Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2027 lần 3 - THPT Kỳ Anh

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 ĐIỂM)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2-\sin x$ trên $\mathbb{R}$ là:

Câu 3. Nghiệm của phương trình $\log_2(x-1)=3$ là:

Câu 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công sai $d=4$. Giá trị của số hạng thứ năm $u_5$ bằng:

Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x-y+3z-5=0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Câu 6. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+3}$ là đường thẳng có phương trình:

Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x-2} < 27$ là:

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=3a$, $BC=4a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng:

Câu 9. Nếu $\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ và $\int_1^3 g(x)\,\mathrm{d}x = -2$ thì giá trị của tích phân $\int_1^3 [2f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x$ bằng:

Câu 10. Khảo sát thời gian tự học môn Toán trong ngày (đơn vị: phút) của 40 học sinh khối 12 trường THPT Kỳ Anh (phường Hưng Trí, thị xã Kỳ Anh) thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 ĐIỂM)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 2. Một xe đầu kéo chở container hàng hóa từ cảng Vũng Áng đang chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_0=20$ m/s trên tuyến Quốc lộ 1A đoạn qua phường Hưng Trí, thị xã Kỳ Anh thì tài xế phát hiện chướng ngại vật cách đầu xe $60$ m. Người tài xế phản ứng trong $1$ giây (trong $1$ giây này xe vẫn chạy với vận tốc $20$ m/s) rồi mới bắt đầu đạp phanh. Kể từ lúc bắt đầu đạp phanh ($t=0$), xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=20-5t$ (m/s), trong đó $t$ tính bằng giây.
a) Kể từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đầu kéo di chuyển thêm $4$ giây.
b) Gia tốc của xe đầu kéo trong giai đoạn đạp phanh là $a=5\text{ m/s}^2$.
c) Quãng đường xe đi được kể từ lúc bắt đầu đạp phanh cho đến khi dừng hẳn là $40$ m.
d) Xe dừng lại trước khi va chạm với chướng ngại vật và cách chướng ngại vật $5$ m.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), trạm radar giám sát hàng hải và không lưu tại cảng nước sâu Vũng Áng – Sơn Dương đặt tại gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ có bán kính phủ sóng $12$ km. Một thiết bị bay không người lái (UAV) khảo sát môi trường Khu kinh tế Vũng Áng bay thẳng đều theo đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-4}{2}$ qua mốc quan trắc $A(3; -2; 6)$.
a) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2; -1; 2)$.
b) Điểm mốc quan trắc $A(3; -2; 6)$ thuộc quỹ đạo bay $d$ của thiết bị UAV.
c) Mặt phẳng $(P)$ đi qua trạm radar $O$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là $2x-y+2z-9=0$.
d) Khoảng cách ngắn nhất từ trạm radar $O$ tại cảng Vũng Áng đến thiết bị UAV trong hành trình là $3\sqrt{2}\text{ km}$.

Câu 4. Một nhà máy chế tạo vật liệu công nghệ cao tại Khu công nghiệp Vũng Áng có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất $60\%$ tổng số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất $40\%$ tổng số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là $2\%$ và của phân xưởng II là $5\%$. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho hàng chung tại cảng Vũng Áng để kiểm định trước khi xuất khẩu.
a) Xác suất chọn được sản phẩm do phân xưởng I sản xuất là $0,6$.
b) Giả sử sản phẩm được chọn do phân xưởng I sản xuất, xác suất để sản phẩm đó đạt chuẩn (không lỗi) là $0,95$.
c) Xác suất để sản phẩm được chọn là sản phẩm bị lỗi bằng $0,032$.
d) Biết rằng sản phẩm được chọn bị lỗi, xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng II tại Vũng Áng sản xuất bằng $0,625$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 ĐIỂM)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Điền kết quả số (số nguyên hoặc số thập phân) vào ô trả lời.

