Đề thi thử Tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Toán – Chuyên đề Xác suất có điều kiện

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì thỏa mãn $P(B) > 0$. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hai biến cố $A$ và $B$ có $P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$ và $P(AB) = 0,25$. Giá trị của xác suất có điều kiện $P(A|B)$ bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hai biến cố $A$ và $B$ thỏa mãn $P(B) > 0$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Câu 4 (0,25 điểm). Một hộp chứa 10 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, gồm 6 viên bi màu xanh và 4 viên bi màu đỏ. Rút ngẫu nhiên liên tiếp hai lần, mỗi lần một viên bi không hoàn lại. Xác suất để viên bi thứ hai màu đỏ biết rằng viên bi thứ nhất lấy ra có màu đỏ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Bảng sau thống kê số lượng 100 học sinh khối 12 tham gia hai câu lạc bộ Tiếng Anh và Tin học:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số 100 học sinh trên. Biết rằng học sinh được chọn là nữ, xác suất để học sinh đó tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là

Câu 6 (0,25 điểm). Cho biến cố $A$ thỏa mãn $P(A) = 0,6$ và biến cố $B$ thỏa mãn $P(B|A) = 0,8$; $P(B|\overline{A}) = 0,3$. Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố $B$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Một công ty có hai phân xưởng I và II cùng sản xuất một loại linh kiện điện tử. Phân xưởng I sản xuất 60% tổng sản lượng với tỉ lệ phế phẩm là 2%; phân xưởng II sản xuất 40% tổng sản lượng với tỉ lệ phế phẩm là 3%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho chung của công ty. Xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Tiếp tục bài toán ở Câu 7, giả sử sản phẩm lấy ra từ kho chung là một phế phẩm. Xác suất để phế phẩm đó do phân xưởng I sản xuất bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Một cơ sở may mặc xuất khẩu áo sơ mi quy định mỗi chiếc áo phải qua hai lần kiểm tra chất lượng độc lập. Biết rằng có 90% sản phẩm sản xuất ra vượt qua lần kiểm tra thứ nhất và trong số các sản phẩm đã vượt qua lần thứ nhất thì có 95% vượt qua lần kiểm tra thứ hai. Xác suất để một chiếc áo sơ mi được chọn ngẫu nhiên đủ tiêu chuẩn xuất khẩu (vượt qua cả hai lần kiểm tra) là

Câu 10 (0,25 điểm). Có hai hộp bi. Hộp I chứa 4 viên bi màu trắng và 2 viên bi màu đen. Hộp II chứa 3 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen. Người ta lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi sau đó lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp II. Biết rằng viên bi được chuyển từ hộp I sang hộp II là viên bi màu trắng, xác suất để viên bi lấy ra từ hộp II có màu trắng bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau, có $P(A) = 0,3$ và $P(B) = 0,7$. Xác suất có điều kiện $P(A|\overline{B})$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Một căn bệnh có tỉ lệ mắc trong cộng đồng là 5%. Một phương pháp xét nghiệm chẩn đoán bệnh cho kết quả dương tính đối với 90% người mắc bệnh, nhưng cũng cho kết quả dương tính (dương tính giả) đối với 10% người không mắc bệnh. Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng đi xét nghiệm. Xác suất để người này nhận kết quả dương tính là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Trước khi ra mắt một dòng điện thoại mới, công ty tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 500 khách hàng tiềm năng. Trong đó có 300 người trả lời "sẽ mua" và 200 người trả lời "không mua". Thống kê từ các chiến dịch tương tự trước đây cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm trong nhóm trả lời "sẽ mua" là 70%, còn trong nhóm trả lời "không mua" vẫn có 20% số người thực sự mua sản phẩm.
Gọi $A$ là biến cố: "Khách hàng được khảo sát thực sự mua sản phẩm" và $B$ là biến cố: "Khách hàng trả lời sẽ mua sản phẩm".
a) Xác suất để một khách hàng được khảo sát trả lời "sẽ mua" là $P(B) = 0,6$ và trả lời "không mua" là $P(\overline{B}) = 0,4$.
b) Xác suất có điều kiện $P(A|\overline{B}) = 0,8$.
c) Xác suất để một khách hàng được chọn ngẫu nhiên trong nhóm khảo sát thực sự mua sản phẩm là $P(A) = 0,50$.
d) Biết rằng một khách hàng được khảo sát đã thực sự mua sản phẩm, xác suất để người này từng trả lời "sẽ mua" khi được khảo sát bằng 0,84.

