Bộ 2 đề thi ôn tập Chương 4 Toán 12 tương tự đề gốc kèm lời giải chi tiết

PHẦN I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Nếu $\int f(x)\,\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{x} + 2\ln x + C$ với $x > 0$ thì hàm số $f(x)$ là

Câu 2 (0,25 điểm). Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 - 4x + \dfrac{2}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 4x + \cos 2x$, biết $F(0) = \dfrac{3}{2}$.

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ thỏa mãn $F(0) = 3$. Giá trị của $F(1)$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho $\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ và $\int_{0}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x = -2$. Khi đó $\int_{0}^{2} [2f(x) - 3g(x)]\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $\int_{-2}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ và $\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = -2$. Tích phân $\int_{-2}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho $\int_{1}^{3} [3f(x) - 4x]\,\mathrm{d}x = 4$. Khi đó giá trị của $\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Biết $\int_{1}^{2} \dfrac{2x+3}{x}\,\mathrm{d}x = a + b\ln c$ với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ và $c < 5$. Giá trị của biểu thức $S = a + b + c$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = 6x^5$?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 3$ và $\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = 11$. Khi đó $\int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[-1; 3]$ thoả mãn $f(-1) = 2$ và $f(3) = 8$. Giá trị của tích phân $\int_{-1}^{3} [3x^2 + f'(x)]\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình bên và đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên đoạn $[1; 2]$.

Giá trị của biểu thức $I = \int_{1}^{2} 3f'(x)\,\mathrm{d}x$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = 6x^2 - 6x + 2$.
a) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x + C$.
b) Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(1) = 5$, khi đó $F(0) = 4$.
c) Giá trị của tích phân $\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng $1$.
d) Tích phân $\int_{1}^{2} \dfrac{f(x)}{x}\,\mathrm{d}x = 3 + 2\ln 2$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{2x}$, $y = 4 - x$ và trục hoành $Ox$ như hình vẽ bên dưới:

a) Toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = \sqrt{2x}$ và $y = 4 - x$ là $(2; 2)$.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = \sqrt{2x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$ là $S_1 = \dfrac{8}{3}$.
c) Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = 4 - x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 2, x = 4$ được tính bởi công thức $S_2 = \int_{2}^{4} (4 - x)\,\mathrm{d}x = 2$.
d) Diện tích toàn bộ hình phẳng $(H)$ bằng $\dfrac{10}{3}$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hai hàm số $f(x), g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
a) Nếu $\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ và $\int_{0}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x = -3$ thì $\int_{0}^{2} [2f(x) + g(x)]\,\mathrm{d}x = 5$.
b) Nếu $\int_{0}^{2} [g(x) + 3x^2 - 1]\,\mathrm{d}x = 10$ thì $\int_{0}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x = 4$.
c) Nếu hàm số $f(x) = e^{2x}$ và $F(x)$ là một nguyên hàm thoả mãn $F(0) = \dfrac{1}{2}$ thì $F\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{e}{2}$.
d) Cho $f(x) = 3x + 2$ và $g(x) = x - 1$. Tích phân $\int_{2}^{4} \dfrac{f(x)}{g(x)}\,\mathrm{d}x = a + b\ln c$ với $a, b, c \in \mathbb{N}$ và $c$ là số nguyên tố. Khi đó $a + b + c = 14$.

Câu 4 (1,0 điểm). Giả sử doanh thu biên (tính bằng triệu đồng) của một công ty sản xuất thiết bị điện tử khi bán được $x$ sản phẩm được mô hình hoá bởi hàm số $R'(x) = -0,0006x + 12$. Biết rằng khi chưa bán được sản phẩm nào thì doanh thu bằng $0$ (tức là $R(0) = 0$).
a) Hàm doanh thu khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm là $R(x) = -0,0003x^2 + 12x$ (triệu đồng).
b) Doanh thu khi công ty bán được $100$ sản phẩm đầu tiên là $1197$ triệu đồng.
c) Sự gia tăng doanh thu khi doanh số bán hàng tăng từ $100$ lên $150$ sản phẩm là $596,25$ triệu đồng.
d) Doanh thu đạt giá trị lớn nhất khi công ty bán được $20000$ sản phẩm.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Biết $I = \int_{1}^{3} \dfrac{1}{x(x+1)}\,\mathrm{d}x = a\ln 2 + b\ln 3$ với $a, b \in \mathbb{Q}$. Tính giá trị của biểu thức $T = a^2 + 2b$.

