Đề kiểm tra Cuối học kỳ I môn Toán 12 - Năm học 2026 - 2027

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm

Câu 3 (0,25 điểm). Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 5}{x + 2}$ là đường thẳng

Câu 4 (0,25 điểm). Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau?

[Đồ thị]

Câu 5 (0,25 điểm). Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 6 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; -3; 1)$ và $B(5; 1; -2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 8 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $P(-2; 4; 5)$ lên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ có tọa độ là

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (2; -1; 3)$ và $\vec{v} = (-3; 2; 1)$. Tọa độ của vectơ $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Một trang trại đo khối lượng của 60 củ cải đường ngẫu nhiên thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Câu 11 (0,25 điểm). Một mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian hoàn thành một bài kiểm tra có phương sai $s^2 = 48$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Lượng điện tiêu thụ (đơn vị: kWh) trong một tháng của 25 hộ gia đình được ghi lại ở bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào dưới đây?

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{4 - x^2}{x}$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 0$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y = -x$.
c) Đạo hàm của hàm số là $y' = \dfrac{-x^2 - 4}{x^2}$.
d) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 3; -2)$, $B(3; -1; 4)$ và $C(5; 2; -1)$.
a) Vectơ $\overrightarrow{OA}$ có tọa độ là $(1; 3; -2)$.
b) Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $2\sqrt{14}$.
c) Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là $M(2; 1; 1)$.
d) Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì tọa độ đỉnh $D$ là $D(3; 6; -7)$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Lấy điểm $P$ trên cạnh $BB'$ sao cho $B'P = \dfrac{1}{3}BB'$ và điểm $Q$ là trung điểm của cạnh $DD'$.

[Hình vẽ]

a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.
b) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}$ bằng $a\sqrt{2}$.
c) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A'D}$ bằng $60^\circ$.
d) Tích vô hướng $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{A'C'} = 2a^2$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một kiến trúc sư muốn thiết kế một khung cửa sổ gồm phần dưới là hình chữ nhật và phần trên là nửa hình tròn (hình bán nguyệt) gắn khít với nhau. Chu vi toàn bộ đường bao quanh bên ngoài của khung cửa sổ (gồm 3 cạnh của hình chữ nhật và đường cong bán nguyệt) được làm bằng $10\text{ m}$ khung nhôm định hình. Gọi $x$ (mét) là chiều rộng của hình chữ nhật (đồng thời là đường kính của nửa hình tròn, $x > 0$) và $y$ (mét) là chiều cao của phần hình chữ nhật ($y > 0$).

[Hình vẽ]

a) Độ dài đường cong bán nguyệt phía trên tính theo $x$ là $\dfrac{\pi x}{2}\text{ (m)}$.
b) Mối liên hệ giữa $y$ và $x$ là $y = 5 - \dfrac{(4 + \pi)x}{4}$.
c) Diện tích toàn bộ khung cửa sổ là $S(x) = 5x - \dfrac{(4 + \pi)x^2}{8}\text{ (m}^2\text{)}$.
d) Khung cửa đón được nhiều ánh sáng nhất (diện tích lớn nhất) khi chiều rộng $x = \dfrac{20}{4 + \pi}\text{ (m)}$.

PHẦN III. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 12x + 1$ trên đoạn $[-1; 3]$ bằng bao nhiêu?

Câu 2 (0,5 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; -1)$, $B(4; 1; 2)$ và $C(-1; m; 3)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Câu 3 (0,5 điểm). Hai kho hàng $A$ và $B$ nằm cùng một phía dọc theo một con kênh thẳng. Khoảng cách từ kho $A$ và kho $B$ đến bờ kênh lần lượt là $AH = 120\text{ m}$ và $BK = 360\text{ m}$. Khoảng cách giữa hai hình chiếu $H$ và $K$ trên bờ kênh là $HK = 640\text{ m}$. Người ta muốn xây dựng một trạm tiếp nhiên liệu $M$ nằm trên bờ kênh đoạn giữa $H$ và $K$ để cung cấp cho cả hai kho. Tổng độ dài đường ống dẫn từ trạm $M$ đến hai kho $A$ và $B$ ngắn nhất bằng bao nhiêu mét?

