Ôn tập giữa học kì I Toán 12 — Chương 1: Ứng dụng đạo hàm

Phạm vi: Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

Đề gồm bốn phần. Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay; các bài tự luận cần trình bày đầy đủ lập luận.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Hàm số $y=x^3-3x^2+1$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 2. Giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x+2$ bằng

Câu 3. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ có phương trình là

Câu 4. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ có phương trình là

Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x$ trên đoạn $[0;2]$ bằng

Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và

$$f'(x)=(x+2)(x-1)^2(x-3).$$

Số điểm cực trị của hàm số $f(x)$ là

Câu 7. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 8. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 9. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+2}{x-1}$ là điểm

Câu 10. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ trên tập xác định bằng

Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty)$ bằng

Câu 12. Một chất điểm chuyển động trên một trục tọa độ có phương trình $s(t)=t^3-6t^2+12t$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=4$, vận tốc của chất điểm nhỏ nhất tại thời điểm nào?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$.
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=3x(x-2)$.
b) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng $0$.
d) Phương trình $f(x)=2$ có ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Đồ thị $(C)$ có tâm đối xứng là $I(1;0)$.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
c) Hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$ là $(0;-2)$ và $(2;2)$.
d) Đường thẳng $y=2x-2$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm có khoảng cách bằng $2\sqrt{5}$.

Câu 3. Một xưởng sản xuất sử dụng mô hình lợi nhuận mỗi ngày

$$P(x)=-x^3+30x^2+900x-2000,\qquad 0\le x\le 50,$$

trong đó $x$ là số chục sản phẩm sản xuất và bán hết trong ngày, $P(x)$ tính bằng nghìn đồng. Trong mô hình, $x$ được xem là biến thực.
a) Nếu không sản xuất sản phẩm nào thì xưởng lỗ $2$ triệu đồng.
b) Đạo hàm của hàm lợi nhuận là $P'(x)=-3x^2+30x+900$.
c) Lợi nhuận lớn nhất đạt được khi xưởng sản xuất và bán hết $300$ sản phẩm trong ngày.
d) Lợi nhuận lớn nhất trong một ngày theo mô hình là $27$ triệu đồng.

Câu 4. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, với $f'(x)=x^2(x-3)$. Đồ thị của hàm số $y=f'(x)$ được biểu diễn dưới đây.

[Đồ thị]

a) Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$.
b) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;3)$.
c) Hàm số $f(x)$ có đúng một điểm cực trị.
d) Hàm số $g(x)=f(x^2)$ có đúng hai điểm cực trị.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Chỉ ghi kết quả cuối cùng; thực hiện làm tròn theo yêu cầu của từng câu.

Câu 1. Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $12$ cm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gấp phần còn lại thành một chiếc hộp không nắp có đáy hình vuông. Bỏ qua độ dày tấm bìa. Thể tích lớn nhất của chiếc hộp bằng bao nhiêu centimét khối?

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(3;0)$ và đường cong $(C):y=\sqrt{x}$. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm $A$ đến một điểm thuộc $(C)$ bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 3. Một tấm áp phích hình chữ nhật có phần in nội dung cũng là hình chữ nhật, diện tích $384$ cm². Lề trái và lề phải đều rộng $2$ cm; lề trên và lề dưới đều rộng $3$ cm. Diện tích nhỏ nhất của toàn bộ tấm áp phích bằng bao nhiêu centimét vuông?

Câu 4. Trong một thí nghiệm, số lượng vi khuẩn sau $t$ phút được mô hình hóa bởi

$$N(t)=1000+300t^2-20t^3,\qquad 0\le t\le 10.$$

Tốc độ gia tăng số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ được xác định bởi $N'(t)$. Sau bao nhiêu phút kể từ lúc bắt đầu thí nghiệm thì số lượng vi khuẩn tăng nhanh nhất?