Câu 2 (1,0 điểm). Một bệnh viện tiến hành thử nghiệm bộ kit xét nghiệm nhanh một loại bệnh truyền nhiễm X ở một vùng dịch tễ. Theo số liệu thống kê, tỉ lệ người nhiễm bệnh X trong khu vực là 2%. Thử nghiệm cho thấy: nếu người bị nhiễm bệnh X thì bộ kit cho kết quả dương tính với xác suất 95%; nếu người không nhiễm bệnh X thì bộ kit cho kết quả dương tính giả với xác suất 5%.
Chọn ngẫu nhiên một người trong khu vực dân cư đó để kiểm tra sức khỏe. Gọi $M$ là biến cố: "Người được chọn bị nhiễm bệnh X" và $D$ là biến cố: "Bộ kit cho kết quả xét nghiệm dương tính".
a) Xác suất để người được chọn không nhiễm bệnh X là $P(\overline{M}) = 0,98$.
b) Xác suất để người được chọn có kết quả xét nghiệm âm tính, biết rằng người đó không nhiễm bệnh X, bằng $P(\overline{D}|\overline{M}) = 0,95$.
c) Xác suất để một người được chọn ngẫu nhiên nhận kết quả xét nghiệm dương tính bằng $0,068$.
d) Giả sử một người nhận kết quả xét nghiệm dương tính. Khi đó, xác suất người này thực sự bị nhiễm bệnh X lớn hơn 50%.

Câu 3 (1,0 điểm). Một nhà mạng viễn thông triển khai hệ thống phần mềm trí tuệ nhân tạo (AI) để tự động phát hiện và chặn các tin nhắn rác lừa đảo gửi đến thuê bao. Qua thời gian vận hành dài hạn, nhà mạng ghi nhận các thông số sau:
- Tỉ lệ tin nhắn rác trong toàn hệ thống là 10%.
- Xác suất hệ thống phát hiện chính xác và chặn một tin nhắn rác là 92%.
- Xác suất hệ thống chặn nhầm một tin nhắn hợp lệ (tin nhắn không phải rác) là 4%.
Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn gửi qua hệ thống mạng viễn thông này. Gọi $R$ là biến cố: "Tin nhắn được chọn là tin nhắn rác" và $C$ là biến cố: "Hệ thống ra quyết định chặn tin nhắn".
a) Xác suất để tin nhắn được chọn là tin nhắn hợp lệ bằng 0,9.
b) Các xác suất có điều kiện $P(C|R) = 0,92$ và $P(C|\overline{R}) = 0,04$.
c) Xác suất để một tin nhắn bất kì bị hệ thống ngăn chặn bằng 0,128.
d) Trong số các tin nhắn bị hệ thống ngăn chặn, tỉ lệ tin nhắn thực sự là tin nhắn rác nhỏ hơn 70%.

