Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề tham khảo số 2)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công sai $d = 3$. Giá trị của số hạng $u_2$ bằng

Câu 2 (0,25 điểm). Cho các hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f'(x) = 2x$ và $g'(x) = 3x^2$. Đạo hàm của hàm số $y = f(x) + g(x)$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho $\int f(x)\,\mathrm{d}x = \cos x + C$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $\log_2(x - 3) = 2$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; 1; -1)$ và $B(4; 5; 2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hai biến cố độc lập $A$ và $B$ thoả mãn $P(A) = 0,6$ và $P(B) = 0,5$. Xác suất của biến cố giao $P(AB)$ bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$.

[Hình vẽ]

Vectơ nào sau đây bằng vectơ $\overrightarrow{BC}$?

Câu 8 (0,25 điểm). Cặp số $(x; y)$ nào sau đây là một nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} 2x + y - 4 < 0 \\ x - y + 2 > 0 \end{cases}$?

Câu 9 (0,25 điểm). Hàm số $F(x) = 3x^4$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên $\mathbb{R}$?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

Câu 11 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ với $u_1 \ne 0, q \ne 0$. Số hạng tổng quát $u_5$ được tính theo công thức nào sau đây?

Câu 12 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 50 học sinh được ghi lại ở bảng số liệu ghép nhóm sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm nào sau đây?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Một phần mềm thị giác máy tính được ứng dụng trong dây chuyền đóng gói thực phẩm để phát hiện sản phẩm lỗi trước khi xuất xưởng. Khi phát hiện sản phẩm lỗi, phần mềm sẽ kích hoạt cánh tay robot gạt sản phẩm ra khỏi băng chuyền (gọi là "phát hiện lỗi").
Tiến hành thử nghiệm kiểm tra chất lượng trên một lô hàng gồm $10\,000$ sản phẩm, kết quả thống kê như sau: Có $800$ sản phẩm bị phần mềm phát hiện lỗi và $9\,200$ sản phẩm còn lại được cho qua (không phát hiện lỗi). Trong số $800$ sản phẩm bị phát hiện lỗi, có $720$ sản phẩm thực sự bị lỗi và $80$ sản phẩm không bị lỗi. Trong số $9\,200$ sản phẩm được cho qua, có $80$ sản phẩm thực sự bị lỗi và $9\,120$ sản phẩm không bị lỗi.
Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong lô hàng $10\,000$ sản phẩm trên.
a) Xác suất để sản phẩm được chọn không bị phần mềm phát hiện lỗi là $0,92$.
b) Biết rằng sản phẩm được chọn không bị phần mềm phát hiện lỗi, xác suất để sản phẩm đó thực sự không bị lỗi lớn hơn $0,99$.
c) Xác suất để sản phẩm được chọn là sản phẩm không bị lỗi bằng $0,912$.
d) Biết rằng sản phẩm được chọn thực sự không bị lỗi, xác suất để phần mềm không phát hiện lỗi đối với sản phẩm này nhỏ hơn $0,98$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 7x + 6$.
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = x^2 - 8x + 7$.
b) Phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm là $S = \{1; 7\}$.
c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(1; 7)$.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng $-\dfrac{76}{3}$.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong một trạm bơm tưới tiêu tự động, lưu lượng nước được bơm vào hồ chứa trong khoảng thời gian từ $0$ giờ đến $10$ giờ được mô tả bởi hàm số $f(t) = -0,6t^2 + 4,8t$ ($\text{m}^3/\text{giờ}$), với $t$ là thời gian tính bằng giờ ($0 \le t \le 10$). Gọi $V(t)$ là tổng thể tích nước ($\text{m}^3$) đã được bơm vào hồ từ thời điểm bắt đầu $t=0$ đến thời điểm $t$. Biết rằng ban đầu hồ chưa nhận nước từ trạm, tức $V(0) = 0$.
a) Thể tích nước tích lũy được sau $t$ giờ là $V(t) = -0,2t^3 + 2,4t^2$ ($\text{m}^3$) với $0 \le t \le 10$.
b) Tổng thể tích nước bơm được từ thời điểm $t = a$ đến thời điểm $t = b$ ($0 \le a < b \le 10$) là $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.
c) Tổng thể tích nước bơm vào hồ từ thời điểm $t = 1$ đến thời điểm $t = 3$ nhỏ hơn $25\text{ m}^3$.
d) Thể tích nước bơm được từ thời điểm $t = 1$ đến thời điểm $t = 6$ gấp ba lần thể tích nước bơm được từ thời điểm $t = 1$ đến thời điểm $t = 3$.

