Đề ôn tập chuyên đề GTLN - GTNN và Toạ độ vectơ Oxyz - Toán 12

PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (20 câu – 4,0 điểm)

Câu 1 (0,2 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 2 (0,2 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ bằng

Câu 3 (0,2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 2}$ trên đoạn $[3; 5]$.

Câu 4 (0,2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$.

Câu 5 (0,2 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 3]$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1; 3]$ lần lượt là

Câu 6 (0,2 điểm). Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $5$. Tham số thực $m$ bằng

Câu 7 (0,2 điểm). Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 2$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc tức thời $v(t) = s'(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm nào?

Câu 8 (0,2 điểm). Một công ty sản xuất sản phẩm với hàm chi phí tổng cộng là $C(x) = 0{,}02x^2 + 10x + 800$ (nghìn đồng), trong đó $x$ là số sản phẩm ($1 \le x \le 500$). Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là $\overline{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. Chi phí trung bình đạt giá trị nhỏ nhất khi sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Câu 9 (0,2 điểm). Một người thợ gò một bể chứa nước bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông, thể tích bằng $4\text{ m}^3$. Để lượng tôn sử dụng ít nhất (bỏ qua mép gò), cạnh đáy của hộp phải bằng

Câu 10 (0,2 điểm). Nồng độ của một loại thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm $t$ giờ được xác định bởi công thức $C(t) = \dfrac{0{,}4t}{t^2 + 4}\text{ (mg/ml)}$ với $t \ge 0$. Nồng độ thuốc cao nhất trong máu đạt được sau khi tiêm bao nhiêu giờ?

Câu 11 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; -1)$ và $B(3; 0; 1)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

Câu 12 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là

Câu 13 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2; -3; 5)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là

Câu 14 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; -2; 2)$ và $\vec{v} = (3; 1; -1)$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng

Câu 15 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, độ dài của vectơ $\vec{a} = (-2; 1; 2)$ bằng

Câu 16 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 3; 2)$, $B(-2; 1; 0)$, $C(4; -1; 1)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

Câu 17 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và $\vec{v} = (0; 1; 1)$ bằng

Câu 18 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; m; 2)$ và $\vec{b} = (2; -1; 1)$. Tìm tham số $m$ để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau.

Câu 19 (0,2 điểm). Một thiết bị bay không người lái (drone) cất cánh từ mặt đất tại điểm gốc $O(0; 0; 0)$, bay thẳng đều đến vị trí $M$ có tọa độ $(40; 30; 120)$ (đơn vị đo tính bằng mét). Khoảng cách từ vị trí xuất phát $O$ đến vị trí $M$ bằng

Câu 20 (0,2 điểm). Ba lực $\vec{F}_1 = (10; 20; 30)$, $\vec{F}_2 = (-5; 15; -10)$ và $\vec{F}_3 = (x; y; z)$ (đơn vị: Newton) cùng tác dụng vào một vật đặt tại gốc tọa độ. Biết vật ở trạng thái cân bằng lực ($\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}$). Tọa độ của lực $\vec{F}_3$ là

PHẦN II. CÂU HỎI TỰ LUẬN (30 câu – 6,0 điểm)

Chủ đề 1: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (15 câu)

Câu 1 (0,2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ trên đoạn $[-2; 4]$.

Câu 2 (0,2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ trên đoạn $[2; 4]$.

Câu 3 (0,2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \sqrt{4 - x^2}$.

Câu 4 (0,2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^2 + \dfrac{16}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Câu 5 (0,2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = \sin^2 x - 4\sin x + 5$.

Câu 6 (0,2 điểm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $2$.

Câu 7 (0,2 điểm). Cho hàm số $f(x) = \dfrac{2x + m}{x + 1}$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\max_{[0; 2]} f(x) = 3$.

Câu 8 (0,2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ trên đoạn $[0; 4]$.

Câu 9 (0,2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x\sqrt{9 - x^2}$ với $0 \le x \le 3$.

Câu 10 (0,2 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^2 (x + 2)(x - 3)$. Xác định điểm tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3; 4]$.

Câu 11 (0,2 điểm). Một xưởng cơ khí cần làm một thùng chứa hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $V = 500\text{ dm}^3$, đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Tính chiều cao của thùng để diện tích vật liệu tôn cần dùng là nhỏ nhất (bỏ qua mép hàn).

Câu 12 (0,2 điểm). Người ta muốn rào quanh một khu đất hình chữ nhật có diện tích $800\text{ m}^2$, một cạnh của khu đất giáp bờ sông thẳng nên không cần rào. Hỏi chiều dài ba cạnh còn lại cần rào như thế nào để tổng chiều dài hàng rào là ngắn nhất?