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số

$$y=x^3-3mx^2+3(m+2)x-1$$

đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Câu 6. Một xe tải chạy với vận tốc không đổi $v$ km/h, trong đó $20\le v\le80$. Tổng chi phí nhiên liệu và nhân công tính trên mỗi kilômét được mô hình hóa bởi

$$C(v)=\dfrac{v^2}{1000}+\dfrac{160}{v},$$

với $C(v)$ tính bằng nghìn đồng/km. Để chi phí cho một hành trình có độ dài cố định nhỏ nhất, xe nên chạy với vận tốc bao nhiêu kilômét trên giờ? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ Câu 1 đến Câu 5.

Câu 1. Cho hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+5}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tìm tập xác định, xét chiều biến thiên và xác định các điểm cực trị của hàm số.
b) Tìm các đường tiệm cận và tâm đối xứng của đồ thị $(C)$.
c) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=x^3-3x+1$.
a) Xét tính đơn điệu và tìm các giá trị cực trị của hàm số.
b) Bằng phương pháp sử dụng đạo hàm, chứng minh phương trình $x^3-3x+1=0$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt; trong đó mỗi khoảng $(-2;-1)$, $(0;1)$ và $(1;2)$ chứa đúng một nghiệm.

Câu 3. Một cơ sở cần làm một chiếc hộp kín hình trụ có thể tích $256\pi$ cm³. Chi phí vật liệu làm mỗi centimét vuông của hai đáy là $200$ đồng, còn chi phí vật liệu làm mỗi centimét vuông của mặt xung quanh là $100$ đồng. Bỏ qua độ dày vật liệu, mép ghép và hao hụt.
a) Gọi $r$ là bán kính đáy, tính bằng centimét. Hãy biểu diễn chiều cao và tổng chi phí vật liệu của chiếc hộp theo $r$.
b) Tìm bán kính đáy và chiều cao để tổng chi phí vật liệu nhỏ nhất. Tính chi phí nhỏ nhất đó.

Câu 4. Một người đang ở vị trí $A$ trên mặt hồ và muốn đến điểm $B$ trên bờ hồ thẳng. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên bờ hồ, biết $AH=3$ km và $HB=8$ km. Người đó chèo thuyền theo đoạn thẳng từ $A$ đến một điểm $M$ thuộc đoạn $HB$, sau đó đi bộ dọc bờ từ $M$ đến $B$. Vận tốc chèo thuyền là $5$ km/h, vận tốc đi bộ là $6$ km/h. Bỏ qua thời gian lên bờ.
a) Đặt $HM=x$ km. Lập hàm số biểu diễn tổng thời gian di chuyển theo $x$ và xác định miền giá trị của $x$.
b) Xác định vị trí cập bờ $M$ để tổng thời gian di chuyển nhỏ nhất. Tính $HM$ theo kilômét, làm tròn đến hàng phần trăm, và thời gian nhỏ nhất theo phút, làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 5. Cho đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$. Hai điểm $P$, $Q$ lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị, với hoành độ của $P$ lớn hơn $1$ và hoành độ của $Q$ nhỏ hơn $1$.
a) Gọi $u=x_P-1$ và $v=1-x_Q$, trong đó $x_P$, $x_Q$ lần lượt là hoành độ của $P$, $Q$. Biểu diễn $PQ^2$ theo hai số dương $u$, $v$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài $PQ$ và tọa độ các điểm $P$, $Q$ khi giá trị nhỏ nhất đạt được.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

A. Bảng đáp án tổng hợp

B. Lời giải tóm tắt

Câu 1. Chọn A.

Ta có $y'=3x^2-6x=3x(x-2)$.

Suy ra $y'>0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$. Trong các phương án đã cho, chọn $(2;+\infty)$.

Câu 2. Chọn B.

Ta có $y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.

Khi $x$ đi qua $-1$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.

Giá trị cực đại là $y(-1)=-1+3+2=4$.

Câu 3. Chọn C.

Viết lại:

$$y=\dfrac{2x+1}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1}.$$

Vì $\displaystyle\lim_{x\to1^-}y=-\infty$ và $\displaystyle\lim_{x\to1^+}y=+\infty$, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$.

Câu 4. Chọn D.

