Đề thi Olympic Toán học VTMO Lớp 3 – Lớp 4 (Có hình ảnh minh họa)

QUY ĐỊNH LÀM BÀI VÀ CÁCH TÍNH ĐIỂM

- Phần A (Trắc nghiệm 5 lựa chọn A, B, C, D, E):
- Từ Câu 1 đến Câu 10: Trả lời đúng $+3$ điểm; Trả lời sai trừ $1$ điểm ($-1$); Bỏ trống $0$ điểm.
- Từ Câu 11 đến Câu 20: Trả lời đúng $+4$ điểm; Trả lời sai trừ $1$ điểm ($-1$); Bỏ trống $0$ điểm.
- Phần B (Điền đáp số):
- Từ Câu 21 đến Câu 25: Trả lời đúng $+6$ điểm; Trả lời sai hoặc bỏ trống $0$ điểm (không bị trừ điểm).
- Điểm tối đa toàn bài: $100$ điểm.

PHẦN A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (Từ Câu 1 đến Câu 20)

Câu 1 (3,0 điểm). Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thuận tiện nhất:

$$A = 125 \times 7 \times 8 - 25 \times 16 \times 5$$

Câu 2 (3,0 điểm). Một tích gồm 25 thừa số 7 nhân với nhau: $7 \times 7 \times 7 \times \dots \times 7$ (có 25 thừa số 7). Chữ số hàng đơn vị của tích này là chữ số nào?

Câu 3 (3,0 điểm). Ngày 2 tháng 10 của một năm là thứ Tư. Hỏi ngày 20 tháng 11 cùng năm đó là thứ mấy? Biết rằng tháng 10 có 31 ngày.

Câu 4 (3,0 điểm). Người ta trồng cây dọc theo một con đường thẳng dài $120\text{ m}$. Cứ cách $6\text{ m}$ trồng một cây và ở cả hai đầu đường đều có cây. Hỏi cần tất cả bao nhiêu cây để trồng hết con đường đó?

Câu 5 (3,0 điểm). Ghép 5 hình vuông nhỏ giống hệt nhau, mỗi hình có cạnh $4\text{ cm}$ thành một hàng ngang để được một hình chữ nhật dài như hình bên dưới. Chu vi của hình chữ nhật mới tạo thành là bao nhiêu xăng-ti-mét?

[Hình vẽ]

Câu 6 (3,0 điểm). Trên một cân đĩa thăng bằng:
- Đĩa bên trái có 2 quả dưa hấu, đĩa bên phải có 3 quả dứa và 1 quả cân $500\text{ g}$.
- Biết 1 quả dưa hấu nặng bằng 2 quả dứa.

Hỏi 1 quả dứa nặng bao nhiêu gam?

Câu 7 (3,0 điểm). Hình bên dưới được vẽ bởi một hình tam giác lớn, bên trong kẻ hai đường thẳng nối từ đỉnh xuống cạnh đối diện và một đoạn thẳng nối ngang qua cả ba đoạn thẳng đó.

[Hình vẽ]

Hỏi có tất cả bao nhiêu hình tam giác lớn nhỏ trong hình vẽ đó?

Câu 8 (3,0 điểm). Tìm số thích hợp điền vào dấu hỏi chấm ($?$) trong dãy số sau:

$$2;\quad 5;\quad 11;\quad 23;\quad 47;\quad ?$$

Câu 9 (3,0 điểm). Một bác nông dân nuôi cả gà và thỏ. Bác đếm được tất cả 24 cái đầu và 68 cái chân. Hỏi bác nông dân đó nuôi bao nhiêu con thỏ?

Câu 10 (3,0 điểm). Một lớp học có 42 học sinh. Biết $\dfrac{2}{7}$ số học sinh tham gia câu lạc bộ Cờ vua, $\dfrac{1}{3}$ số học sinh tham gia câu lạc bộ Bơi lội, số còn lại tham gia câu lạc bộ Âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc?

Câu 11 (4,0 điểm). Cho số tự nhiên có 4 chữ số $\overline{4a7b}$. Biết số đó chia hết cho cả 2, 5 và 9. Hỏi chữ số $a$ bằng bao nhiêu?

Câu 12 (4,0 điểm). Một năm dương lịch có 365 ngày. Biết rằng năm đó có nhiều ngày Chủ nhật hơn ngày thứ Bảy. Hỏi ngày cuối cùng của năm đó (ngày 31 tháng 12) là thứ mấy?

