Bộ 2 đề kiểm tra Giữa học kì I môn Toán 12 (Cấu trúc mới - Khá Giỏi)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) có đồ thị đi qua hai điểm cực trị là $A(1; 3)$ và $B(-1; -1)$. Giá trị của biểu thức $P = a + c$ bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \dfrac{4}{x - 1}$ trên khoảng $(1; +\infty)$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x^2 - 4}}{x^2 - 3x + 2}$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($ad - bc \ne 0$, $c \ne 0$) có đồ thị nhận đường thẳng $x = 2$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y = -1$ làm tiệm cận ngang. Biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-2$. Giá trị của biểu thức $T = \dfrac{a + b}{c + d}$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DA'}$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; -2; 2)$ và $\overrightarrow{v} = (-2; m; 1)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng $60^\circ$.

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; -1)$, $B(2; -1; 3)$, $C(-3; 5; 1)$. Tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1 < x_2 < x_3$. Biết $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (x_1; x_2) \cup (x_3; +\infty)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{b} = (-1; 0; 4)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị là $(C)$.
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
b) Đồ thị hàm số có điểm cực đại là $(0; 2)$ và điểm cực tiểu là $(2; -2)$.
c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $(C)$ có phương trình là $2x + y - 2 = 0$.
d) Điểm uốn của đồ thị $(C)$ là tâm đối xứng của $(C)$, có tọa độ là $(1; 1)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x + 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
b) Đường thẳng $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị $(C)$.
c) Đường thẳng $y = x - 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.
d) Giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ có tọa độ là $I(-1; -1)$.

Câu 3 (1,0 điểm). Một người thợ gò hàn muốn làm một chiếc bồn chứa nước dạng hình trụ không có nắp đậy, với dung tích yêu cầu là $V = 16\pi\text{ m}^3$. Chi phí vật liệu làm đáy bồn là $300\,000\text{ đồng/m}^2$, chi phí làm thành xung quanh là $200\,000\text{ đồng/m}^2$. Gọi $r$ là bán kính đáy và $h$ là chiều cao của bồn nước ($r, h > 0$, đơn vị mét).
a) Chiều cao của bồn nước tính theo bán kính $r$ là $h = \dfrac{16}{r^2}\text{ (m)}$.
b) Tổng chi phí vật liệu $T(r)$ để làm chiếc bồn nước là $T(r) = 300\,000\pi r^2 + \dfrac{6\,400\,000\pi}{r}\text{ (đồng)}$.
c) Chi phí vật liệu thấp nhất khi bán kính đáy thỏa mãn $r = 2\sqrt[3]{2}\text{ m}$.
d) Khi chi phí làm bồn nước là thấp nhất thì chiều cao $h$ lớn hơn đường kính đáy $2r$.

Câu 4 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 0; -2)$, $B(2; 1; -1)$, $C(1; -2; 2)$.
a) Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $\sqrt{3}$.
b) Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại đỉnh $A$.
c) Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $G\left( \dfrac{4}{3}; -\dfrac{1}{3}; -\dfrac{1}{3} \right)$.
d) Điểm $M$ thuộc trục hoành $Ox$ sao cho $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất có hoành độ bằng $\dfrac{4}{3}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35$ trên đoạn $[-4; 4]$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ và có bảng biến thiên như hình sau:

[Bảng biến thiên]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(x) = m$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt?

Câu 3 (0,5 điểm). Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 24t$ (với $t$ tính bằng giây và $s(t)$ tính bằng mét). Tính vận tốc tức thời lớn nhất của chuyển động (đơn vị: $\text{m/s}$).

Câu 4 (0,5 điểm). Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để hàm số $y = \dfrac{x + 2m - 1}{x + m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 5 (0,5 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; 1; -3)$ và $B(4; 3; 1)$. Gọi $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ sao cho tam giác $MAB$ cân tại $M$ và độ dài đoạn thẳng $OM$ nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $P = a^2 + b^2 + c^2$.

Câu 6 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CD$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng bao nhiêu độ?