Câu 4 (1,0 điểm). Trong một kỳ thi sát hạch thực hành lái xe ô tô, mỗi học viên phải trải qua hai phần thi liên tiếp: Phần 1 (Sa hình) và Phần 2 (Đường trường). Theo thống kê qua nhiều khóa thi, xác suất một học viên vượt qua Phần 1 là 0,8. Nếu một học viên vượt qua Phần 1 thì xác suất người đó tiếp tục vượt qua Phần 2 là 0,85. Ngược lại, nếu trượt Phần 1 thì do tâm lý căng thẳng, xác suất để học viên đó vượt qua Phần 2 chỉ là 0,30.
Chọn ngẫu nhiên một học viên tham gia kỳ thi. Gọi $A$ là biến cố: "Học viên vượt qua Phần 1" và $B$ là biến cố: "Học viên vượt qua Phần 2".
a) Xác suất để học viên không vượt qua Phần 1 là $P(\overline{A}) = 0,2$.
b) Xác suất để học viên vượt qua cả hai phần thi là $0,68$.
c) Xác suất để học viên vượt qua Phần 2 bằng $0,70$.
d) Biết rằng học viên đó đã vượt qua Phần 2, xác suất học viên đó cũng đã vượt qua Phần 1 lớn hơn 0,90.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Hộp I chứa 5 quả bóng màu xanh và 3 quả bóng màu đỏ. Hộp II chứa 4 quả bóng màu xanh và 6 quả bóng màu đỏ. Người ta lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp II ra ngoài. Biết rằng quả bóng lấy ra từ hộp II có màu đỏ, hãy tính xác suất để quả bóng được chuyển từ hộp I sang hộp II cũng là quả bóng màu đỏ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2 (0,5 điểm). Một hộp kín chứa ba đồng xu có bề ngoài giống hệt nhau: đồng xu thứ nhất cân đối và đồng chất (xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0,5); đồng xu thứ hai không cân đối với xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0,6; đồng xu thứ ba bị lỗi có cả hai mặt đều là mặt ngửa (xác suất xuất hiện mặt ngửa là 1). Bạn An lấy ngẫu nhiên 1 đồng xu trong hộp và tung đồng xu đó 2 lần độc lập, kết quả cả 2 lần đều xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để đồng xu bạn An đã chọn là đồng xu thứ hai (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 3 (0,5 điểm). Lớp 12A tham gia hoạt động văn nghệ và thể thao của trường. Mỗi học sinh chỉ được đăng ký tham gia một trong hai hoạt động: biểu diễn văn nghệ hoặc thi đấu thể thao. Biết rằng toàn bộ 100% học sinh nữ của lớp đều đăng ký biểu diễn văn nghệ. Trong số học sinh nam, có 20% số bạn đăng ký biểu diễn văn nghệ và 80% số bạn đăng ký thi đấu thể thao. Biết tổng số học sinh của lớp tham gia biểu diễn văn nghệ chiếm 40% học sinh toàn lớp. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Biết rằng học sinh này tham gia biểu diễn văn nghệ, tính xác suất để học sinh được chọn là học sinh nữ (kết quả viết dưới dạng số thập phân, làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 4 (0,5 điểm). Một công ty quản lý quỹ tài chính đưa ra dự báo về nền kinh tế trong năm tới: xác suất nền kinh tế tăng trưởng là 0,6 và xác suất nền kinh tế suy thoái là 0,4. Trong điều kiện kinh tế tăng trưởng, xác suất quỹ đầu tư đạt mức lợi nhuận trên 15% là 0,8. Trong điều kiện kinh tế suy thoái, xác suất quỹ đầu tư đạt mức lợi nhuận trên 15% chỉ là 0,2. Đến cuối năm tài chính, ban giám đốc ghi nhận quỹ đầu tư đã đạt mức lợi nhuận trên 15%. Tính xác suất để nền kinh tế trong năm đó rơi vào trạng thái suy thoái (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5 (0,5 điểm). Một nhà máy sản xuất pin xe điện có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 70% tổng sản lượng của nhà máy với tỉ lệ pin lỗi là 2%. Dây chuyền B sản xuất 30% tổng sản lượng của nhà máy với tỉ lệ pin lỗi là 4%. Chọn ngẫu nhiên một viên pin trong kho thành phẩm của nhà máy. Gọi $P$ là xác suất để viên pin được chọn bị lỗi và do dây chuyền B sản xuất. Hãy tính giá trị của biểu thức $1000P$.

Câu 6 (0,5 điểm). Một căn bệnh hiếm có tỉ lệ mắc trong cộng đồng là 1%. Một quy trình xét nghiệm y khoa chẩn đoán bệnh có độ nhạy (xác suất người có bệnh nhận kết quả dương tính) là 90%, và xác suất người không mắc bệnh nhận kết quả dương tính giả là 5%. Một người trong cộng đồng đi xét nghiệm lần thứ nhất và nhận kết quả dương tính. Bác sĩ chỉ định người này thực hiện xét nghiệm lần thứ hai độc lập và tiếp tục nhận kết quả dương tính. Giả sử hai lần xét nghiệm của một người có cùng tình trạng bệnh là hai biến cố độc lập có điều kiện. Tính xác suất để người này thực sự mắc bệnh (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

--------- HẾT ---------

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu hỏi được 1,0 điểm.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

Câu 1. Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì ($P(B) > 0$), ta có:

$$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$$

Chọn đáp án A.