Câu 2 (0,5 điểm). Một khối gỗ khi cắt một bề mặt ta thu được thiết diện được cho bởi hình vẽ bên dưới. Phần lõm ở giữa có dạng một đường parabol đối xứng, có bề rộng $6\text{ cm}$ và chiều sâu $3\text{ cm}$. Khối gỗ có chiều rộng $10\text{ cm}$ và chiều cao $4\text{ cm}$.

Diện tích của bề mặt thiết diện đó bằng bao nhiêu centimét vuông?

Câu 3 (0,5 điểm). Người ta cần tính thể tích của một chi tiết máy được chế tác như sau. Trên mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là centimét), gọi $(H)$ là hình phẳng được tô đậm, giới hạn bởi đường elip $\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{36} = 1$ và đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 8$ (hình minh hoạ bên dưới).

Vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục hoành $Ox$. Tính thể tích của vật thể tròn xoay đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị centimét khối).

Câu 4 (0,5 điểm). Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x+4}$, trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng $d: ax + by - 12 = 0$ đi qua điểm $A(0; 2)$ và chia hình phẳng $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau (hình bên dưới).

Tính giá trị của biểu thức $P = 3a + b$.

Câu 5 (0,5 điểm). Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh $AB = 4\text{ m}$. Trên tấm biển có hai cung tròn tâm $A$ và tâm $B$ cùng bán kính $R = 4\text{ m}$ cắt nhau tại điểm bên trong hình vuông (hình vẽ).

Chi phí để sơn phần gạch sọc là $180\,000\text{ đồng/m}^2$, chi phí sơn phần màu đen là $120\,000\text{ đồng/m}^2$ và chi phí sơn phần còn lại là $200\,000\text{ đồng/m}^2$. Hỏi tổng số tiền để sơn toàn bộ biển quảng cáo theo cách trên là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)?

Câu 6 (0,5 điểm). Ban quản lý một tòa nhà văn phòng cho thuê các mặt bằng diện tích tiêu chuẩn với mức giá $x$ triệu đồng/tháng ($x > 0$). Tốc độ thay đổi tổng doanh thu từ việc cho thuê mặt bằng được mô hình hoá bởi hàm số $T'(x) = -12x + 180$ (triệu đồng). Biết rằng nếu đặt giá thuê là $10$ triệu đồng/tháng thì tổng doanh thu thu về là $1500$ triệu đồng. Tìm mức giá thuê $x$ (triệu đồng) để tổng doanh thu đạt giá trị lớn nhất.

--------- HẾT ĐỀ SỐ 1 ---------

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT – ĐỀ SỐ 1

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. Ta có $f(x) = \left(-\dfrac{1}{x} + 2\ln x + C\right)' = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{x}$. Chọn A.

Câu 2. $\int \left(3x^2 - 4x + \dfrac{2}{x}\right)\,\mathrm{d}x = x^3 - 2x^2 + 2\ln |x| + C$. Vì $x > 0$ nên $|x| = x$. Chọn A.

Câu 3. $F(x) = \int (4x + \cos 2x)\,\mathrm{d}x = 2x^2 + \dfrac{\sin 2x}{2} + C$.
$F(0) = C = \dfrac{3}{2} \implies F(x) = 2x^2 + \dfrac{\sin 2x}{2} + \dfrac{3}{2}$. Chọn A.

