Tuyển tập 50 bài toán thực tế ứng dụng đạo hàm thi HSG cấp tỉnh 2024-2025

PHẦN I. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN (30 CÂU)

Câu 1 (0,5 điểm). Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm tổng chi phí $C(x) = 2x^3 - 30x^2 + 200x + 1000$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số lượng sản phẩm sản xuất ($x \in [1; 20]$, đơn vị: trăm sản phẩm). Chi phí biên $C'(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi sản xuất bao nhiêu trăm sản phẩm?

Câu 2 (0,5 điểm). Một trang trại cần làm một hàng rào hình chữ nhật có diện tích $800\text{ m}^2$, một mặt dựa vào bức tường đá có sẵn nên không cần rào. Chiều dài cạnh song song với bờ tường bằng bao nhiêu mét để tổng chiều dài hàng rào cần làm là ngắn nhất?

Câu 3 (0,5 điểm). Người ta muốn cắt bốn góc của một tấm bìa hình vuông cạnh $60\text{ cm}$ thành bốn hình vuông bằng nhau rồi gập các mép lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp có thể tích lớn nhất. Chiều dài cạnh hình vuông bị cắt bỏ bằng bao nhiêu centimét?

Câu 4 (0,5 điểm). Một lon nước ngọt dạng hình trụ có thể tích $330\text{ ml}$ ($330\text{ cm}^3$). Bán kính đáy $r$ (tính theo centimét) của lon phải bằng bao nhiêu để lượng kim loại dùng làm vỏ lon là nhỏ nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 5 (0,5 điểm). Nhà máy điện ở vị trí $A$ bên bờ một con sông thẳng rộng $0{,}5\text{ km}$. Một thị trấn nằm ở vị trí $B$ ở bờ bên kia, cách $A$ một khoảng $3\text{ km}$ theo phương dọc sông. Chi phí lắp dây cáp ngầm dưới nước là $50$ triệu đồng/km, trên cạn là $30$ triệu đồng/km. Người ta mắc cáp từ $A$ qua sông đến điểm $C$ trên bờ đối diện rồi nối dọc bờ sông từ $C$ đến $B$. Chi phí mắc dây cáp nhỏ nhất bằng bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 6 (0,5 điểm). Một rạp chiếu phim có sức chứa $800$ khán giả. Nếu giá vé là $80$ nghìn đồng thì trung bình mỗi buổi có $400$ khán giả. Rạp ước tính cứ mỗi lần giảm $5$ nghìn đồng tiền vé thì số khán giả tăng thêm $50$ người. Giá vé bán ra bằng bao nhiêu nghìn đồng để doanh thu của rạp trong mỗi buổi chiếu đạt cực đại?

Câu 7 (0,5 điểm). Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 120t$ (với $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét, $t \ge 0$). Vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t$ bằng bao nhiêu giây?

Câu 8 (0,5 điểm). Số lượng cá thể của một đàn vi khuẩn sau $t$ giờ được mô tả bởi hàm số $N(t) = \dfrac{10000}{1 + 9e^{-0{,}5t}}$. Tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn $N'(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t$ bằng bao nhiêu giờ? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 9 (0,5 điểm). Một người thợ gò hàn một máng xối dẫn nước bằng tôn có bề mặt mở ở trên. Tiết diện của máng là một hình thang cân với ba cạnh bằng nhau và bằng $20\text{ cm}$. Góc nghiêng $\alpha$ giữa cạnh bên và đáy dưới bằng bao nhiêu độ để diện tích mặt cắt ngang là lớn nhất?

Câu 10 (0,5 điểm). Một bảng quảng cáo hình chữ nhật được treo trên tường thẳng đứng, mép dưới bảng cách mắt người quan sát $2\text{ m}$, mép trên cách mắt người quan sát $4\text{ m}$. Người quan sát đứng cách bức tường một khoảng $x$ (mét) để góc trông bảng quảng cáo là lớn nhất. Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 11 (0,5 điểm). Một bể chứa nước bằng tôn có thể tích $36\text{ m}^3$, đáy là hình vuông, nắp hở. Chi phí làm đáy tôn là $120$ nghìn đồng/$\text{m}^2$, chi phí làm thành bên là $80$ nghìn đồng/$\text{m}^2$. Cạnh đáy của bể bằng bao nhiêu mét để tổng chi phí làm bể là nhỏ nhất?

Câu 12 (0,5 điểm). Một chiếc đèn được treo trên đường thẳng đứng vuông góc với mặt bàn tại tâm $O$. Độ rọi sáng $E$ tại một điểm trên mặt bàn cách $O$ một khoảng không đổi $a = 1\text{ m}$ tỉ lệ thuận với $\cos\theta$ (với $\theta$ là góc tới của tia sáng so với pháp tuyến) và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ nguồn sáng đến điểm đó, tức $E(h) = k\cdot\dfrac{h}{(h^2 + a^2)^{3/2}}$ ($k$ là hằng số dương, $h$ là độ cao treo đèn). Chiếc đèn nên được treo ở độ cao $h$ bằng bao nhiêu mét để độ rọi sáng tại điểm đó lớn nhất? (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 13 (0,5 điểm). Một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng từ độ cao $1{,}5\text{ m}$ với vận tốc ban đầu $v_0 = 24{,}5\text{ m/s}$. Gia tốc trọng trường $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$. Độ cao cực đại mà quả bóng đạt được so với mặt đất bằng bao nhiêu mét?

Câu 14 (0,5 điểm). Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu về sản phẩm là $P = 120 - 2Q$ và hàm tổng chi phí $TC = Q^2 + 30Q + 100$, trong đó $Q$ là sản lượng, $P$ là giá bán. Để tối đa hóa lợi nhuận thì doanh nghiệp cần sản xuất sản lượng $Q$ bằng bao nhiêu?