Câu 1. Một trụ đỡ giàn cẩu bốc dỡ hàng tại cảng Sơn Dương (Khu kinh tế Vũng Áng) có dạng hình lăng trụ xiên $ABC.A'B'C'$ với chân đế $ABC$ là tam giác đều cạnh $6$ m. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $(ABC)$ trùng với tâm ngoại tiếp $O$ của $\triangle ABC$, góc giữa cạnh bên $AA'$ và mặt đáy $(ABC)$ bằng $60^\circ$. Hai thanh giằng kỹ thuật nối theo đường thẳng $AM$ (với $M$ là trung điểm $B'C'$) và $CG$ (với $G$ là trọng tâm $\triangle ABB'$). Tính khoảng cách giữa hai thanh giằng $AM$ và $CG$ theo mét (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2. Đoạn hầm đường bộ xuyên đèo Ngang nối thị xã Kỳ Anh với tỉnh Quảng Bình có một phân đoạn chuyển tiếp dài $60\text{ m}$ dọc theo trục $Ox$ từ $x=0$ đến $x=60$ (m). Để đảm bảo an toàn khi xe vào cua, mặt đường trong hầm được thiết kế nghiêng dần (nâng siêu cao). Tại mỗi vị trí có hoành độ $x \in [0; 60]$, thiết diện mặt cắt vuông góc với trục $Ox$ của không gian thông xe (trong hệ trục $O'uv$ như hình vẽ) là miền phẳng giới hạn bởi vòm parabol $(P_x): v=9-\dfrac{1}{4}u^2$ và mặt đường nghiêng $(d_x): v=\dfrac{x}{120}u+\dfrac{x^2}{14400}$. Tính thể tích không gian thông xe của phân đoạn hầm này theo $\text{m}^3$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 3. Tại thị xã Kỳ Anh, để dẫn nước thô phục vụ Khu công nghiệp Vũng Áng, người ta lắp đường ống từ trạm bơm $A(0; 0)$ dọc theo bờ sông Trí (trục $Ox$) đến điểm $M(x; 0)$, đi thẳng qua vùng đồng bằng phường Kỳ Trinh ($0 \le y \le 3$) đến $N(u; 3)$, rồi vượt qua dải đồi núi ($y \ge 3$) đến bể chứa nhà máy tại Vũng Áng ở $B(11; 7)$ với $0 \le x \le u \le 11$ (đơn vị: km). Chi phí lắp $1$ km ống dọc bờ sông là $3$ tỷ đồng, qua đồng bằng là $5$ tỷ đồng, qua đồi núi là $4\sqrt{5}$ tỷ đồng. Tìm tổng chi phí lắp đặt nhỏ nhất (tỷ đồng, làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 4. Phòng kiểm định chất lượng tại nhà máy pin năng lượng Vũng Áng có một hộp chứa $12$ mẫu thử gồm: $5$ mẫu Đỏ (đánh số 1 đến 5), $4$ mẫu Xanh (đánh số 1 đến 4) và $3$ mẫu Vàng (đánh số 1 đến 3). Giai đoạn 1: lấy ngẫu nhiên $4$ mẫu từ hộp, giữ lại các mẫu mang số chẵn và loại bỏ các mẫu số lẻ. Giai đoạn 2: từ $8$ mẫu còn lại trong hộp, lấy tiếp ngẫu nhiên $2$ mẫu gộp với các mẫu chẵn giữ lại ở giai đoạn 1. Biết bộ mẫu cuối cùng có đúng $3$ mẫu và đủ cả $3$ màu, tính xác suất để giai đoạn 1 đã lấy ra đúng $2$ mẫu Đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, bồn chứa khí hóa lỏng (LNG) hình cầu tại Khu kinh tế Vũng Áng có phương trình $(S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$ và trạm điều khiển đặt tại $A(4; 6; 3)$. Một cảm biến nhiệt $M$ di động trên vách ngăn phẳng $(P): 2x+2y-z+12=0$ quét các tia tiếp tuyến đến bồn cầu $(S)$. Biết mặt phẳng $(Q)$ chứa các tiếp điểm luôn đi qua một điểm cố định $H$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách $T=MA+MH$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 6. Bảng tín hiệu điều khiển tổ máy tại Nhà máy Nhiệt điện Vũng Áng có dạng lưới $3 \times 4$ gồm 3 hàng và 4 cột. Kỹ sư cần bật sáng một số ô bằng đèn Đỏ hoặc Xanh sao cho: (1) mỗi hàng có đúng 1 ô Đỏ và 1 ô Xanh; (2) mỗi cột có tối đa 1 ô Đỏ và tối đa 1 ô Xanh; (3) không có cột nào hoàn toàn tắt. Hỏi có tất cả bao nhiêu cấu hình bật sáng bảng tín hiệu thỏa mãn yêu cầu?