Câu 2. Áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện:

$$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{0,25}{0,5} = 0,5$$

Chọn đáp án C.

Câu 3. Với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra, hai biến cố $A$ và $\overline{A}$ là hai biến cố đối nhau trong không gian biến cố đã thu hẹp theo $B$. Do đó:

$$P(\overline{A}|B) = 1 - P(A|B)$$

Chọn đáp án B.

Câu 4. Ban đầu hộp có 10 viên bi (6 xanh, 4 đỏ). Khi lần thứ nhất lấy ra được 1 viên bi màu đỏ và không hoàn lại, trong hộp còn lại 9 viên bi gồm 6 viên bi màu xanh và 3 viên bi màu đỏ.
Do đó, xác suất để lần thứ hai rút được viên bi màu đỏ với điều kiện lần thứ nhất đã rút được viên bi đỏ là:

$$P = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$$

Chọn đáp án D.

Câu 5. Gọi $A$ là biến cố: "Học sinh tham gia CLB Tiếng Anh", $B$ là biến cố: "Học sinh được chọn là nữ".
Từ bảng số liệu:
- Số học sinh nữ là $n(B) = 55$.
- Số học sinh nữ tham gia CLB Tiếng Anh là $n(AB) = 40$.
Xác suất cần tính là:

$$P(A|B) = \dfrac{n(AB)}{n(B)} = \dfrac{40}{55} = \dfrac{8}{11}$$

Chọn đáp án A.

Câu 6. Vì hai biến cố $A$ và $\overline{A}$ tạo thành một hệ đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần:

$$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})$$

Ta có $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$. Thay số:

$$P(B) = 0,6 \cdot 0,8 + 0,4 \cdot 0,3 = 0,48 + 0,12 = 0,60$$

Chọn đáp án B.

Câu 7. Gọi $A$ là biến cố: "Linh kiện do phân xưởng I sản xuất", khi đó $\overline{A}$ là biến cố: "Linh kiện do phân xưởng II sản xuất".
Gọi $F$ là biến cố: "Linh kiện lấy ra là phế phẩm".
Theo đề bài: $P(A) = 0,6$; $P(\overline{A}) = 0,4$; $P(F|A) = 0,02$; $P(F|\overline{A}) = 0,03$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(F) = P(A) \cdot P(F|A) + P(\overline{A}) \cdot P(F|\overline{A}) = 0,6 \cdot 0,02 + 0,4 \cdot 0,03 = 0,012 + 0,012 = 0,024$$

Chọn đáp án C.

Câu 8. Theo định lý Bayes, xác suất phế phẩm lấy ra do phân xưởng I sản xuất là:

$$P(A|F) = \dfrac{P(A) \cdot P(F|A)}{P(F)} = \dfrac{0,6 \cdot 0,02}{0,024} = \dfrac{0,012}{0,024} = 0,50$$

Chọn đáp án D.

Câu 9. Gọi $A_1$ là biến cố: "Chiếc áo vượt qua lần kiểm tra thứ nhất", $A_2$ là biến cố: "Chiếc áo vượt qua lần kiểm tra thứ hai".
Biến cố chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là $A_1 A_2$.
Theo đề bài: $P(A_1) = 0,90$ và $P(A_2|A_1) = 0,95$.
Áp dụng công thức nhân xác suất:

$$P(A_1 A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) = 0,90 \cdot 0,95 = 0,855$$

Chọn đáp án A.

Câu 10. Hộp II ban đầu có 3 viên bi trắng và 5 viên bi đen (tổng 8 viên).
Khi chuyển 1 viên bi màu trắng từ hộp I sang hộp II, trong hộp II lúc này có $3 + 1 = 4$ viên bi trắng và 5 viên bi đen (tổng 9 viên).
Xác suất lấy được viên bi màu trắng từ hộp II là $\dfrac{4}{9}$.
Chọn đáp án B.

