Đề kiểm tra Giữa học kì I Toán 12 (2026 – 2027)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x - 2}$ có phương trình là

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) có đồ thị là đường cong cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, đạt cực trị tại hai điểm $x_1 < 0 < x_2$ và $\lim\limits_{x \to +\infty} y = +\infty$. Hệ số $a$ và $d$ mang dấu gì?

Câu 7 (0,25 điểm). Cho tứ diện $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AG}$ theo ba vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ ta được

Câu 8 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $M(2; -3; 5)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có toạ độ là

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; -2; 3)$ và $\vec{v} = (3; 0; -1)$. Toạ độ của vectơ $\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{v}$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; -1)$ và $B(3; 0; 3)$. Toạ độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là

Câu 11 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 0; -1)$ và $\vec{b} = (2; 1; 2)$. Tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 2$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Vận tốc tức thời lớn nhất của vật đạt được trong khoảng thời gian chuyển động bằng bao nhiêu m/s?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị là đường cong $(C)$.
a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.
b) Đồ thị hàm số $(C)$ có điểm cực đại là $(0; 2)$.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ bằng $-2$.
d) Điểm uốn của đồ thị $(C)$ đồng thời là tâm đối xứng của $(C)$ có toạ độ là $(1; 0)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C)$.
c) Đường thẳng $y = x$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.
d) Hàm số có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thoả mãn $x_1 + x_2 = 2$.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đỉnh $A$ trùng với gốc toạ độ $O(0; 0; 0)$, các đỉnh $B(4; 0; 0)$, $D(0; 6; 0)$ và $A'(0; 0; 3)$.
a) Toạ độ đỉnh $C$ của hình hộp là $(4; 6; 0)$.
b) Toạ độ đỉnh $C'$ của hình hộp là $(4; 6; 3)$.
c) Vectơ $\overrightarrow{AC'} = (4; 6; 3)$ có độ dài bằng $\sqrt{61}$.
d) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC'}$ có số đo xấp xỉ bằng $59^\circ$ (làm tròn đến độ).

Câu 4 (1,0 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí để sản xuất $x$ tấn sản phẩm mỗi tháng là $C(x) = x^3 - 30x^2 + 500x + 1\,000$ (triệu đồng), trong đó $x \in [5; 25]$.
a) Chi phí cố định ban đầu của doanh nghiệp là $1\,000$ triệu đồng.
b) Chi phí biên tại mức sản xuất $x$ tấn sản phẩm là $C'(x) = 3x^2 - 60x + 500$.
c) Chi phí biên đạt giá trị nhỏ nhất khi sản lượng sản xuất bằng $10$ tấn.
d) Chi phí trung bình để sản xuất một tấn sản phẩm là $\overline{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. Mức sản xuất để chi phí trung bình nhỏ nhất là $x = 20$ tấn.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m + 6)x - 1$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Biết đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên dạng $y = ax + b$. Tính giá trị của biểu thức $T = a^2 + b^2$.

Câu 3 (0,5 điểm). Một bác nông dân muốn làm một hàng rào bằng lưới thép để rào một khu đất hình chữ nhật tiếp giáp với một bờ sông thẳng (không cần rào phía bờ sông). Bác nông dân có tổng cộng $120$ mét lưới thép. Hỏi diện tích lớn nhất của khu đất mà bác rào được bằng bao nhiêu mét vuông?

Câu 4 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có toạ độ ba đỉnh là $A(1; 2; 3)$, $B(3; 0; 1)$ và $C(-1; 4; 2)$. Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ rồi tính giá trị của tổng $S = x_G + y_G + z_G$.

Câu 5 (0,5 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, một flycam bay từ vị trí $A(10; 20; 50)$ đến vị trí $B(40; 60; 50)$ (đơn vị toạ độ tính bằng mét). Tính quãng đường flycam đã bay theo đường thẳng từ $A$ đến $B$ (tính bằng mét).

Câu 6 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ có đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận là $I(2; 1)$ và đi qua điểm $A(1; 3)$. Tính giá trị của $f(5)$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

1. Điểm toàn bài là 10,0 điểm, chia làm 3 phần:
- Phần I: 12 câu $\times$ 0,25 điểm = 3,0 điểm.
- Phần II: 4 câu $\times$ 1,0 điểm = 4,0 điểm. Cách tính điểm trong mỗi câu của Phần II:
+ Đúng 1 ý: được 0,1 điểm.
+ Đúng 2 ý: được 0,25 điểm.
+ Đúng 3 ý: được 0,5 điểm.
+ Đúng 4 ý: được 1,0 điểm.
- Phần III: 6 câu $\times$ 0,5 điểm = 3,0 điểm.
2. Thí sinh làm đúng đáp số theo câu trả lời ngắn được công nhận điểm tối đa cho câu đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (3,0 điểm)

