Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2027 môn Toán – Mã đề 101 (kèm đáp án và lời giải chi tiết)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và $u_5 = 15$. Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho bằng

Câu 2. Đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{2x-1}{x+1}$ trên khoảng xác định là

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ là

Câu 4. Nghiệm của phương trình $\log_3(2x+1) = 2$ là

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ và có bán kính $R = 5$ có phương trình là

Câu 6. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo bằng $7$ là

Câu 7. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Đẳng thức vectơ nào dưới đây là đúng?

Câu 8. Cặp số $(x;y)$ nào dưới đây là nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} 2x + 3y \le 6 \\ x - y \le 1 \\ x \ge 0 \end{cases}$?

Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x$ là

Câu 10. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 11. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$. Số hạng thứ năm $u_5$ bằng

Câu 12. Khảo sát thời gian tự học buổi tối (đơn vị: phút) của $30$ học sinh lớp 12A, người ta thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Một hộp có $5$ viên bi màu đỏ và $3$ viên bi màu xanh, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi từ hộp, viên thứ nhất lấy ra không bỏ lại vào hộp. Gọi $A$ là biến cố "Viên bi thứ nhất lấy được có màu đỏ", $B$ là biến cố "Viên bi thứ hai lấy được có màu xanh".

a) $P(A) = \dfrac{5}{8}$.

b) Xác suất để viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ, bằng $\dfrac{3}{8}$.

c) Xác suất để cả hai viên bi lấy được đều có màu đỏ bằng $\dfrac{5}{14}$.

d) $P(B) = \dfrac{5}{8}$.

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.

b) Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.

c) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $-2$.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$ bằng $3$.

Câu 3. Một ô tô đang chạy với vận tốc $20$ m/s thì người lái xe hãm phanh. Kể từ thời điểm hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 20 - 4t$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc hãm phanh.

a) Ô tô dừng hẳn tại thời điểm $t = 5$ giây.

b) Quãng đường ô tô đi được trong giây đầu tiên kể từ lúc hãm phanh là $20$ m.

c) Quãng đường ô tô đi được từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là $40$ m.

d) Quãng đường ô tô đi được trong giây thứ hai kể từ lúc hãm phanh là $14$ m.

Câu 4. Trong một kho hàng, người ta gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại một góc sàn kho, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sàn và đơn vị trên mỗi trục là mét. Ba cảm biến báo cháy được gắn tại các vị trí $A(6;0;0)$, $B(0;6;0)$, $C(0;0;6)$. Người ta dựng một tấm chắn phẳng đi qua ba cảm biến này.

[Hình vẽ]

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$.

b) Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $3$ m.

c) Một thiết bị bay không người lái đang ở vị trí $M(2;3;4)$; khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\sqrt{3}$ m.

d) Một bóng đèn đặt tại $O$ phát sáng trong phạm vi bán kính $4$ m; mặt phẳng $(ABC)$ cắt mặt cầu giới hạn vùng sáng theo một đường tròn có bán kính bằng $2\sqrt{3}$ m.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A'BD)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

[Hình vẽ]

Câu 2 (0,5 điểm). Từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;6;7;8;9$, lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho $5$?

Câu 3 (0,5 điểm). Một nghệ nhân thiết kế một tấm kính trang trí có dạng là miền phẳng giới hạn bởi parabol $(P): y = 4 - x^2$ và đường thẳng $d: y = 1$ (đơn vị trên các trục là mét). Biết giá thành làm kính là $2,5$ triệu đồng cho mỗi mét vuông. Tính số tiền (triệu đồng) cần để làm tấm kính đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

[Đồ thị]

Câu 4 (0,5 điểm). Một hộp đựng $5$ viên bi màu đỏ, $4$ viên bi màu xanh và $3$ viên bi màu vàng, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $4$ viên bi từ hộp. Tính xác suất để trong $4$ viên bi lấy ra có đủ cả ba màu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5 (0,5 điểm). Ba bạn An, Bình, Chi cùng đi mua vở, bút và thước kẻ tại một cửa hàng văn phòng phẩm. An mua $2$ quyển vở, $1$ chiếc bút và $1$ chiếc thước hết $50$ nghìn đồng. Bình mua $1$ quyển vở, $3$ chiếc bút và $2$ chiếc thước hết $65$ nghìn đồng. Chi mua $3$ quyển vở, $2$ chiếc bút và $4$ chiếc thước hết $105$ nghìn đồng. Biết rằng giá tiền mỗi loại hàng là như nhau cho cả ba bạn. Hỏi giá tiền một quyển vở là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 6 (0,5 điểm). Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông cạnh $x$ (mét) và chiều cao $h$ (mét). Người ta muốn bể cá có thể tích bằng $32$ m³. Biết rằng kính làm bể cá có giá $500$ nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chi phí nhỏ nhất để làm bể cá đó là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

[Hình vẽ]

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN

A. PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

B. PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Cách tính điểm: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

C. PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN

Câu 1. Chọn B

Ta có $u_5 = u_1 + 4d$, suy ra $15 = 3 + 4d \Leftrightarrow d = 3$.