Câu 11. Vì hai biến cố $A$ và $B$ độc lập nên hai biến cố $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.
Do đó, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố $\overline{B}$ không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố $A$:

$$P(A|\overline{B}) = P(A) = 0,3$$

Chọn đáp án C.

Câu 12. Gọi $B$ là biến cố: "Người được chọn mắc bệnh", $D$ là biến cố: "Kết quả xét nghiệm dương tính".
Theo đề bài: $P(B) = 0,05 \implies P(\overline{B}) = 0,95$; $P(D|B) = 0,90$; $P(D|\overline{B}) = 0,10$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(D) = P(B) \cdot P(D|B) + P(\overline{B}) \cdot P(D|\overline{B}) = 0,05 \cdot 0,90 + 0,95 \cdot 0,10 = 0,045 + 0,095 = 0,140$$

Chọn đáp án D.

PHẦN II

Câu 1.
- Ý a) Đúng: Trong 500 khách hàng có 300 người trả lời "sẽ mua" nên $P(B) = \dfrac{300}{500} = 0,6$ và $P(\overline{B}) = \dfrac{200}{500} = 0,4$.
- Ý b) Sai: $P(A|\overline{B})$ là xác suất khách hàng thực sự mua trong nhóm trả lời "không mua". Theo đề bài, tỉ lệ này là 20%, tức là $P(A|\overline{B}) = 0,2$ chứ không phải $0,8$.
- Ý c) Đúng: Theo công thức xác suất toàn phần:

$$P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B}) = 0,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,2 = 0,42 + 0,08 = 0,50$$

- Ý d) Đúng: Xác suất khách hàng đã trả lời "sẽ mua", biết người này thực sự mua sản phẩm là:

$$P(B|A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)} = \dfrac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)} = \dfrac{0,6 \cdot 0,7}{0,50} = \dfrac{0,42}{0,50} = 0,84$$

Câu 2.
- Ý a) Đúng: Vì $P(M) = 2\% = 0,02$ nên $P(\overline{M}) = 1 - 0,02 = 0,98$.
- Ý b) Đúng: Với người không nhiễm bệnh, xác suất dương tính giả là $P(D|\overline{M}) = 0,05$, do đó xác suất nhận kết quả âm tính là $P(\overline{D}|\overline{M}) = 1 - 0,05 = 0,95$.
- Ý c) Đúng: Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(D) = P(M) \cdot P(D|M) + P(\overline{M}) \cdot P(D|\overline{M}) = 0,02 \cdot 0,95 + 0,98 \cdot 0,05 = 0,019 + 0,049 = 0,068$$

- Ý d) Sai: Áp dụng định lý Bayes, xác suất một người thực sự bị bệnh khi có kết quả dương tính là:

$$P(M|D) = \dfrac{P(M) \cdot P(D|M)}{P(D)} = \dfrac{0,019}{0,068} \approx 0,2794 = 27,94\% < 50\%$$

Câu 3.
- Ý a) Đúng: Tỉ lệ tin nhắn rác là $P(R) = 0,10$, do đó tỉ lệ tin nhắn hợp lệ là $P(\overline{R}) = 1 - 0,10 = 0,90$.
- Ý b) Đúng: Theo giả thiết: tỉ lệ chặn đúng tin nhắn rác là $P(C|R) = 0,92$; tỉ lệ chặn nhầm tin nhắn hợp lệ là $P(C|\overline{R}) = 0,04$.
- Ý c) Đúng: Theo công thức xác suất toàn phần:

$$P(C) = P(R) \cdot P(C|R) + P(\overline{R}) \cdot P(C|\overline{R}) = 0,1 \cdot 0,92 + 0,9 \cdot 0,04 = 0,092 + 0,036 = 0,128$$

- Ý d) Sai: Xác suất một tin nhắn bị chặn thực sự là tin nhắn rác là:

$$P(R|C) = \dfrac{P(RC)}{P(C)} = \dfrac{0,092}{0,128} = \dfrac{23}{32} = 0,71875 = 71,875\% > 70\%$$