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

I. BẢNG ĐÁP ÁN TỔNG HỢP

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (0,25 điểm / câu)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (0,5 điểm / câu)

II. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU VẬN DỤNG CAO

PHẦN II

- Câu 1: Hàm số $y=x-1+\dfrac{4}{x-1}$.
Tiệm cận xiên $y=x-1$ (ý c sai).
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình $y=2x-2$ (ý d đúng).

- Câu 2:
- Xe dừng hẳn khi $v(t)=0 \Leftrightarrow 20-5t=0 \Leftrightarrow t=4\text{ s}$ (ý a đúng).
- Gia tốc của xe trong giai đoạn đạp phanh là $a=v'(t)=-5\text{ m/s}^2$ (ý b sai vì mang dấu âm).
- Quãng đường xe đi được trong thời gian đạp phanh: $s_2 = \int_0^4 (20-5t)\,\mathrm{d}t = \left.\left(20t - \dfrac{5}{2}t^2\right)\right|_0^4 = 40\text{ m}$ (ý c đúng).
- Quãng đường xe chạy trong $1$ giây phản ứng: $s_1 = 20 \times 1 = 20\text{ m}$. Tổng quãng đường từ khi phát hiện chướng ngại vật đến khi dừng hẳn là $s = s_1 + s_2 = 20 + 40 = 60\text{ m}$. Do chướng ngại vật cách đầu xe đúng $60\text{ m}$ nên xe dừng lại ngay tại vị trí chướng ngại vật (ý d sai).

- Câu 3:
- Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(2; -1; 2)$ (ý a đúng).
- Thay tọa độ $A(3; -2; 6)$ vào $d$: $\dfrac{3-1}{2}=\dfrac{-2+1}{-1}=\dfrac{6-4}{2}=1$ (thỏa mãn) $\Rightarrow A \in d$ (ý b đúng).
- Mặt phẳng $(P)$ qua $O(0; 0; 0)$ vuông góc $d$ nhận $\vec{u}=(2; -1; 2)$ làm VTPT có phương trình $2x-y+2z=0$ (ý c sai).
- Gọi $H(1+2t; -1-t; 4+2t)$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $d$. Ta có $\overrightarrow{OH} \cdot \vec{u} = 0 \Leftrightarrow 2(1+2t)-(-1-t)+2(4+2t)=0 \Leftrightarrow 9t+11=0 \Leftrightarrow t=-\dfrac{11}{9}$. Khi đó $d(O, d)=OH=\dfrac{\sqrt{17}}{3}\text{ km} \ne 3\sqrt{2}\text{ km}$ (ý d sai).

- Câu 4:
- Gọi $A$ là biến cố "Sản phẩm chọn từ phân xưởng I", $B$ là biến cố "Sản phẩm chọn từ phân xưởng II". $P(A)=0,6; P(B)=0,4$ (ý a đúng).
- Tỉ lệ lỗi của xưởng I là $2\% \Rightarrow$ xác suất sản phẩm đạt chuẩn của xưởng I là $1-0,02=0,98$ (ý b sai).
- Gọi $E$ là biến cố "Sản phẩm bị lỗi". Theo công thức xác suất toàn phần:

$$P(E) = P(A) \cdot P(E \mid A) + P(B) \cdot P(E \mid B) = 0,6 \times 0,02 + 0,4 \times 0,05 = 0,032 \text{ (ý c đúng).}$$

- Xác suất sản phẩm lỗi do phân xưởng II sản xuất theo công thức Bayes:

$$P(B \mid E) = \dfrac{P(B) \cdot P(E \mid B)}{P(E)} = \dfrac{0,4 \times 0,05}{0,032} = \dfrac{0,02}{0,032} = 0,625 \text{ (ý d đúng).}$$

PHẦN III

Câu 1.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ đặt tại tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ của tam giác đều $ABC$. Trục $Oz$ chứa đường thẳng $OA'$, chiều dương hướng từ $O$ đến $A'$; trục $Ox$ đi qua trung điểm $I$ của cạnh $BC$.
Tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $6$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = AO = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\text{ m}$.
Chiều cao khối lăng trụ: $A'O = AO \cdot \tan 60^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6\text{ m}$.
Tọa độ các điểm:
- $A(-2\sqrt{3}; 0; 0)$
- $B(\sqrt{3}; 3; 0)$, $C(\sqrt{3}; -3; 0)$
- $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OA} = (0; 0; 6) - (-2\sqrt{3}; 0; 0) = (2\sqrt{3}; 0; 6)$
- $B' = B + \overrightarrow{AA'} = (3\sqrt{3}; 3; 6)$, $C' = C + \overrightarrow{AA'} = (3\sqrt{3}; -3; 6)$
- $M$ là trung điểm $B'C' \Rightarrow M(3\sqrt{3}; 0; 6)$
- $G$ là trọng tâm $\triangle ABB' \Rightarrow G\left(\dfrac{-2\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{3}; \dfrac{0+3+3}{3}; \dfrac{0+0+6}{3}\right) = \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}; 2; 2\right)$.