Chia đa thức, ta được:

$$y=\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}.$$

Vì $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2}{x-1}=0$, đường tiệm cận xiên là $y=x+1$.

Câu 5. Chọn A.

Hàm số liên tục trên $[0;2]$, có $f'(x)=3x^2-3$.

Trên $(0;2)$, phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=1$.

Tính các giá trị:

$$f(0)=0,\qquad f(1)=-2,\qquad f(2)=2.$$

Vậy $\displaystyle\min_{[0;2]}f(x)=-2$.

Câu 6. Chọn B.

Với $x\ne1$, thừa số $(x-1)^2$ dương nên dấu của $f'(x)$ là dấu của $(x+2)(x-3)$.

Đạo hàm dương trên $(-\infty;-2)$ và $(3;+\infty)$; âm trên $(-2;1)$ và $(1;3)$.

Đạo hàm đổi dấu tại $x=-2$ và $x=3$, không đổi dấu khi đi qua $x=1$.

Vậy hàm số có đúng $2$ điểm cực trị.

Câu 7. Chọn C.

Theo bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.

Câu 8. Chọn D.

Đồ thị có nhánh trái đi lên, nhánh phải đi xuống nên hệ số của $x^3$ âm. Chỉ còn hai phương án B và D.

Đồ thị có hai điểm cực trị $(-1;-2)$ và $(1;2)$, trong khi hàm số ở phương án B có đạo hàm $-3x^2-3<0$ với mọi $x$, nên không có cực trị.

Vậy đồ thị là của hàm số $y=-x^3+3x$.

Câu 9. Chọn A.

Ta có:

$$y=\dfrac{x+2}{x-1}=1+\dfrac{3}{x-1}.$$

Hai tiệm cận là $x=1$ và $y=1$. Giao điểm của chúng là tâm đối xứng $I(1;1)$.

Câu 10. Chọn B.

Tập xác định là $[-2;2]$.

Với mọi $x$ thuộc tập xác định:

$$0\le\sqrt{4-x^2}\le2.$$

Dấu bằng ở vế phải xảy ra khi $x=0$. Vậy giá trị lớn nhất bằng $2$.

Câu 11. Chọn C.

Đặt $f(x)=x+\dfrac4x$ với $x>0$. Khi đó:

$$f'(x)=1-\dfrac4{x^2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}.$$

Đạo hàm âm trên $(0;2)$, dương trên $(2;+\infty)$.

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$, bằng $f(2)=4$.

Câu 12. Chọn D.

Vận tốc của chất điểm là:

$$v(t)=s'(t)=3t^2-12t+12=3(t-2)^2.$$

Trên đoạn $[0;4]$, vận tốc nhỏ nhất bằng $0$, đạt tại $t=2$ s.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

A. Bảng đáp án tổng hợp

B. Giải thích từng câu

Câu 1

Xét $f(x)=x^3-3x^2+2$ trên $\mathbb R$.

a) Đúng.

$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$

b) Sai.

Ta có $f'(x)<0$ khi $0<x<2$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$, không đồng biến trên $\mathbb R$.

Cụ thể, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$.

c) Đúng.

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=0$, từ âm sang dương tại $x=2$.

Do đó giá trị cực đại là $f(0)=2$, giá trị cực tiểu là $f(2)=-2$.

Tổng hai giá trị cực trị bằng $2+(-2)=0$.

d) Sai.

$$f(x)=2\iff x^3-3x^2=0\iff x^2(x-3)=0.$$

Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $x=0$ và $x=3$, không phải ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 2

Tập xác định là $\mathbb R\setminus\{1\}$. Ta có:

$$f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}=x-1+\dfrac1{x-1}.$$

a) Đúng.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x-1$.

Đặt $X=x-1$, $Y=y$, phương trình trở thành $Y=X+\dfrac1X$, là một hàm lẻ theo $X$.

Vì vậy đồ thị nhận $I(1;0)$ làm tâm đối xứng.

b) Sai.