Câu 4. $F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C$. $F(0) = C = 3 \implies F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \implies F(1) = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$. Chọn A.

Câu 5. $\int_{0}^{2} [2f(x) - 3g(x)]\,\mathrm{d}x = 2\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x - 3\int_{0}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x = 2(4) - 3(-2) = 14$. Chọn A.

Câu 6. $\int_{-2}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-2}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = 5 + (-2) = 3$. Chọn A.

Câu 7. Ta có $\int_{1}^{3} [3f(x) - 4x]\,\mathrm{d}x = 3\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x - \left[2x^2\right]_1^3 = 3\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x - 16 = 4 \implies \int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{20}{3}$. Chọn A.

Câu 8. $\int_{1}^{2} \left(2 + \dfrac{3}{x}\right)\,\mathrm{d}x = [2x + 3\ln x]_1^2 = 2 + 3\ln 2$. Vậy $a = 2, b = 3, c = 2 \implies S = 2 + 3 + 2 = 7$. Chọn A.

Câu 9. Đạo hàm của $x^6$ là $(x^6)' = 6x^5$. Chọn A.

Câu 10. $\int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x - \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 11 - 3 = 8$. Chọn A.

Câu 11. $\int_{-1}^{3} [3x^2 + f'(x)]\,\mathrm{d}x = [x^3 + f(x)]_{-1}^3 = (27 + f(3)) - (-1 + f(-1)) = (27 + 8) - (-1 + 2) = 34$. Chọn A.

Câu 12. Từ đồ thị ta có $f(1) = 1$ và $f(2) = 3$.
Do đó $I = 3\int_{1}^{2} f'(x)\,\mathrm{d}x = 3[f(2) - f(1)] = 3(3 - 1) = 6$. Chọn A.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1.
- a) Đúng. $\int (6x^2 - 6x + 2)\,\mathrm{d}x = 2x^3 - 3x^2 + 2x + C$.
- b) Sai. $F(1) = 2 - 3 + 2 + C = 1 + C = 5 \implies C = 4$. Do đó $F(0) = C = 4 \implies$ Mệnh đề ghi $F(0) = 4$ là Đúng.
(Đính chính: Mệnh đề b đúng).
- c) Sai. $\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = [2x^3 - 3x^2 + 2x]_0^1 = 2 - 3 + 2 = 1 \implies$ Mệnh đề c là Đúng.
- d) Đúng. $\int_1^2 \dfrac{6x^2 - 6x + 2}{x}\,\mathrm{d}x = \int_1^2 \left(6x - 6 + \dfrac{2}{x}\right)\,\mathrm{d}x = [3x^2 - 6x + 2\ln x]_1^2 = (12 - 12 + 2\ln 2) - (3 - 6 + 0) = 3 + 2\ln 2$.
Kết luận: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ.

Câu 2.
- a) Đúng. Giải $\sqrt{2x} = 4 - x \iff 2x = x^2 - 8x + 16 \iff x^2 - 10x + 16 = 0 \iff x = 2$ (do $x \le 4$). Với $x = 2 \implies y = 2$.
- b) Đúng. $S_1 = \int_0^2 \sqrt{2x}\,\mathrm{d}x = \sqrt{2} \left[\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^2 = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \dfrac{8}{3}$.
- c) Đúng. $S_2 = \int_2^4 (4 - x)\,\mathrm{d}x = \left[4x - \dfrac{x^2}{2}\right]_2^4 = (16 - 8) - (8 - 2) = 2$.
- d) Sai. $S = S_1 + S_2 = \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{14}{3} \ne \dfrac{10}{3}$.
Kết luận: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.

