KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2025 - BÀI THI TOÁN

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ là đường thẳng

Câu 3 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; -2; 3)$ và $\overrightarrow{v} = (2; 0; -1)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 - 2\sin x$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tự học ở nhà mỗi ngày của một nhóm học sinh lớp 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P): 2x - y + 3z - 4 = 0$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Bảng biến thiên trên là của hàm số nào dưới đây?

Câu 8 (0,25 điểm). Biết $\int_1^3 f(x)\,dx = 4$ và $\int_1^3 g(x)\,dx = -1$. Khi đó $\int_1^3 [2f(x) + 3g(x)]\,dx$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kỳ thoả mãn $P(A) = 0,4$; $P(B|A) = 0,7$. Xác suất của biến cố giao $A \cap B$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 25$ có bán kính $R$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 0; 1)$ và $\overrightarrow{b} = (0; 1; 1)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
c) Đường thẳng $y = x - 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm $M(0; -3)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Một chiếc xe máy đang di chuyển thẳng đều với vận tốc không đổi $v_1 = 15\text{ m/s}$ thì vượt qua một xe ô tô đang dừng chờ tại vạch xuất phát. Đúng thời điểm đó, ô tô bắt đầu chuyển động đuổi theo xe máy với gia tốc thay đổi theo thời gian $a(t) = 1,2 - 0,04t$ ($\text{m/s}^2$) trong $30$ giây đầu tiên (với $t$ tính bằng giây, $0 \le t \le 30$); từ giây thứ $30$ trở đi, ô tô duy trì chuyển động thẳng đều với vận tốc đạt được tại thời điểm $t = 30\text{ s}$.
a) Vận tốc của ô tô sau $10$ giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động là $10\text{ m/s}$.
b) Trong $30$ giây đầu tiên, vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 30\text{ s}$.
c) Quãng đường ô tô đi được trong $30$ giây đầu tiên là $420\text{ m}$.
d) Kể từ thời điểm bắt đầu chuyển động, sau đúng $60$ giây thì ô tô đuổi kịp xe máy.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), mặt phẳng $(Oxy)$ biểu diễn mặt đất. Một trạm radar cảnh giới đặt tại gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ có phạm vi phát hiện mục tiêu trong vùng không gian là hình bán cầu tâm $O$ bán kính $R = 25\text{ km}$ ($z \ge 0$). Lúc 8 giờ 00 phút, trạm radar phát hiện một thiết bị bay không người lái (UAV) bay thẳng đều ở độ cao không đổi từ vị trí $A(-60; -45; 20)$. Đến 8 giờ 05 phút, UAV đến vị trí $B(-40; -30; 20)$.
a) Vectơ vận tốc của UAV có tọa độ là $\vec{v} = (4; 3; 0)$ (đơn vị: km/phút).
b) Khoảng cách ngắn nhất từ UAV đến trạm radar $O$ trong suốt hành trình bay bằng $20\text{ km}$.
c) UAV bắt đầu đi vào phạm vi quét của trạm radar lúc 8 giờ 10 phút.
d) Đúng thời điểm UAV bắt đầu đi vào phạm vi quét của radar, một tên lửa phòng không được phóng từ trận địa $M(0; -15; 0)$ để đánh chặn UAV tại vị trí nó bay gần trạm radar nhất. Giả sử tên lửa bay thẳng đều, để đánh chặn chính xác mục tiêu thì tốc độ trung bình của tên lửa phải bằng $500\text{ km/h}$.

Câu 4 (1,0 điểm). Trong một đợt khám sức khỏe tổng quát định kỳ cho một công ty, người ta làm xét nghiệm sàng lọc một loại bệnh $X$. Biết rằng trong công ty đó có $5\%$ số nhân viên thực sự mắc bệnh $X$. Kết quả xét nghiệm có độ chính xác như sau:
- Đối với người mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $96\%$.
- Đối với người không mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính giả là $4\%$.
Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty đi làm xét nghiệm.
a) Xác suất nhân viên đó không mắc bệnh $X$ là 0,95.
b) Xác suất nhân viên đó mắc bệnh và nhận kết quả xét nghiệm dương tính là 0,048.
c) Xác suất nhân viên nhận được kết quả xét nghiệm dương tính là 0,086.
d) Biết rằng nhân viên đó nhận kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất nhân viên đó thực sự mắc bệnh $X$ lớn hơn $60\%$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Số đo của góc nhị diện $[S, BC, A]$ bằng bao nhiêu độ?