Hàm số không xác định tại $x=1$, trong khi $1\in(0;2)$, nên không thể kết luận hàm số nghịch biến trên cả khoảng $(0;2)$.

Ta có:

$$f'(x)=1-\dfrac1{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(0;1)$ và $(1;2)$.

c) Đúng.

Phương trình $f'(x)=0$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=2$.

Tại $x=0$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên đồ thị có điểm cực đại $(0;-2)$.

Tại $x=2$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên đồ thị có điểm cực tiểu $(2;2)$.

d) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$$x-1+\dfrac1{x-1}=2x-2,\qquad x\ne1.$$

Suy ra:

$$\dfrac1{x-1}=x-1\iff(x-1)^2=1\iff x=0\ \text{hoặc}\ x=2.$$

Hai giao điểm là $A(0;-2)$ và $B(2;2)$.

Khoảng cách giữa chúng:

$$AB=\sqrt{(2-0)^2+[2-(-2)]^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5.$$

Câu 3

Xét $P(x)=-x^3+30x^2+900x-2000$ trên $[0;50]$.

a) Đúng.

$P(0)=-2000$ nghìn đồng, tức là xưởng lỗ $2$ triệu đồng.

b) Sai.

Đạo hàm đúng là:

$$P'(x)=-3x^2+60x+900=-3(x-30)(x+10).$$

c) Đúng.

Trên miền $0\le x\le50$, ta có $x+10>0$.

Vì vậy $P'(x)>0$ khi $0\le x<30$ và $P'(x)<0$ khi $30<x\le50$.

Lợi nhuận lớn nhất đạt tại $x=30$, tương ứng $30\cdot10=300$ sản phẩm.

d) Sai.

Lợi nhuận lớn nhất là:

$$P(30)=-30^3+30\cdot30^2+900\cdot30-2000=25000.$$

Đơn vị của $P$ là nghìn đồng, nên lợi nhuận lớn nhất bằng $25$ triệu đồng, không phải $27$ triệu đồng.

Câu 4

Ta có $f'(x)=x^2(x-3)$.

Với $x<3$ và $x\ne0$, đạo hàm âm; với $x>3$, đạo hàm dương.

a) Sai.

Mặc dù $f'(0)=0$, đạo hàm đều âm ở hai phía của $0$ nên không đổi dấu khi đi qua $0$.

Vì vậy $x=0$ không phải điểm cực trị của $f$.

b) Đúng.

Trên $(-\infty;3)$, ta có $f'(x)\le0$, dấu bằng chỉ xảy ra tại điểm cô lập $x=0$.

Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty;3)$.

c) Đúng.

Đạo hàm chỉ đổi dấu tại $x=3$, từ âm sang dương.

Vậy hàm số có đúng một điểm cực trị, là điểm cực tiểu tại $x=3$.

d) Sai.

Với $g(x)=f(x^2)$, áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp:

$$g'(x)=2x\,f'(x^2)=2x\cdot x^4(x^2-3)=2x^5(x^2-3).$$

Đạo hàm bằng $0$ tại $x=-\sqrt3$, $x=0$, $x=\sqrt3$.

Dấu của $g'$ lần lượt là:
$g'(x)<0$ trên $(-\infty;-\sqrt3)$.
$g'(x)>0$ trên $(-\sqrt3;0)$.
$g'(x)<0$ trên $(0;\sqrt3)$.
$g'(x)>0$ trên $(\sqrt3;+\infty)$.

Vì đạo hàm đổi dấu tại cả ba điểm trên, $g$ có đúng $3$ điểm cực trị, không phải $2$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

A. Bảng kết quả

B. Các bước tính toán chính

Câu 1

Gọi $x$ là cạnh hình vuông cắt ở mỗi góc, tính bằng centimét. Điều kiện $0<x<6$.

Chiếc hộp có chiều cao $x$, cạnh đáy $12-2x$. Thể tích là:

$$V(x)=x(12-2x)^2.$$

Đạo hàm:

$$V'(x)=(12-2x)^2-4x(12-2x)=(12-2x)(12-6x).$$

Với $0<x<6$, thừa số $12-2x$ dương. Do đó:
$V'(x)>0$ khi $0<x<2$.
$V'(x)<0$ khi $2<x<6$.