Câu 15 (0,5 điểm). Một người làm vườn cần rào một khu đất hình chữ nhật có diện tích $600\text{ m}^2$ rồi chia khu đất làm ba phần bằng hai hàng rào song song với một cạnh. Chiều dài tổng cộng của tất cả các đoạn hàng rào nhỏ nhất bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 16 (0,5 điểm). Cho một tấm nhôm hình chữ nhật kích thước $40\text{ cm} \times 60\text{ cm}$. Người ta cắt bốn hình vuông cạnh $x\text{ (cm)}$ ở bốn góc rồi gập mép để tạo thành một chiếc hộp chữ nhật không nắp. Thể tích hộp lớn nhất bằng bao nhiêu $\text{cm}^3$? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 17 (0,5 điểm). Một cửa hàng bán trà sữa khảo sát thấy nếu bán giá $30$ nghìn đồng/ly thì mỗi ngày bán được $300$ ly. Cứ tăng giá $2$ nghìn đồng/ly thì số lượng bán giảm $15$ ly. Chi phí vốn để sản xuất mỗi ly là $14$ nghìn đồng. Để lợi nhuận trong ngày cao nhất, cửa hàng nên định giá bán là bao nhiêu nghìn đồng/ly?

Câu 18 (0,5 điểm). Một đường ống dẫn nước từ trạm bơm $A$ đến nhà máy $B$ phải đi qua hai loại địa hình: đầm lầy và đất thịt. Trạm $A$ cách bờ đầm lầy $4\text{ km}$, $B$ cách bờ đầm lầy $6\text{ km}$, khoảng cách hình chiếu giữa $A$ và $B$ dọc theo bờ đầm lầy là $12\text{ km}$. Chi phí đặt ống qua đầm lầy gấp đôi chi phí qua đất thịt. Điểm tiếp giáp trên bờ đầm lầy cách hình chiếu của $A$ một khoảng $x\text{ (km)}$. Tìm $x$ để chi phí tối thiểu. (Làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 19 (0,5 điểm). Một chiếc cốc giấy hình nón có thể tích chứa được $100\pi\text{ cm}^3$ nước. Để tiết kiệm giấy nhất (diện tích xung quanh nhỏ nhất), tỉ số giữa bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ của nón bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 20 (0,5 điểm). Một người đi chèo thuyền từ điểm $A$ trên bờ hồ hình tròn bán kính $R = 1\text{ km}$ đến điểm $B$ đối diện qua đường kính. Người đó có thể chèo thuyền thẳng từ $A$ đến điểm $C$ trên bờ hồ với vận tốc $3\text{ km/h}$, sau đó đi bộ dọc theo bờ từ $C$ đến $B$ với vận tốc $6\text{ km/h}$. Thời gian ngắn nhất để người đó đi từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu phút? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 21 (0,5 điểm). Một sợi dây kim loại dài $20\text{ m}$ được cắt làm hai đoạn: một đoạn uốn thành hình vuông, một đoạn uốn thành tam giác đều. Tổng diện tích của hình vuông và tam giác đều nhỏ nhất khi cạnh hình vuông dài bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 22 (0,5 điểm). Nồng độ cồn trong máu (tính bằng mg/100 ml) của một người sau khi uống rượu được đo bởi hàm $C(t) = \dfrac{120t}{t^2 + 4}$, trong đó $t$ là số giờ sau khi uống rượu ($t \ge 0$). Nồng độ cồn đạt giá trị cao nhất bằng bao nhiêu mg/100 ml?

Câu 23 (0,5 điểm). Một bể chứa nhiên liệu dạng khối trụ có hai nửa mặt cầu gắn ở hai đầu. Chi phí sản xuất vỏ nửa mặt cầu đắt gấp đôi vỏ mặt trụ cho cùng một đơn vị diện tích. Nếu thể tích bể cố định bằng $V = 36\pi\text{ m}^3$, bán kính của nửa mặt cầu bằng bao nhiêu mét để chi phí sản xuất vỏ bể là nhỏ nhất?

Câu 24 (0,5 điểm). Bác nông dân muốn xây một hầm chứa biogas hình hộp chữ nhật có đáy hình chữ nhật với chiều dài gấp đôi chiều rộng, thể tích hầm bằng $288\text{ m}^3$. Tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh và nắp đáy nhỏ nhất bằng bao nhiêu $\text{m}^2$?

Câu 25 (0,5 điểm). Để cắt một khối gỗ hình trụ có đường kính đáy $d = 40\text{ cm}$ thành một cây xà dầm có tiết diện hình chữ nhật chịu lực uốn tốt nhất (độ bền uốn tỉ lệ thuận với $b \cdot h^2$, trong đó $b$ là chiều rộng và $h$ là chiều cao của mặt cắt chữ nhật). Chiều rộng $b$ của mặt cắt phải bằng bao nhiêu centimét? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 26 (0,5 điểm). Một chiếc diều bay ở độ cao không đổi $60\text{ m}$ được gió thổi di chuyển theo phương ngang với tốc độ $5\text{ m/s}$. Tại thời điểm chiều dài dây diều đã nhả ra là $100\text{ m}$, tốc độ nhả dây của người giữ diều bằng bao nhiêu $\text{m/s}$?

Câu 27 (0,5 điểm). Trong kinh tế học, sản lượng của một công ty được tính bằng hàm Cobb-Douglas: $Q = 100 K^{0{,}4} L^{0{,}6}$, trong đó vốn $K$ và lao động $L$ có giá lần lượt là $40$ USD và $60$ USD cho mỗi đơn vị. Ngân sách cố định là $12000$ USD. Để sản lượng $Q$ đạt cực đại thì cần sử dụng bao nhiêu đơn vị lao động $L$?

Câu 28 (0,5 điểm). Một người nông dân nuôi cá trong một hồ nuôi với mật độ $x$ (con/$\text{m}^3$). Khối lượng trung bình mỗi con cá khi thu hoạch sau một mùa được cho bởi $w(x) = (2 - 0{,}05x)\text{ kg}$ (với $0 < x < 40$). Mật độ thả cá $x$ bằng bao nhiêu để tổng sản lượng cá thu hoạch trên mỗi mét khối nước đạt giá trị lớn nhất?

Câu 29 (0,5 điểm). Một khu bảo tồn sinh thái ước lượng tốc độ lây lan của một loại sâu hại rừng theo thời gian $t$ (tuần) tuân theo mô hình $v(t) = t^2 \cdot e^{-0{,}2t}$ (ha/tuần). Tốc độ lây lan này đạt đỉnh cực đại vào tuần thứ mấy?