Câu 4 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(5; -1; 2)$ và $B(-1; 5; -4)$. Điểm $M(a; b; c)$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AM = 2MB$. Tính giá trị của biểu thức $T = a + 2b - c$.

Câu 5 (0,5 điểm). Một công ty cơ khí dự định dập một thùng chứa bằng inox hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích đúng bằng $36\text{ m}^3$. Đáy thùng là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Hỏi diện tích xung quanh và đáy của thùng nhỏ nhất bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Câu 6 (0,5 điểm). Số lượng giao dịch trực tuyến mỗi ngày của một sàn thương mại điện tử trong một tháng được thống kê bởi biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

[Biểu đồ]

Tìm khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Cán bộ chấm thi bám sát đáp án và thang điểm chuẩn của Sở GD&ĐT.
- Thí sinh làm theo các cách khác nhau nếu đúng bản chất toán học vẫn cho điểm tối đa tương ứng của từng ý/câu.
- Điểm toàn bài tính theo thang điểm 10,0; làm tròn theo quy định chấm thi trắc nghiệm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo:
- Đúng 1 ý trong một câu: được 0,10 điểm.
- Đúng 2 ý trong một câu: được 0,25 điểm.
- Đúng 3 ý trong một câu: được 0,50 điểm.
- Đúng cả 4 ý trong một câu: được 1,00 điểm.

PHẦN III. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG BƯỚC

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1. Dựa vào bảng biến thiên, dấu của đạo hàm $y' > 0$ trên các khoảng $(-2; 0)$ và $(2; +\infty)$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-2; 0)$. Chọn B.

Câu 2. Hàm số đổi dấu đạo hàm từ dương sang âm khi đi qua điểm $x = -1$, suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$. Chọn D.

Câu 3. Ta có $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x - 5}{x + 2} = 2$. Do đó tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$. Chọn A.

Câu 4. Đồ thị là hàm bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có nét cuối đi lên nên $a > 0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0; 2)$ nên $d = 2$. Đạt cực đại tại $(-1; 4)$ và cực tiểu tại $(1; 0)$. Với $y = x^3 - 3x + 2$, ta có $y' = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$; $y(-1) = 4, y(1) = 0$. Khớp hoàn toàn. Chọn C.

Câu 5. Đồ thị có tiệm cận đứng $x = 1$. Tiệm cận xiên: $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \dfrac{1}{x - 1} \Rightarrow y = x$. Cực trị tại $x = 0 \ (y = -1)$ và $x = 2 \ (y = 3)$. Đồ thị hàm số ở câu A thỏa mãn. Chọn A.

Câu 6. $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (5 - 2; 1 - (-3); -2 - 1) = (3; 4; -3)$. Chọn A.

Câu 7. Theo quy tắc trừ vectơ: $\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{CD}$. Do đó khẳng định $\overrightarrow{SD} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{CD}$ là sai. Chọn D.

Câu 8. Điểm chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(Oxz)$ giữ nguyên hoành độ và cao độ, tung độ bằng $0$. Vậy điểm cần tìm là $(-2; 0; 5)$. Chọn A.

Câu 9. $2\vec{u} = (4; -2; 6)$, $3\vec{v} = (-9; 6; 3) \Rightarrow \vec{w} = (4 - (-9); -2 - 6; 6 - 3) = (13; -8; 3)$. Chọn A.

Câu 10. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R = 550 - 300 = 250$. Chọn B.

Câu 11. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai: $s = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Chọn A.

Câu 12. Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $125; 175; 225; 275; 325$.
Số trung bình:

$$\bar{x} = \dfrac{3 \cdot 125 + 8 \cdot 175 + 9 \cdot 225 + 4 \cdot 275 + 1 \cdot 325}{25} = \dfrac{375 + 1400 + 2025 + 1100 + 325}{25} = \dfrac{5225}{25} = 209 \in [200; 250).$$

Chọn C.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1. Cho $y = \dfrac{4 - x^2}{x} = \dfrac{4}{x} - x$.
- a) Đúng. Mẫu số $x \ne 0 \Rightarrow D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
- b) Đúng. $\lim\limits_{x \to 0^+} y = +\infty \Rightarrow x = 0$ là TCĐ. Vì $\lim\limits_{x \to \pm\infty} [y - (-x)] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{4}{x} = 0 \Rightarrow y = -x$ là TCX.
- c) Đúng. $y' = \dfrac{-2x \cdot x - (4 - x^2)}{x^2} = \dfrac{-x^2 - 4}{x^2}$.
- d) Sai. Vì $y' = -\dfrac{x^2 + 4}{x^2} < 0, \forall x \ne 0$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$.

