). Nửa chu vi: $x + y = 80$ . Khi thay đổi kích thước thành hình vuông: $x - 8 = y + 8 \Leftrightarrow x - y = 16$ . Giải hệ được $x = 48$ , $y = 32$ . Diện tích: $S = 48 \cdot 32 = 1536\text{ m}^2$ .	1536	0,5
3	Gọi vận tốc dự định là $x$ (km/h) ( $x > 0$ ), thời gian dự định là $y$ (giờ) ( $y > 1$ ). Ta có: $xy = 180 \Rightarrow y = \dfrac{180}{x}$ . Quãng đường còn lại: $180 - x$ (km). Thời gian đi đoạn sau: $\dfrac{180 - x}{x + 10}$ (giờ). Phương trình thời gian: $1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{180 - x}{x + 10} = \dfrac{180}{x}$ . Rút gọn ta được: $x^2 + 10x - 2400 = 0 \Leftrightarrow x = 40$ (thỏa mãn) hoặc $x = -60$ (loại).	40	0,5
4	Gọi số học sinh dự thi của trường A là $x$ , trường B là $y$ ( $x, y \in \mathbb{N}^*; x, y < 450$ ). Hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 450 \\ 0,8x + 0,85y = 369 \end{cases}$ . Giải hệ tìm được $x = 270$ (học sinh) và $y = 180$ (học sinh).	270	0,5
5	Gọi thời gian làm riêng xong việc của người I là $x$ (giờ), người II là $y$ (giờ) ( $x, y > 16$ ). Trong $1$ giờ hai người làm được: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{16}$ . Theo đề: $\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = 25\% = \dfrac{1}{4}$ . Đặt ẩn phụ giải hệ thu được $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{24}$ và $\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{48}$ . Suy ra $y = 48$ (giờ).	48	0,5
6	Gọi khối lượng thỏi I là $x$ (kg), thỏi II là $y$ (kg) ( $0 < x, y < 60$ ). Tổng khối lượng: $x + y = 60$ . Khối lượng đồng trong thỏi hợp kim mới: $0,4x + 0,7y = 60 \cdot 50\% = 30$ . Giải hệ: $\begin{cases} x + y = 60 \\ 0,4x + 0,7y = 30 \end{cases} \Rightarrow x = 40$ (kg) và $y = 20$ (kg).	40	0,5