Đề thi Tốt nghiệp THPT môn Toán - Lớp 12 (Chuẩn Bộ GD&ĐT 2025)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^3(x + 1)^2$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$ là đường thẳng có phương trình

Câu 4 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; -3)$ và $B(3; 0; 1)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; -2)$ và $\vec{v} = (3; -1; 2)$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tự học mỗi ngày của một nhóm học sinh như bảng sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là

Câu 7 (0,25 điểm). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 8 (0,25 điểm). Nếu $\int_0^2 f(x)\,dx = 3$ và $\int_0^2 g(x)\,dx = -1$ thì $\int_0^2 [2f(x) + 3g(x)]\,dx$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $M(1; -2; 3)$ và nhận vectơ $\vec{n} = (2; 1; -4)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S): (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2 = 9$ có tâm $I$ và bán kính $R$ lần lượt là

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hai biến cố $A$ và $B$ thoả mãn $P(B) = 0,4$, $P(A \cap B) = 0,16$. Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận xiên là $y = x$.
c) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$.
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2) \setminus \{1\}$.

Câu 2 (1,0 điểm). Một nhóm nghiên cứu ghi nhận cự ly nhảy xa (đơn vị: mét) của $40$ học sinh lớp 12 và thu được bảng số liệu ghép nhóm sau:

a) Cỡ mẫu của số liệu trên là $n = 40$.
b) Cự ly nhảy xa trung bình của nhóm học sinh này nhỏ hơn $2,9$ mét.
c) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm thuộc nhóm $[2,8; 3,2)$.
d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $Q_1 = 2,64$ mét.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB = 3$, $BC = 4$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA = 6$. Thiết lập hệ trục toạ độ sao cho gốc $B$ trùng với gốc toạ độ $O(0;0;0)$, tia $BA$ trùng với tia $Ox$, tia $BC$ trùng với tia $Oy$, tia qua $B$ cùng hướng với $\overrightarrow{SA}$ trùng với tia $Oz$.

[Hình vẽ]

a) Toạ độ các điểm là $B(0; 0; 0)$, $A(3; 0; 0)$, $C(0; 4; 0)$ và $S(3; 0; 6)$.
b) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$ là $\vec{n} = (2; 0; -1)$.
c) Mặt phẳng $(SAC)$ có phương trình là $4x + 3y + 2z - 12 = 0$.
d) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $12$.

Câu 4 (1,0 điểm). Tại một bệnh viện, một xét nghiệm nhanh được sử dụng để phát hiện một loại virus trong cộng đồng. Biết rằng:
- Tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là $2\%$.
- Nếu một người bị nhiễm virus, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $95\%$.
- Nếu một người không bị nhiễm virus, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính giả là $3\%$.
Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng để thực hiện xét nghiệm. Gọi $A$ là biến cố "Người đó nhiễm virus" và $B$ là biến cố "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".
a) $P(A) = 0,02$ và $P(\overline{A}) = 0,98$.
b) Xác suất có điều kiện $P(B | A) = 0,95$ và $P(B | \overline{A}) = 0,03$.
c) Xác suất để một người chọn ngẫu nhiên có kết quả xét nghiệm dương tính là $P(B) = 0,0484$.
d) Biết người đó nhận kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất người đó thực sự nhiễm virus lớn hơn $40\%$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Một công ty sản xuất muốn thiết kế một chiếc thùng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông, thể tích bằng $500\text{ dm}^3$. Chi phí sản xuất vỏ thùng tỉ lệ thuận với tổng diện tích các mặt xung quanh và mặt đáy. Hỏi cạnh đáy của thùng bằng bao nhiêu đêximét để diện tích toàn phần của thùng là nhỏ nhất?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ $x = -1$, $x = 1$, $x = 2$. Biết rằng hiệu hai hàm số là $f(x) - g(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 2)$ với hệ số $a = 1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $d$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 3 (0,5 điểm). Trong một mô hình toạ độ 3D đo lường chuyển động không gian $Oxyz$ (đơn vị: kilômét), một máy bay bay theo đường thẳng đi qua điểm $A(2; 3; 8)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1; 2)$. Cùng lúc đó, một trạm radar đặt tại điểm $S(1; 1; 2)$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ trạm radar $S$ đến đường bay của máy bay (đơn vị: kilômét, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 4 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(P): 2x - 2y + z + 4 = 0$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng song song với $(P)$ và tiếp xúc với $(S)$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(\alpha)$ lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 5 (0,5 điểm). Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào một tấm bia, mỗi người bắn đúng 1 viên. Xác suất bắn trúng bia của người thứ nhất là $0,7$; của người thứ hai là $0,8$. Biết rằng có đúng 1 viên trúng bia, tính xác suất để viên trúng bia đó là của người thứ nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6 (0,5 điểm). Bảng sau biểu diễn thời gian hoàn thành một sản phẩm (đơn vị: phút) của $50$ công nhân trong một nhà máy:

Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên (đơn vị: phút).

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

BẢNG ĐÁP ÁN

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (12 câu – 3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4 câu – 4,0 điểm)

Điểm tối đa của 1 câu là 1,0 điểm.
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
- Đúng 3 ý: 0,5 điểm.
- Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm.

Ghi chú đáp án chi tiết từng ý của Phần II:
- Câu 1: Tiệm cận xiên là $y = x$ là Sai vì $\dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \dfrac{1}{x - 1}$ nên tiệm cận xiên là $y = x$. (Thực ra $y=x$ đúng nên ý b là Đúng, nhưng để có phân hoá: $f(x)=x+\frac{1}{x-1}$, khi $x \to \infty$ thì $y - x \to 0$, tiệm cận xiên là $y = x$. Ý b là Đ).
- Câu 2: Giá trị trung bình $\bar{x} = \dfrac{4 \cdot 2,2 + 10 \cdot 2,6 + 16 \cdot 3,0 + 7 \cdot 3,4 + 3 \cdot 3,8}{40} = 2,95 > 2,9 \Rightarrow$ b) S.
- Câu 3: $(SAC)$ chứa $S(3;0;6), A(3;0;0), C(0;4;0) \Rightarrow 4x + 3y - 12 = 0 \Rightarrow$ c) S. Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = 12 \Rightarrow$ d) Đ.
- Câu 4: $P(B) = 0,02 \cdot 0,95 + 0,98 \cdot 0,03 = 0,019 + 0,0294 = 0,0484 \Rightarrow$ c) Đ; $P(A|B) = \dfrac{0,019}{0,0484} \approx 39,26\% < 40\% \Rightarrow$ d) S.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (6 câu – 3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.