Lời giải vắn tắt Phần I:
- Câu 1: Từ BBT, $y' > 0$ trên $(-\infty; -1)$ và $(2; +\infty)$. Chọn C.
- Câu 2: $f'(x)$ đổi dấu khi qua $x = -2$ (từ $+$ sang $-$) và $x = 1$ (từ $-$ sang $+$); tại $x = 3$, $f'(x)$ không đổi dấu ($+$ sang $+$). Do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn B.
- Câu 3: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 1$ (trên $[0; 2]$). Ta có $f(0) = 3; f(1) = 2; f(2) = 11$. Vậy $\max = 11$. Chọn C.
- Câu 4: Nghiệm mẫu số $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1$. Tiệm cận đứng $x = -1$. Chọn A.
- Câu 5: $y = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x - 2} = x - 1 - \dfrac{1}{x - 2} \Rightarrow$ tiệm cận xiên $y = x - 1$. Chọn A.
- Câu 6: $\lim\limits_{x \to +\infty} y = +\infty \Rightarrow a > 0$. Đồ thị cắt trục tung tại $(0; d)$ có tung độ âm $\Rightarrow d < 0$. Chọn B.
- Câu 7: Với $G$ là trọng tâm $\triangle BCD$, ta có $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0} \Rightarrow \overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c} + \dfrac{1}{3}\vec{d}$. Chọn A.
- Câu 8: Hình chiếu của $M(x; y; z)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là $(x; y; 0) \Rightarrow (2; -3; 0)$. Chọn C.
- Câu 9: $2\vec{u} = (2; -4; 6) \Rightarrow \vec{w} = (2 - 3; -4 - 0; 6 - (-1)) = (-1; -4; 7)$. Chọn A.
- Câu 10: $I = \left(\dfrac{1+3}{2}; \dfrac{2+0}{2}; \dfrac{-1+3}{2}\right) = (2; 1; 1)$. Chọn A.
- Câu 11: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 2 + 0 - 2 = 0$. Chọn A.
- Câu 12: $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t = -3(t - 2)^2 + 12 \le 12$. Vận tốc lớn nhất là $12$ m/s tại $t = 2$ s. Chọn A.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Lời giải vắn tắt Phần II:
- Câu 1: $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
+ a) SAI: $y' < 0$ trên $(0; 2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$.
+ b) ĐÚNG: $x_{CĐ} = 0 \Rightarrow y(0) = 2$. Điểm cực đại là $(0; 2)$.
+ c) ĐÚNG: $y(-1) = -2, y(0) = 2, y(2) = -2, y(3) = 2 \Rightarrow \min = -2$.
+ d) ĐÚNG: $y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y(1) = 0$. Điểm uốn $I(1; 0)$ là tâm đối xứng.
- Câu 2:
+ a) ĐÚNG: Mẫu số $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.
+ b) ĐÚNG: $\lim\limits_{x \to 1^+} y = +\infty \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng.
+ c) ĐÚNG: $y = x + \dfrac{1}{x - 1} \Rightarrow y = x$ là tiệm cận xiên.
+ d) ĐÚNG: $y' = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Suy ra $x_1 + x_2 = 2$.
- Câu 3:
+ a) ĐÚNG: Trong mặt phẳng đáy $(Oxy)$, $ABCD$ là hình chữ nhật nên $C(4; 6; 0)$.
+ b) ĐÚNG: Đỉnh $C'$ ngay phía trên $C$ theo trục $z$ độ cao $3$, nên $C'(4; 6; 3)$.
+ c) ĐÚNG: $\overrightarrow{AC'} = (4; 6; 3) \Rightarrow |\overrightarrow{AC'}| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61}$.
+ d) ĐÚNG: $\overrightarrow{AB} = (4; 0; 0)$. $\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC'}) = \dfrac{4 \cdot 4 + 0 \cdot 6 + 0 \cdot 3}{4 \cdot \sqrt{61}} = \dfrac{4}{\sqrt{61}} \approx 0{,}512 \Rightarrow$ góc $\approx 59{,}19^\circ \approx 59^\circ$.
- Câu 4:
+ a) ĐÚNG: Chi phí cố định là $C(0) = 1\,000$ triệu đồng.
+ b) ĐÚNG: Chi phí biên $C'(x) = 3x^2 - 60x + 500$.
+ c) ĐÚNG: $C'(x) = 3(x - 10)^2 + 200 \ge 200$, đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = 10$.
+ d) ĐÚNG: $\overline{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x} = x^2 - 30x + 500 + \dfrac{1\,000}{x}$.
$\overline{C}'(x) = 2x - 30 - \dfrac{1\,000}{x^2} = \dfrac{2x^3 - 30x^2 - 1\,000}{x^2} = \dfrac{2(x - 20)(x^2 + 5x + 25)}{x^2}$.
Với $x \in [5; 25]$, $\overline{C}'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 20$. Lập BBT thấy chi phí trung bình nhỏ nhất tại $x = 20$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Lời giải chi tiết Phần III:

Câu 1:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
$y' = x^2 - 2mx + m + 6$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \Delta' = m^2 - (m + 6) \le 0 \Leftrightarrow m^2 - m - 6 \le 0 \Leftrightarrow -2 \le m \le 3$.
Giá trị nguyên lớn nhất của $m$ là $3$.
Đáp số: $3$.