Câu 30 (0,5 điểm). Một cửa sổ có chu vi cố định là $6\text{ m}$, bao gồm một hình chữ nhật phía dưới và một hình bán nguyệt phía trên (đường kính của bán nguyệt chính là cạnh trên của hình chữ nhật). Để lượng ánh sáng qua cửa sổ là tối đa (diện tích cửa sổ lớn nhất), bán kính của hình bán nguyệt bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm).

PHẦN II. BÀI TOÁN TỰ LUẬN NÂNG CAO (20 CÂU)

Câu 31 (1,0 điểm). Một công ty kinh doanh bất động sản sở hữu khu chung cư gồm $120$ căn hộ cho thuê. Nếu giá thuê mỗi căn là $10$ triệu đồng/tháng thì tất cả các căn hộ đều được thuê hết. Cứ tăng giá thuê thêm $500$ nghìn đồng/tháng thì sẽ có $3$ căn hộ bị bỏ trống. Trung bình mỗi căn hộ cho thuê mất $1$ triệu đồng/tháng cho việc bảo trì, quản lý. Hãy xác định giá thuê tối ưu cho mỗi căn hộ để công ty thu về lợi nhuận ròng hàng tháng lớn nhất và tính số tiền lãi đó.

Câu 32 (1,0 điểm). Người ta cần làm một đường ống dẫn dầu nối từ một mỏ dầu ngoài khơi $P$ đến nhà máy lọc dầu $Q$ trên đất liền. Khoảng cách vuông góc từ $P$ đến đường bờ biển thẳng là $PA = 12\text{ km}$, nhà máy $Q$ nằm cách $A$ một khoảng $AQ = 30\text{ km}$ dọc theo bờ biển. Chi phí đặt $1\text{ km}$ đường ống dưới biển là $1{,}3$ triệu USD, trong khi chi phí đặt trên đất liền là $0{,}5$ triệu USD. Hãy thiết kế lộ trình đặt ống (nối từ $P$ đến điểm $M$ trên bờ biển, rồi từ $M$ đến $Q$) sao cho tổng chi phí là thấp nhất.

Câu 33 (1,0 điểm). Một chiếc lều cắm trại có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông. Thể tích không gian bên trong lều cần đạt đúng $36\text{ m}^3$. Hỏi chiều cao của chiếc lều phải bằng bao nhiêu để diện tích bạt cần dùng làm các mặt bên của lều là nhỏ nhất? (Bỏ qua mép gấp và đường may).

Câu 34 (1,0 điểm). Một người thợ mộc có một khối gỗ hình nón tròn xoay có bán kính đáy $R = 30\text{ cm}$ và chiều cao $H = 60\text{ cm}$. Bác muốn tiện từ khối nón đó một khối trụ tròn xoay có trục trùng với trục khối nón và có đáy nằm trên đáy nón. Xác định kích thước của khối trụ (bán kính đáy và chiều cao) để thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 35 (1,0 điểm). Một đoàn tàu chuyển động thẳng chậm dần đều khi vào ga từ thời điểm $t = 0$ với phương trình chuyển động $s(t) = 30t - 0{,}75t^2$ (trong đó $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét).
a) Tính thời gian từ lúc hãm phanh đến khi tàu dừng hẳn.
b) Tính quãng đường tàu đi được trong khoảng thời gian đó.
c) Tính gia tốc của chuyển động khi tàu hãm phanh.

Câu 36 (1,0 điểm). Một công ty lữ hành tổ chức một tour du lịch với quy định: Nếu đoàn có $40$ khách thì giá vé mỗi người là $3$ triệu đồng. Cứ có thêm $1$ khách tham gia thì giá vé của mỗi người trong đoàn lại giảm đi $50$ nghìn đồng (áp dụng cho đoàn tối đa $80$ khách). Chi phí cố định cho một chuyến đi là $20$ triệu đồng, chi phí phục vụ cho mỗi hành khách là $1{,}2$ triệu đồng. Hỏi đoàn khách có bao nhiêu người thì công ty đạt lợi nhuận lớn nhất?

Câu 37 (1,0 điểm). Cho một tấm tôn hình tròn có bán kính $R = 50\text{ cm}$. Người ta cắt bỏ đi một hình quạt tròn tâm $O$ rồi gập phần tôn còn lại thành mặt xung quanh của một cái phễu hình nón. Góc ở tâm $\alpha$ của hình quạt bị cắt bỏ phải bằng bao nhiêu độ để thể tích của chiếc phễu thu được là lớn nhất?

Câu 38 (1,0 điểm). Một kỹ sư muốn xây dựng một hành lang chữ L có chiều rộng hai nhánh vuông góc lần lượt là $a = 8\text{ m}$ và $b = 1\text{ m}$. Một thanh kim loại thẳng, cứng và mảnh được khiêng theo phương nằm ngang đi qua khúc quanh này. Tìm chiều dài tối đa của thanh kim loại để có thể di chuyển trơn tru qua góc hành lang mà không bị kẹt.

Câu 39 (1,0 điểm). Một bể chứa nước mưa có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy có chiều dài gấp đôi chiều rộng và dung tích chứa là $4\text{ m}^3$. Vật liệu làm đáy bể có giá $250.000\text{ đồng/m}^2$, vật liệu làm thành bể có giá $150.000\text{ đồng/m}^2$. Tìm các kích thước của bể (chiều dài, chiều rộng, chiều cao) để tổng chi phí mua vật liệu làm bể là tiết kiệm nhất.

Câu 40 (1,0 điểm). Một công ty độc quyền sản xuất một loại thuốc có hàm tổng chi phí $C(q) = 0{,}01q^3 - 1{,}5q^2 + 100q + 5000$, trong đó $q$ là số lượng hộp thuốc sản xuất ra. Chính phủ dự kiến đánh một mức thuế $t$ (đồng) trên mỗi hộp thuốc bán ra. Hãy xác định mức thuế $t$ trên mỗi đơn vị sản phẩm sao cho tổng số tiền thuế chính phủ thu được là lớn nhất, biết rằng hàm cầu của thị trường đối với sản phẩm này là $P(q) = 300 - q$.

Câu 41 (1,0 điểm). Một tấm kính hình tam giác đều cạnh $a = 60\text{ cm}$. Người ta muốn cắt từ tấm kính đó một tấm kính hình chữ nhật có diện tích lớn nhất (với một cạnh của hình chữ nhật nằm trên một cạnh của tam giác đều). Hãy tính kích thước và diện tích lớn nhất đó.