Vậy thể tích lớn nhất đạt tại $x=2$:

$$V_{\max}=2(12-4)^2=128.$$

Kết quả: $128$ cm³.

Câu 2

Một điểm bất kỳ trên $(C)$ có dạng $M(x;\sqrt x)$ với $x\ge0$.

Bình phương khoảng cách từ $A(3;0)$ đến $M$ là:

$$AM^2=(x-3)^2+x=x^2-5x+9=\left(x-\dfrac52\right)^2+\dfrac{11}{4}.$$

Vì $x=\dfrac52$ thuộc miền $x\ge0$, suy ra:

$$AM_{\min}=\sqrt{\dfrac{11}{4}}=\dfrac{\sqrt{11}}2\approx1,658312.$$

Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: $1,66$.

Câu 3

Gọi $a$ là chiều rộng phần in nội dung, tính bằng centimét, với $a>0$.

Chiều cao phần in là $\dfrac{384}{a}$. Kích thước toàn bộ áp phích là $a+4$ và $\dfrac{384}{a}+6$.

Diện tích toàn bộ áp phích:

$$S(a)=(a+4)\left(\dfrac{384}{a}+6\right)=408+6a+\dfrac{1536}{a}.$$

Đạo hàm:

$$S'(a)=6-\dfrac{1536}{a^2}=\dfrac{6(a-16)(a+16)}{a^2}.$$

Với $a>0$, đạo hàm âm khi $a<16$, dương khi $a>16$. Vì vậy $S$ nhỏ nhất tại $a=16$.

Khi đó chiều cao phần in là $\dfrac{384}{16}=24$ và:

$$S_{\min}=(16+4)(24+6)=600.$$

Kết quả: $600$ cm².

Câu 4

Tốc độ gia tăng số lượng vi khuẩn là:

$$N'(t)=600t-60t^2=1500-60(t-5)^2.$$

Trên đoạn $[0;10]$, biểu thức này lớn nhất khi $t=5$.

Kết quả: $5$ phút.

Lưu ý: Câu hỏi yêu cầu tìm thời điểm tốc độ tăng lớn nhất, tức là tìm giá trị lớn nhất của $N'(t)$, không phải của $N(t)$.

Câu 5

Đạo hàm của hàm số là:

$$y'=3x^2-6mx+3(m+2)=3\left[(x-m)^2+m+2-m^2\right].$$

Để hàm số đồng biến trên $\mathbb R$, cần và đủ $y'\ge0$ với mọi $x\in\mathbb R$. Trong trường hợp này, nếu đạo hàm có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cô lập, nên điều kiện trên bảo đảm tính đồng biến.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong ngoặc vuông là $m+2-m^2$, do đó:

$$m+2-m^2\ge0\iff(m-2)(m+1)\le0\iff-1\le m\le2.$$

Các giá trị nguyên thỏa mãn là $m=-1,0,1,2$.

Kết quả: $4$ giá trị.

Câu 6

Vì hành trình có độ dài cố định và dương, tổng chi phí nhỏ nhất khi chi phí trên mỗi kilômét nhỏ nhất.

Xét:

$$C(v)=\dfrac{v^2}{1000}+\dfrac{160}{v},\qquad20\le v\le80.$$

Ta có:

$$C'(v)=\dfrac{v}{500}-\dfrac{160}{v^2}=\dfrac{v^3-80000}{500v^2}.$$

Đạo hàm bằng $0$ khi:

$$v=\sqrt[3]{80000}\approx43,088694.$$

Giá trị này thuộc $[20;80]$. Trên đoạn đang xét, đạo hàm âm trước và dương sau giá trị đó nên chi phí đạt nhỏ nhất tại đây.

Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: $43,1$ km/h.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 1

Xét hàm số:

$$y=\dfrac{x^2+2x+5}{x+1}=x+1+\dfrac4{x+1}.$$

a) Tập xác định, chiều biến thiên và các điểm cực trị

Điều kiện xác định là $x+1\ne0$, do đó:

$$D=\mathbb R\setminus\{-1\}.$$

Đạo hàm:

$$y'=1-\dfrac4{(x+1)^2}=\dfrac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.$$

Trên tập xác định, mẫu số dương. Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm $x=-3$ và $x=1$.

Xét dấu đạo hàm:
$y'>0$ trên $(-\infty;-3)$ và $(1;+\infty)$.
$y'<0$ trên $(-3;-1)$ và $(-1;1)$.

Suy ra:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-3)$ và $(1;+\infty)$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-3;-1)$ và $(-1;1)$.

Tại $x=-3$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại:

$$y(-3)=-2+\dfrac4{-2}=-4.$$

Điểm cực đại của đồ thị là $A(-3;-4)$.

Tại $x=1$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu:

$$y(1)=2+\dfrac42=4.$$

Điểm cực tiểu của đồ thị là $B(1;4)$.

b) Các đường tiệm cận và tâm đối xứng

Từ biểu thức $y=x+1+\dfrac4{x+1}$, ta có:

$$\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,\qquad\lim_{x\to-1^+}y=+\infty.$$

Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$.

Mặt khác:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\left[y-(x+1)\right]=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac4{x+1}=0.$$

Vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+1$.

Hai tiệm cận giao nhau tại $I(-1;0)$. Đặt $X=x+1$, $Y=y$, phương trình đồ thị trở thành:

$$Y=X+\dfrac4X.$$

Vế phải là hàm lẻ theo $X$, nên tâm đối xứng của đồ thị là $I(-1;0)$.

c) Bảng biến thiên và đồ thị

Các giới hạn tại vô cực:

$$\lim_{x\to-\infty}y=-\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}y=+\infty.$$

Kết hợp các kết quả ở trên, ta có bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

Các dữ kiện để vẽ đồ thị:
Đồ thị có tâm đối xứng $I(-1;0)$.
Hai tiệm cận là $x=-1$ và $y=x+1$.
Hai điểm cực trị là $A(-3;-4)$ và $B(1;4)$.
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;5)$.
Vì $x^2+2x+5=(x+1)^2+4>0$ với mọi $x$, đồ thị không cắt trục hoành.
Với $x<-1$, đồ thị nằm dưới tiệm cận xiên; với $x>-1$, đồ thị nằm trên tiệm cận xiên.

[Đồ thị]

Câu 2

Xét $f(x)=x^3-3x+1$.

a) Tính đơn điệu và các giá trị cực trị

Tập xác định là $\mathbb R$.

Ta có:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Suy ra:
$f'(x)>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>1$.
$f'(x)<0$ khi $-1<x<1$.
$f'(x)=0$ khi $x=\pm1$.

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, nghịch biến trên $(-1;1)$.

Tại $x=-1$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại, với giá trị cực đại:

$$f(-1)=-1+3+1=3.$$

Tại $x=1$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu, với giá trị cực tiểu:

$$f(1)=1-3+1=-1.$$

Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

b) Chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm thực phân biệt và xác định các khoảng chứa nghiệm

Hàm số $f$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb R$.

Trên đoạn $[-2;-1]$, ta có:

$$f(-2)=-1<0,\qquad f(-1)=3>0.$$

Theo định lí giá trị trung gian, phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trong $(-2;-1)$.

Do $f$ đồng biến trên $(-\infty;-1)$, nghiệm này là duy nhất trong khoảng $(-\infty;-1)$.

Trên đoạn $[0;1]$, ta có:

$$f(0)=1>0,\qquad f(1)=-1<0.$$

Phương trình có ít nhất một nghiệm trong $(0;1)$. Vì $f$ nghịch biến trên $(-1;1)$, đây là nghiệm duy nhất trong $(-1;1)$.

Trên đoạn $[1;2]$, ta có:

$$f(1)=-1<0,\qquad f(2)=3>0.$$

Phương trình có ít nhất một nghiệm trong $(1;2)$. Vì $f$ đồng biến trên $(1;+\infty)$, đây là nghiệm duy nhất trong $(1;+\infty)$.