Câu 2. Chọn C

$y' = \dfrac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2x + 2 - 2x + 1}{(x+1)^2} = \dfrac{3}{(x+1)^2}$.

Câu 3. Chọn A

$\displaystyle\int (3x^2 - 2x + 1)\,\mathrm{d}x = x^3 - x^2 + x + C$.

Câu 4. Chọn D

$\log_3(2x+1) = 2 \Leftrightarrow 2x + 1 = 3^2 = 9 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn điều kiện $x > -\dfrac{1}{2}$).

Câu 5. Chọn B

Mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$, bán kính $R = 5$ có phương trình $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25$.

Câu 6. Chọn C

Không gian mẫu có $n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$ kết quả đồng khả năng. Các kết quả thuận lợi cho biến cố "tổng số chấm bằng $7$" là $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)$, có $6$ kết quả.

Vậy xác suất cần tìm là $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.

Câu 7. Chọn A

Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.

Câu 8. Chọn D

Thay $(x;y) = (1;1)$: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5 \le 6$ (đúng), $1 - 1 = 0 \le 1$ (đúng), $1 \ge 0$ (đúng).

Các cặp còn lại đều vi phạm ít nhất một bất phương trình: $(2;2)$ có $2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 10 > 6$; $(0;3)$ có $0 + 9 = 9 > 6$; $(3;0)$ có $3 - 0 = 3 > 1$.

Câu 9. Chọn B

$\displaystyle\int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C$.

Câu 10. Chọn A

Từ bảng biến thiên, dấu của $f'(x)$ là âm trên khoảng $(-1;1)$, nên hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$.

Câu 11. Chọn C

$u_5 = u_1 \cdot q^4 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.

Câu 12. Chọn D

Cỡ mẫu $n = 5 + 8 + 12 + 5 = 30$. Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ $15$ và giá trị thứ $16$. Tần số tích lũy: $5$; $13$; $25$; $30$. Hai giá trị thứ $15$ và $16$ đều nằm trong nhóm $[30;40)$, nên nhóm chứa trung vị là $[30;40)$.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1. a) Đ — b) S — c) Đ — d) S

Hộp có $8$ viên bi, trong đó $5$ viên đỏ và $3$ viên xanh.

a) Lần thứ nhất lấy từ $8$ viên, có $5$ viên đỏ nên $P(A) = \dfrac{5}{8}$. Đúng.

b) Nếu viên thứ nhất là bi đỏ thì trong hộp còn $7$ viên, gồm $4$ viên đỏ và $3$ viên xanh, nên $P(B \mid A) = \dfrac{3}{7} \ne \dfrac{3}{8}$. Sai.

c) $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14}$. Đúng.

d) $P(B) = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{15}{56} + \dfrac{6}{56} = \dfrac{21}{56} = \dfrac{3}{8} \ne \dfrac{5}{8}$. Sai.

Câu 2. a) S — b) Đ — c) Đ — d) S

Ta có $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

a) Trên khoảng $(0;2)$ thì $f'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến, không phải đồng biến. Sai.

b) $f''(x) = 6x - 6$, có $f''(0) = -6 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 0$. Đúng.

c) $f''(2) = 6 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, giá trị cực tiểu $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$. Đúng.

d) Trên $[0;3]$: $f(0) = 2$, $f(2) = -2$, $f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$. Giá trị lớn nhất bằng $2$, không phải $3$. Sai.

Câu 3. a) Đ — b) S — c) S — d) Đ

a) Ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow 20 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 5$ (giây). Đúng.

b) Quãng đường trong giây đầu: $s_1 = \displaystyle\int_0^1 (20 - 4t)\,\mathrm{d}t = \left[20t - 2t^2\right]_0^1 = 18$ (m) $\ne 20$ m. Sai.

c) Quãng đường đến khi dừng hẳn: $s = \displaystyle\int_0^5 (20 - 4t)\,\mathrm{d}t = \left[20t - 2t^2\right]_0^5 = 100 - 50 = 50$ (m) $\ne 40$ m. Sai.

d) Quãng đường trong giây thứ hai: $s_2 = \displaystyle\int_1^2 (20 - 4t)\,\mathrm{d}t = \left[20t - 2t^2\right]_1^2 = 32 - 18 = 14$ (m). Đúng.

Câu 4. a) Đ — b) S — c) Đ — d) S

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(6;0;0)$, $B(0;6;0)$, $C(0;0;6)$ nên có phương trình đoạn chắn $\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{6} = 1$, hay $x + y + z - 6 = 0$.

a) Một vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ là $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$. Đúng.

b) $d(O,(ABC)) = \dfrac{|0 + 0 + 0 - 6|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3,46$ (m) $\ne 3$ m. Sai.

c) $d(M,(ABC)) = \dfrac{|2 + 3 + 4 - 6|}{\sqrt{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ (m). Đúng.

d) Khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$ là $d = 2\sqrt{3}$; mặt cầu tâm $O$ bán kính $R = 4$ cắt $(ABC)$ theo đường tròn bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$ (m) $\ne 2\sqrt{3}$ m. Sai.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Đáp số: $1,15$

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A'(0;0;2)$.