Câu 42 (1,0 điểm). Một hồ chứa nước nhân tạo có đập chắn nước bằng bê tông dạng hình chữ nhật cao $h = 10\text{ m}$, rộng $b = 20\text{ m}$. Lực đẩy tĩnh học của nước tác dụng lên thành đập theo độ sâu $y$ (tính từ mặt nước xuống đáy hồ) được cho bởi áp suất $p(y) = \rho g y$ ($\rho = 1000\text{ kg/m}^3, g = 9{,}8\text{ m/s}^2$). Bằng giải tích tích phân và đạo hàm, hãy xác định điểm đặt của hợp lực đẩy của nước trên thành đập (tâm áp lực) cách mặt nước bao nhiêu mét.

Câu 43 (1,0 điểm). Trong bài toán thiết kế khí động học, một đường dẫn khí có tiết diện ngang được giới hạn bởi parabol $y = 4 - x^2$ và trục hoành $Ox$. Người ta đặt bên trong một ống làm mát có tiết diện là một hình chữ nhật nội tiếp trong miền giới hạn đó (với một cạnh nằm trên trục hoành). Tìm diện tích lớn nhất của tiết diện ống làm mát.

Câu 44 (1,0 điểm). Một vận động viên bơi lội xuất phát từ điểm $A$ trên bờ biển muốn đến điểm $B$ trên một hòn đảo nhỏ. Khoảng cách từ đảo $B$ đến bờ biển thẳng là $d = 3\text{ km}$, chân đường vuông góc từ $B$ lên bờ biển là điểm $H$, khoảng cách $AH = 8\text{ km}$. Vận động viên có thể chạy bộ trên bờ với tốc độ $v_1 = 10\text{ km/h}$ và bơi trên biển với tốc độ $v_2 = 6\text{ km/h}$. Hỏi người đó nên chạy một đoạn bao xa trên bờ biển trước khi nhảy xuống nước bơi thẳng đến đảo để tổng thời gian di chuyển là ít nhất?

Câu 45 (1,0 điểm). Một hãng hàng không nhận thấy nếu giá vé máy bay chặng Hà Nội - Đà Nẵng là $1{,}2$ triệu đồng thì trung bình mỗi chuyến bay có $150$ khách. Cứ giảm giá vé $50$ nghìn đồng thì số lượng hành khách tăng thêm $20$ người. Chi phí vận hành cố định cho mỗi chuyến bay là $80$ triệu đồng, chi phí phục vụ mỗi hành khách (ăn uống, hành lý, bảo hiểm) là $200$ nghìn đồng. Máy bay có sức chứa tối đa $220$ hành khách. Để lợi nhuận của chuyến bay đạt mức cao nhất thì hãng hàng không nên định giá vé là bao nhiêu?

Câu 46 (1,0 điểm). Một chiếc xích đu được thả tự do từ vị trí góc lệch cực đại $\theta_0$. Vận tốc góc của con lắc tại góc lệch $\theta$ được cho bởi công thức $\omega(\theta) = \sqrt{\dfrac{2g}{l}(\cos\theta - \cos\theta_0)}$. Lực căng dây của xích đu có khối lượng vật nặng $m$ là $T(\theta) = mg(3\cos\theta - 2\cos\theta_0)$. Tìm vị trí của chiếc xích đu để lực căng dây đạt giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó bằng bao nhiêu?

Câu 47 (1,0 điểm). Người ta cần thiết kế một bể chứa chất lỏng có dạng hình trụ tròn xoay bằng thép có thể tích chứa $V = 128\pi\text{ m}^3$. Thép làm nắp bể và đáy bể dày gấp đôi thép làm thành bể, do đó chi phí cho mỗi mét vuông vật liệu đáy và nắp đắt gấp đôi chi phí cho mỗi mét vuông thành bên. Hãy tính tỉ số giữa chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ của hình trụ để chi phí vật liệu chế tạo bể là ít tốn kém nhất.

Câu 48 (1,0 điểm). Một người thợ mộc cần đóng một chiếc hộp gỗ kín dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, thể tích bằng $54\text{ dm}^3$. Giá tiền gỗ làm mặt trên và mặt dưới đáy là $20.000\text{ đồng/dm}^2$, giá tiền gỗ làm bốn mặt bên xung quanh là $15.000\text{ đồng/dm}^2$. Hãy tính chi phí mua gỗ nhỏ nhất để hoàn thành chiếc hộp này.

Câu 49 (1,0 điểm). Một khu đất hình elip có phương trình $\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{36} = 1$ (đơn vị tính bằng mét). Người ta muốn xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật nằm bên trong khu đất sao cho các cạnh của sân bóng song song với các trục tọa độ của elip. Tính diện tích lớn nhất của sân bóng đá có thể xây dựng được.

Câu 50 (1,0 điểm). Một nhà máy hóa chất cần trung hòa một lượng chất thải chứa axit trước khi xả ra môi trường. Nồng độ ion $\ce{H+}$ sau thời gian xử lý $t$ (phút) được cho bởi hàm số $C(t) = \dfrac{0{,}8t + 2}{t^2 + 2t + 5}$ (mol/lít).
a) Tìm tốc độ biến thiên của nồng độ chất thải theo thời gian $t$.
b) Nồng độ chất thải đạt mức cao nhất tại thời điểm nào và giá trị cực đại đó là bao nhiêu?

--------- HẾT ---------

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

BẢNG ĐÁP SỐ PHẦN I (CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN)

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT PHẦN I

Câu 1.
Chi phí biên $C'(x) = 6x^2 - 60x + 200$.
Xét hàm số $f(x) = C'(x)$ trên $[1; 20]$.
Đạo hàm: $f'(x) = 12x - 60 = 0 \Leftrightarrow x = 5$ (thỏa mãn $x \in [1; 20]$).
Vì đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên nên $C'(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 5$ (trăm sản phẩm).

Câu 2.
Gọi $x$ (m) là chiều dài cạnh song song với bức tường đá ($x > 0$).
Chiều rộng của mảnh đất là $\dfrac{800}{x}$ (m).
Tổng chiều dài hàng rào cần làm là $L(x) = x + 2 \cdot \dfrac{800}{x} = x + \dfrac{1600}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $L(x) \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{1600}{x}} = 80$.
Dấu bằng xảy ra khi $x = \dfrac{1600}{x} \Leftrightarrow x^2 = 1600 \Leftrightarrow x = 40\text{ m}$.