Câu 3.
- a) Đúng. $2(4) + (-3) = 5$.
- b) Đúng. $\int_0^2 [3x^2 - 1]\,\mathrm{d}x = [x^3 - x]_0^2 = 8 - 2 = 6 \implies \int_0^2 g(x)\,\mathrm{d}x = 10 - 6 = 4$.
- c) Đúng. $F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C$. $F(0) = \dfrac{1}{2} + C = \dfrac{1}{2} \implies C = 0 \implies F\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}e^1 = \dfrac{e}{2}$.
- d) Đúng. $\dfrac{3x+2}{x-1} = 3 + \dfrac{5}{x-1}$. $\int_2^4 \left(3 + \dfrac{5}{x-1}\right)\,\mathrm{d}x = [3x + 5\ln(x-1)]_2^4 = 6 + 5\ln 3$.
Suy ra $a = 6, b = 5, c = 3 \implies a + b + c = 14$.
Kết luận: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ.

Câu 4.
- a) Đúng. $R(x) = \int (-0,0006x + 12)\,\mathrm{d}x = -0,0003x^2 + 12x + C$. Vì $R(0) = 0 \implies C = 0$.
- b) Đúng. $R(100) = -0,0003(100^2) + 12(100) = -3 + 1200 = 1197$.
- c) Đúng. $\Delta R = R(150) - R(100) = [-0,0003(22500) + 1800] - 1197 = 1793,25 - 1197 = 596,25$.
- d) Đúng. $R'(x) = 0 \iff -0,0006x + 12 = 0 \iff x = 20000$. Đồ thị là parabol quay bề lõm xuống nên đạt cực đại tại $x = 20000$.
Kết luận: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Ta có $\dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$.
$I = \int_1^3 \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}\right)\,\mathrm{d}x = \left[\ln \dfrac{x}{x+1}\right]_1^3 = \ln\dfrac{3}{4} - \ln\dfrac{1}{2} = \ln 3 - 2\ln 2 + \ln 2 = -\ln 2 + \ln 3$.
Suy ra $a = -1, b = 1 \implies T = a^2 + 2b = (-1)^2 + 2(1) = 3$.
Đáp án: $3$.

Câu 2. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc $O$ tại đỉnh của parabol khoét lõm, trục đối xứng là trục tung $Oy$.
Phương trình parabol có dạng $y = ax^2$. Điểm mép trên cùng của parabol có toạ độ $(3; 3) \implies 3 = a \cdot 3^2 \implies a = \dfrac{1}{3} \implies y = \dfrac{1}{3}x^2$.
Diện tích phần bị khoét lõm là:
$S_{\text{lõm}} = \int_{-3}^{3} \left(3 - \dfrac{1}{3}x^2\right)\,\mathrm{d}x = 2\left[3x - \dfrac{x^3}{9}\right]_0^3 = 2(9 - 3) = 12\text{ cm}^2$.
Diện tích hình chữ nhật bao quanh thiết diện là:
$S_{\text{hcn}} = 10 \times 4 = 40\text{ cm}^2$.
Vậy diện tích thiết diện khối gỗ là:
$S = S_{\text{hcn}} - S_{\text{lõm}} = 40 - 12 = 28\text{ cm}^2$.
Đáp án: $28$.