Câu 4.
- Ý a) Đúng: Xác suất học viên không vượt qua Phần 1 là $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$.
- Ý b) Đúng: Xác suất học viên vượt qua cả hai phần thi là:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = 0,8 \cdot 0,85 = 0,68$$

- Ý c) Sai: Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = 0,8 \cdot 0,85 + 0,2 \cdot 0,30 = 0,68 + 0,06 = 0,74 \ne 0,70$$

- Ý d) Đúng: Áp dụng định lý Bayes:

$$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{0,68}{0,74} = \dfrac{34}{37} \approx 0,9189 > 0,90$$

PHẦN III

Câu 1.
Gọi $A_1$ là biến cố "Quả bóng chuyển từ hộp I sang hộp II có màu đỏ", suy ra $\overline{A_1}$ là biến cố "Quả bóng chuyển từ hộp I sang hộp II có màu xanh".
Ta có: $P(A_1) = \dfrac{3}{8}$; $P(\overline{A_1}) = \dfrac{5}{8}$.
Gọi $B$ là biến cố "Quả bóng lấy ra từ hộp II có màu đỏ".
- Nếu quả bóng chuyển sang có màu đỏ thì hộp II có 4 quả xanh và 7 quả đỏ (tổng 11 quả): $P(B|A_1) = \dfrac{7}{11}$.
- Nếu quả bóng chuyển sang có màu xanh thì hộp II có 5 quả xanh và 6 quả đỏ (tổng 11 quả): $P(B|\overline{A_1}) = \dfrac{6}{11}$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(\overline{A_1}) \cdot P(B|\overline{A_1}) = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{7}{11} + \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{6}{11} = \dfrac{21 + 30}{88} = \dfrac{51}{88}$$

Áp dụng định lý Bayes, xác suất cần tìm là:

$$P(A_1|B) = \dfrac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{21}{88}}{\dfrac{51}{88}} = \dfrac{21}{51} = \dfrac{7}{17} \approx 0,41176 \approx 0,41$$

Điền đáp số: 0,41.

Câu 2.
Gọi $A_i$ là biến cố "Bạn An chọn được đồng xu thứ $i$" với $i \in \{1, 2, 3\}$.
Vì chọn ngẫu nhiên nên $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \dfrac{1}{3}$.
Gọi $E$ là biến cố "Tung đồng xu 2 lần đều xuất hiện mặt ngửa".
- Với đồng xu 1: $P(E|A_1) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$.
- Với đồng xu 2: $P(E|A_2) = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36$.
- Với đồng xu 3: $P(E|A_3) = 1 \cdot 1 = 1$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(E) = \dfrac{1}{3} \cdot (0,25 + 0,36 + 1) = \dfrac{1}{3} \cdot 1,61 = \dfrac{1,61}{3}$$

Áp dụng định lý Bayes, xác suất chọn được đồng xu thứ hai là:

$$P(A_2|E) = \dfrac{P(A_2) \cdot P(E|A_2)}{P(E)} = \dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot 0,36}{\dfrac{1}{3} \cdot 1,61} = \dfrac{0,36}{1,61} = \dfrac{36}{161} \approx 0,2236 \approx 0,22$$

Điền đáp số: 0,22.

Câu 3.
Gọi $x$ là tỉ lệ học sinh nữ trong lớp ($0 < x < 1$). Khi đó tỉ lệ học sinh nam là $1 - x$.
Gọi $N$ là biến cố "Học sinh được chọn là nữ" $\implies P(N) = x$; $P(\overline{N}) = 1 - x$.
Gọi $V$ là biến cố "Học sinh được chọn tham gia văn nghệ".
Theo giả thiết:
- Toàn bộ học sinh nữ tham gia văn nghệ nên $P(V|N) = 1$.
- Trong số học sinh nam có 20% tham gia văn nghệ nên $P(V|\overline{N}) = 0,2$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(V) = P(N) \cdot P(V|N) + P(\overline{N}) \cdot P(V|\overline{N}) = x \cdot 1 + (1 - x) \cdot 0,2 = 0,8x + 0,2$$

Mặt khác, tỉ lệ học sinh toàn lớp tham gia văn nghệ là 40%, tức $P(V) = 0,4$. Do đó:

$$0,8x + 0,2 = 0,4 \iff 0,8x = 0,2 \iff x = 0,25$$

Xác suất để học sinh được chọn là nữ, biết học sinh này tham gia văn nghệ:

$$P(N|V) = \dfrac{P(NV)}{P(V)} = \dfrac{P(N) \cdot P(V|N)}{P(V)} = \dfrac{0,25 \cdot 1}{0,4} = 0,625 \approx 0,63$$

Điền đáp số: 0,63.