Câu 3.
Gọi $x$ là cạnh hình vuông bị cắt bỏ ($0 < x < 30$).
Đáy hộp là hình vuông cạnh $60 - 2x$ (cm), chiều cao hộp là $x$ (cm).
Thể tích hộp: $V(x) = x(60 - 2x)^2 = 4x(30 - x)^2$.
Đạo hàm: $V'(x) = (60 - 2x)^2 - 4x(60 - 2x) = (60 - 2x)(60 - 6x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$ hoặc $x = 30$ (loại).
Vậy $V(x)$ đạt cực đại khi $x = 10\text{ cm}$.

Câu 4.
Thể tích khối trụ: $V = \pi r^2 h = 330 \Rightarrow h = \dfrac{330}{\pi r^2}$.
Diện tích toàn phần của lon: $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \dfrac{660}{r}$ ($r > 0$).
Đạo hàm: $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{660}{r^2} = 0 \Leftrightarrow r^3 = \dfrac{165}{\pi} \approx 52{,}52 \Rightarrow r \approx 3{,}745 \approx 3{,}7\text{ cm}$.

Câu 5.
Gọi khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của $A$ lên bờ đối diện đến điểm $C$ là $x$ ($0 \le x \le 3$, km).
Đoạn dưới nước $AC = \sqrt{x^2 + 0{,}5^2} = \sqrt{x^2 + 0{,}25}$.
Đoạn trên cạn $CB = 3 - x$.
Tổng chi phí: $f(x) = 50\sqrt{x^2 + 0{,}25} + 30(3 - x)$.
Đạo hàm: $f'(x) = \dfrac{50x}{\sqrt{x^2 + 0{,}25}} - 30 = 0 \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{x^2 + 0{,}25} \Leftrightarrow 25x^2 = 9x^2 + 2{,}25 \Leftrightarrow 16x^2 = 2{,}25 \Leftrightarrow x = 0{,}375\text{ km}$.
Chi phí tối thiểu: $f(0{,}375) = 50\sqrt{0{,}375^2 + 0{,}25} + 30(3 - 0{,}375) = 50(0{,}625) + 30(2{,}625) = 31{,}25 + 78{,}75 = 110$ triệu đồng.
Ghi chú: Khi $x=3$, $f(3) \approx 152$; khi $x=0$, $f(0)=115$. Chi phí nhỏ nhất là $110$ triệu đồng (đáp số làm tròn chuẩn $110$).

Câu 6.
Gọi số lần giảm giá vé $5$ nghìn đồng là $x$ ($x \ge 0$).
Giá vé mới là $80 - 5x$ (nghìn đồng), số lượng khán giả là $400 + 50x$ (người).
Doanh thu: $R(x) = (80 - 5x)(400 + 50x) = -250x^2 + 2000x + 32000$.
Hàm bậc hai đạt cực đại tại $x = -\dfrac{2000}{2(-250)} = 4$.
Giá vé tối ưu: $80 - 5(4) = 60$ nghìn đồng.

Câu 7.
Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t + 120$.
Đây là parabol có đỉnh tại $t = -\dfrac{18}{2(-3)} = 3$ giây.
Tại $t = 3$, $v_{\max} = 147\text{ m/s}$.

Câu 8.
$N(t) = 10000(1 + 9e^{-0{,}5t})^{-1}$.
Đạo hàm: $N'(t) = 10000(-1)(1 + 9e^{-0{,}5t})^{-2} \cdot (-4{,}5e^{-0{,}5t}) = \dfrac{45000 e^{-0{,}5t}}{(1 + 9e^{-0{,}5t})^2}$.
Đặt $u = 9e^{-0{,}5t} > 0 \Rightarrow N'(t) = 5000 \cdot \dfrac{u}{(1 + u)^2}$.
Vì $\dfrac{u}{(1+u)^2} \le \dfrac{u}{4u} = \dfrac{1}{4}$, đạt cực đại khi $u = 1$.
$9e^{-0{,}5t} = 1 \Leftrightarrow -0{,}5t = -\ln 9 \Leftrightarrow t = 2\ln 9 = 4\ln 3 \approx 4{,}39 \approx 4{,}4$ giờ.

Câu 9.
Đáy dưới $b = 20$. Đáy trên $B = 20 + 2 \cdot 20\cos\alpha = 20 + 40\cos\alpha$.
Chiều cao $h = 20\sin\alpha$ (với $0 < \alpha < 90^\circ$).
Diện tích: $S(\alpha) = \dfrac{B + b}{2} \cdot h = (20 + 20\cos\alpha) \cdot 20\sin\alpha = 400(1 + \cos\alpha)\sin\alpha$.
Đạo hàm: $S'(\alpha) = 400[-\sin^2\alpha + (1 + \cos\alpha)\cos\alpha] = 400(2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1) = 0$.
$\Leftrightarrow (2\cos\alpha - 1)(\cos\alpha + 1) = 0 \Leftrightarrow \cos\alpha = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.

Câu 10.
Góc trông $\theta = \beta - \alpha$ với $\tan\beta = \dfrac{4}{x}$ và $\tan\alpha = \dfrac{2}{x}$.
$\tan\theta = \dfrac{\tan\beta - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan\alpha} = \dfrac{\frac{4}{x} - \frac{2}{x}}{1 + \frac{8}{x^2}} = \dfrac{2x}{x^2 + 8} = \dfrac{2}{x + \frac{8}{x}}$.
$\tan\theta$ lớn nhất khi $x + \dfrac{8}{x}$ nhỏ nhất, tức $x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\text{ m}$.

Câu 11.
Gọi cạnh đáy hình vuông là $x$ (m), chiều cao là $h$ (m).
$V = x^2 h = 36 \Rightarrow h = \dfrac{36}{x^2}$.
Tổng chi phí: $C(x) = 120 \cdot x^2 + 80 \cdot (4xh) = 120x^2 + \dfrac{11520}{x}$.
$C'(x) = 240x - \dfrac{11520}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 240x^3 = 11520 \Leftrightarrow x^3 = 48 \Rightarrow x \approx 3{,}63\text{ m}$.
Nếu chia đều tỉ lệ tròn nguyên: với đề thực tế cạnh đáy làm tròn nguyên $x = 4\text{ m}$ hoặc nghiệm chính xác $x = 2\sqrt[3]{6} \approx 3{,}63\text{ m}$.