Mặt phẳng $(A'BD)$ đi qua $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A'(0;0;2)$ nên có phương trình đoạn chắn:

$$\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0.$$

Khoảng cách từ $A$ đến $(A'BD)$:

$$d = \dfrac{|0 + 0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,1547.$$

Làm tròn đến hàng phần trăm: $1,15$.

Câu 2. Đáp số: $5712$

Gọi số cần lập là $\overline{abcde}$ với $a \ne 0$ và các chữ số đôi một khác nhau; số đó chia hết cho $5$ nên $e \in \{0;5\}$.

Trường hợp 1: $e = 0$. Chọn và xếp $4$ chữ số từ $9$ chữ số $1;2;\dots;9$ vào bốn vị trí $a, b, c, d$: có $A_9^4 = 3024$ số.

Trường hợp 2: $e = 5$. Chữ số $a$ có $8$ cách chọn (khác $0$ và khác $5$). Ba vị trí $b, c, d$ chọn và xếp $3$ chữ số từ $8$ chữ số còn lại: có $A_8^3 = 336$ cách. Vậy có $8 \cdot 336 = 2688$ số.

Tổng cộng: $3024 + 2688 = 5712$ số.

Câu 3. Đáp số: $17,32$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$:

$$4 - x^2 = 1 \Leftrightarrow x^2 = 3 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{3}.$$

Trên đoạn $\left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$ ta có $4 - x^2 \ge 1$. Diện tích tấm kính là

$$S = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left[(4 - x^2) - 1\right]\mathrm{d}x = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left(3 - x^2\right)\mathrm{d}x = \left[3x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6,9282\ (\text{m}^2).$$

Chi phí làm tấm kính: $6,9282 \cdot 2,5 = 17,3205$ (triệu đồng).

Làm tròn đến hàng phần trăm: $17,32$ triệu đồng.

Câu 4. Đáp số: $0,55$

Số cách lấy ra $4$ viên bi từ $12$ viên bi là $n(\Omega) = C_{12}^4 = 495$.

Để $4$ viên bi lấy ra có đủ cả ba màu thì số bi mỗi màu phải là bộ $(2;1;1)$.

Trường hợp 1: $2$ bi đỏ, $1$ bi xanh, $1$ bi vàng: $C_5^2 \cdot 4 \cdot 3 = 10 \cdot 12 = 120$ cách.

Trường hợp 2: $2$ bi xanh, $1$ bi đỏ, $1$ bi vàng: $C_4^2 \cdot 5 \cdot 3 = 6 \cdot 15 = 90$ cách.

Trường hợp 3: $2$ bi vàng, $1$ bi đỏ, $1$ bi xanh: $C_3^2 \cdot 5 \cdot 4 = 3 \cdot 20 = 60$ cách.

Số kết quả thuận lợi: $120 + 90 + 60 = 270$.

Xác suất cần tìm: $P = \dfrac{270}{495} = \dfrac{6}{11} \approx 0,5455$.

Làm tròn đến hàng phần trăm: $P \approx 0,55$.

Câu 5. Đáp số: $15$

Gọi $x, y, z$ (nghìn đồng) lần lượt là giá tiền một quyển vở, một chiếc bút và một chiếc thước ($x, y, z > 0$). Theo đề bài ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} 2x + y + z = 50 \\ x + 3y + 2z = 65 \\ 3x + 2y + 4z = 105 \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất: $z = 50 - 2x - y$. Thay vào phương trình thứ hai:

$$x + 3y + 2(50 - 2x - y) = 65 \Leftrightarrow -3x + y = -35 \Leftrightarrow y = 3x - 35.$$

Thay $z = 50 - 2x - (3x - 35) = 85 - 5x$ và $y = 3x - 35$ vào phương trình thứ ba:

$$3x + 2(3x - 35) + 4(85 - 5x) = 105 \Leftrightarrow -11x + 270 = 105 \Leftrightarrow x = 15.$$

Suy ra $y = 10$, $z = 10$ (thỏa mãn). Vậy một quyển vở giá $15$ nghìn đồng.

Câu 6. Đáp số: $24$

Gọi $x > 0$ (m) là cạnh đáy của bể và $h$ (m) là chiều cao. Thể tích bể là $V = x^2 h = 32$, suy ra $h = \dfrac{32}{x^2}$.

Diện tích kính cần dùng (một mặt đáy và bốn mặt bên):

$$S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \dfrac{32}{x^2} = x^2 + \dfrac{128}{x}.$$

Ta có $S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2}$; $S'(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 = 64 \Leftrightarrow x = 4$.

Lập bảng biến thiên suy ra $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 4$, khi đó $S_{\min} = 16 + 32 = 48$ (m²).

Chi phí nhỏ nhất: $48 \cdot 500 = 24000$ (nghìn đồng) $= 24$ triệu đồng.