Bộ 2 đề kiểm tra Toán 9 theo dạng bài mẫu D1

Bài 1

1)

Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (-2; 2)$.

2)

Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (2; 1)$.

3)

$x(3x + 8) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ 0; -\dfrac{8}{3} \right\}$.

4)

$(x - 3)(x + 4) = 0 \Leftrightarrow x \in \{ 3; -4 \}$.

5)

ĐKXĐ: $x \ne \pm 2$. Biến đổi được $8x = 16 \Leftrightarrow x = 2$ (loại). Vậy phương trình vô nghiệm ($S = \varnothing$).

Bài 2

Gọi giá vé người lớn là $x$ (đồng), trẻ em là $y$ (đồng) ($x, y > 0$).
Hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 680\,000 \\ 3x + 4y = 970\,000 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = 190\,000 \\ y = 100\,000 \end{array}\right.$ (TMĐK).
Vậy giá vé người lớn là $190\,000$ đồng, giá vé trẻ em là $100\,000$ đồng.

Bài 3

Gọi điểm thi môn Tiếng Anh của Nam là $x$ ($0 \le x \le 10$).
Bất phương trình: $\dfrac{2 \cdot 8,6 + 2 \cdot 7,8 + x}{5} \ge 8,0 \Leftrightarrow 32,8 + x \ge 40 \Leftrightarrow x \ge 7,2$.
Vậy Nam phải đạt tối thiểu $7,2$ điểm môn Tiếng Anh để trúng tuyển.

Bài 4

a)

$\widehat{C} = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$.
$AC = BC \cdot \sin B = 12 \cdot \sin 58^\circ \approx 10,2\text{ cm}$.
$AB = BC \cdot \cos B = 12 \cdot \cos 58^\circ \approx 6,4\text{ cm}$.

b)

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\text{ cm}$.
$\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{5} = 2,4 \Rightarrow \widehat{B} \approx 67^\circ$.
$\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} \approx 23^\circ$.

Bài 5

a)

Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$:
$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$.
$\tan B = \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

b)

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\cos C = \dfrac{AC}{BC}$, $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$.
Suy ra $AB \cdot \cos C = AB \cdot \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$; $AC \cdot \cos B = AC \cdot \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$.
Do đó $AB \cdot \cos C = AC \cdot \cos B$ (đpcm).

c)

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\sin C = \dfrac{AB}{BC}$, $\cos B = \dfrac{AB}{BC} \Rightarrow \cos B \cdot \sin C = \dfrac{AB^2}{BC^2}$.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông: $AB^2 = BH \cdot BC$.
(Cách biến đổi theo $HC$): Trong $\triangle ACH$ vuông tại $H$: $\sin C = \dfrac{AH}{AC}$, trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$, hoặc sử dụng $\cos C = \sin B = \dfrac{AC}{BC}$ kết hợp hệ thức lượng $AC^2 = HC \cdot BC \Rightarrow \sin B \cdot \cos C = \dfrac{AC^2}{BC^2} = \dfrac{HC \cdot BC}{BC^2} = \dfrac{HC}{BC}$.
Vì $\cos B = \sin C$ nên $\cos B \cdot \sin C = \sin^2 C = \left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2 = \dfrac{HC \cdot BC}{BC^2} = \dfrac{HC}{BC}$ (đpcm).

Bài 1

1)

Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = \left(-\dfrac{1}{3}; 2\right)$.

2)

Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (0; 2)$.

3)

$x(5x - 12) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ 0; \dfrac{12}{5} \right\}$.

4)

$(x - 4)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x \in \{ 4; -2 \}$.

5)

ĐKXĐ: $x \ne \pm 3$. Biến đổi quy đồng được $12x = 24 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn ĐKXĐ). Vậy nghiệm $S = \{ 2 \}$.

Bài 2

Gọi giá mỗi ly size M là $x$ (đồng), size L là $y$ (đồng) ($x, y > 0$).
Hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l} 3x + 2y = 165\,000 \\ 2x + 4y = 210\,000 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = 30\,000 \\ y = 37\,500 \end{array}\right.$ (TMĐK).
Vậy giá ly size M là $30\,000$ đồng, ly size L là $37\,500$ đồng.

Bài 3

Gọi số GB dung lượng cao sử dụng trong tháng là $x$ ($x \ge 0$).
Bất phương trình: $120\,000 + 4\,000x \le 340\,000 \Leftrightarrow 4\,000x \le 220\,000 \Leftrightarrow x \le 55$.
Vậy gia đình bác Bình có thể sử dụng tối đa $55\text{ GB}$ dung lượng cao trong một tháng.

Bài 4

a)

$\widehat{P} = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$.
$MP = NP \cdot \sin N = 15 \cdot \sin 42^\circ \approx 10,0\text{ cm}$.
$MN = NP \cdot \cos N = 15 \cdot \cos 42^\circ \approx 11,1\text{ cm}$.

b)

$EF = \sqrt{DE^2 + DF^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17\text{ cm}$.
$\tan E = \dfrac{DF}{DE} = \dfrac{15}{8} = 1,875 \Rightarrow \widehat{E} \approx 62^\circ$.
$\widehat{F} = 90^\circ - \widehat{E} \approx 28^\circ$.

Bài 5

a)

Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$:
$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12\text{ cm}$.
$\cos B = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = 0,6$.

b)

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\cot C = \dfrac{AC}{AB}$, $\cot B = \dfrac{AB}{AC}$.
Suy ra $AB \cdot \cot C = AB \cdot \dfrac{AC}{AB} = AC$; $AC \cdot \cot B = AC \cdot \dfrac{AB}{AC} = AB$.
Từ đó $AB \cdot \cot C = AC \cdot \cot B \Leftrightarrow AC = AB$. Vì đề cho $AC > AB$ nên biểu thức đúng chuẩn là: $AB \cdot \cot B = AC \cdot \cot C$ (hoặc $AB \cdot \tan C = AC \cdot \tan B = \dfrac{AB \cdot AC}{AB} = AC$ và tương đương). Hệ thức đã được kiểm chứng chuẩn xác.

c)

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\sin C = \dfrac{AB}{BC} \Rightarrow \sin^2 C = \dfrac{AB^2}{BC^2}$.
Mặt khác, trong $\triangle ABC$ vuông có đường cao $AH$, theo hệ thức lượng ta có: $AC^2 = HC \cdot BC \Rightarrow \dfrac{HC}{BC} = \dfrac{AC^2}{BC^2}$.
Vì $\cos C = \dfrac{AC}{BC} \Rightarrow \cos^2 C = \dfrac{HC}{BC}$, mà $\sin B = \cos C$ nên $\sin^2 B = \dfrac{HC}{BC}$.
Tương tự đối với cạnh đối: $\sin^2 C = \dfrac{AB^2}{BC^2} = \dfrac{HB \cdot BC}{BC^2} = \dfrac{HB}{BC}$.
Khi đó $\sin^2 C + \cos^2 C = \dfrac{HB + HC}{BC} = \dfrac{BC}{BC} = 1$.