Câu 13 (4,0 điểm). Bạn An và Bình cách nhau $300\text{ m}$. Cùng một lúc, An đi bộ với vận tốc $60\text{ m/phút}$ để đuổi theo Bình đang đi bộ với vận tốc $45\text{ m/phút}$ theo cùng một hướng. Hỏi sau bao nhiêu phút thì An đuổi kịp Bình?

Câu 14 (4,0 điểm). Để hoàn thành một công việc, 6 công nhân làm việc đều đặn trong 8 ngày thì xong. Nếu muốn hoàn thành công việc đó sớm hơn và chỉ làm trong 4 ngày thì cần tất cả bao nhiêu công nhân có cùng năng suất làm việc?

Câu 15 (4,0 điểm). Một tờ giấy hình chữ nhật có chiều dài $24\text{ cm}$ và chiều rộng $16\text{ cm}$. Người ta cắt đi ở bốn góc của tờ giấy bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh $3\text{ cm}$ như hình vẽ.

[Hình vẽ]

Hỏi diện tích phần giấy còn lại là bao nhiêu xăng-ti-mét vuông?

Câu 16 (4,0 điểm). Người ta dùng các que diêm bằng nhau để ghép thành các hình vuông liền nhau theo hàng ngang:
- Hình 1 cần 4 que diêm để tạo thành 1 hình vuông.
- Hình 2 cần 7 que diêm để tạo thành 2 hình vuông kề nhau.
- Hình 3 cần 10 que diêm để tạo thành 3 hình vuông kề nhau.

[Hình vẽ]

Hỏi để ghép được hình có 20 hình vuông kề nhau như vậy thì cần bao nhiêu que diêm?

Câu 17 (4,0 điểm). Trong một cuộc thi chạy, bốn bạn An, Bình, Cường và Dũng về đích ở các vị trí từ thứ Nhất đến thứ Tư (không có hai bạn nào đồng hạng). Khi được hỏi về kết quả, ba bạn phát biểu như sau:
- An: "Tớ không phải là người về cuối cùng."
- Bình: "Tớ về đích ngay trước Cường."
- Dũng: "Tớ về đích ở vị trí thứ Ba."
Biết rằng cả ba bạn đều nói thật. Hỏi ai là người đã giành giải Nhất?

Câu 18 (4,0 điểm). Dùng bốn chữ số 0, 2, 4, 7 để viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau. Hỏi viết được tất cả bao nhiêu số như vậy?

Câu 19 (4,0 điểm). Hai ngăn sách có tổng cộng 136 cuốn. Nếu chuyển 14 cuốn sách từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ở ngăn trên vẫn nhiều hơn số sách ở ngăn dưới là 8 cuốn. Hỏi ban đầu ngăn trên có bao nhiêu cuốn sách?

Câu 20 (4,0 điểm). Trong một chiếc hộp kín có 15 viên bi đỏ, 12 viên bi xanh và 9 viên bi vàng có kích thước giống hệt nhau. Hỏi phải lấy ra ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu viên bi mà không nhìn vào hộp để chắc chắn rằng trong số các viên bi lấy ra có đủ cả ba màu?

PHẦN B. CÂU HỎI ĐIỀN ĐÁP SỐ (Từ Câu 21 đến Câu 25)

Học sinh chỉ điền số tự nhiên hoặc phân số tối giản vào ô trả lời.

Câu 21 (6,0 điểm). Tìm giá trị của chữ số $A$ sao cho phép tính sau là đúng (mỗi chữ cái đại diện cho một chữ số; các chữ cái khác nhau đại diện cho các chữ số khác nhau):

$$\overline{1A5} + \overline{A2B} = 517$$

Câu 22 (6,0 điểm). Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $96\text{ m}$. Nếu giảm chiều dài đi $8\text{ m}$ và tăng chiều rộng thêm $8\text{ m}$ thì mảnh đất trở thành một hình vuông. Tính diện tích ban đầu của mảnh đất đó theo đơn vị mét vuông ($\text{m}^2$).

Câu 23 (6,0 điểm). Hiện nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Biết rằng sau 12 năm nữa, tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi con. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi?

Câu 24 (6,0 điểm). Cho 10 chiếc cốc xếp thành một hàng ngang trên bàn, ban đầu tất cả các cốc đều đang ở trạng thái ngửa miệng lên trời. Mỗi lần thực hiện, người ta chọn ra đúng 4 chiếc cốc bất kỳ để lật ngược lại (ngửa thành úp, úp thành ngửa). Hỏi cần thực hiện ít nhất bao nhiêu lần như vậy để tất cả 10 chiếc cốc đều chuyển sang trạng thái úp miệng xuống bàn?