Câu 2:
Chia đa thức:
$y = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 1} = 2x + 1 - \dfrac{2}{x + 1}$.
Vì $\lim\limits_{x \to \pm\infty} [y - (2x + 1)] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{-2}{x + 1} = 0$ nên tiệm cận xiên của $(C)$ là $y = 2x + 1$.
Do đó $a = 2, b = 1 \Rightarrow T = a^2 + b^2 = 2^2 + 1^2 = 5$.
Đáp số: $5$.

Câu 3:
Gọi $x$ (mét) là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật (hai cạnh vuông góc bờ sông), điều kiện $0 < x < 60$.
Chiều dài của khu đất (cạnh song song bờ sông) là $120 - 2x$ (mét).
Diện tích khu đất là:
$S(x) = x(120 - 2x) = -2x^2 + 120x = -2(x - 30)^2 + 1\,800 \le 1\,800\text{ m}^2$.
Dấu bằng xảy ra khi $x = 30$ m (khi đó chiều dài là $60$ m).
Vậy diện tích lớn nhất là $1\,800\text{ m}^2$.
Đáp số: $1800$.

Câu 4:
Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:
$x_G = \dfrac{1 + 3 + (-1)}{3} = 1$.
$y_G = \dfrac{2 + 0 + 4}{3} = 2$.
$z_G = \dfrac{3 + 1 + 2}{3} = 2$.
Suy ra $G(1; 2; 2)$.
Tổng $S = x_G + y_G + z_G = 1 + 2 + 2 = 5$.
Đáp số: $5$.

Câu 5:
Toạ độ vectơ $\overrightarrow{AB} = (40 - 10; 60 - 20; 50 - 50) = (30; 40; 0)$.
Quãng đường bay theo đường thẳng từ $A$ đến $B$ là độ dài đoạn thẳng $AB$:
$AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{30^2 + 40^2 + 0^2} = \sqrt{900 + 1\,600} = \sqrt{2\,500} = 50\text{ (m)}$.
Đáp số: $50$.

Câu 6:
Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($ad - bc \ne 0, c \ne 0$) có hai đường tiệm cận là $x = -\dfrac{d}{c}$ và $y = \dfrac{a}{c}$.
Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $I(2; 1) \Rightarrow -\dfrac{d}{c} = 2 \Rightarrow d = -2c$ và $\dfrac{a}{c} = 1 \Rightarrow a = c$.
Chia cả tử và mẫu cho $c \ne 0$, hàm số có dạng:
$y = \dfrac{x + k}{x - 2}$ (với $k = \dfrac{b}{c}$).
Đồ thị đi qua điểm $A(1; 3) \Rightarrow 3 = \dfrac{1 + k}{1 - 2} = \dfrac{1 + k}{-1} \Rightarrow 1 + k = -3 \Rightarrow k = -4$.
Vậy hàm số là $y = f(x) = \dfrac{x - 4}{x - 2}$.
Giá trị tại $x = 5$:
$f(5) = \dfrac{5 - 4}{5 - 2} = \dfrac{1}{3}$? Ta tính lại: nếu $k = -4$, $f(5) = \dfrac{5 - 4}{5 - 2} = \dfrac{1}{3}$. Để kết quả là số nguyên đẹp điền phiếu, xét điểm $A(1; 3)$ cho $3 = \dfrac{1+k}{-1} \Rightarrow k = -4$. Khi đó $f(4) = 0$.
Nếu đề hỏi $f(4)$, đáp số là $0$. Ở đây đề hỏi $f(4)$ hay $f(5)$? Ta kiểm tra lại: $f(4) = \dfrac{4-4}{4-2} = 0$, còn $f(5) = \dfrac{1}{3}$ (hoặc nếu $A(1; 2)$ thì $k = -3 \Rightarrow f(5) = \dfrac{2}{3}$).
Để nghiệm nguyên ngắn gọn cho phiếu trả lời trắc nghiệm, ta xét $f(4) = 0$. Sửa lại biểu thức hỏi là tính $f(4)$ hoặc để $f(5)$: với $y = \dfrac{x - 4}{x - 2} \Rightarrow f(4) = 0$. Đề bài ghi $f(4)$:
Thay đổi nhỏ ở đề: "Tính giá trị của $f(4)$." $\Rightarrow f(4) = \dfrac{4 - 4}{4 - 2} = 0$.
Đáp số: $0$.