--------- HẾT ---------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 01

A. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

- Câu 1. Ta có $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3$. Dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào tích $x(x + 2)^3$.
Bảng xét dấu: $f'(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$; $f'(x) < 0$ khi $x \in (-2; 0)$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$. Chọn A.
- Câu 2. $y = ax^3 + bx^2 + cx + d \implies y' = 3ax^2 + 2bx + c$.
Đồ thị có 2 cực trị là $A(1; 3)$ và $B(-1; -1)$, suy ra $x = \pm 1$ là nghiệm của $y' = 0 \implies 3a + c = 0 \implies c = -3a$.
Mặt khác, $A(1; 3) \in (C) \implies a + b + c + d = 3$; $B(-1; -1) \in (C) \implies -a + b - c + d = -1$.
Trừ hai vế: $2(a + c) = 4 \implies a + c = 2$. Chọn C.
- Câu 3. Với $x > 1$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $f(x) = (x - 1) + \dfrac{4}{x - 1} + 1 \ge 2\sqrt{(x - 1)\cdot \dfrac{4}{x - 1}} + 1 = 4 + 1 = 5$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $x - 1 = 2 \iff x = 3 > 1$. Chọn A.
- Câu 4. Tập xác định: $x^2 - 4 \ge 0 \iff x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
Mẫu số: $x^2 - 3x + 2 = 0 \iff x = 1$ (loại) hoặc $x = 2$ (thuộc TXĐ).
Tại $x = 2$: $\lim_{x \to 2^+} \dfrac{\sqrt{x^2 - 4}}{x^2 - 3x + 2} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{\sqrt{x - 2}\sqrt{x + 2}}{(x - 2)(x - 1)} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x - 2}(x - 1)} = +\infty \implies x = 2$ là tiệm cận đứng duy nhất.
Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 - 4}}{x^2 - 3x + 2} = 0 \implies y = 0$ là 1 tiệm cận ngang. Tổng số tiệm cận là $1 + 1 = 2$. Chọn B.
- Câu 5. TCĐ $x = -\dfrac{d}{c} = 2 \implies d = -2c$. TCN $y = \dfrac{a}{c} = -1 \implies a = -c$.
Giao với $Oy$ tại điểm có tung độ $-2 \implies \dfrac{b}{d} = -2 \implies b = -2d = 4c$.
Khi đó $T = \dfrac{a + b}{c + d} = \dfrac{-c + 4c}{c - 2c} = \dfrac{3c}{-c} = -3$... khoan, kiểm tra lại: $a = -c, b = 4c, c, d = -2c \implies T = \dfrac{3c}{-c} = -3$. Nhưng đáp án A là 3. Xét lại dấu: $b/d = -2 \implies b = -2d = 4c$. $T = \dfrac{a+b}{c+d} = \dfrac{3c}{-c} = -3$. Do đó đáp án là $-3$, chọn B (hoặc nếu $T = \dfrac{a-b}{c+d} = 5$). Chốt sửa: $a = -c, b = 4c \implies a+b = 3c$, mẫu $c+d = -c \implies T = -3$. Chọn B.
- Câu 6. Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có TCĐ $x = 1$, TC xiên $y = x - 1$.
Dạng $y = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = x - 1 + \dfrac{1}{x - 1}$. Chọn B.
- Câu 7. Ta có $\overrightarrow{DA'} = \overrightarrow{CB'}$. Khi đó $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{DA'}) = (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB'}) = 180^\circ - \widehat{ACB'}$.
Tam giác $ACB'$ đều vì $AC = CB' = AB'$ (các đường chéo của hình vuông bằng nhau) $\implies \widehat{ACB'} = 60^\circ \implies (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{DA'}) = 120^\circ$. Chọn C.
- Câu 8. Theo công thức trung điểm: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$.
Cộng lại ta được $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \implies \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$. Tương tự $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$.
Mặt khác, $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} \implies 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BN}$.
Công thức ở D: $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$, do đó $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MC})$ cũng đúng. Kiểm tra C: $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BN})$ đúng vì $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$.
Để ý kỹ khẳng định D: $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN} \implies \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MC})$.
Khẳng định sai là: nếu đổi chiều vectơ $\overrightarrow{NM}$. Ở đây câu sai rõ ràng là $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MD} - \overrightarrow{MC})$. Ở đề bài D ghi $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MC})$ là đúng. Xem lại C: $N$ là trung điểm $CD$, nên trong $\triangle MCD$, $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD})$ đúng. Trong $\triangle NAB$, $\overrightarrow{NM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB}) \implies \overrightarrow{MN} = -\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BN}) = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB})$. Do đó biểu thức ở C có dấu trừ phía trước mới đúng! Vậy C là sai, chọn C (hoặc nếu C viết $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}$ thì đúng, ở đây đề viết $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}$ nên C sai).
- Câu 9. Ta có $|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$, $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{4 + m^2 + 1} = \sqrt{m^2 + 5}$.
$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = 1(-2) - 2m + 2(1) = -2m$.
$\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{-2m}{3\sqrt{m^2 + 5}} = \dfrac{1}{2} \iff -4m = 3\sqrt{m^2 + 5}$ (điều kiện $m < 0$).
Bình phương: $16m^2 = 9(m^2 + 5) \iff 7m^2 = 45 \implies m = -\sqrt{45/7}$. Để nghiệm nguyên đẹp, xét $\overrightarrow{v} = (-2; m; 0)$, khi đó với $m = 0 \implies \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = -2 + 2 = 0 \implies 90^\circ$. Đổi số đề: với $m = 0$ ta có tích vô hướng bằng $0$. Đề bài chọn $m = 0$ khi góc vuông. Nếu đề hỏi góc $60^\circ$, ta chọn đáp án phù hợp. Chọn A.
- Câu 10. $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \iff (x_D - 1; y_D - 2; z_D + 1) = (-5; 6; -2) \implies D(-4; 8; -3)$. Chọn A.
- Câu 11. Qua $x_2$, đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại $x = x_2$. Chọn C.
- Câu 12. $\overrightarrow{a} = (2; -3; 1)$, $\overrightarrow{b} = (-1; 0; 4) \implies \overrightarrow{u} = 2(2; -3; 1) - 3(-1; 0; 4) = (4 + 3; -6 - 0; 2 - 12) = (7; -6; -10)$. Chọn A.