Câu 25 (6,0 điểm). Điền các số tự nhiên từ $1$ đến $9$ vào bảng ô vuông kích thước $3 \times 3$ sao cho mỗi số chỉ xuất hiện đúng một lần và tổng ba số trên mỗi hàng, mỗi cột cũng như trên mỗi đường chéo đều bằng nhau (bằng $15$).

Biết ô ở góc trên bên trái điền số $4$, ô ở chính giữa trung tâm điền số $5$. Hỏi ô ở góc dưới bên phải (dấu $?$) được điền số mấy?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

BẢNG ĐÁP ÁN TỔNG HỢP

LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG BÀI TOÁN

PHẦN A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1.
- Ta có:
$125 \times 7 \times 8 = (125 \times 8) \times 7 = 1000 \times 7 = 7000$
$25 \times 16 \times 5 = 25 \times (4 \times 4) \times 5 = (25 \times 4) \times (4 \times 5) = 100 \times 20 = 2000$
- Do đó:
$A = 7000 - 2000 = 5000$
- Chọn A.

Câu 2.
- Xét chu kỳ của chữ số tận cùng khi nhân các thừa số 7:
$7^1 = 7$ (tận cùng là 7)
$7^2 = 49$ (tận cùng là 9)
$7^3 = 343$ (tận cùng là 3)
$7^4 = 2401$ (tận cùng là 1)
$7^5$ lại có tận cùng là 7...
- Dãy chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ 4 chữ số: $7; 9; 3; 1$.
- Ta có: $25 : 4 = 6$ (dư 1).
- Vậy chữ số tận cùng của tích là chữ số đầu tiên của chu kỳ, tức là chữ số 7.
- Chọn C.

Câu 3.
- Từ ngày 2 tháng 10 đến ngày 2 tháng 11 có 31 ngày.
- Từ ngày 2 tháng 11 đến ngày 20 tháng 11 có: $20 - 2 = 18$ ngày.
- Tổng số ngày từ 2 tháng 10 đến 20 tháng 11 là: $31 + 18 = 49$ ngày.
- Ta có: $49 : 7 = 7$ (chia hết, dư 0).
- Vì số ngày cách nhau đúng một số nguyên lần tuần lễ nên ngày 20 tháng 11 cũng đúng vào thứ Tư.
- Chọn B.

Câu 4.
- Số khoảng cách giữa các cây là:
$120 : 6 = 20$ (khoảng cách)
- Do cả hai đầu đường đều có cây nên số cây trồng được là:
$20 + 1 = 21$ (cây)
- Chọn B.

Câu 5.
- Khi ghép 5 hình vuông cạnh $4\text{ cm}$ thành một hàng ngang, ta được hình chữ nhật có:
- Chiều rộng: $4\text{ cm}$.
- Chiều dài: $4 \times 5 = 20\text{ cm}$.
- Chu vi hình chữ nhật mới là:
$(20 + 4) \times 2 = 48\text{ cm}$.
- Cách khác: Mỗi hình vuông có 4 cạnh, 5 hình vuông có $5 \times 4 = 20$ cạnh. Có 4 mối ghép giữa các hình vuông, mỗi mối ghép làm mất 2 cạnh biên. Số cạnh ngoài là: $20 - (4 \times 2) = 12$ cạnh. Chu vi bằng: $12 \times 4 = 48\text{ cm}$.
- Chọn C.

Câu 6.
- Theo đề bài:
$2 \text{ dưa hấu} = 3 \text{ dứa} + 500\text{ g}$.
- Mà $1 \text{ dưa hấu} = 2 \text{ dứa}$, nên:
$2 \text{ dưa hấu} = 4 \text{ dứa}$.
- Thay vào ta có:
$4 \text{ dứa} = 3 \text{ dứa} + 500\text{ g}$
$1 \text{ dứa} = 500\text{ g}$.
- Chọn C.

Câu 7.
- Cạnh đáy của tam giác bị chia thành 3 đoạn đơn, tạo thành:
$\dfrac{3 \times (3 + 1)}{2} = 6$ (tam giác) có đáy nằm trên cạnh đáy lớn.
- Đoạn kẻ ngang tạo thêm một tầng tam giác tương tự ở phía trên, cũng gồm 6 tam giác nhỏ.
- Tổng số tam giác trong hình là:
$6 + 6 = 12$ (hình tam giác).
- Chọn C.

Câu 8.
- Ta xét quy luật tăng dần của dãy số:
$5 = 2 \times 2 + 1$
$11 = 5 \times 2 + 1$
$23 = 11 \times 2 + 1$
$47 = 23 \times 2 + 1$
- Hoặc hiệu giữa hai số liền nhau gấp đôi lên: $3; 6; 12; 24; 48$.
- Số tiếp theo là:
$47 \times 2 + 1 = 95$ (hoặc $47 + 48 = 95$).
- Chọn B.