Câu 12.
$E(h) = k \cdot h (h^2 + 1)^{-3/2}$.
$E'(h) = k \cdot \dfrac{(h^2 + 1)^{3/2} - h \cdot \frac{3}{2}(h^2 + 1)^{1/2} \cdot 2h}{(h^2 + 1)^3} = k \cdot \dfrac{(h^2 + 1)^{1/2}(1 - 2h^2)}{(h^2 + 1)^3} = 0 \Leftrightarrow h = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71\text{ m}$.

Câu 13.
Phương trình chuyển động: $y(t) = 1{,}5 + v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2 = 1{,}5 + 24{,}5t - 4{,}9t^2$.
Vận tốc: $v(t) = y'(t) = 24{,}5 - 9{,}8t = 0 \Leftrightarrow t = 2{,}5\text{ s}$.
Độ cao cực đại: $y(2{,}5) = 1{,}5 + 24{,}5(2{,}5) - 4{,}9(2{,}5)^2 = 32{,}125 \approx 32{,}1\text{ m}$.

Câu 14.
Hàm tổng doanh thu: $TR = P \cdot Q = (120 - 2Q)Q = 120Q - 2Q^2$.
Lợi nhuận: $\pi(Q) = TR - TC = (120Q - 2Q^2) - (Q^2 + 30Q + 100) = -3Q^2 + 90Q - 100$.
$\pi'(Q) = -6Q + 90 = 0 \Leftrightarrow Q = 15$.

Câu 15.
Gọi kích thước khu đất là $x$ và $y$ ($xy = 600 \Rightarrow y = \dfrac{600}{x}$).
Khu đất chia làm ba phần bởi hai hàng rào song song với cạnh dài $y$, nên có tất cả 4 đoạn dài $y$ và 2 đoạn dài $x$.
Tổng chiều dài hàng rào: $L(x) = 2x + 4y = 2x + \dfrac{2400}{x} \ge 2\sqrt{2x \cdot \dfrac{2400}{x}} = 2\sqrt{4800} \approx 138{,}56\text{ m}$.
Nếu song song với cạnh $x$: $L = 4x + 2y = 4x + \dfrac{1200}{x} \ge 2\sqrt{4800} \approx 138{,}56$.
Nếu chỉ có 2 hàng rào chắn ngoài và 2 vách ngăn trong: tổng độ dài là $2x + 4y$. Chiều dài nhỏ nhất là $80\sqrt{3} \approx 139\text{ m}$ (hoặc tùy theo cạnh rào).

Câu 16.
$V(x) = x(40 - 2x)(60 - 2x) = 4x(20 - x)(30 - x) = 4(x^3 - 50x^2 + 600x)$.
$V'(x) = 4(3x^2 - 100x + 600) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{50 - 10\sqrt{7}}{3} \approx 7{,}85\text{ cm}$.
Thay vào ta được $V_{\max} \approx 4500\text{ cm}^3$.

Câu 17.
Gọi số lần tăng $2$ nghìn đồng là $x$.
Giá bán: $P = 30 + 2x$. Lượng bán: $Q = 300 - 15x$.
Lợi nhuận mỗi ly: $(30 + 2x) - 14 = 16 + 2x$.
Tổng lợi nhuận: $\pi(x) = (16 + 2x)(300 - 15x) = -30x^2 + 360x + 4800$.
Cực đại tại $x = -\dfrac{360}{2(-30)} = 6$.
Giá bán tối ưu: $30 + 2(6) = 42$ nghìn đồng/ly.

Câu 18.
Đặt hàm chi phí $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + \sqrt{(12 - x)^2 + 36}$.
Khảo sát tìm điểm cực tiểu ta được $x \approx 2{,}3\text{ km}$.

Câu 19.
$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = 100\pi \Rightarrow h = \dfrac{300}{r^2}$.
Đường sinh $l = \sqrt{r^2 + h^2}$. Diện tích xung quanh: $S = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + \dfrac{90000}{r^4}} = \pi \sqrt{r^4 + \dfrac{90000}{r}}$.
Đạo hàm trong căn: $4r^3 - \dfrac{90000}{r^2} = 0 \Leftrightarrow r^5 = 22500 \Rightarrow r^2 = h\sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{r}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71$.

Câu 20.
Cung chắn góc ở tâm: thời gian tối thiểu đạt được khi giải bài toán tối ưu vận tốc $t = 26$ phút.

Câu 21.
Gọi cạnh hình vuông là $x$, cạnh tam giác đều là $y$.
$4x + 3y = 20 \Rightarrow y = \dfrac{20 - 4x}{3}$.
$S = x^2 + \dfrac{\sqrt{3}}{4}y^2$. Cực tiểu tại $x = \dfrac{20\sqrt{3}}{9 + 4\sqrt{3}} \approx 2{,}27\text{ m}$.

Câu 22.
$C'(t) = \dfrac{120(4 - t^2)}{(t^2 + 4)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 2$.
$C(2) = \dfrac{120(2)}{2^2 + 4} = 30\text{ mg/100 ml}$.

Câu 23.
Hai nửa mặt cầu ghép thành hình cầu bán kính $R$. Diện tích cầu là $4\pi R^2$, diện tích trụ là $2\pi R h$.
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 + \pi R^2 h = 36\pi$.
Khảo sát chi phí ta tìm được bán kính tối ưu $R = 3\text{ m}$.

Câu 24.
Đáy có các kích thước $x, 2x$ và chiều cao $h$.
$V = 2x^2 h = 288 \Rightarrow h = \dfrac{144}{x^2}$.
$S_{tp} = 2(2x^2) + 2(xh + 2xh) = 4x^2 + \dfrac{864}{x}$.
$S'_{tp} = 8x - \dfrac{864}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = 108 \Rightarrow S \approx 288\text{ m}^2$.

Câu 25.
Ta có $b^2 + h^2 = d^2 = 1600 \Rightarrow h^2 = 1600 - b^2$.
Hàm độ bền uốn: $f(b) = b(1600 - b^2) = 1600b - b^3$.
$f'(b) = 1600 - 3b^2 = 0 \Leftrightarrow b = \dfrac{40}{\sqrt{3}} \approx 23{,}1\text{ cm}$.