Ngoài ra, $f(-1)\ne0$ và $f(1)\ne0$.

Kết luận: Phương trình $x^3-3x+1=0$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt; mỗi khoảng $(-2;-1)$, $(0;1)$ và $(1;2)$ chứa đúng một nghiệm.

Câu 3

[Hình vẽ]

a) Biểu diễn chiều cao và tổng chi phí theo bán kính

Gọi $r>0$ là bán kính đáy và $h>0$ là chiều cao, cùng tính bằng centimét.

Theo giả thiết về thể tích:

$$\pi r^2h=256\pi\implies h=\dfrac{256}{r^2}.$$

Diện tích hai đáy là $2\pi r^2$, nên chi phí làm hai đáy bằng:

$$200\cdot2\pi r^2=400\pi r^2.$$

Diện tích mặt xung quanh là $2\pi rh$, nên chi phí làm mặt xung quanh bằng:

$$100\cdot2\pi rh=200\pi rh.$$

Tổng chi phí vật liệu, tính bằng đồng:

$$C(r)=400\pi r^2+200\pi r\cdot\dfrac{256}{r^2} =400\pi r^2+\dfrac{51200\pi}{r},\qquad r>0.$$

Vậy:

$$h(r)=\dfrac{256}{r^2},\qquad C(r)=400\pi r^2+\dfrac{51200\pi}{r}.$$

b) Tìm kích thước và chi phí nhỏ nhất

Đạo hàm:

$$C'(r)=800\pi r-\dfrac{51200\pi}{r^2} =\dfrac{800\pi(r^3-64)}{r^2}.$$

Vì $r>0$, dấu của $C'(r)$ là dấu của $r^3-64$.

Do đó:
$C'(r)<0$ khi $0<r<4$.
$C'(r)=0$ khi $r=4$.
$C'(r)>0$ khi $r>4$.

Suy ra $C$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty)$ tại $r=4$.

Chiều cao tương ứng:

$$h=\dfrac{256}{4^2}=16.$$

Chi phí nhỏ nhất:

$$C_{\min}=400\pi\cdot4^2+\dfrac{51200\pi}{4} =6400\pi+12800\pi=19200\pi.$$

Kết luận: Bán kính đáy bằng $4$ cm, chiều cao bằng $16$ cm; chi phí vật liệu nhỏ nhất là $19200\pi$ đồng, xấp xỉ $60318,58$ đồng.

Câu 4

[Hình vẽ]

a) Lập hàm số tổng thời gian

Đặt $HM=x$ km. Vì $M$ thuộc đoạn $HB$ và $HB=8$ km nên:

$$0\le x\le8.$$

Tam giác $AHM$ vuông tại $H$, do đó:

$$AM=\sqrt{AH^2+HM^2}=\sqrt{9+x^2}.$$

Quãng đường đi bộ:

$$MB=HB-HM=8-x.$$

Thời gian chèo thuyền là $\dfrac{\sqrt{9+x^2}}5$ giờ; thời gian đi bộ là $\dfrac{8-x}{6}$ giờ.

Vậy tổng thời gian:

$$T(x)=\dfrac{\sqrt{9+x^2}}5+\dfrac{8-x}{6},\qquad x\in[0;8].$$

b) Xác định vị trí cập bờ tối ưu và thời gian nhỏ nhất

Hàm số $T$ liên tục trên $[0;8]$. Đạo hàm:

$$T'(x)=\dfrac{x}{5\sqrt{9+x^2}}-\dfrac16 =\dfrac{6x-5\sqrt{9+x^2}}{30\sqrt{9+x^2}}.$$

Giải phương trình $T'(x)=0$:

$$6x=5\sqrt{9+x^2}.$$

Vì $x\ge0$, hai vế đều không âm, nên bình phương tương đương:

$$36x^2=25(9+x^2)\iff11x^2=225.$$

Suy ra: