Hai đề tham khảo HSG giải toán trên MTCT Toán 12

Mỗi câu 1,0 điểm. Nếu kết quả tính không phải là số nguyên, ghi phần thập phân đến 5 chữ số, không làm tròn. Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hoặc công thức tính.

Câu 1 (1,0 điểm). Thời gian hoàn thành một nhiệm vụ của 8 học sinh được ghi lại như sau:

Chuyển mẫu số liệu trên thành mẫu số liệu ghép nhóm gồm hai nhóm $[0;2)$ và $[2;4)$. Tính $\left|s_g-s_n\right|$, trong đó $s_g$ và $s_n$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm.

Câu 2 (1,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình

$$\log_2^2 x-5\log_2 x+6=0.$$

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=\sin^2 x$. Tính

$$S=f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right).$$

Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=mx+\dfrac{1}{x}$ có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến đường tiệm cận xiên của đồ thị bằng $\sqrt{2}$.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=(n+1)(n+2)$, $n\in\mathbb{N}^*$. Tính

$$S_{10}=\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{u_2}+\cdots+\dfrac{1}{u_{10}}.$$

Câu 6 (1,0 điểm). Từ một tấm bìa hình vuông cạnh 12 dm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, sau đó gấp các phần còn lại để tạo thành một hộp không nắp. Tính thể tích lớn nhất của hộp, theo đơn vị dm$^3$.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, một thiết bị chuyển động theo đường thẳng đi qua hai vị trí $M(1;2;2)$ và $N(4;2;2)$. Mỗi đơn vị trên trục tọa độ ứng với 10 km. Tính khoảng cách nhỏ nhất từ thiết bị đến gốc tọa độ $O$, theo đơn vị km.

Câu 8 (1,0 điểm). Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=a$, $AD=2a$, $AA'=3a$, với $a>0$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A'BC$. Biết thể tích khối chóp $G.ABCD$ bằng $\dfrac{ma^3}{n}$, trong đó $m,n\in\mathbb{N}^*$ và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính $P=m\sqrt{n}$.

Câu 9 (1,0 điểm). Một con bọ xuất phát từ góc dưới bên trái của một lưới hình chữ nhật gồm 5 cột và 4 hàng ô vuông đơn vị. Mỗi bước, nó đi dọc theo cạnh của một ô vuông, sang phải hoặc lên trên đúng một đơn vị, cho đến góc trên bên phải. Giả sử các đường đi như vậy có cùng khả năng xảy ra. Tính xác suất để con bọ không đi sang phải hai lần liên tiếp.

Câu 10 (1,0 điểm). Cho đa thức

$$f(x)=(1+x)+(1+2x)^2+\cdots+(1+nx)^n=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,$$

trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn

$$C_n^1+2C_n^2+\cdots+2^{n-1}C_n^n=364.$$

Tính $S=a_0+a_1+\cdots+a_n$.

--------- HẾT ĐỀ SỐ 1 ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

Mỗi câu 1,0 điểm. Nếu kết quả tính không phải là số nguyên, ghi phần thập phân đến 5 chữ số, không làm tròn. Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hoặc công thức tính.

Câu 1 (1,0 điểm). Thời gian hoàn thành một bài thực hành của 8 học sinh được ghi lại như sau:

Chuyển mẫu số liệu trên thành mẫu số liệu ghép nhóm gồm hai nhóm $[1;3)$ và $[3;5)$. Tính $\left|s_g-s_n\right|$, trong đó $s_g$ và $s_n$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm.

Câu 2 (1,0 điểm). Tính tích các nghiệm của phương trình

$$\log_3^2 x-4\log_3 x+3=0.$$

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=\cos^2 x$. Tính

$$S=f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right).$$

Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=mx+\dfrac{1}{x}$ có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến đường tiệm cận xiên của đồ thị bằng $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=(n+2)(n+3)$, $n\in\mathbb{N}^*$. Tính

$$S_{10}=\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{u_2}+\cdots+\dfrac{1}{u_{10}}.$$

Câu 6 (1,0 điểm). Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài 16 dm và chiều rộng 10 dm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, sau đó gấp các phần còn lại để tạo thành một hộp không nắp. Tính thể tích lớn nhất của hộp, theo đơn vị dm$^3$.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, một thiết bị chuyển động theo đường thẳng đi qua hai vị trí $M(1;2;2)$ và $N(1;5;2)$. Mỗi đơn vị trên trục tọa độ ứng với 20 km. Tính khoảng cách nhỏ nhất từ thiết bị đến gốc tọa độ $O$, theo đơn vị km.

Câu 8 (1,0 điểm). Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=a$, $AD=3a$, $AA'=2a$, với $a>0$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A'B'C$. Biết thể tích khối chóp $G.ABCD$ bằng $\dfrac{ma^3}{n}$, trong đó $m,n\in\mathbb{N}^*$ và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính $P=m\sqrt{n}$.

Câu 9 (1,0 điểm). Một con bọ xuất phát từ góc dưới bên trái của một lưới hình vuông gồm 4 cột và 4 hàng ô vuông đơn vị. Mỗi bước, nó đi dọc theo cạnh của một ô vuông, sang phải hoặc lên trên đúng một đơn vị, cho đến góc trên bên phải. Giả sử các đường đi như vậy có cùng khả năng xảy ra. Tính xác suất để con bọ không đi sang phải hai lần liên tiếp.

Câu 10 (1,0 điểm). Cho đa thức

$$f(x)=(1+x)+(1+2x)^2+\cdots+(1+nx)^n=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,$$

trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn

$$C_n^1+3C_n^2+\cdots+3^{n-1}C_n^n=341.$$

Tính $S=a_0+a_1+\cdots+a_n$.

--------- HẾT ĐỀ SỐ 2 ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ CÁCH TÍNH TÓM TẮT

Kết quả thập phân dưới đây được ghi đến 5 chữ số sau dấu phẩy, không làm tròn.

ĐỀ SỐ 1

Câu 1. Tần số của hai nhóm lần lượt là $4$ và $4$; giá trị đại diện lần lượt là $1$ và $3$. Ta có $s_g=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$, $s_n=1$. Vậy $\left|s_g-s_n\right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}-1=0{,}11803\ldots$

Câu 2. Đặt $t=\log_2 x$, suy ra $t=2$ hoặc $t=3$. Hai nghiệm là $4$ và $8$; tổng bằng $\mathbf{12}$.

Câu 3. Vì $f'(x)=\sin 2x$ nên $S=1+\sqrt{3}=2{,}73205\ldots$

Câu 4. Hàm số có cực trị khi $m>0$; điểm cực tiểu là $\left(\dfrac{1}{\sqrt m};2\sqrt m\right)$. Khoảng cách đến đường thẳng $y=mx$ bằng $\dfrac{2\sqrt m}{\sqrt{m^2+1}}$. Điều kiện đề bài tương đương $(m-1)^2=0$. Vậy $\mathbf{m=1}$.

Câu 5. Do $\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}$ nên $S_{10}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{12}=0{,}41666\ldots$

Câu 6. Gọi $x$ là cạnh hình vuông bị cắt, $0<x<6$. Thể tích hộp là $V(x)=x(12-2x)^2$. Xét đạo hàm, $V$ đạt lớn nhất tại $x=2$. Vậy thể tích lớn nhất là $\mathbf{128}$ dm$^3$.

Câu 7. Đường chuyển động có dạng $(x;2;2)$ với $x\in\mathbb{R}$. Khoảng cách nhỏ nhất đến $O$ là $10\sqrt{2^2+2^2}=20\sqrt{2}=28{,}28427\ldots$ km.

Câu 8. Diện tích đáy là $2a^2$; khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng đáy là $\dfrac{AA'}{3}=a$. Do đó $V_{G.ABCD}=\dfrac{2a^3}{3}$, suy ra $m=2$, $n=3$ và $P=2\sqrt{3}=3{,}46410\ldots$

Câu 9. Có $C_9^5=126$ đường đi. Để không có hai bước sang phải liên tiếp, năm bước sang phải phải chiếm cả năm vị trí trống trước, giữa và sau bốn bước lên trên. Có đúng một đường đi thỏa mãn. Xác suất là $\dfrac{1}{126}=0{,}00793\ldots$

Câu 10. Theo nhị thức Newton, $\dfrac{3^n-1}{2}=364$, suy ra $n=6$. Do đó

$$S=f(1)=2+3^2+4^3+5^4+6^5+7^6=126129.$$

ĐỀ SỐ 2

Câu 1. Tần số của hai nhóm lần lượt là $4$ và $4$; giá trị đại diện lần lượt là $2$ và $4$. Ta có $s_g=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$, $s_n=1$. Vậy $\left|s_g-s_n\right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}-1=0{,}11803\ldots$

Câu 2. Đặt $t=\log_3 x$, suy ra $t=1$ hoặc $t=3$. Hai nghiệm là $3$ và $27$; tích bằng $\mathbf{81}$.

Câu 3. Vì $f'(x)=-\sin 2x$ nên $S=1-\sqrt{3}=-0{,}73205\ldots$

Câu 4. Hàm số có cực trị khi $m>0$; khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường tiệm cận xiên bằng $\dfrac{2\sqrt m}{\sqrt{m^2+1}}$. Điều kiện đề bài tương đương $m^2-5m+1=0$. Vậy $m=\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}=0{,}20871\ldots$ hoặc $m=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}=4{,}79128\ldots$

Câu 5. Do $\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+3}$ nên $S_{10}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{13}=\dfrac{10}{39}=0{,}25641\ldots$

Câu 6. Gọi $x$ là cạnh hình vuông bị cắt, $0<x<5$. Thể tích hộp là $V(x)=x(16-2x)(10-2x)$. Xét đạo hàm, $V$ đạt lớn nhất tại $x=2$. Vậy thể tích lớn nhất là $\mathbf{144}$ dm$^3$.

Câu 7. Đường chuyển động có dạng $(1;y;2)$ với $y\in\mathbb{R}$. Khoảng cách nhỏ nhất đến $O$ là $20\sqrt{1^2+2^2}=20\sqrt{5}=44{,}72135\ldots$ km.

Câu 8. Diện tích đáy là $3a^2$; khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng đáy là $\dfrac{2AA'}{3}=\dfrac{4a}{3}$. Do đó $V_{G.ABCD}=\dfrac{4a^3}{3}$, suy ra $m=4$, $n=3$ và $P=4\sqrt{3}=6{,}92820\ldots$

Câu 9. Có $C_8^4=70$ đường đi. Chọn bốn trong năm vị trí trống trước, giữa và sau bốn bước lên trên để đặt bốn bước sang phải, được $C_5^4=5$ đường đi thỏa mãn. Xác suất là $\dfrac{5}{70}=\dfrac{1}{14}=0{,}07142\ldots$

Câu 10. Theo nhị thức Newton, $\dfrac{4^n-1}{3}=341$, suy ra $n=5$. Do đó

$$S=f(1)=2+3^2+4^3+5^4+6^5=8476.$$

Trong các bài sau, diện tích phần chung là diện tích miền thuộc cả hai hình tròn. Kết quả được phép giữ dưới dạng biểu thức chính xác; các góc trong công thức tính theo radian.

PHẦN I. BÀI TẬP

Câu 1. Hai hình tròn có cùng bán kính $4$ cm, khoảng cách giữa hai tâm bằng $4$ cm. Tính diện tích phần chung của hai hình tròn.

Câu 2. Hai hình tròn có cùng bán kính $3$ cm, khoảng cách giữa hai tâm bằng $3\sqrt{2}$ cm. Tính diện tích phần chung của hai hình tròn.

Câu 3. Hai hình tròn có cùng bán kính $6$ cm, khoảng cách giữa hai tâm bằng $6\sqrt{3}$ cm. Tính diện tích phần chung của hai hình tròn.

Câu 4. Hai hình tròn có bán kính lần lượt là $3$ cm và $4$ cm; khoảng cách giữa hai tâm bằng $5$ cm. Tính diện tích phần chung của hai hình tròn.

Câu 5. Hai hình tròn có bán kính lần lượt là $2$ cm và $4$ cm; khoảng cách giữa hai tâm bằng $2\sqrt{3}$ cm. Tính diện tích phần chung của hai hình tròn.

Câu 6. Hai hình tròn có bán kính lần lượt là $3$ cm và $7$ cm; khoảng cách giữa hai tâm bằng $2$ cm. Tính diện tích phần chung của hai hình tròn.

Câu 7. Hai bồn hoa hình tròn có cùng bán kính $5$ m, khoảng cách giữa hai tâm bằng $5$ m. Tính diện tích mặt đất thuộc ít nhất một trong hai bồn hoa.

Câu 8. Hai vùng phủ sóng được mô hình hóa bằng hai hình tròn có cùng bán kính $4$ km, khoảng cách giữa hai tâm bằng $4\sqrt{2}$ km. Tính tổng diện tích các phần chỉ thuộc một trong hai vùng phủ sóng.

Câu 9. Hai hình tròn có cùng bán kính $5$ cm, khoảng cách giữa hai tâm bằng $5$ cm. Tính diện tích phần thuộc hình tròn thứ nhất nhưng không thuộc hình tròn thứ hai.

Câu 10. Hai đường tròn có cùng bán kính $5$ cm cắt nhau tại hai điểm $A$, $B$ và $AB = 6$ cm. Tính diện tích phần chung của hai hình tròn.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN

Với hai đường tròn cắt nhau, gọi bán kính là $r$, $R$, khoảng cách hai tâm là $d$; gọi $A$, $B$ lần lượt là các góc tạo bởi đoạn nối hai tâm và đoạn nối mỗi tâm với một giao điểm. Khi đó:

$$S_{\text{chung}}=r^2A+R^2B-dh,$$

trong đó $h$ là khoảng cách từ giao điểm ấy đến đường thẳng nối hai tâm.

Ở Câu 6, hình tròn nhỏ nằm hoàn toàn trong hình tròn lớn. Ở Câu 10, khoảng cách giữa hai tâm bằng $8$ cm.