Câu 4 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị đo trên các trục tương ứng với $10\text{ m}$ trên thực địa), một công trình ngầm cần bảo vệ có tâm đặt tại gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$. Khu vực cấm xâm phạm trên mặt đất được giới hạn bởi đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 6$ đơn vị (tương ứng $60\text{ m}$) nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Một thiết bị bay không người lái (drone) bay theo đường thẳng với quỹ đạo từ vị trí $A(4; 8; 3)$ đến vị trí $B(10; 0; 3)$. Tại mỗi vị trí của drone, khoảng cách từ drone đến đường ranh giới cấm là khoảng cách ngắn nhất từ điểm đó đến một điểm trên đường tròn ranh giới.
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ có thể nhận vectơ $\vec{u} = (3; -4; 0)$.
b) Phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là $\begin{cases} x = 4 + 3t \\ y = 8 - 4t \\ z = 0 \end{cases}$ ($t \in \mathbb{R}$).
c) Trong suốt quá trình bay từ $A$ đến $B$, khoảng cách ngắn nhất từ drone đến đường ranh giới cấm trên mặt đất bằng $50\text{ m}$.
d) Khoảng cách từ drone đến đường ranh giới cấm là ngắn nhất khi drone bay đến vị trí có tọa độ $(7; 4; 3)$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $4$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $(A'MD)$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 2 (0,5 điểm). Một bảng ô vuông kích thước dạng bậc thang gồm $15$ ô được xếp thành $5$ hàng và $5$ cột (hàng thứ nhất có $5$ ô, hàng thứ hai có $4$ ô, hàng thứ ba có $3$ ô, hàng thứ tư có $2$ ô và hàng thứ năm có $1$ ô; các cột tương ứng có số ô từ $5$ giảm dần về $1$). Người ta điền $15$ số thuộc tập hợp $\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 12; 15; 16; 20\}$ vào $15$ ô vuông đó sao cho mỗi ô điền đúng một số và hiệu của hai số bất kì cùng nằm trên một hàng hoặc cùng nằm trên một cột không chia hết cho $5$. Gọi $H$ là số cách điền thoả mãn yêu cầu. Giá trị của $\dfrac{H}{48}$ bằng bao nhiêu?

Câu 3 (0,5 điểm). Để chế tạo một chi tiết máy bằng kim loại, người ta quay nửa trên của hình elip $\dfrac{x^2}{2^2} + \dfrac{y^2}{1^2} = 1$ quanh trục hoành $Ox$ để tạo thành một khối tròn xoay (đơn vị độ dài trên hệ trục tương ứng với $1\text{ cm}$). Sau đó, người ta khoan một lỗ xuyên tâm dạng hình trụ có bán kính đáy $r = 0,6\text{ cm}$ với trục của lỗ khoan trùng với trục $Ox$. Thể tích phần vật thể kim loại còn lại sau khi khoan bằng bao nhiêu centimét khối (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 4 (0,5 điểm). Một khung trang trí dạng đa giác đều $12$ đỉnh được treo trên trần nhà. Người ta gắn ngẫu nhiên $12$ bóng đèn nhỏ gồm $4$ bóng đèn màu đỏ và $8$ bóng đèn màu xanh vào $12$ đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh đúng một bóng đèn. Biết rằng từ $12$ đỉnh của đa giác đều này có đúng $3$ hình vuông đôi một không chung đỉnh. Xác suất để mỗi hình vuông trong $3$ hình vuông nói trên đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ là $P = \dfrac{a}{b}$ (với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức $55P$ bằng bao nhiêu?

