Đề Toán 12 – Nội dung chuyển từ tài liệu STEP 2 Theme 5

BTVN - ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{-x^2+10x-12}{x}$ có đồ thị $(C)$.

a) Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\dfrac{7}{2}\right)$.
b) Hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận xiên là $y=-x+10$.
c) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $4\sqrt{15}$.
d) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị mỗi trục là $1$ m), mô hình hóa một phần đồ thị hàm số $y=f(x)=\dfrac{-x^2+10x-12}{x}$ với $x>0$ là bờ của phần đất nhô ra. Người ta muốn quây một ao nuôi tôm dạng hình tam giác $ABC$ với $A(-6;6)$, đường thẳng $BC$ là tiếp tuyến với $(C)$ nhận $B$ làm tiếp điểm và $BC=10$ m (hình vẽ). Diện tích ao nuôi tôm lớn nhất là $20\sqrt{5}$ m².

Câu 4. Trong khoảng thời gian từ 11 giờ 00 đến 11 giờ 12 phút, lưu lượng của một con sông trong 12 phút được tính theo công thức $Q(t)=-\dfrac{1}{3}t^3+4t^2+80$ ($Q(t)$ được tính bằng m³/phút).

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Lưu lượng của con sông tăng trong khoảng $t\in(0;8)$.
b) Lưu lượng của con sông đạt giá trị lớn nhất khi $t=$ [thiếu dữ kiện].
c) Có duy nhất một thời điểm lưu lượng của con sông bằng $100$ m³/phút.
d) Hình bên dưới là đồ thị biểu diễn lưu lượng của con sông nêu trên trong khoảng thời gian từ 11 giờ 00 đến 11 giờ 12 phút.

Câu 5. Lát cắt của một vùng đất được mô hình hóa bởi hàm bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới (đơn vị trên các trục là km). Biết khoảng cách $OM=2$ km; độ rộng của núi $MN=3,5$ km. Độ sâu của hồ nước là $450$ m. Chiều cao của ngọn núi là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 6. Ở một vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ $Oxy$ với đơn vị đo tương ứng $1$ km có hòn đảo ở $O$ thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+1}{x}$. Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Câu 7. Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong công viên giải trí. Trong mô hình minh họa sau, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị hàm số $y=f(x)=-x^3+5x^2-\dfrac{2}{2}x+10$.

Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là $100$ m. Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị của hàm số $y=-\dfrac{7}{2}x+24$. Người ta dự định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đập nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường là ngắn nhất. Khi đó tọa độ của điểm để xây bến thuyền là $M(a;b)$. Tính $T=3a-54b$.

Câu 8. Một máy bay trình diễn có đường bay gắn với hệ trục $Oxy$ được mô phỏng như hình vẽ, trục $Ox$ gắn với mặt đất. Đường bay có dạng là một phần của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng là $x=2$. [Phần chữ trước “giao điểm” bị lỗi trong dữ liệu trích xuất] giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục $Ox$ được gọi là điểm giới hạn. Biết rằng máy bay xuất phát tại vị trí $A$ cách

gốc tọa độ $O$ một khoảng $2,5$ đơn vị và máy bay khi ở vị trí cao nhất cách điểm xuất phát $1,5$ đơn vị theo phương song song với trục $Ox$ và cách mặt đất $4,5$ đơn vị. Vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng bằng bao nhiêu?

Câu 9. Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, đơn vị mỗi trục là mét, một đường trượt mới sẽ được xây dựng theo bản thiết kế đã trình bày như hình vẽ. Thanh trượt bắt đầu từ $A$ và kết thúc tại $C$, đường cong của thanh trượt là một phần của đồ thị hàm số $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x+d}$, biết đồ thị hàm số $f(x)$ tiếp xúc với trục $Ox$ tại điểm $B$.

Bạn Việt bắt đầu trượt từ điểm $A$, hỏi khi bạn Việt cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng $6$ mét thì bạn Việt cách mặt đất bao nhiêu mét, biết trục $Ox$ nằm trên mặt đất?

Câu 11. Một thành phố nằm trên một con sông chảy qua hẻm núi. Hẻm có chiều ngang $80$ m, một bên cao $40$ m và một bên cao $30$ m. Một cây cầu sẽ được xây dựng bắc qua sông và hẻm núi. Sơ đồ thiết kế của cây cầu được gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây:

Con đường $XY$ xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình $y=\dfrac{x^3}{25600}-\dfrac{3x}{16}+35$. Hai cột đỡ độc $MN$ và $PQ$ (song song với trục $Oy$) là đoạn nối giữa khung của parabol và đường $XY$. Tính tổng độ dài đoạn $MN$ và $PQ$ biết rằng $N$ và $Q$ là hai điểm đối xứng qua $Oy$, $MN$ là đoạn có độ dài lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).