Ta có các vectơ:
$\overrightarrow{AM} = (5\sqrt{3}; 0; 6)$, $\overrightarrow{CG} = \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}; 5; 2\right)$, $\overrightarrow{AC} = (3\sqrt{3}; -3; 0)$.
Tích có hướng:

$$[\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{CG}] = \left(0 \cdot 2 - 6 \cdot 5;\, 6 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) - 5\sqrt{3} \cdot 2;\, 5\sqrt{3} \cdot 5 - 0\right) = (-30; -12\sqrt{3}; 25\sqrt{3})$$

Suy ra $|[\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{CG}]| = \sqrt{(-30)^2 + (-12\sqrt{3})^2 + (25\sqrt{3})^2} = \sqrt{900 + 432 + 1875} = \sqrt{3207} = 3\sqrt{356}$ (hay $\dfrac{54}{\sqrt{1069}}$ khi rút gọn tỉ lệ).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $CG$:

$$d(AM, CG) = \dfrac{\left|[\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{CG}] \cdot \overrightarrow{AC}\right|}{|[\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{CG}]|} = \dfrac{|-30 \cdot 3\sqrt{3} + (-12\sqrt{3}) \cdot (-3) + 0|}{\sqrt{3207}} = \dfrac{54\sqrt{3}}{\sqrt{3207}} = \dfrac{54}{\sqrt{1069}} \approx 1,65\text{ m}.$$

Câu 2.
Tại mỗi hoành độ $x \in [0; 60]$, phương trình hoành độ giao điểm của vòm parabol $(P_x)$ và đường thẳng nghiêng $(d_x)$ trên mặt phẳng cắt $O'uv$ là:

$$9 - \dfrac{1}{4}u^2 = \dfrac{x}{120}u + \dfrac{x^2}{14400} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\left(u + \dfrac{x}{60}\right)^2 = 9 \Leftrightarrow u + \dfrac{x}{60} = \pm 6$$

Suy ra hai giao điểm có hoành độ: $u_1 = -6 - \dfrac{x}{60}$ và $u_2 = 6 - \dfrac{x}{60}$.
Diện tích thiết diện mặt cắt ngang tại vị trí $x$ là:

$$S(x) = \int_{u_1}^{u_2} \left[9 - \dfrac{1}{4}\left(u + \dfrac{x}{60}\right)^2\right]\,\mathrm{d}u$$

Đặt biến phụ $w = u + \dfrac{x}{60} \Rightarrow \mathrm{d}w = \mathrm{d}u$, cận tích phân chuyển thành từ $-6$ đến $6$:

$$S(x) = \int_{-6}^6 \left(9 - \dfrac{1}{4}w^2\right)\,\mathrm{d}w = \left.\left(9w - \dfrac{w^3}{12}\right)\right|_{-6}^6 = \left(54 - 18\right) - \left(-54 + 18\right) = 36\text{ m}^2$$

Diện tích mặt cắt không phụ thuộc vào $x$.
Thể tích không gian thông xe của phân đoạn hầm:

$$V = \int_0^{60} S(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{60} 36\,\mathrm{d}x = 36 \times 60 = 2160\text{ m}^3.$$

Câu 3.
Độ dài đoạn ống dọc bờ sông là $x$.
Độ dài đoạn ống qua vùng đồng bằng từ $M(x; 0)$ đến $N(u; 3)$ là $\sqrt{(u-x)^2 + 3^2} = \sqrt{(u-x)^2 + 9}$.
Độ dài đoạn ống qua đồi núi từ $N(u; 3)$ đến $B(11; 7)$ là $\sqrt{(11-u)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{(11-u)^2 + 16}$.
Tổng chi phí lắp đặt:

$$C(x, u) = 3x + 5\sqrt{(u-x)^2 + 9} + 4\sqrt{5}\sqrt{(11-u)^2 + 16}$$

Đặt $v = u - x \ge 0$ và $w = 11 - u \ge 0 \Rightarrow x = 11 - v - w$. Khi đó:

$$C = 3(11 - v - w) + 5\sqrt{v^2 + 9} + 4\sqrt{5}\sqrt{w^2 + 16} = 33 + \left(5\sqrt{v^2 + 9} - 3v\right) + \left(4\sqrt{5}\sqrt{w^2 + 16} - 3w\right)$$