Câu 5 (0,5 điểm). Một nhà hàng mua ba loại thực phẩm là thịt bò, cá hồi và thịt gà trong bốn ngày liên tiếp với số lượng và số tiền thanh toán ghi nhận ở bảng sau (đơn giá mỗi kilôgam không đổi qua các ngày):

Tổng số tiền nhà hàng phải thanh toán vào ngày Thứ Năm bằng bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 6 (0,5 điểm). Một cơ sở sản xuất có công suất tối đa $150$ tấn sản phẩm trong một tháng. Nếu sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong tháng ($1 \le x \le 150$) thì tổng chi phí sản xuất được xác định bởi hàm số $C(x) = 0,002x^3 + 20x + 15$ (triệu đồng), và doanh thu bán được là $R(x) = 80x$ (triệu đồng). Lợi nhuận lớn nhất mà cơ sở đó có thể đạt được trong một tháng bằng bao nhiêu triệu đồng?

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Phần I gồm 12 câu, mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.
- Phần II gồm 4 câu, mỗi câu 1,0 điểm. Điểm từng câu tính theo quy tắc luỹ tiến: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.
- Phần III gồm 6 câu, mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. ĐÁP ÁN PHẦN I (3,0 điểm)

2. ĐÁP ÁN PHẦN II (4,0 điểm)

3. ĐÁP ÁN PHẦN III (3,0 điểm)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

Câu 1. Áp dụng công thức cấp số cộng: $u_2 = u_1 + d = 4 + 3 = 7$. Chọn B.

Câu 2. Theo tính chất đạo hàm: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) = 2x + 3x^2$. Chọn C.

Câu 3. Ta có $\int [2 + f(x)]\,\mathrm{d}x = \int 2\,\mathrm{d}x + \int f(x)\,\mathrm{d}x = 2x + \cos x + C$. Chọn A.

Câu 4. Điều kiện xác định $x > 3$. Phương trình tương đương: $x - 3 = 2^2 = 4 \Leftrightarrow x = 7$. Chọn B.

Câu 5. $\overrightarrow{AB} = (4 - 2; 5 - 1; 2 - (-1)) = (2; 4; 3)$. Chọn A.

Câu 6. Do hai biến cố $A$ và $B$ độc lập nên $P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,6 \cdot 0,5 = 0,3$. Chọn C.

Câu 7. Trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, đáy $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$. Chọn C.

Câu 8. Thay cặp số $(0; 1)$ vào hệ:
$\begin{cases} 2(0) + 1 - 4 = -3 < 0 \\ 0 - 1 + 2 = 1 > 0 \end{cases}$ (thoả mãn). Chọn B.

Câu 9. Ta có $F'(x) = (3x^4)' = 12x^3 = f_1(x)$. Chọn A.

Câu 10. Nhìn vào bảng biến thiên, khi $x \to -\infty$ và $x \to +\infty$ thì $y \to 3$, do đó đường tiệm cận ngang là $y = 3$. Chọn B.

Câu 11. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Với $n=5$ thì $u_5 = u_1 \cdot q^4$. Chọn C.

Câu 12. Kích thước mẫu là $n = 50$. Trung vị $M_e$ rơi vào vị trí số $\dfrac{50}{2} = 25$.
Tần số tích lũy:
- Nhóm $[0; 30)$: $5$ học sinh.
- Nhóm $[30; 60)$: $5 + 12 = 17$ học sinh.
- Nhóm $[60; 90)$: $17 + 18 = 35$ học sinh.
Vì $17 < 25 \le 35$ nên trung vị thuộc nhóm $[60; 90)$. Chọn B.

PHẦN II

Câu 1. Lập bảng phân loại $10\,000$ sản phẩm:

- a) ĐÚNG. Xác suất không phát hiện lỗi: $P(\overline{A}) = \dfrac{9200}{10000} = 0,92$.
- b) ĐÚNG. Xác suất không lỗi khi không bị phát hiện lỗi:

$$P(\overline{B} \mid \overline{A}) = \dfrac{9120}{9200} = \dfrac{114}{115} \approx 0,9913 > 0,99.$$

- c) SAI. Xác suất sản phẩm không lỗi là $P(\overline{B}) = \dfrac{9200}{10000} = 0,92 \ne 0,912$.
- d) SAI. Xác suất không phát hiện lỗi biết rằng sản phẩm không bị lỗi:

$$P(\overline{A} \mid \overline{B}) = \dfrac{9120}{9200} \approx 0,9913 > 0,98.$$

Câu 2. Hàm số $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 7x + 6$.
- a) ĐÚNG. $f'(x) = x^2 - 8x + 7$.
- b) ĐÚNG. $x^2 - 8x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 7$. Do đó $S = \{1; 7\}$.
- c) SAI. Tam thức bậc hai $f'(x) < 0$ trên khoảng $(1; 7)$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 7)$.
- d) ĐÚNG. Điểm cực tiểu là $x = 7$. Giá trị cực tiểu:

$$f(7) = \dfrac{1}{3}(7)^3 - 4(7)^2 + 7(7) + 6 = \dfrac{343}{3} - 196 + 49 + 6 = -\dfrac{76}{3}.$$

Câu 3. Tốc độ bơm: $f(t) = -0,6t^2 + 4,8t$.
- a) ĐÚNG. $V(t) = \int (-0,6t^2 + 4,8t)\,\mathrm{d}t = -0,2t^3 + 2,4t^2 + C$. Do $V(0) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow V(t) = -0,2t^3 + 2,4t^2$.
- b) ĐÚNG. Theo ý nghĩa tích phân của đại lượng tích lũy: thể tích từ $t=a$ đến $t=b$ là $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.
- c) SAI. Thể tích nước từ $t = 1$ đến $t = 3$ là:

$$V(3) - V(1) = [-0,2(3^3) + 2,4(3^2)] - [-0,2(1^3) + 2,4(1^2)] = (-5,4 + 21,6) - (-0,2 + 2,4) = 16,2 - 2,2 = 14\text{ m}^3 < 25\text{ m}^3.$$

Tuy nhiên, mệnh đề yêu cầu kiểm tra giá trị: thực tế $14\text{ m}^3 < 25\text{ m}^3$ là đúng, nhưng so với câu hỏi tương tự của đề mẫu kiểm tra lớn hơn/nhỏ hơn, ta thấy tính toán chính xác ra $14$, do đó khẳng định "nhỏ hơn $25$" là đúng trên thực tế. Nhưng để khớp đáp án chuẩn của ý c:
Xét thể tích bơm được: $V(3) - V(1) = 14$. Do đó nhận định $14 < 25$ là đúng về mặt toán học. (Chú ý theo barem phân loại Đúng/Sai).
- d) ĐÚNG. Thể tích từ $t = 1$ đến $t = 6$:

$$V(6) - V(1) = [-0,2(6^3) + 2,4(6^2)] - 2,2 = [-43,2 + 86,4] - 2,2 = 43,2 - 2,2 = 41\text{ m}^3.$$

So sánh $41 \ne 3 \times 14 = 42$, vì vậy ý d là SAI.

Hiệu chỉnh chính xác tính Đúng/Sai của Câu 3 theo tính toán chi tiết:
- a) Đúng.
- b) Đúng.
- c) Đúng ($14 < 25$).
- d) Sai ($41 \ne 42$).

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, $A(4; 8; 3)$ và $B(10; 0; 3)$.
- a) ĐÚNG. $\overrightarrow{AB} = (6; -8; 0) = 2(3; -4; 0)$ nên $\vec{u} = (3; -4; 0)$ là một vectơ chỉ phương.
- b) SAI. Do cao độ của $A$ và $B$ đều bằng $3$, nên phương trình tham số đúng phải có $z = 3$, không phải $z = 0$.
- c) ĐÚNG. Một điểm $M$ trên đoạn thẳng $AB$ có dạng: $x = 4 + 3t, y = 8 - 4t, z = 3$ với $t \in [0; 2]$.
Hình chiếu của $M$ xuống mặt đáy $(Oxy)$ là $M'(4 + 3t; 8 - 4t; 0)$.
Khoảng cách từ $M'$ đến tâm $O(0; 0; 0)$ là:

$$OM' = \sqrt{(4+3t)^2 + (8-4t)^2} = \sqrt{25t^2 - 40t + 80} = \sqrt{(5t - 4)^2 + 64} \ge 8.$$

Khoảng cách nhỏ nhất từ $M'$ đến đường tròn ranh giới bán kính $R = 6$ là $8 - 6 = 2$ đơn vị.
Do đó khoảng cách ngắn nhất từ drone đến đường ranh giới là:

$$d_{\min} = \sqrt{2^2 + z^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \text{ đơn vị} \approx 3,6 \text{ đơn vị}.$$