Câu 2 (0,5 điểm). Một xưởng cơ khí chính xác nhận gia công hai loại chi tiết máy cao cấp $X$ và $Y$ trên ba hệ thống máy tự động: máy tiện CNC, máy phay CNC và máy mài phẳng.
- Để gia công 1 chi tiết loại $X$ cần 2 giờ trên máy tiện, 1 giờ trên máy phay và 1 giờ trên máy mài.
- Để gia công 1 chi tiết loại $Y$ cần 1 giờ trên máy tiện, 2 giờ trên máy phay và 3 giờ trên máy mài.
Trong một tuần, thời gian hoạt động tối đa sẵn sàng của máy tiện là 180 giờ, máy phay là 150 giờ và máy mài là 210 giờ. Theo hợp đồng đã ký kết, xưởng phải sản xuất số chi tiết loại $Y$ không vượt quá số chi tiết loại $X$ quá 30 chi tiết. Mỗi chi tiết loại $X$ mang lại lợi nhuận 4 triệu đồng, mỗi chi tiết loại $Y$ mang lại lợi nhuận 5 triệu đồng. Lợi nhuận lớn nhất mà xưởng có thể thu được trong một tuần bằng bao nhiêu triệu đồng?

Câu 3 (0,5 điểm). Một mô hình lều trại dã ngoại có đáy tiếp xúc với mặt đất nằm ngang là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $4\text{ m}$. Khung lều gồm hai vòm thép hình parabol đối xứng nhau, nằm trong hai mặt phẳng thẳng đứng đi qua hai đường chéo $AC$ và $BD$, cùng có đỉnh chung $S$ cách mặt đất $3\text{ m}$ (hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt đất là tâm của hình vuông $ABCD$). Khi cắt lều bởi bất kỳ mặt phẳng nào song song với mặt đất, thiết diện thu được luôn là một hình vuông có bốn đỉnh nằm trên hai vòm parabol đó. Tính thể tích không gian phía trong của lều trại đó theo đơn vị mét khối.

Câu 4 (0,5 điểm). Một người gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất liên tiếp 4 lần. Tính xác suất để tích của 4 số chấm xuất hiện ở 4 lần gieo là một số chia hết cho 10 nhưng không chia hết cho 20 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 5 (0,5 điểm). Trong một giải đấu thể thao điện tử, có 6 đội tuyển thi đấu vòng tròn một lượt (mỗi đội thi đấu đúng một trận với từng đội còn lại, không có trận hòa). Trong mỗi trận đấu, xác suất giành chiến thắng của hai đội là như nhau (bằng 0,5). Tính xác suất để khi kết thúc giải đấu, không có bất kỳ đội nào thắng tất cả các trận và cũng không có bất kỳ đội nào thua tất cả các trận (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại thiết bị điện tử với hàm tổng chi phí được cho bởi $C(x) = x^2 + 40x + 500$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số lượng thiết bị sản xuất và bán ra thị trường ($x > 0$). Giá bán $p(x)$ của mỗi thiết bị phụ thuộc vào lượng sản phẩm cung ứng theo hàm số cầu $p(x) = 280 - 2x$ (triệu đồng/sản phẩm). Biết rằng nhà nước áp mức thuế cố định 30 triệu đồng trên mỗi sản phẩm bán ra. Doanh nghiệp cần sản xuất và bán ra bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận sau khi trừ thuế thu được là lớn nhất?

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

A. ĐÁP ÁN PHẦN I (12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

Giải thích tóm tắt một số câu Phần I:
- Câu 1. B. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(2; +\infty)$.
- Câu 2. A. $\lim\limits_{x \to -1} y = \infty \Rightarrow x = -1$ là tiệm cận đứng.
- Câu 3. A. $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (1+2; -2+0; 3-1) = (3; -2; 2)$.
- Câu 4. A. $\int (3x^2 - 2\sin x)\,dx = x^3 + 2\cos x + C$.
- Câu 5. A. $R = 150 - 0 = 150$.
- Câu 6. A. $\overrightarrow{n} = (2; -1; 3)$.
- Câu 7. A. Bảng biến thiên có tiệm cận đứng $x = -1$, tiệm cận ngang $y = 2$ và đạo hàm luôn dương ($y' > 0$) trên từng khoảng xác định. Hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ có $y' = \dfrac{3}{(x+1)^2} > 0$ thỏa mãn.
- Câu 8. A. $2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$.
- Câu 9. A. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = 0,4 \cdot 0,7 = 0,28$.
- Câu 10. A. $R = \sqrt{25} = 5$.
- Câu 11. A. $f'(x) = 4x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$. Ta có $f(0) = 3$, $f(1) = 2$, $f(2) = 11 \Rightarrow \max_{[0; 2]} f(x) = 11$.
- Câu 12. A. $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \dfrac{1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{\sqrt{1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2}} = \dfrac{1}{2}$.

B. ĐÁP ÁN PHẦN II (4 câu, 4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm theo quy định của Bộ GD&ĐT:
- Thí sinh chỉ chọn chính xác 01 ý trong 01 câu được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ chọn chính xác 02 ý trong 01 câu được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ chọn chính xác 03 ý trong 01 câu được 0,5 điểm.
- Thí sinh chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu được 1,0 điểm.

Giải thích chi tiết Câu 3:
- Ta có $\overrightarrow{AB} = (-40 - (-60); -30 - (-45); 20 - 20) = (20; 15; 0)$.
Thời gian bay từ $A$ đến $B$ là $\Delta t = 5$ phút.
Vectơ vận tốc của UAV: $\vec{v} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB} = (4; 3; 0)$ (km/phút). Vậy ý a) Đúng.
- Chọn mốc thời gian $t = 0$ lúc 8 giờ 00 phút tại $A(-60; -45; 20)$, phương trình chuyển động của UAV theo thời gian $t$ (phút) là:
$\begin{cases} x(t) = -60 + 4t \\ y(t) = -45 + 3t \\ z(t) = 20 \end{cases}$
Khoảng cách từ UAV đến trạm radar $O(0; 0; 0)$ tại thời điểm $t$:
$d^2(t) = (-60 + 4t)^2 + (-45 + 3t)^2 + 20^2 = 16(t - 15)^2 + 9(t - 15)^2 + 400 = 25(t - 15)^2 + 400$.
Do $25(t - 15)^2 \ge 0$ nên $d^2(t) \ge 400 \Rightarrow d(t) \ge \sqrt{400} = 20\text{ km}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $t = 15$ (tức lúc 8 giờ 15 phút), khi đó UAV ở vị trí $H(0; 0; 20)$. Vậy ý b) Đúng.
- UAV bắt đầu đi vào vùng phủ sóng của trạm radar khi $d(t) \le R = 25\text{ km}$:
$25(t - 15)^2 + 400 \le 625 \Leftrightarrow 25(t - 15)^2 \le 225 \Leftrightarrow (t - 15)^2 \le 9 \Leftrightarrow |t - 15| \le 3 \Leftrightarrow 12 \le t \le 18$.
Thời điểm đầu tiên UAV đi vào vùng radar là $t = 12$ phút, tức vào lúc 8 giờ 12 phút (không phải 8 giờ 10 phút). Vậy ý c) Sai.
- Tại thời điểm $t = 12$ (lúc 8 giờ 12 phút), tên lửa được phóng từ $M(0; -15; 0)$ đến vị trí $H(0; 0; 20)$ lúc $t = 15$ (8 giờ 15 phút).
Thời gian bay của tên lửa: $\Delta t_{\text{tl}} = 15 - 12 = 3\text{ phút} = \dfrac{1}{20}\text{ giờ}$.
Khoảng cách từ điểm phóng $M$ đến điểm đánh chặn $H$:
$MH = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - (-15))^2 + (20 - 0)^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25\text{ km}$.
Tốc độ trung bình cần đạt của tên lửa:
$v_{\text{tl}} = \dfrac{MH}{\Delta t_{\text{tl}}} = \dfrac{25}{\dfrac{1}{20}} = 500\text{ km/h}$. Vậy ý d) Đúng.

C. ĐÁP ÁN PHẦN III (6 câu, mỗi câu 0,5 điểm)

Lời giải chi tiết Phần III:
- Câu 1. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM \perp BC$ và $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác $SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC$. Từ đó suy ra $BC \perp (SAM) \Rightarrow SM \perp BC$.
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[S, BC, A]$ là góc $\widehat{SMA}$.
Xét tam giác $SAM$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SMA} = \dfrac{SA}{AM} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = 1 \Rightarrow \widehat{SMA} = 45^\circ$.
Đáp số: 45.

- Câu 2. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số chi tiết máy loại $X$ và loại $Y$ được gia công trong một tuần ($x \ge 0, y \ge 0$).
Hệ bất phương trình biểu diễn các ràng buộc kỹ thuật và hợp đồng:
$\begin{cases} 2x + y \le 180 &\text{(thời gian máy tiện)} \\ x + 2y \le 150 &\text{(thời gian máy phay)} \\ x + 3y \le 210 &\text{(thời gian máy mài)} \\ y - x \le 30 &\text{(ràng buộc hợp đồng)} \\ x \ge 0,\; y \ge 0 \end{cases}$
Miền nghiệm của hệ là ngũ giác $OABCD$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với toạ độ các đỉnh:
- $O(0; 0)$.
- $A(90; 0)$ là giao điểm của đường thẳng $2x + y = 180$ với trục hoành $y = 0$.
- $B(70; 40)$ là giao điểm của hai đường thẳng $2x + y = 180$ và $x + 2y = 150$.
- $C(30; 60)$ là giao điểm của hai đường thẳng $x + 2y = 150$ và $y - x = 30$ (điểm này cũng đồng thời thuộc đường thẳng $x + 3y = 210$).
- $D(0; 30)$ là giao điểm của đường thẳng $y - x = 30$ với trục tung $x = 0$.
Hàm mục tiêu biểu thị tổng lợi nhuận: $F(x, y) = 4x + 5y$ (triệu đồng).
Tính giá trị tại các đỉnh của miền nghiệm:
$F(0, 0) = 0$;
$F(90, 0) = 4(90) + 5(0) = 360$;
$F(70, 40) = 4(70) + 5(40) = 280 + 200 = 480$;
$F(30, 60) = 4(30) + 5(60) = 120 + 300 = 420$;
$F(0, 30) = 4(0) + 5(30) = 150$.
Vậy lợi nhuận lớn nhất mà xưởng có thể thu được là 480 triệu đồng (đạt được khi gia công 70 chi tiết loại $X$ và 40 chi tiết loại $Y$).
Đáp số: 480.

- Câu 3. Chọn trục thẳng đứng $Oz$ có gốc $O$ trùng với tâm đáy hình vuông $ABCD$, chiều dương hướng lên trên. Mặt đất trùng với mặt phẳng $z = 0$, đỉnh lều tại $S(0; 0; 3)$.
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4\text{ m}$ nên độ dài đường chéo $AC = BD = 4\sqrt{2}\text{ m}$.
Khoảng cách từ tâm $O$ đến các đỉnh đáy bằng $R = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\text{ m}$.
Trong mặt phẳng thẳng đứng chứa đường chéo $AC$, vòm thép là một parabol có đỉnh $S(0; 3)$ và đi qua điểm $(2\sqrt{2}; 0)$, phương trình có dạng:
$z = 3 - k r^2 \Rightarrow 0 = 3 - k(2\sqrt{2})^2 \Rightarrow 8k = 3 \Rightarrow k = \dfrac{3}{8}$.
Ở độ cao $z$ ($0 \le z \le 3$), thiết diện cắt song song với mặt đất là một hình vuông có bốn đỉnh thuộc các vòm parabol. Bán kính từ tâm đến đỉnh của hình vuông thiết diện là:
$r(z) = \sqrt{\dfrac{3 - z}{k}} = \sqrt{\dfrac{8(3 - z)}{3}}$.
Độ dài đường chéo của hình vuông thiết diện bằng $2r(z)$, do đó diện tích thiết diện là:
$S(z) = \dfrac{1}{2} [2r(z)]^2 = 2 r^2(z) = 2 \cdot \dfrac{8(3 - z)}{3} = \dfrac{16}{3}(3 - z)$.
Thể tích không gian phía trong lều trại:
$V = \int_0^3 S(z)\,dz = \int_0^3 \dfrac{16}{3}(3 - z)\,dz = \dfrac{16}{3} \left.\left(3z - \dfrac{z^2}{2}\right)\right|_0^3 = \dfrac{16}{3} \left(9 - \dfrac{9}{2}\right) = \dfrac{16}{3} \cdot \dfrac{9}{2} = 24\text{ m}^3$.
Đáp số: 24.

- Câu 4. Không gian mẫu là số kết quả có thể khi gieo xúc xắc liên tiếp 4 lần: $n(\Omega) = 6^4 = 1\,296$.
Gọi $x_1, x_2, x_3, x_4 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ là số chấm ở 4 lần gieo, tích $T = x_1 x_2 x_3 x_4$.
Phân tích tiêu chuẩn của 10 và 20: $10 = 2 \times 5$; $20 = 2^2 \times 5$.
Điều kiện để $T$ chia hết cho 10 nhưng không chia hết cho 20 tương đương với:
- Bậc của thừa số nguyên tố 2 trong phân tích của $T$ đúng bằng 1.
- Bậc của thừa số nguyên tố 5 trong phân tích của $T$ lớn hơn hoặc bằng 1.
Xét số lượng thừa số 2 của từng mặt xúc xắc:
- Mặt có đúng một thừa số 2 là $\{2; 6\}$.
- Mặt chứa từ hai thừa số 2 trở lên là $\{4\}$.
- Mặt lẻ (không chứa thừa số 2) là $\{1; 3; 5\}$.
Để $T$ có đúng một thừa số 2:
- Tuyệt đối không xuất hiện mặt 4 trong 4 lần gieo.
- Phải có đúng một lần gieo xuất hiện mặt thuộc tập $\{2; 6\}$: có $C_4^1 = 4$ vị trí để chọn, mỗi vị trí có 2 cách chọn (mặt 2 hoặc mặt 6).
- Cả 3 lần gieo còn lại bắt buộc phải xuất hiện các mặt lẻ thuộc $\{1; 3; 5\}$.
Đồng thời, để $T$ chia hết cho 5 thì trong 3 lần gieo mặt lẻ đó phải có ít nhất một lần xuất hiện mặt 5:
- Số cách chọn mặt lẻ cho 3 lần gieo bất kỳ là $3^3 = 27$ cách.
- Số cách chọn mặt lẻ mà không có mặt 5 nào (chỉ dùng $\{1; 3\}$) là $2^3 = 8$ cách.
- Số cách chọn 3 lần gieo mặt lẻ có ít nhất một mặt 5 là $27 - 8 = 19$ cách.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố:
$n(E) = 4 \times 2 \times 19 = 152$.
Xác suất cần tìm:
$P(E) = \dfrac{152}{1\,296} = \dfrac{19}{162} \approx 0,11728... \approx 0,12$.
Đáp số: 0,12.

