Ôn tập nâng cao Toán học kì I

Học sinh trình bày cách làm. Với các câu đếm góc, hãy quan sát hình đã cho trước khi trả lời. Mỗi góc được tính một lần, không phân biệt thứ tự hai cạnh của góc.

I. SỐ TỰ NHIÊN VÀ CẤU TẠO SỐ

Câu 1. Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, mỗi chữ số dùng đúng một lần, hãy lập:
a) Số lớn nhất có tám chữ số chia hết cho $5$.
b) Số bé nhất có tám chữ số chia hết cho $5$.
c) Tính hiệu của hai số vừa lập.

Câu 2. Tìm tất cả các số có bảy chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
a) Chữ số hàng triệu là $5$, chữ số hàng trăm nghìn là $2$.
b) Ba chữ số ở lớp đơn vị đều bằng $0$.
c) Tổng các chữ số của số đó bằng $12$ và chữ số hàng chục nghìn lớn hơn chữ số hàng nghìn.

Câu 3. Tìm số tự nhiên có tám chữ số, biết rằng:
a) Hai chữ số thuộc lớp triệu là hai số tự nhiên liên tiếp, chữ số hàng chục triệu lớn hơn chữ số hàng triệu và tổng của chúng bằng $13$.
b) Ba chữ số thuộc lớp nghìn giống nhau và có tổng bằng $15$.
c) Lớp đơn vị là số lớn nhất có ba chữ số khác nhau, tổng các chữ số bằng $9$ và chữ số hàng đơn vị là $0$.

Câu 4. Tìm số tự nhiên lớn nhất và số tự nhiên bé nhất có tám chữ số khác nhau, biết rằng chữ số hàng chục triệu là $3$, chữ số hàng đơn vị là $5$ và số đó chia hết cho $9$.

Câu 5. Tìm số tự nhiên có bảy chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số $4$ từ hàng triệu xuống ngay sau chữ số hàng đơn vị, giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại thì được số mới lớn hơn số ban đầu $2\,000\,004$.

Câu 6. Cho số $A = 35\,672\,418$.
a) Không tính lại toàn bộ số, hãy xác định số mới tăng hay giảm bao nhiêu đơn vị so với $A$ nếu đổi chỗ chữ số hàng triệu và chữ số hàng đơn vị.
b) Giữ nguyên các chữ số khác, hãy thay đồng thời chữ số hàng trăm nghìn và chữ số hàng chục để số mới lớn hơn $A$ đúng $300\,040$ đơn vị.

Câu 7. Tìm tất cả các chữ số $a$, $b$ để số $\overline{7a\,4b6\,789}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
a) Khi làm tròn đến hàng triệu, số đó được $74\,000\,000$.
b) Tổng các chữ số của số đó bằng $43$.

Câu 8. Một số có bảy chữ số, khi làm tròn đến hàng trăm nghìn được $6\,400\,000$, khi làm tròn đến hàng chục nghìn được $6\,420\,000$.
a) Tìm số bé nhất và số lớn nhất thỏa mãn các điều kiện trên.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện trên?

Câu 9. Từ các chữ số $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, mỗi chữ số dùng đúng một lần, lập tất cả các số có năm chữ số sao cho chữ số hàng chục nghìn gấp đôi chữ số hàng nghìn và số đó chia hết cho $5$.

Câu 10. Tổng của hai số là $8\,765\,432$. Nếu tăng số thứ nhất thêm $125\,000$ và giảm số thứ hai đi $75\,000$ thì số thứ nhất mới bằng số thứ hai mới. Tìm hai số ban đầu.

II. TÍNH BẰNG CÁCH THUẬN TIỆN

Câu 11. Tính bằng cách thuận tiện:
a) $2\,475 + 3\,680 + 1\,525 + 1\,320 + 5\,999$.
b) $18\,764 - 2\,375 - 1\,625 - 4\,764$.

Câu 12. Tính bằng cách thuận tiện:
a) $25 \times 36 \times 125 \times 32$.
b) $125 \times 17 \times 8 + 25 \times 17 \times 4$.

Câu 13. Tính bằng cách thuận tiện:
a) $48 \times 125 + 52 \times 125 + 25 \times 100$.
b) $76 \times 99 + 76 \times 102 - 76$.

Câu 14. Tính bằng cách thuận tiện:
a) $9\,991 + 9\,992 + 9\,993 + 9\,994 + 9\,995 + 9\,996 + 9\,997 + 9\,998 + 9\,999$.
b) $48\,000 - 9\,999 - 10\,001 - 4\,998 - 5\,002$.

Câu 15. Không tính giá trị cụ thể của từng biểu thức, hãy so sánh và giải thích:
a) $A = 1\,234 \times 1\,236$ và $B = 1\,235 \times 1\,235$.
b) $C = 99 \times 101 \times 10\,000$ và $D = 100 \times 100 \times 9\,999$.

III. GÓC VÀ HÌNH HỌC

Câu 16. Quan sát hình chữ nhật $ABCD$ không phải hình vuông, có $AB$ dài hơn $BC$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$.

[Hình vẽ]

Đếm số góc nhọn, góc vuông, góc tù và góc bẹt có trong hình. Chỉ xét các góc có đỉnh thuộc $\{A; B; C; D; O\}$ và mỗi cạnh góc nằm trên một đoạn thẳng đã vẽ.

Câu 17. Quan sát hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Các điểm $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$; các đoạn thẳng $OM$, $ON$ đã được vẽ.

[Hình vẽ]

Đếm số góc nhọn, góc vuông, góc tù và góc bẹt có đỉnh $O$, mỗi cạnh góc nằm trên một đoạn thẳng đã vẽ.

Câu 18. Quan sát hình chữ nhật $ABCD$. Các điểm $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $DC$; các điểm $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BC$. Hai đoạn thẳng $MN$, $PQ$ cắt nhau tại $O$.

[Hình vẽ]

Đếm số góc vuông và góc bẹt có trong hình. Chỉ xét các góc có đỉnh thuộc $\{A; B; C; D; M; N; P; Q; O\}$ và mỗi cạnh góc nằm trên một đoạn thẳng đã vẽ.

Câu 19. Quan sát hình vuông $ABCD$ có $M$ là trung điểm của $AB$. Các đoạn thẳng $MC$ và $MD$ đã được vẽ.

[Hình vẽ]

Đếm số góc nhọn, góc vuông, góc tù và góc bẹt có đỉnh $M$, mỗi cạnh góc nằm trên một đoạn thẳng đã vẽ. Giải thích cách phân loại các góc đó.

Câu 20. Một hình chữ nhật có chu vi $140$ cm. Nếu tăng chiều rộng thêm $5$ cm và giảm chiều dài đi $5$ cm thì được một hình vuông. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.

Câu 21. Một hình chữ nhật có chiều dài $32$ m, chiều rộng $18$ m. Một hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật đó.
a) Tính diện tích mỗi hình.
b) Cần tăng chiều rộng của hình chữ nhật thêm bao nhiêu mét, giữ nguyên chiều dài, để diện tích hình chữ nhật mới bằng diện tích hình vuông?

Câu 22. Một thửa vườn hình chữ nhật dài $45$ m, rộng $30$ m. Người ta mở rộng chiều dài thêm $5$ m và chiều rộng thêm $4$ m.
a) Tính phần diện tích tăng thêm.
b) Giữ nguyên chiều rộng mới, cần giảm chiều dài mới bao nhiêu mét để diện tích thửa vườn bằng diện tích ban đầu?

Câu 23. Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $12$ cm. Nếu giảm chiều dài $4$ cm và tăng chiều rộng $4$ cm thì diện tích không đổi. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật ban đầu.

Câu 24. Một sân trường hình chữ nhật dài $36$ m, rộng $24$ m. Chính giữa sân có một bồn cây hình chữ nhật dài $4$ m, rộng $3$ m. Phần sân còn lại được lát kín bằng gạch hình vuông cạnh $4$ dm. Biết số gạch mua thêm để dự phòng bằng $\dfrac{1}{20}$ số gạch cần lát. Hỏi cần mua tất cả bao nhiêu viên gạch? Coi mạch vữa không đáng kể.

IV. TOÁN THỰC TẾ VÀ PHÂN HÓA

Câu 25. Một bên con đường dài $180$ m được trồng cây cách đều nhau, mỗi đầu đường có một cây. Sau đó người ta trồng thêm đúng một cây ở chính giữa mỗi khoảng cách của hai cây liên tiếp. Biết tổng số cây sau khi trồng thêm là $61$ cây. Tính khoảng cách giữa hai cây liên tiếp lúc ban đầu.

Câu 26. Một đoạn đường dài $240$ m được trồng cây ở cả hai bên. Mỗi bên, hai cây liên tiếp cách nhau $8$ m và mỗi đầu đoạn đường đều có cây. Sau đó, ở mỗi bên người ta bỏ đi các cây nằm cách đầu phía Bắc của đoạn đường đúng $40$ m, $80$ m, $120$ m, $160$ m và $200$ m. Hỏi cả hai bên đường còn lại bao nhiêu cây?

Câu 27. Quanh một khu vườn hình chữ nhật dài $45$ m, rộng $30$ m, người ta trồng cây cách đều nhau và mỗi góc vườn đều có một cây. Khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là một số tự nhiên tính bằng mét, lớn hơn $3$ m và không quá $10$ m.
a) Tìm tất cả các khoảng cách có thể.
b) Với mỗi khoảng cách tìm được, tính số cây cần trồng.

Câu 28. Một bác thợ có hai khúc gỗ dài lần lượt $12$ m và $18$ m. Bác xẻ cả hai khúc thành các đoạn dài bằng nhau, mỗi đoạn dài nhất có thể và độ dài là một số tự nhiên tính bằng mét. Mỗi lần xẻ mất $4$ phút; thời gian nghỉ và di chuyển không đáng kể. Hỏi bác thợ mất bao nhiêu phút để xẻ xong?

Câu 29. Một cửa hàng có $2\,400$ kg gạo. Buổi sáng cửa hàng bán một số gạo; buổi chiều bán nhiều hơn buổi sáng $125$ kg. Số gạo còn lại được đóng đều vào $25$ bao, mỗi bao $63$ kg. Hỏi mỗi buổi cửa hàng bán được bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

Câu 30. Tìm số tự nhiên lớn nhất có tám chữ số khác nhau, biết rằng:
a) Chữ số hàng chục triệu là $6$; tổng hai chữ số thuộc lớp triệu bằng $10$.
b) Ba chữ số thuộc lớp đơn vị là $0$, $2$, $8$ theo một thứ tự nào đó.
c) Số đó chia hết cho $5$ và tổng các chữ số của nó chia hết cho $9$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................