Câu 3. Phương trình elip: $\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{36} = 1 \implies y^2 = 36\left(1 - \dfrac{x^2}{100}\right)$.
Phương trình đường tròn: $x^2 + y^2 = 64 \implies y^2 = 64 - x^2$.
Tìm hoành độ giao điểm của elip và đường tròn:
$36\left(1 - \dfrac{x^2}{100}\right) = 64 - x^2 \iff 36 - \dfrac{9}{25}x^2 = 64 - x^2 \iff \dfrac{16}{25}x^2 = 28 \iff x^2 = \dfrac{175}{4} \implies x = \pm \dfrac{5\sqrt{7}}{2} \approx \pm 6,614$.
Vật thể tròn xoay có thể tích:
$V = 2\pi \int_{0}^{x_0} (y_{\text{elip}}^2 - y_{\text{tròn}}^2)\,\mathrm{d}x$ hoặc tuỳ theo miền hình phẳng $(H)$. Trong hình minh hoạ, $(H)$ là phần nằm trong elip nhưng nằm ngoài hình tròn hoặc ngược lại.
Xét trên đoạn $[-x_0; x_0]$, $y_{\text{tròn}}^2 \ge y_{\text{elip}}^2$, phần elip nằm ngoài đường tròn là với $|x| \in [x_0; 10]$.
Ta có $V = 2\pi \int_{x_0}^{10} y_{\text{elip}}^2\,\mathrm{d}x = 2\pi \int_{x_0}^{10} 36\left(1 - \dfrac{x^2}{100}\right)\,\mathrm{d}x$.
Tính nguyên hàm: $F(x) = 36\left(x - \dfrac{x^3}{300}\right) = 36x - \dfrac{3x^3}{25}$.
Tại $x = 10$: $F(10) = 360 - 120 = 240$.
Tại $x_0 = \dfrac{5\sqrt{7}}{2} \approx 6,61438$:
$F(x_0) = 36(6,61438) - 0,12(289,38) \approx 238,117 - 34,725 = 203,39$.
Do đó $V = 2\pi (240 - 203,39) = 2\pi (36,61) \approx 230\text{ cm}^3$.
Đáp án: $230$.

Câu 4. Ta có diện tích hình phẳng $(H)$:
$S_{(H)} = \int_{-4}^{0} \sqrt{x+4}\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{2}{3}(x+4)^{3/2}\right]_{-4}^{0} = \dfrac{2}{3} \cdot 8 = \dfrac{16}{3}$.
Đường thẳng $d: ax + by - 12 = 0$ đi qua $A(0; 2) \implies 0a + 2b - 12 = 0 \implies b = 6$.
Phương trình đường thẳng $d$ trở thành $ax + 6y - 12 = 0 \iff y = -\dfrac{a}{6}x + 2$.
Đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại điểm $B\left(\dfrac{12}{a}; 0\right)$ với $-4 < \dfrac{12}{a} < 0 \implies a < -3$.
Tam giác vuông tạo bởi $d$, trục tung và trục hoành có diện tích bằng nửa diện tích hình phẳng $(H)$:
$S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(-\dfrac{12}{a}\right) = -\dfrac{12}{a}$.
Theo đề bài: $-\dfrac{12}{a} = \dfrac{1}{2} S_{(H)} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{16}{3} = \dfrac{8}{3} \implies a = -\dfrac{36}{8} = -\dfrac{9}{2} = -4,5$.
Suy ra $P = 3a + b = 3\left(-\dfrac{9}{2}\right) + 6 = -\dfrac{27}{2} + 6 = -7,5$.
Đáp án: $-7,5$.

Câu 5. Hình vuông cạnh $a = 4\text{ m}$. Diện tích hình vuông là $S = 16\text{ m}^2$.
Gọi $S_1$ là phần diện tích giao nhau của hai hình quạt tròn tâm $A$ và tâm $B$ bán kính $R = 4$, góc $90^\circ$ (phần màu đen).
Giao điểm $M$ của hai cung tròn tạo với $A, B$ thành tam giác đều $ABM$ cạnh $4\text{ m}$.
Góc $\widehat{MAB} = 60^\circ \implies \widehat{MAD} = 30^\circ$.
Diện tích phần giao (màu đen):
$S_{\text{đen}} = 2 \cdot S_{\text{quạt } 60^\circ} - S_{\triangle ABM} = 2 \left(\dfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ}\right) - \dfrac{4^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} \approx 9,827\text{ m}^2$.
Diện tích mỗi phần gạch sọc:
Hai phần gạch sọc có tổng diện tích bằng:
$S_{\text{sọc}} = 2 \left(S_{\text{quạt } 90^\circ} - S_{\text{quạt } 60^\circ} - S_{\triangle ABM \text{ bù}}\right) = 2 \left(\dfrac{\pi \cdot 16}{4}\right) - 2 S_{\text{đen}} = 8\pi - 2\left(\dfrac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}\right) = 8\sqrt{3} - \dfrac{8\pi}{3} \approx 5,48\text{ m}^2$.
Diện tích phần còn lại (phần trắng phía trên):
$S_{\text{trắng}} = S_{ABCD} - (S_{\text{đen}} + S_{\text{sọc}}) = 16 - \left(\dfrac{8\pi}{3} + 4\sqrt{3}\right) \approx 0,693\text{ m}^2$.
Tổng chi phí:
$T = 0,180 \cdot S_{\text{sọc}} + 0,120 \cdot S_{\text{đen}} + 0,200 \cdot S_{\text{trắng}}$
$= 0,180(5,48) + 0,120(9,83) + 0,200(0,69) \approx 0,986 + 1,180 + 0,138 = 2,30\text{ triệu đồng}$.
Đáp án: $2,3$ hoặc $2,30$.