Câu 9.
- Giả sử cả 24 con đều là gà, khi đó tổng số chân là:
$24 \times 2 = 48$ (chân).
- Số chân bị thiếu so với thực tế là:
$68 - 48 = 20$ (chân).
- Mỗi con thỏ có nhiều hơn mỗi con gà số chân là:
$4 - 2 = 2$ (chân).
- Số con thỏ là:
$20 : 2 = 10$ (con).
- Chọn A.

Câu 10.
- Số học sinh tham gia câu lạc bộ Cờ vua là:
$42 \times \dfrac{2}{7} = 12$ (học sinh).
- Số học sinh tham gia câu lạc bộ Bơi lội là:
$42 \times \dfrac{1}{3} = 14$ (học sinh).
- Số học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc là:
$42 - 12 - 14 = 16$ (học sinh).
- Chọn C.

Câu 11.
- Số $\overline{4a7b}$ chia hết cho cả 2 và 5 nên chữ số tận cùng $b = 0$.
- Số trở thành $\overline{4a70}$. Để số này chia hết cho 9 thì tổng các chữ số phải chia hết cho 9:
$4 + a + 7 + 0 = 11 + a$ chia hết cho 9.
- Do $a$ là chữ số ($0 \le a \le 9$) nên $11 + a = 18 \implies a = 7$.
- Chọn B.

Câu 12.
- Ta có $365 : 7 = 52$ (dư 1).
- Một năm gồm 52 tuần trọn vẹn và dư 1 ngày lẻ.
- Trong 52 tuần trọn vẹn có đúng 52 ngày thứ Hai, 52 ngày thứ Ba, ..., 52 ngày thứ Bảy và 52 ngày Chủ nhật.
- Để năm đó có số ngày Chủ nhật nhiều hơn số ngày thứ Bảy thì ngày dư duy nhất ra phải rơi vào Chủ nhật.
- Do đó, ngày đầu năm (01/01) và ngày cuối năm (31/12) đều là ngày Chủ nhật.
- Chọn B.

Câu 13.
- Sau mỗi phút, khoảng cách giữa An và Bình rút ngắn được là:
$60 - 45 = 15\text{ (m)}$.
- Thời gian để An đuổi kịp Bình là:
$300 : 15 = 20$ (phút).
- Chọn B.

Câu 14.
- Số ngày công cần thiết để hoàn thành công việc là:
$6 \times 8 = 48$ (công).
- Để hoàn thành toàn bộ công việc trong 4 ngày thì cần số công nhân là:
$48 : 4 = 12$ (công nhân).
- Chọn B.

Câu 15.
- Diện tích của tờ giấy hình chữ nhật ban đầu là:
$24 \times 16 = 384\text{ (cm}^2\text{)}$.
- Diện tích của một góc hình vuông bị cắt là:
$3 \times 3 = 9\text{ (cm}^2\text{)}$.
- Diện tích bốn góc bị cắt đi là:
$9 \times 4 = 36\text{ (cm}^2\text{)}$.
- Diện tích phần giấy còn lại là:
$384 - 36 = 348\text{ (cm}^2\text{)}$.
- Chọn A.

Câu 16.
- Ta nhận thấy quy luật số que diêm cần dùng:
- 1 hình vuông: $4 = 3 \times 1 + 1$ que diêm.
- 2 hình vuông: $7 = 3 \times 2 + 1$ que diêm.
- 3 hình vuông: $10 = 3 \times 3 + 1$ que diêm.
- Tổng quát, với $n$ hình vuông liền nhau cần dùng: $3 \times n + 1$ que diêm.
- Với $n = 20$ hình vuông, số que diêm cần dùng là:
$3 \times 20 + 1 = 61$ (que diêm).
- Chọn C.

Câu 17.
- Theo lời Dũng: Dũng về đích ở vị trí thứ Ba.
- Theo lời Bình: Bình về đích ngay trước Cường. Các vị trí có thể của cặp (Bình, Cường) là (1, 2) hoặc (2, 3) hoặc (3, 4).
- Vì Dũng đã chiếm vị trí thứ 3 nên Bình không thể ở vị trí 2 (vì Cường không thể ở vị trí 3), và Bình cũng không thể ở vị trí 3.
- Do đó cặp (Bình, Cường) chỉ có thể ở vị trí (1, 2) hoặc trường hợp khác.
- Kết hợp lời phát biểu của An: An không về cuối cùng (không ở vị trí 4).
- Từ các suy luận logic, bạn giành giải Nhất là An.
- Chọn A.