Câu 2. Ba điểm $A(1; 3; -2), B(3; -1; 4), C(5; 2; -1)$.
- a) Đúng. $\overrightarrow{OA} = (1; 3; -2)$.
- b) Đúng. $\overrightarrow{AB} = (2; -4; 6) \Rightarrow AB = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
- c) Đúng. $M = \left(\dfrac{1+3}{2}; \dfrac{3-1}{2}; \dfrac{-2+4}{2}\right) = (2; 1; 1)$.
- d) Đúng. Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow (5 - x_D; 2 - y_D; -1 - z_D) = (2; -4; 6) \Leftrightarrow x_D = 3; y_D = 6; z_D = -7 \Rightarrow D(3; 6; -7)$.

Câu 3. Hình lập phương cạnh $a$.
- a) Đúng. Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.
- b) Đúng. $\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CA} \Rightarrow |\overrightarrow{CA}| = AC = a\sqrt{2}$.
- c) Sai. Vì $A'D \parallel B'C$ nên góc $(\overrightarrow{AC}; \overrightarrow{A'D}) = (\overrightarrow{AC}; \overrightarrow{B'C}) = 180^\circ - \widehat{ACB'} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (do $\triangle AB'C$ là tam giác đều có ba cạnh bằng đường chéo $a\sqrt{2}$). Do đó góc giữa hai vectơ bằng $120^\circ$.
- d) Sai. Đặt hệ trục tọa độ hoặc phân tích: $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$, $\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. Do các vectơ đôi một vuông góc nên $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AB}^2 = a^2 \ne 2a^2$.

Câu 4.
- a) Đúng. Bán kính $R = \dfrac{x}{2}$. Độ dài nửa đường tròn: $L = \pi R = \dfrac{\pi x}{2}\text{ (m)}$.
- b) Sai. Tổng chu vi khung bao quanh bằng $10\text{ m}$:

$$x + 2y + \dfrac{\pi x}{2} = 10 \Leftrightarrow 2y = 10 - x - \dfrac{\pi x}{2} \Leftrightarrow y = 5 - \dfrac{(2 + \pi)x}{4}.$$

- c) Đúng. Diện tích cửa sổ gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích nửa hình tròn:

$$S(x) = xy + \dfrac{1}{2}\pi \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = x\left(5 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}\right) + \dfrac{\pi x^2}{8} = 5x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{\pi x^2}{8} = 5x - \dfrac{(4 + \pi)x^2}{8}.$$

- d) Đúng. Tam thức bậc hai $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol:

$$x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{5}{2 \cdot \dfrac{4+\pi}{8}} = \dfrac{20}{4 + \pi}\text{ (m)}.$$

PHẦN III. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Ta có $f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -2$.
Do xét trên đoạn $[-1; 3]$ nên chỉ lấy điểm $x = 2$.
Tính các giá trị:
$f(-1) = (-1)^3 - 12(-1) + 1 = 12$,
$f(2) = 2^3 - 12(2) + 1 = -15$,
$f(3) = 3^3 - 12(3) + 1 = -8$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[-1; 3]$ là $-15$.

Câu 2. $\overrightarrow{AB} = (3; -1; 3)$, $\overrightarrow{AC} = (-2; m - 2; 4)$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$:

$$3(-2) + (-1)(m - 2) + 3(4) = 0 \Leftrightarrow -6 - m + 2 + 12 = 0 \Leftrightarrow 8 - m = 0 \Leftrightarrow m = 8.$$

Đính chính bước tính: $-6 - m + 2 + 12 = 8 - m = 0 \Rightarrow m = 8$. (Trường hợp $m = 6$ khi vector thành phần $3(-2) - (m-2) + 3(4) = -6 - m + 2 + 12 = 8-m$; để nghiệm ra 6 thì sửa số liệu nhỏ: ở đây tính trực tiếp $m = 8$). Nếu đề bài chọn đáp án chuẩn là $8$.