Xét hàm số $f(v) = 5\sqrt{v^2 + 9} - 3v$ với $v \ge 0$:

$$f'(v) = \dfrac{5v}{\sqrt{v^2 + 9}} - 3 = 0 \Leftrightarrow 5v = 3\sqrt{v^2 + 9} \Leftrightarrow 25v^2 = 9(v^2 + 9) \Leftrightarrow 16v^2 = 81 \Leftrightarrow v = \dfrac{9}{4}$$

Khi đó $f_{\min} = f\left(\dfrac{9}{4}\right) = 5\sqrt{\dfrac{81}{16} + 9} - 3 \cdot \dfrac{9}{4} = 5 \cdot \dfrac{15}{4} - \dfrac{27}{4} = 12$.
Xét hàm số $g(w) = 4\sqrt{5}\sqrt{w^2 + 16} - 3w$ với $w \ge 0$:

$$g'(w) = \dfrac{4\sqrt{5}w}{\sqrt{w^2 + 16}} - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt{5}w = 3\sqrt{w^2 + 16} \Leftrightarrow 80w^2 = 9(w^2 + 16) \Leftrightarrow 71w^2 = 144 \Leftrightarrow w = \dfrac{12}{\sqrt{71}}$$

Khi đó $g_{\min} = g\left(\dfrac{12}{\sqrt{71}}\right) = 4\sqrt{5}\sqrt{\dfrac{144}{71} + 16} - 3 \cdot \dfrac{12}{\sqrt{71}} = 4\sqrt{71}$.
Tổng chi phí nhỏ nhất là:

$$C_{\min} = 33 + 12 + 4\sqrt{71} = 45 + 4\sqrt{71} \approx 78,705 \approx 78,7\text{ tỷ đồng}.$$

Câu 4.
Tổng cộng có 12 mẫu gồm:
- Mẫu số lẻ (7 mẫu): Đỏ $\{1, 3, 5\}$ (3 mẫu), Xanh $\{1, 3\}$ (2 mẫu), Vàng $\{1, 3\}$ (2 mẫu).
- Mẫu số chẵn (5 mẫu): Đỏ $\{2, 4\}$ (2 mẫu), Xanh $\{2, 4\}$ (2 mẫu), Vàng $\{2\}$ (1 mẫu).
Gọi $k$ là số mẫu chẵn lấy ra ở Giai đoạn 1 ($0 \le k \le 4$). Khi đó số mẫu chẵn được giữ lại là $k$.
Ở Giai đoạn 2, ta lấy 2 mẫu từ 8 mẫu còn lại. Để bộ mẫu cuối cùng có đúng 3 mẫu thì:

$$k + 2 = 3 \Leftrightarrow k = 1$$

Nghĩa là ở Giai đoạn 1 phải lấy đúng 1 mẫu chẵn và 3 mẫu lẻ.
Bộ 3 mẫu cuối cùng gồm 1 mẫu chẵn (ở giai đoạn 1) và 2 mẫu bất kỳ (ở giai đoạn 2), đồng thời phải có đủ cả 3 màu.
Tính tổng số trường hợp thỏa mãn không gian điều kiện và số trường hợp Giai đoạn 1 lấy đúng 2 mẫu Đỏ (1 Đỏ chẵn và 2 Đỏ lẻ hoặc 0 Đỏ chẵn và 2 Đỏ lẻ):
Tổng số trường hợp bộ mẫu thỏa mãn đủ 3 màu là $1400$.
Số trường hợp mà giai đoạn 1 lấy ra đúng 2 mẫu Đỏ là $510$.
Xác suất cần tính:

$$P = \dfrac{510}{1400} = \dfrac{51}{140} \approx 0,3643 \approx 0,36.$$

Câu 5.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R=3$.
Với mỗi điểm $M(x_0; y_0; z_0) \in (P)$, mặt phẳng $(Q)$ đi qua các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $(S)$ có phương trình:

$$(x_0 - 1)(x - 1) + (y_0 - 2)(y - 2) + (z_0 - 3)(z - 3) = R^2 = 9$$

Vì $M \in (P)$ nên tọa độ $M$ thỏa mãn:

$$2x_0 + 2y_0 - z_0 + 12 = 0 \Leftrightarrow 2(x_0 - 1) + 2(y_0 - 2) - (z_0 - 3) + 15 = 0 \Leftrightarrow 2(x_0 - 1) + 2(y_0 - 2) - (z_0 - 3) = -15$$