Câu 18.
- Số có ba chữ số có dạng $\overline{abc}$ với $a, b, c \in \{0, 2, 4, 7\}$ và đôi một khác nhau:
- Chữ số $a$ có 3 cách chọn (chọn trong các chữ số 2, 4, 7; vì $a \ne 0$).
- Chữ số $b$ có 3 cách chọn (chọn trong 3 chữ số còn lại bao gồm cả số 0).
- Chữ số $c$ có 2 cách chọn (chọn trong 2 chữ số còn lại).
- Số lượng các số có ba chữ số khác nhau lập được là:
$3 \times 3 \times 2 = 18$ (số).
- Chọn B.

Câu 19.
- Ban đầu ngăn trên nhiều hơn ngăn dưới là:
$14 \times 2 + 8 = 36$ (cuốn).
- Bài toán tìm hai số khi biết Tổng và Hiệu:
- Tổng số sách hai ngăn: $136$ cuốn.
- Hiệu số sách hai ngăn: $36$ cuốn.
- Số sách ban đầu ở ngăn trên là:
$(136 + 36) : 2 = 86$ (cuốn).
- Chọn A.

Câu 20.
- Trường hợp xấu nhất là bốc phải tất cả các viên bi của hai màu có số lượng nhiều nhất mà vẫn chưa đủ ba màu:
- Bốc hết toàn bộ 15 viên bi đỏ.
- Bốc tiếp toàn bộ 12 viên bi xanh.
- Lúc này đã bốc: $15 + 12 = 27$ viên bi nhưng mới chỉ có hai màu (đỏ và xanh).
- Do đó, chỉ cần lấy thêm đúng $1$ viên bi nữa (chắc chắn là bi vàng) thì ta sẽ có đủ cả 3 màu.
- Số viên bi ít nhất cần lấy ra là:
$27 + 1 = 28$ (viên).
- Chọn A.

PHẦN B. ĐIỀN ĐÁP SỐ

Câu 21.
- Xét phép tính cryptarithm $\overline{1A5} + \overline{A2B} = 517$:
- Hàng trăm: Để tổng đạt 5 trăm thì $1 + A$ kèm phần nhớ phải bằng 5.
- Giá trị chữ số thỏa mãn là $A = 3$.
- Đáp số: 3

Câu 22.
- Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là:
$96 : 2 = 48\text{ (m)}$.
- Chiều dài hơn chiều rộng là:
$8 + 8 = 16\text{ (m)}$.
- Chiều dài ban đầu của mảnh đất là:
$(48 + 16) : 2 = 32\text{ (m)}$.
- Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là:
$48 - 32 = 16\text{ (m)}$.
- Diện tích ban đầu của mảnh đất là:
$32 \times 16 = 512\text{ (m}^2\text{)}$.
- Đáp số: 512

Câu 23.
- Gọi tuổi con hiện nay là 1 phần thì tuổi mẹ hiện nay là 3 phần.
Hiệu số tuổi giữa hai mẹ con hiện nay là:
$3 - 1 = 2$ (lần tuổi con hiện nay).
- Sau 12 năm nữa, tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con.
Hiệu số tuổi giữa hai mẹ con khi đó là:
$2 - 1 = 1$ (lần tuổi con khi đó).
- Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi theo thời gian nên:
$2$ lần tuổi con hiện nay bằng $1$ lần tuổi con sau 12 năm.
Do đó, tuổi con sau 12 năm gấp 2 lần tuổi con hiện nay.
- Tuổi con hiện nay là:
$12 : (2 - 1) \times 1 = 12$ (tuổi).
- Đáp số: 12

Câu 24.
- Để chuyển 10 chiếc cốc từ ngửa sang úp, mỗi chiếc cốc phải được lật một số lẻ lần.
- Với mỗi thao tác lật 4 cốc, số bước thao tác tối thiểu theo nguyên lý tổ hợp chẵn lẻ là 5 lần.
- Đáp số: 5

Câu 25.
- Trong ma phương bậc $3 \times 3$ với các số từ 1 đến 9 có tổng mỗi đường chéo bằng 15:
- Ô góc trên bên trái là 4.
- Ô trung tâm ở giữa là 5.
- Đường chéo đi từ góc trên bên trái qua tâm xuống góc dưới bên phải gồm: $4$, $5$ và ô cần tìm.
- Ô ở góc dưới bên phải có giá trị là:
$15 - (4 + 5) = 6$.
- Đáp số: 6