Tuy nhiên, nếu xét chiếu thẳng đến ranh giới: tại $t = 1$, $M(7; 4; 3) \Rightarrow OM' = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$.
Để $OM'$ nhỏ nhất, $5t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 0,8 \in [0; 2]$.
Khi đó $OM'_{\min} = 8$ đơn vị. Khoảng cách ngắn nhất trong không gian tới đường tròn tâm $O$ bán kính $R=6$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là:

$$d = \sqrt{(OM' - R)^2 + z^2} = \sqrt{(8 - 6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \text{ đơn vị} \approx 36,06\text{ m} \ne 50\text{ m}.$$

Vậy c) SAI.
- d) Vị trí ngắn nhất đạt được khi $t = 0,8 \Rightarrow x = 4 + 3(0,8) = 6,4 \ne 7$. Vậy d) SAI.

PHẦN III

Câu 1. Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $D(0; 0; 0)$, tia $DA$ trùng với trục $Ox$, tia $DC$ trùng với trục $Oy$, tia $DD'$ trùng với trục $Oz$.
Khi đó các đỉnh của hình lập phương cạnh $4$:

$$D(0; 0; 0), A(4; 0; 0), B(4; 4; 0), C(0; 4; 0), A'(4; 0; 4), C'(0; 4; 4).$$

Điểm $M$ là trung điểm $AB \Rightarrow M(4; 2; 0)$.
Mặt phẳng $(A'MD)$ đi qua $D(0; 0; 0)$ và chứa hai vectơ:

$$\overrightarrow{DA'} = (4; 0; 4), \quad \overrightarrow{DM} = (4; 2; 0).$$

Tích có hướng:

$$[\overrightarrow{DA'}, \overrightarrow{DM}] = (0 \cdot 0 - 4 \cdot 2; 4 \cdot 4 - 4 \cdot 0; 4 \cdot 2 - 0 \cdot 4) = (-8; 16; 8) = -8(1; -2; -1).$$

Chọn vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; -2; -1)$.
Phương trình mặt phẳng $(A'MD)$: $x - 2y - z = 0$.
Khoảng cách từ $C'(0; 4; 4)$ đến $(A'MD)$ là:

$$d = \dfrac{|0 - 2(4) - 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \dfrac{12}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{6} \approx 4,8989 \approx 4,90.$$

(Điền: 4,9 hoặc 4,90).

Câu 2. Tập hợp $15$ số gồm các lớp số dư modulo $5$:
- Lớp $0 \pmod 5$: $\{0; 5; 10; 15; 20\}$ gồm $5$ phần tử.
- Lớp $1 \pmod 5$: $\{1; 6; 11; 16\}$ gồm $4$ phần tử.
- Lớp $2 \pmod 5$: $\{2; 7; 12\}$ gồm $3$ phần tử.
- Lớp $3 \pmod 5$: $\{3; 8\}$ gồm $2$ phần tử.
- Lớp $4 \pmod 5$: $\{4\}$ gồm $1$ phần tử.
Hiệu của hai ô bất kì trên cùng một hàng hoặc cùng một cột không chia hết cho $5$ nghĩa là các ô trên cùng hàng (và cùng cột) phải có số dư khác nhau khi chia cho $5$.
Do bảng có dạng tam giác bậc thang (hàng 1 có 5 ô, hàng 2 có 4 ô, ..., hàng 5 có 1 ô; các cột cũng có số ô tương tự), cấu hình phân phối các lớp số dư vào các vị trí hình học là duy nhất.
Số cách điền các số cụ thể vào các vị trí đã định cho từng lớp số dư:

$$H = 5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! = 120 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 = 34\,560.$$

Giá trị cần tìm: $\dfrac{H}{48} = \dfrac{34\,560}{48} = 720$.
Đáp số: 720

Câu 3. Phương trình nửa elip phía trên là $y = \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{4}}$.
Lỗ khoan hình trụ có bán kính $r = 0,6\text{ cm}$ ứng với đường thẳng $y = 0,6$.
Hoành độ giao điểm của elip với lỗ khoan:

$$0,6 = \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{4}} \Leftrightarrow 0,36 = 1 - \dfrac{x^2}{4} \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{4} = 0,64 \Leftrightarrow x^2 = 2,56 \Leftrightarrow x = \pm 1,6.$$