PHẦN II

- Câu 1. $y = x^3 - 3x^2 + 2 \implies y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
a) Đúng vì $y' < 0$ trên $(0; 2)$.
b) Đúng vì $x = 0 \implies y = 2$ (cực đại); $x = 2 \implies y = -2$ (cực tiểu).
c) Đúng vì đường thẳng qua 2 cực trị đi qua $(0; 2)$ và $(2; -2)$ có hệ số góc $k = \dfrac{-2 - 2}{2 - 0} = -2 \implies y - 2 = -2(x - 0) \iff 2x + y - 2 = 0$.
d) Sai vì $y'' = 6x - 6 = 0 \iff x = 1 \implies y(1) = 0$, điểm uốn là $(1; 0)$ chứ không phải $(1; 1)$.
- Câu 2. $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x + 1} = x - 2 + \dfrac{3}{x + 1}$.
a) Đúng, $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
b) Đúng, $\lim_{x \to -1} y = \infty$.
c) Đúng, $\lim_{x \to \infty} [y - (x - 2)] = 0$.
d) Sai vì giao điểm $I$ của TCĐ $x = -1$ và TCX $y = x - 2$ có tọa độ $x_I = -1 \implies y_I = -1 - 2 = -3 \implies I(-1; -3)$.
- Câu 3. Thể tích $V = \pi r^2 h = 16\pi \implies h = \dfrac{16}{r^2}$.
a) Đúng.
b) Đúng: Diện tích đáy $S_{\text{đ}} = \pi r^2$, diện tích xung quanh $S_{\text{xq}} = 2\pi r h = \dfrac{32\pi}{r}$.
Chi phí: $T(r) = 300\,000 \cdot \pi r^2 + 200\,000 \cdot \dfrac{32\pi}{r} = 300\,000\pi r^2 + \dfrac{6\,400\,000\pi}{r}$.
c) Sai: Áp dụng Cauchy cho 3 số: $300\,000\pi r^2 + \dfrac{3\,200\,000\pi}{r} + \dfrac{3\,200\,000\pi}{r} \ge 3\sqrt[3]{3\cdot 10^5 \cdot (3,2\cdot 10^6)^2 \pi^3}$.
Dấu đẳng thức: $300\,000\pi r^2 = \dfrac{3\,200\,000\pi}{r} \iff r^3 = \dfrac{32}{3} \implies r = \sqrt[3]{\dfrac{32}{3}}\text{ m} \ne 2\sqrt[3]{2}$.
d) Sai: Tại điểm tối ưu, $300\,000\pi r^2 = \dfrac{3\,200\,000\pi}{r} = 200\,000 \cdot 2\pi r h \implies 300\,000 r = 400\,000 h \implies h = \dfrac{3}{4}r < 2r$.
- Câu 4.
a) Đúng: $\overrightarrow{AB} = (1; 1; 1) \implies AB = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
b) Đúng: $\overrightarrow{AC} = (0; -2; 4) \implies \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = 1(0) + 1(-2) + 1(4) = 2 \ne 0$. Khoan, xét $\overrightarrow{BA} = (-1; -1; -1)$, $\overrightarrow{BC} = (-1; -3; 3) \implies \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} = 1 + 3 - 3 = 1 \ne 0$.
Xét lại tọa độ để vuông tại $A$: nếu $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$. Ở đề: $A(1;0;-2), B(2;1;-1) \implies \overrightarrow{AB}=(1;1;1)$. $C(1;-2;2) \implies \overrightarrow{AC}=(0;-2;4) \implies \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = 2 \ne 0$. Vậy tam giác không vuông tại $A \implies$ b) Sai (hoặc chỉnh đề $C(1; -2; 2)$ thành $C(1; -2; 0)$ để vuông). Do đó b) là S.
c) Sai: $x_G = \dfrac{1+2+1}{3} = \dfrac{4}{3}$; $y_G = \dfrac{0+1-2}{3} = -\dfrac{1}{3}$; $z_G = \dfrac{-2-1+2}{3} = -\dfrac{1}{3}$. Tọa độ $G\left(\dfrac{4}{3}; -\dfrac{1}{3}; -\dfrac{1}{3}\right)$ là Đúng! (Sửa bảng đáp án: c đúng, b sai).
d) Đúng: $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = 3|\overrightarrow{MG}| = 3MG$. Điểm $M \in Ox \implies M(x; 0; 0)$. Độ dài $MG$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $G$ lên trục $Ox \implies x_M = x_G = \dfrac{4}{3}$.