Câu 6. Ta có $T(x) = \int T'(x)\,\mathrm{d}x = \int (-12x + 180)\,\mathrm{d}x = -6x^2 + 180x + C$.
Biết rằng khi $x = 10$ thì $T(10) = 1500$:
$-6(10^2) + 180(10) + C = 1500 \iff -600 + 1800 + C = 1500 \iff C = 300$.
Do đó $T(x) = -6x^2 + 180x + 300$.
Hàm số bậc hai đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{180}{2(-6)} = 15$.
Vậy mức giá thuê để doanh thu cao nhất là $x = 15$ triệu đồng.
Đáp án: $15$.

PHẦN I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Nếu $\int f(x)\,\mathrm{d}x = -\dfrac{2}{x} + 3\ln x + C$ với $x > 0$ thì $f(x)$ là

Câu 2 (0,25 điểm). Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 - 2x - \dfrac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 8x - \sin 4x$, biết $F(0) = \dfrac{5}{4}$.

Câu 4 (0,25 điểm). Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 - 6x + 2$ thoả mãn $F(0) = 4$. Giá trị của $F(1)$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho $\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ và $\int_{1}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x = -1$. Khi đó $\int_{1}^{3} [3f(x) + 2g(x)]\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $\int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ và $\int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = 6$. Tích phân $\int_{-1}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho $\int_{0}^{2} [2f(x) - 3x]\,\mathrm{d}x = 2$. Khi đó $\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Biết $\int_{1}^{2} \dfrac{3x+4}{x}\,\mathrm{d}x = a + b\ln c$ với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ và $c < 4$. Giá trị của tổng $S = a + b + c$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $y = 8x^7$?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $\int_{2}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = 3$ và $\int_{2}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x = 9$. Giá trị của $\int_{4}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 2]$ thoả mãn $f(0) = 3$ và $f(2) = 11$. Tích phân $\int_{0}^{2} [4x + f'(x)]\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới và có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Giá trị của biểu thức $\int_{1}^{2} [2f'(x) - 1]\,\mathrm{d}x$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = 3x^2 - 8x + 5$.
a) Họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + C$.
b) Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(1) = 4$, khi đó $F(0) = 2$.
c) Giá trị của tích phân $\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng $2$.
d) Tích phân $\int_{1}^{3} \dfrac{f(x)}{x}\,\mathrm{d}x = 4 - 5\ln 3$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt{2x}$, $y = 4 - x$ và trục hoành $Ox$ (như hình vẽ bên dưới).

a) Điểm giao nhau của hai đường $y = \sqrt{2x}$ và $y = 4 - x$ nằm ở góc phần tư thứ nhất có hoành độ $x = 2$.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = \sqrt{2x}$, trục tung và đường thẳng $y = 2$ bằng $\dfrac{4}{3}$.
c) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 4 - x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 2, x = 4$ quanh trục $Ox$ là $V = \dfrac{8\pi}{3}$.
d) Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng $S = \int_{0}^{2} \left[(4-y) - \dfrac{y^2}{2}\right]\,\mathrm{d}y = \dfrac{14}{3}$.