Đồng nhất hệ số với phương trình mặt phẳng $(Q)$, ta tìm được điểm cố định $H$ mà $(Q)$ luôn đi qua:

$$\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{2} = \dfrac{z - 3}{-1} = \dfrac{9}{-15} = -\dfrac{3}{5}$$

Suy ra tọa độ điểm $H$:

$$x = 1 - \dfrac{6}{5} = -\dfrac{1}{5};\quad y = 2 - \dfrac{6}{5} = \dfrac{4}{5};\quad z = 3 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{5} \Rightarrow H\left(-\dfrac{1}{5}; \dfrac{4}{5}; \dfrac{18}{5}\right)$$

Kiểm tra vị trí tương đối của $A(4; 6; 3)$ và $H$ so với mặt phẳng $(P)$:
$T_A = 2(4) + 2(6) - 3 + 12 = 29 > 0$
$T_H = 2\left(-\dfrac{1}{5}\right) + 2\left(\dfrac{4}{5}\right) - \dfrac{18}{5} + 12 = -\dfrac{2}{5} + \dfrac{8}{5} - \dfrac{18}{5} + 12 = \dfrac{48}{5} > 0$
Hai điểm $A$ và $H$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $(P)$.
Gọi $H'$ là điểm đối xứng với $H$ qua $(P)$.
Ta tìm được tọa độ điểm đối xứng $H'\left(-\dfrac{67}{15}; -\dfrac{52}{15}; \dfrac{86}{15}\right) \approx (-4,47; -3,47; 5,73)$.
Khi đó, giá trị nhỏ nhất của $T = MA + MH = MA + MH' \ge AH'$:

$$T_{\min} = AH' = \sqrt{\left(4 + \dfrac{67}{15}\right)^2 + \left(6 + \dfrac{52}{15}\right)^2 + \left(3 - \dfrac{86}{15}\right)^2} = \dfrac{32\sqrt{178}}{30} \approx 14,22.$$

Câu 6.
Bảng có 3 hàng và 4 cột.
Theo điều kiện (1): mỗi hàng có đúng 1 ô Đỏ và 1 ô Xanh $\Rightarrow$ toàn bảng có đúng 3 ô Đỏ và 3 ô Xanh.
Theo điều kiện (2): mỗi cột có tối đa 1 ô Đỏ và tối đa 1 ô Xanh. Vì có 3 ô Đỏ và 4 cột nên có đúng 1 cột không có ô Đỏ. Tương tự, có đúng 1 cột không có ô Xanh.
Theo điều kiện (3): không có cột nào hoàn toàn tắt $\Rightarrow$ cột thiếu ô Đỏ và cột thiếu ô Xanh không được trùng nhau.
- Chọn cột không có ô Đỏ: có 4 cách chọn.
- Chọn cột không có ô Xanh (phải khác cột không có ô Đỏ): có 3 cách chọn.
Như vậy có $4 \times 3 = 12$ cách chọn vị trí các cột có mặt của màu Đỏ và Xanh.
- Với mỗi cách chọn cột, có 3 cột chứa ô Đỏ trên 3 hàng khác nhau: số cách xếp là $3! = 6$ cách.
- Tiếp theo, ta xếp 3 ô Xanh vào 3 cột đã định sao cho mỗi hàng có 1 ô Xanh và không ô Xanh nào trùng vị trí với ô Đỏ.
Giả sử các ô Đỏ đã chiếm các vị trí trên bảng. Hai tập hợp 3 cột của Đỏ và Xanh có đúng 2 cột chung.
Tại 2 cột chung này, ô Xanh không được đặt trùng hàng với ô Đỏ.
Áp dụng công thức bao hàm và loại trừ, số cách xếp hợp lệ cho 3 ô Xanh là:

$$3! - (2 + 2 - 1) = 6 - 3 = 3 \text{ cách.}$$

Tổng số cấu hình bật sáng thỏa mãn yêu cầu là:

$$N = 12 \times 6 \times 3 = 216\text{ cấu hình.}$$