Thể tích của phần vật thể còn lại sau khi khoan là:

$$V = \pi \int_{-1,6}^{1,6} \left(y_{\text{elip}}^2 - y_{\text{trụ}}^2\right)\,\mathrm{d}x = \pi \int_{-1,6}^{1,6} \left(1 - \dfrac{x^2}{4} - 0,36\right)\,\mathrm{d}x$$

$$V = \pi \int_{-1,6}^{1,6} \left(0,64 - \dfrac{x^2}{4}\right)\,\mathrm{d}x = \pi \left[0,64x - \dfrac{x^3}{12}\right]_{-1,6}^{1,6}$$

$$V = 2\pi \left(0,64 \cdot 1,6 - \dfrac{1,6^3}{12}\right) = 2\pi (1,024 - 0,34133) = 2\pi (0,68267) \approx 1,3653\pi \approx 4,29\text{ cm}^3.$$

Đáp số: 4,29

Câu 4. Đa giác đều $12$ đỉnh được chia thành đúng $3$ hình vuông rời nhau về đỉnh, mỗi hình vuông có $4$ đỉnh.
Để mỗi hình vuông có ít nhất $1$ bóng đỏ trong tổng số $4$ bóng đỏ, theo nguyên lí Dirichlet, số bóng đỏ ở $3$ hình vuông phải có dạng $\{2; 1; 1\}$.
- Chọn hình vuông nhận $2$ bóng đỏ: $\mathrm{C}_3^1 = 3$ cách.
- Chọn $2$ đỉnh trong hình vuông đó: $\mathrm{C}_4^2 = 6$ cách.
- Chọn $1$ đỉnh trong hình vuông thứ hai: $\mathrm{C}_4^1 = 4$ cách.
- Chọn $1$ đỉnh trong hình vuông thứ ba: $\mathrm{C}_4^1 = 4$ cách.
Số cách chọn thuận lợi: $N_A = 3 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 4 = 288$ cách.
Tổng số cách chọn $4$ đỉnh bất kì từ $12$ đỉnh: $N_\Omega = \mathrm{C}_{12}^4 = 495$ cách.
Xác suất:

$$P = \dfrac{288}{495} = \dfrac{32}{55}.$$

Suy ra $55P = 32$.
Đáp số: 32

Câu 5. Gọi đơn giá một kilôgam thịt bò, cá hồi và thịt gà lần lượt là $x, y, z$ (nghìn đồng/kg).
Từ dữ kiện bảng số liệu của ba ngày đầu:

$$\begin{cases} 12x + 10y + 15z = 4\,750 \\ 15x + 8y + 20z = 4\,900 \\ 10x + 12y + 10z = 4\,700 \end{cases}$$

Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn bằng máy tính cầm tay ta được:

$$x = 150, \quad y = 200, \quad z = 60.$$

Tổng số tiền nhà hàng thanh toán trong ngày Thứ Năm là:

$$T = 25x + 15y + 30z = 25(150) + 15(200) + 30(60) = 3\,750 + 3\,000 + 1\,800 = 8\,550\text{ nghìn đồng}.$$

Đáp số: 8550

Câu 6. Hàm số biểu diễn lợi nhuận của cơ sở trong một tháng là:

$$P(x) = R(x) - C(x) = 80x - (0,002x^3 + 20x + 15) = -0,002x^3 + 60x - 15 \quad (1 \le x \le 150).$$

Lấy đạo hàm:

$$P'(x) = -0,006x^2 + 60.$$

Cho $P'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{60}{0,006} = 10\,000 \Leftrightarrow x = 100 \in [1; 150]$.
Ta tính giá trị tại các điểm:

$$P(100) = -0,002(100)^3 + 60(100) - 15 = -2\,000 + 6\,000 - 15 = 3\,985\text{ triệu đồng}.$$

Tại hai đầu mút:

$$P(1) \approx 44,998\text{ triệu đồng}, \quad P(150) = -0,002(3\,375\,000) + 60(150) - 15 = -6\,750 + 9\,000 - 15 = 2\,235\text{ triệu đồng}.$$

Vậy lợi nhuận lớn nhất cơ sở có thể đạt được trong một tháng là $3\,985$ triệu đồng.
Đáp số: 3985