- Câu 5. Với 6 đội thi đấu vòng tròn một lượt, tổng số trận đấu diễn ra là $C_6^2 = 15$ trận.
Mỗi trận đấu có 2 kết quả có thể (thắng hoặc thua), nên số phần tử không gian mẫu là:
$n(\Omega) = 2^{15} = 32\,768$.
Gọi $A_i$ là biến cố "Đội thứ $i$ thắng cả 5 trận" ($i = 1, 2, \dots, 6$).
Gọi $B_j$ là biến cố "Đội thứ $j$ thua cả 5 trận" ($j = 1, 2, \dots, 6$).
Biến cố cần tính xác suất là: không có đội nào toàn thắng và không có đội nào toàn thua, tức biến cố đối của $(\bigcup_{i=1}^6 A_i) \cup (\bigcup_{j=1}^6 B_j)$.
Sử dụng nguyên lý bù trừ:
- Trong mỗi trận đối đầu giữa hai đội bất kỳ, chỉ có một đội thắng nên không thể có hai đội cùng toàn thắng: $A_i \cap A_k = \emptyset$ với mọi $i \ne k$. Tương tự, $B_j \cap B_l = \emptyset$ với mọi $j \ne l$.
- Với mỗi đội $i$, biến cố $A_i$ xảy ra khi kết quả 5 trận của đội $i$ được xác định (đều thắng), 10 trận còn lại giữa các đội khác tùy ý: $|A_i| = 2^{15 - 5} = 2^{10} = 1\,024$.
Do đó $\sum_{i=1}^6 |A_i| = 6 \times 1\,024 = 6\,144$.
- Tương tự, $\sum_{j=1}^6 |B_j| = 6 \times 2^{10} = 6\,144$.
- Xét biến cố $A_i \cap B_j$ ($i \ne j$, đội $i$ thắng cả 5 trận và đội $j$ thua cả 5 trận):
Khi đó trận đấu giữa đội $i$ và đội $j$ thì đội $i$ thắng (thỏa mãn cả hai điều kiện).
Đội $i$ đấu 5 trận (thắng cả 5), đội $j$ đấu 4 trận còn lại (thua cả 4).
Tổng cộng có $5 + 4 = 9$ trận đấu đã cố định kết quả.
Số trận đấu còn lại giữa 4 đội khác là $15 - 9 = 6$ trận, có thể diễn ra tùy ý.
Do đó $|A_i \cap B_j| = 2^6 = 64$.
Số cặp $(i, j)$ với $i \ne j$ là $6 \times 5 = 30$ cặp.
Vậy $\sum_{i \ne j} |A_i \cap B_j| = 30 \times 64 = 1\,920$.
- Các giao từ ba biến cố trở lên đều bằng rỗng do không thể có hai biến cố cùng loại cùng xảy ra.
Số kết quả mà có ít nhất một đội toàn thắng hoặc toàn thua:
$N_{\text{xấu}} = 6\,144 + 6\,144 - 1\,920 = 10\,368$.
Số kết quả thỏa mãn yêu cầu bài toán:
$N_{\text{tốt}} = 32\,768 - 10\,368 = 22\,400$.
Xác suất cần tính:
$P = \dfrac{22\,400}{32\,768} = \dfrac{175}{256} \approx 0,68359... \approx 0,68$.
Đáp số: 0,68.

- Câu 6. Tổng doanh thu khi bán $x$ sản phẩm: $R(x) = x \cdot p(x) = x(280 - 2x) = 280x - 2x^2$ (triệu đồng).
Tổng số tiền thuế doanh nghiệp phải nộp cho $x$ sản phẩm: $T(x) = 30x$ (triệu đồng).
Hàm số biểu thị lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp:
$\pi(x) = R(x) - C(x) - T(x) = (280x - 2x^2) - (x^2 + 40x + 500) - 30x = -3x^2 + 210x - 500$.
Đạo hàm: $\pi'(x) = -6x + 210$.
Cho $\pi'(x) = 0 \Leftrightarrow -6x + 210 = 0 \Leftrightarrow x = 35$.
Vì hàm số bậc hai có hệ số $a = -3 < 0$ nên lợi nhuận sau thuế đạt cực đại tại đỉnh $x = 35$.
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất và bán ra 35 sản phẩm.
Đáp số: 35.