Câu 4.
Gọi $T$ là biến cố "Kinh tế tăng trưởng", $S$ là biến cố "Kinh tế suy thoái".
Ta có $P(T) = 0,6$ và $P(S) = 0,4$.
Gọi $L$ là biến cố "Quỹ đầu tư đạt mức lợi nhuận trên 15%".
Theo giả thiết: $P(L|T) = 0,8$ và $P(L|S) = 0,2$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(L) = P(T) \cdot P(L|T) + P(S) \cdot P(L|S) = 0,6 \cdot 0,8 + 0,4 \cdot 0,2 = 0,48 + 0,08 = 0,56$$

Áp dụng định lý Bayes, xác suất để nền kinh tế suy thoái biết rằng quỹ đạt lợi nhuận trên 15% là:

$$P(S|L) = \dfrac{P(S) \cdot P(L|S)}{P(L)} = \dfrac{0,4 \cdot 0,2}{0,56} = \dfrac{0,08}{0,56} = \dfrac{1}{7} \approx 0,142857 \approx 0,14$$

Điền đáp số: 0,14.

Câu 5.
Gọi $B$ là biến cố "Viên pin do dây chuyền B sản xuất". Theo đề bài, $P(B) = 30\% = 0,30$.
Gọi $F$ là biến cố "Viên pin bị lỗi". Tỉ lệ pin lỗi của dây chuyền B là $P(F|B) = 4\% = 0,04$.
Biến cố "Viên pin bị lỗi và do dây chuyền B sản xuất" là biến cố giao $BF$.
Theo công thức nhân xác suất:

$$P = P(BF) = P(B) \cdot P(F|B) = 0,30 \cdot 0,04 = 0,012$$

Do đó giá trị của $1000P$ là:

$$1000P = 1000 \cdot 0,012 = 12$$

Điền đáp số: 12.

Câu 6.
Gọi $M$ là biến cố "Người đó mắc bệnh", $\overline{M}$ là biến cố "Người đó không mắc bệnh".
Ta có: $P(M) = 0,01$ và $P(\overline{M}) = 0,99$.
Gọi $D_1, D_2$ lần lượt là các biến cố kết quả xét nghiệm dương tính ở lần 1 và lần 2.
Theo giả thiết, đối với một người có cùng tình trạng bệnh, hai lần xét nghiệm là độc lập:
- Nếu người đó mắc bệnh ($M$):

$$P(D_1 D_2 | M) = P(D_1 | M) \cdot P(D_2 | M) = 0,90 \cdot 0,90 = 0,81$$

- Nếu người đó không mắc bệnh ($\overline{M}$):

$$P(D_1 D_2 | \overline{M}) = P(D_1 | \overline{M}) \cdot P(D_2 | \overline{M}) = 0,05 \cdot 0,05 = 0,0025$$

Xác suất để một người nhận kết quả dương tính trong cả hai lần xét nghiệm là:

$$P(D_1 D_2) = P(M) \cdot P(D_1 D_2 | M) + P(\overline{M}) \cdot P(D_1 D_2 | \overline{M})$$

$$= 0,01 \cdot 0,81 + 0,99 \cdot 0,0025 = 0,0081 + 0,002475 = 0,010575$$

Áp dụng định lý Bayes, xác suất để người này thực sự mắc bệnh sau hai lần xét nghiệm dương tính là:

$$P(M | D_1 D_2) = \dfrac{P(M) \cdot P(D_1 D_2 | M)}{P(D_1 D_2)} = \dfrac{0,01 \cdot 0,81}{0,010575} = \dfrac{0,0081}{0,010575} = \dfrac{8100}{10575} = \dfrac{36}{47} \approx 0,765957 \approx 0,77$$

Điền đáp số: 0,77.