Câu 13 (0,2 điểm). Một công ty sản xuất một loại hóa chất độc quyền. Chi phí để sản xuất $x$ lít hóa chất mỗi ngày là $C(x) = 2x^2 + 40x + 1800$ (nghìn đồng). Hàm giá bán của mỗi lít hóa chất theo sản lượng $x$ là $P(x) = 280 - x$ (nghìn đồng/lít). Hãy tìm sản lượng $x$ hàng ngày để lợi nhuận của công ty đạt giá trị lớn nhất.

Câu 14 (0,2 điểm). Để giảm thiểu chi phí truyền tải điện năng, một trạm biến áp đặt tại điểm $A$ bên bờ sông thẳng rộng $300\text{ m}$ cần cấp điện cho một trạm tiêu thụ $B$ ở bờ đối diện. Trạm $B$ cách đường vuông góc hạ từ $A$ sang bờ đối diện một đoạn $800\text{ m}$. Chi phí kéo cáp ngầm dưới nước là $50$ triệu đồng/km, chi phí kéo cáp trên bờ là $30$ triệu đồng/km. Hãy xác định vị trí tiếp bờ $C$ để tổng chi phí kéo đường dây từ $A$ đến $B$ qua $C$ là thấp nhất.

Câu 15 (0,2 điểm). Một máng dẫn nước có mặt cắt ngang là hình thang cân với đáy nhỏ bằng $20\text{ cm}$, hai cạnh bên bằng $20\text{ cm}$. Góc nghiêng $\alpha$ giữa hai cạnh bên và phương thẳng đứng phải bằng bao nhiêu độ để diện tích mặt cắt ngang lớn nhất (giúp dẫn lưu lượng nước nhiều nhất)?

Chủ đề 2: Tọa độ vectơ và điểm trong không gian Oxyz (15 câu)

Câu 16 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; -1; 2)$, $B(3; 1; 0)$ và $C(0; 2; -1)$.
a) Tìm tọa độ vectơ $\vec{u} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{BC}$.
b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Câu 17 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2; -3; 4)$.
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên các trục tọa độ $Ox$, $Oy$, $Oz$.
b) Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với điểm $A$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.

Câu 18 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 2; -2)$ và $\vec{b} = (-2; 1; 2)$. Tính:
a) Độ dài của các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.
b) Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

Câu 19 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có các đỉnh $A(1; 0; 2)$, $B(-1; 2; 4)$ và $C(3; -2; 1)$.
a) Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $BC$.
b) Tính độ dài đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$.

Câu 20 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{u} = (2; -1; 3)$, $\vec{v} = (1; 0; -2)$ và $\vec{w} = (7; -2; m)$. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để ba vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ đồng phẳng.

Câu 21 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; -3)$ và $B(3; -2; 1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho tam giác $MAB$ cân tại $M$.

Câu 22 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(2; 1; -1)$, $B(0; 3; 1)$, $C(-1; 0; 2)$.
a) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$.

Câu 23 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 3; -2)$ và $B(4; -1; 3)$. Tìm tọa độ điểm $N$ trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $AN = 2NB$.

Câu 24 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $D(0; 2; 0)$ và $A'(0; 0; 4)$.
a) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Tính tọa độ vectơ trọng tâm $G$ của tứ diện $A'BCD'$.

Câu 25 (0,2 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1; 1; 1)$, $B(2; 3; 4)$, $C(6; 5; 2)$ và $D(m; 2; 0)$. Tìm $m$ để bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Câu 26 (0,2 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2$. Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc $O$ trùng với đỉnh $A$, các tia $Ox, Oy, Oz$ lần lượt chứa các cạnh $AB, AD, AA'$.
a) Xác định tọa độ các điểm $B', C, D'$.
b) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Câu 27 (0,2 điểm). Một căn phòng hình hộp chữ nhật có kích thước dài $8\text{ m}$, rộng $6\text{ m}$ và cao $4\text{ m}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc $O$ là một góc nhà trên sàn, sàn nhà thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, chiều dài dọc theo trục $Ox$, chiều rộng dọc theo trục $Oy$ và chiều cao dọc theo trục $Oz$. Người ta treo một bóng đèn chùm tại điểm $S$ chính giữa trần nhà và đặt một chậu cây cảnh tại điểm $M$ trên sàn nhà có tọa độ $(2; 2; 0)$. Hãy tính khoảng cách từ chậu cây $M$ đến bóng đèn chùm $S$.

Câu 28 (0,2 điểm). Một trạm phát sóng ra đa hàng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ trên mặt đất. Một máy bay dân dụng bay thẳng đều từ điểm $A(100; 200; 10)$ đến điểm $B(300; 400; 10)$ (đơn vị tọa độ tính theo kilomet, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời).
a) Tính độ dài quãng đường máy bay đã bay từ $A$ đến $B$.
b) Tìm vị trí trên đường bay $AB$ mà máy bay ở khoảng cách gần trạm ra đa $O$ nhất và tính khoảng cách đó.