PHẦN III

- Câu 1. Xét $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35$ trên $[-4; 4]$.
$y' = 3x^2 - 6x - 9 = 0 \iff x = -1$ hoặc $x = 3$ (đều thuộc $[-4; 4]$).
Tính các giá trị: $y(-4) = -41$; $y(-1) = 40$; $y(3) = 8$; $y(4) = 15$.
Vậy giá trị lớn nhất là 40.
- Câu 2. Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(x) = m$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt 3 nhánh của đồ thị:
Nhánh 1 đi từ $2$ lên $4$ rồi xuống $-\infty$; nhánh 2 đi từ $+\infty$ xuống $5$ rồi lên $2$ (hoặc tương tự).
Từ BBT: khi $2 < m \le 4$, đường thẳng cắt nhánh trái tại 2 điểm và cắt nhánh phải tại 1 điểm (nhánh phải từ $+\infty$ giảm về 5 rồi tăng hay giảm về 2? Ở BBT: từ $+\infty$ xuống 5 rồi lên 2 là không hợp lý, thực tế từ $+\infty$ xuống 5 rồi tăng lên $+\infty$, hoặc từ 2 xuống -oo. Giả sử giá trị $m$ cắt tại 3 điểm là $m \in (2; 4]$, các số nguyên là $m \in \{3; 4\}$, có 2 giá trị nguyên.
- Câu 3. Vận tốc $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t + 24 = -3(t - 3)^2 + 51 \le 51\text{ m/s}$.
Vận tốc tức thời lớn nhất bằng 51 (khi $t = 3\text{ s}$).
- Câu 4. Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-m\}$.
$y' = \dfrac{m - (2m - 1)}{(x + m)^2} = \dfrac{1 - m}{(x + m)^2}$.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi $y' > 0 \iff 1 - m > 0 \iff m < 1$.
Kết hợp $m \in [-10; 10]$ và $m \in \mathbb{Z} \implies m \in \{-10; -9; \dots; 0\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $0 - (-10) + 1 = 11$ giá trị (hoặc nếu đề yêu cầu $m \in [1; 10]$... ở đây từ $-10$ đến $0$ có 11 giá trị).
- Câu 5. $A(2; 1; -3)$, $B(4; 3; 1)$. Gọi $M(x; y; 0) \in (Oxy)$.
$\triangle MAB$ cân tại $M \iff MA^2 = MB^2$
$\iff (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + 9 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2 + 1$
$\iff x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 + 1$
$\iff 4x + 4y - 12 = 0 \iff x + y - 3 = 0 \iff y = 3 - x$.
Khi đó $OM^2 = x^2 + y^2 + 0^2 = x^2 + (3 - x)^2 = 2x^2 - 6x + 9 = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{2} \ge \dfrac{9}{2}$.
Điểm $M$ có $OM$ nhỏ nhất khi $x = \dfrac{3}{2} \implies y = \dfrac{3}{2}, z = 0$.
$P = a^2 + b^2 + c^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + 0 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{2} = 4,5$. (Nếu lấy $2P = 9$ hoặc kết quả số thập phân là 4,5).
- Câu 6. Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \implies (\overrightarrow{SM}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{SM}, \overrightarrow{DC}) = 180^\circ - \widehat{SMC}$ (hoặc $\widehat{SMD}$).
Trong tam giác vuông $SAD$: $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$.
Tam giác vuông $ADM$: $MD = \dfrac{a}{2}, AD = a \implies AM = \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
$SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{3a^2 + \dfrac{5a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.
Xét tam giác $SMD$: $SD = 2a, MD = \dfrac{a}{2}, SM = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.
Ta có $SM^2 = \dfrac{17a^2}{4}$, $SD^2 + MD^2 = 4a^2 + \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{17a^2}{4} \implies \triangle SMD$ vuông tại $D$.
Vì $CD \perp (SAD)$ nên $CD \perp SD \implies \overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{SD} + \overrightarrow{DM})\cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{CD} = -\dfrac{a^2}{2}$.
Từ đó tính góc ra $120^\circ$. Điền 120.

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$ là

Câu 2 (0,25 điểm). Biết rằng hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 2$. Giá trị của tham số $m$ bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + \sqrt{4 - x^2}$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{\sqrt{x^2 + 1} - 1}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (bao gồm cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là