Câu 26.
Gọi $x$ là khoảng cách ngang của diều, $y = 60\text{ m}$ là độ cao.
Chiều dài dây $s = \sqrt{x^2 + 60^2}$.
Khi $s = 100 \Rightarrow x = 80\text{ m}$.
Đạo hàm theo thời gian: $s \cdot \dfrac{ds}{dt} = x \cdot \dfrac{dx}{dt} \Rightarrow \dfrac{ds}{dt} = \dfrac{80 \cdot 5}{100} = 4\text{ m/s}$.

Câu 27.
Phương trình ngân sách: $40K + 60L = 12000 \Rightarrow K = 300 - 1{,}5L$.
Hàm sản lượng cực đại khi tỉ lệ chi tiêu tuân theo hệ số Cobb-Douglas: $60L = 0{,}6 \times 12000 = 7200 \Rightarrow L = 120$.

Câu 28.
Sản lượng: $Y(x) = x \cdot w(x) = x(2 - 0{,}05x) = -0{,}05x^2 + 2x$.
Hàm số đạt cực đại tại đỉnh parabol $x = -\dfrac{2}{2(-0{,}05)} = 20\text{ con/m}^3$.

Câu 29.
$v'(t) = 2t e^{-0{,}2t} - 0{,}2 t^2 e^{-0{,}2t} = t(2 - 0{,}2t)e^{-0{,}2t} = 0 \Leftrightarrow t = 10$ tuần.

Câu 30.
Gọi bán kính nửa đường tròn là $r$, chiều cao hình chữ nhật là $h$.
Chu vi: $2r + 2h + \pi r = 6 \Rightarrow h = 3 - \dfrac{2 + \pi}{2}r$.
Diện tích: $S(r) = 2rh + \dfrac{1}{2}\pi r^2 = 2r\left(3 - \dfrac{2+\pi}{2}r\right) + \dfrac{\pi}{2}r^2 = 6r - \left(2 + \dfrac{\pi}{2}\right)r^2$.
Cực đại tại $r = \dfrac{6}{2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)} = \dfrac{6}{4 + \pi} \approx 0{,}84\text{ m}$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT PHẦN II (TỰ LUẬN NÂNG CAO)

Câu 31

Gọi $x$ là số lần tăng giá thuê $500$ nghìn đồng ($x \ge 0$).
- Giá thuê mới của mỗi căn hộ: $10 + 0{,}5x$ (triệu đồng/tháng).
- Số căn hộ có người thuê: $120 - 3x$ (căn hộ). Điều kiện: $0 \le x \le 40$.
- Lợi nhuận ròng từ mỗi căn hộ được thuê: $(10 + 0{,}5x) - 1 = 9 + 0{,}5x$ (triệu đồng/tháng).
- Tổng lợi nhuận ròng hàng tháng của công ty:

$$f(x) = (120 - 3x)(9 + 0{,}5x) = -1{,}5x^2 + 33x + 1080$$

- Đạo hàm: $f'(x) = -3x + 33 = 0 \Leftrightarrow x = 11$.
- Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 11$.
Kết luận:
- Giá thuê tối ưu mỗi căn: $10 + 0{,}5(11) = 15{,}5$ triệu đồng/tháng.
- Lợi nhuận ròng lớn nhất: $f(11) = 1261{,}5$ triệu đồng (khoảng $1{,}2615$ tỷ đồng/tháng).

Câu 32

Đặt $AM = x$ (km) với $0 \le x \le 30$.
- Khoảng cách đặt ống dưới biển: $PM = \sqrt{PA^2 + AM^2} = \sqrt{12^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 144}$ (km).
- Khoảng cách đặt ống trên đất liền: $MQ = AQ - AM = 30 - x$ (km).
- Tổng chi phí đặt đường ống:

$$C(x) = 1{,}3\sqrt{x^2 + 144} + 0{,}5(30 - x)\quad (\text{triệu USD})$$

- Đạo hàm:

$$C'(x) = \dfrac{1{,}3x}{\sqrt{x^2 + 144}} - 0{,}5$$

- Cho $C'(x) = 0 \Leftrightarrow 1{,}3x = 0{,}5\sqrt{x^2 + 144} \Leftrightarrow 1{,}69x^2 = 0{,}25(x^2 + 144) \Leftrightarrow 1{,}44x^2 = 36 \Leftrightarrow x = 5\text{ km}$.
- So sánh các giá trị biên:
+ $C(0) = 1{,}3(12) + 0{,}5(30) = 15{,}6 + 15 = 30{,}6$ triệu USD.
+ $C(30) = 1{,}3\sqrt{30^2 + 144} = 1{,}3\sqrt{1044} \approx 42$ triệu USD.
+ $C(5) = 1{,}3\sqrt{5^2 + 144} + 0{,}5(25) = 1{,}3(13) + 12{,}5 = 16{,}9 + 12{,}5 = 29{,}4$ triệu USD.
Kết luận: Điểm $M$ trên bờ biển cách $A$ một khoảng $5\text{ km}$ về phía nhà máy $Q$. Chi phí nhỏ nhất là $29{,}4$ triệu USD.

Câu 33

Gọi chiều cao của khối chóp là $h$ và độ dài cạnh đáy hình vuông là $a$ ($a, h > 0$).
- Thể tích: $V = \dfrac{1}{3}a^2 h = 36 \Rightarrow a^2 = \dfrac{108}{h}$.
- Trung đoạn của mặt bên hình chóp: $d = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{4}}$.
- Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{2} a \cdot d\right) = 2a \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{4}} = \sqrt{4a^2 h^2 + a^4}$$

Thay $a^2 = \dfrac{108}{h}$, ta có:

$$S_{xq}^2 = 4\left(\dfrac{108}{h}\right)h^2 + \left(\dfrac{108}{h}\right)^2 = 432h + \dfrac{11664}{h^2}$$

- Xét hàm $g(h) = 432h + \dfrac{11664}{h^2}$ với $h > 0$.

$$g'(h) = 432 - \dfrac{23328}{h^3} = 0 \Leftrightarrow h^3 = \dfrac{23328}{432} = 54 \Rightarrow h = \sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}\text{ m}$$

Kết luận: Chiều cao chiếc lều bằng $3\sqrt[3]{2}\text{ m}$ (khoảng $3{,}78\text{ m}$).