Câu 29 (0,2 điểm). Một vật nặng được giữ cân bằng bởi ba sợi dây cáp không giãn gắn vào trần nhà nằm ngang tại ba điểm $A(1; 0; 3)$, $B(-1; \sqrt{3}; 3)$, $C(-1; -\sqrt{3}; 3)$ và cùng hội tụ tại điểm treo vật $S(0; 0; 0)$ (đơn vị mét). Biết lực căng tác dụng lên mỗi sợi dây cáp hướng dọc theo sợi dây và trọng lượng của vật là $P = 600\text{ N}$ hướng theo phương thẳng đứng chiều từ trên xuống dưới ($\vec{P} = (0; 0; -600)$). Do tính đối xứng, độ lớn lực căng của ba sợi dây bằng nhau ($|\vec{T}_A| = |\vec{T}_B| = |\vec{T}_C| = T$). Hãy tìm độ lớn $T$ của mỗi lực căng.

Câu 30 (0,2 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một người quan sát chuyển động của hai tàu thủy trên biển. Lúc $8$ giờ sáng, tàu thứ nhất ở vị trí $A(1; 2; 0)$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc $\vec{v}_1 = (3; 4; 0)\text{ (hải lý/giờ)}$; cùng thời điểm đó tàu thứ hai ở vị trí $B(10; 8; 0)$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc $\vec{v}_2 = (-1; 1; 0)\text{ (hải lý/giờ)}$.
a) Thiết lập tọa độ vị trí của mỗi tàu theo thời gian $t$ (giờ, tính từ $8$ giờ sáng).
b) Xác định thời điểm trong ngày mà khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất và tính khoảng cách ngắn nhất đó.

Câu 31 (0,2 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất nằm ngang, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Một máy bay cất cánh từ sân bay, động cơ tạo cho máy bay vận tốc riêng đối với không khí là $\vec{v}_1 = (400; 300; 50)\text{ (km/h)}$. Trong lúc bay, máy bay chịu tác động của một luồng gió thổi đều với vận tốc $\vec{v}_2 = (-40; 20; -10)\text{ (km/h)}$.

[Hình vẽ]

a) Tìm vectơ vận tốc thực tế $\vec{v}$ của máy bay đối với mặt đất và tính tốc độ thực tế của máy bay (làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị $\text{km/h}$).
b) Giả sử máy bay duy trì vận tốc thực tế $\vec{v}$ này trong $15$ phút kể từ vị trí ban đầu $A(20; 30; 2)$. Hãy xác định tọa độ vị trí của máy bay sau $15$ phút đó.

Câu 32 (0,2 điểm). Trong hệ thống kiểm soát không lưu, hai chiếc máy bay thương mại $M_1$ và $M_2$ đang di chuyển trên hai hành lang bay thẳng đều khác nhau. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: kilômét), lúc $9$ giờ sáng:
- Máy bay $M_1$ ở vị trí $A(100; 200; 10)$ và bay với vectơ vận tốc $\vec{v}_1 = (600; 800; 0)\text{ (km/h)}$.
- Máy bay $M_2$ ở vị trí $B(250; 50; 11)$ và bay với vectơ vận tốc $\vec{v}_2 = (300; 1200; 0)\text{ (km/h)}$.

[Hình vẽ]

a) Viết biểu thức tọa độ của mỗi máy bay theo thời gian $t$ (giờ, tính từ $9$ giờ sáng).
b) Quy chuẩn an toàn hàng không yêu cầu khoảng cách giữa hai máy bay tại cùng thời điểm không được nhỏ hơn $10\text{ km}$. Hỏi trong quá trình bay sau $9$ giờ sáng, có thời điểm nào hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn nêu trên hay không? Vì sao?

Câu 33 (0,2 điểm). Một máy bay đang ở giai đoạn hạ cánh tiếp cận đường băng của sân bay. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: kilômét), mặt đất nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$, đầu đường băng tiếp đất tại điểm tiếp xúc $H(2; 5; 0)$. Khi bắt đầu hạ độ cao, máy bay ở vị trí $P(26; 41; 3)$. Máy bay hạ cánh theo đường bay thẳng từ $P$ về phía $H$.

[Hình vẽ]

a) Tìm vectơ chỉ phương của đường bay $\overrightarrow{HP}$ và tính độ dài quãng đường máy bay di chuyển từ $P$ đến khi chạm mặt đất tại $H$.
b) Tính góc nghiêng tiếp cận $\alpha$ (góc giữa đường bay $PH$ và mặt phẳng mặt đất $(Oxy)$), làm tròn kết quả đến độ phút. Tiêu chuẩn góc hạ cánh an toàn thông thường nằm trong khoảng từ $2{,}5^\circ$ đến $3{,}5^\circ$. Đường bay tiếp cận trên có đạt tiêu chuẩn an toàn thông thường không?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................