Câu 3. Lấy điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng bờ kênh $HK$.
Khi đó $A'H = AH = 120\text{ m}$ và $A'H \perp HK$.
Đoạn đường đi $MA + MB = MA' + MB \ge A'B$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $A'B$ với bờ kênh $HK$.
Kẻ đường thẳng qua $A'$ song song với $HK$, cắt đường thẳng kéo dài từ $BK$ tại $P$.
Khi đó tam giác $A'PB$ vuông tại $P$ có:
$A'P = HK = 640\text{ m}$,
$BP = BK + KP = BK + A'H = 360 + 120 = 480\text{ m}$.
Áp dụng định lý Pythagore:

$$A'B = \sqrt{A'P^2 + BP^2} = \sqrt{640^2 + 480^2} = \sqrt{409600 + 230400} = \sqrt{640000} = 800\text{ m}.$$

Vậy độ dài đường ống ngắn nhất là $800\text{ m}$.

Câu 4. Điểm $M(a; b; c)$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $AM = 2MB \Rightarrow \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$.

$$\begin{cases} a - 5 = 2(-1 - a) \\ b - (-1) = 2(5 - b) \\ c - 2 = 2(-4 - c) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a = 3 \\ 3b = 9 \\ 3c = -6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \\ c = -2 \end{cases} \Rightarrow M(1; 3; -2).$$

Khi đó $T = a + 2b - c = 1 + 2(3) - (-2) = 1 + 6 + 2 = 9$.

Câu 5. Gọi chiều rộng của đáy là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$), chiều dài là $2x\text{ (m)}$ và chiều cao là $h\text{ (m)}$ ($h > 0$).
Thể tích bể: $V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2 h = 36 \Rightarrow h = \dfrac{18}{x^2}$.
Diện tích bề mặt cần dập (đáy và 4 mặt bên, không có nắp):

$$S(x) = S_{\text{đáy}} + S_{xq} = 2x^2 + 2(x + 2x)h = 2x^2 + 6xh = 2x^2 + 6x \cdot \dfrac{18}{x^2} = 2x^2 + \dfrac{108}{x}.$$

Xét hàm số $S(x)$ với $x > 0$:

$$S'(x) = 4x - \dfrac{108}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 4x^3 = 108 \Leftrightarrow x^3 = 27 \Leftrightarrow x = 3\text{ (m)}.$$

Bảng biến thiên cho thấy $S(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 3$.
Giá trị nhỏ nhất của diện tích là:

$$S(3) = 2(3)^2 + \dfrac{108}{3} = 18 + 36 = 54\text{ m}^2.$$

Câu 6. Cỡ mẫu $n = 4 + 10 + 18 + 12 + 6 = 50$.
- Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$: $\dfrac{n}{4} = 12,5$. Nhóm chứa $Q_1$ là $[30; 40)$ vì tần số tích lũy $cf_1 = 4 < 12,5 \le cf_2 = 14$.

$$Q_1 = 30 + \dfrac{12,5 - 4}{10} \cdot (40 - 30) = 30 + \dfrac{8,5}{10} \cdot 10 = 38,5.$$

- Tứ phân vị thứ ba $Q_3$: $\dfrac{3n}{4} = 37,5$. Tần số tích lũy: $cf_2 = 14$, $cf_3 = 32 < 37,5 \le cf_4 = 44$.
Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm $[50; 60)$ có $L = 50, cf_3 = 32, n_4 = 12, h = 10$.

$$Q_3 = 50 + \dfrac{37,5 - 32}{12} \cdot (60 - 50) = 50 + \dfrac{5,5}{12} \cdot 10 = 50 + 4,5833 \approx 54,5833.$$

Khoảng tứ phân vị:

$$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 54,5833 - 38,5 = 16,0833 \approx 16,08.$$