Câu 34

Gọi bán kính đáy và chiều cao của khối trụ lần lượt là $r$ và $h$ ($0 < r < 30, 0 < h < 60$).
- Dựa vào thiết diện qua trục và tính chất tam giác đồng dạng:

$$\dfrac{H - h}{H} = \dfrac{r}{R} \Leftrightarrow \dfrac{60 - h}{60} = \dfrac{r}{30} \Rightarrow h = 60 - 2r$$

- Thể tích khối trụ:

$$V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2(60 - 2r) = 2\pi(30r^2 - r^3)$$

- Đạo hàm:

$$V'(r) = 2\pi(60r - 3r^2) = 6\pi r(20 - r) = 0 \Leftrightarrow r = 20\text{ cm}\quad (\text{do } r > 0)$$

- Khi $r = 20\text{ cm}$, suy ra $h = 60 - 2(20) = 20\text{ cm}$.
Kết luận: Khối trụ có bán kính đáy $r = 20\text{ cm}$ và chiều cao $h = 20\text{ cm}$. Thể tích lớn nhất bằng $8000\pi\text{ cm}^3$.

Câu 35

a) Vận tốc tức thời của đoàn tàu là:

$$v(t) = s'(t) = 30 - 1{,}5t\quad (\text{m/s})$$

Tàu dừng hẳn khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow 30 - 1{,}5t = 0 \Leftrightarrow t = 20$ giây.

b) Quãng đường tàu đi được từ khi hãm phanh đến khi dừng hẳn:

$$s(20) = 30(20) - 0{,}75(20^2) = 600 - 300 = 300\text{ m}$$

c) Gia tốc của đoàn tàu là:

$$a(t) = v'(t) = s''(t) = -1{,}5\text{ m/s}^2$$

Đây là chuyển động chậm dần đều với gia tốc có độ lớn $1{,}5\text{ m/s}^2$.

Câu 36

Gọi số hành khách tham gia chuyến đi là $x$ ($40 \le x \le 80$, $x \in \mathbb{N}$).
- Giá vé mỗi người: $P(x) = 3 - 0{,}05(x - 40) = 5 - 0{,}05x$ (triệu đồng).
- Doanh thu của chuyến đi:

$$R(x) = x \cdot P(x) = x(5 - 0{,}05x) = 5x - 0{,}05x^2$$

- Tổng chi phí của chuyến đi:

$$C(x) = 20 + 1{,}2x$$

- Lợi nhuận của công ty lữ hành:

$$\pi(x) = R(x) - C(x) = -0{,}05x^2 + 3{,}8x - 20$$

- Đạo hàm: $\pi'(x) = -0{,}1x + 3{,}8 = 0 \Leftrightarrow x = 38$.
- Vì $x \in [40; 80]$ nên hàm bậc hai nghịch biến trên $[38; 80]$.
Do đó trên đoạn $[40; 80]$, lợi nhuận lớn nhất đạt được tại $x = 40$.
Kết luận: Công ty thu lợi nhuận lớn nhất khi đoàn có $40$ người (lợi nhuận là $52$ triệu đồng).

Câu 37

Độ dài cung tròn của phần tôn làm phễu: $l = 2\pi R \cdot \dfrac{360^\circ - \alpha}{360^\circ} = 2\pi r$, trong đó $r$ là bán kính đáy hình nón.
Suy ra $r = R \cdot \dfrac{360^\circ - \alpha}{360^\circ}$. Đặt $k = \dfrac{r}{R}$ ($0 < k < 1$).
- Chiều cao hình nón: $h = \sqrt{R^2 - r^2} = R\sqrt{1 - k^2}$.
- Thể tích khối nón:

$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi R^3 k^2 \sqrt{1 - k^2}$$

- Khảo sát hàm $f(k) = k^4(1 - k^2) = k^4 - k^6$:

$$f'(k) = 4k^3 - 6k^5 = 2k^3(2 - 3k^2) = 0 \Leftrightarrow k = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$$

- Từ đó: $\dfrac{360^\circ - \alpha}{360^\circ} = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \Rightarrow \alpha = 360^\circ\left(1 - \sqrt{\dfrac{2}{3}}\right) \approx 66{,}06^\circ$.
Kết luận: Cần cắt góc ở tâm khoảng $66^\circ$.

Câu 38

Giả sử thanh kim loại tạo với một vách tường góc nhọn $\theta$ ($0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$).
Chiều dài đoạn thẳng giới hạn bởi hai vách tường đi qua điểm góc ngoặt là:

$$L(\theta) = \dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta} = \dfrac{8}{\sin\theta} + \dfrac{1}{\cos\theta}$$

Để thanh có thể quay lọt qua góc hành lang thì chiều dài của thanh không được vượt quá giá trị nhỏ nhất của $L(\theta)$.
- Đạo hàm:

$$L'(\theta) = -\dfrac{8\cos\theta}{\sin^2\theta} + \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{\sin^3\theta - 8\cos^3\theta}{\sin^2\theta \cos^2\theta}$$

- $L'(\theta) = 0 \Leftrightarrow \tan^3\theta = 8 \Leftrightarrow \tan\theta = 2$.
- Khi $\tan\theta = 2 \Rightarrow \sin\theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, \cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
- Giá trị cực tiểu:

$$L_{\min} = \dfrac{8}{\frac{2}{\sqrt{5}}} + \dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 4\sqrt{5} + \sqrt{5} = 5\sqrt{5}\text{ m}$$

Kết luận: Chiều dài tối đa của thanh là $5\sqrt{5}\text{ m} \approx 11{,}18\text{ m}$.

Câu 39

Gọi chiều rộng đáy bể là $x$ (m, $x > 0$), chiều dài đáy là $2x$ (m).
Gọi chiều cao của bể là $h$ (m).
- Thể tích: $V = 2x^2 h = 4 \Rightarrow h = \dfrac{2}{x^2}$.
- Diện tích đáy: $S_đ = 2x^2$.
- Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2(x \cdot h + 2x \cdot h) = 6xh = 6x \cdot \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{12}{x}$.
- Chi phí vật liệu: