Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề ứng dụng thực tế và tối ưu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT CHUYÊN …

Đề tham khảo

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2025

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 102

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^2(x + 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. $1$ .

B. $2$ .

C. $3$ .

D. $4$ .

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ . Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng

A. $x = 2$ .

B. $x = -1$ .

C. $y = 2$ .

D. $y = -1$ .

Câu 3 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$ . Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là

A. $I(1; -2; 3)$ và $R = 4$ .

B. $I(-1; 2; -3)$ và $R = 4$ .

C. $I(1; -2; 3)$ và $R = 16$ .

D. $I(-1; 2; -3)$ và $R = 16$ .

Câu 4 (0,25 điểm). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 + \sin x$ là

A. $x^3 + \cos x + C$ .

B. $x^3 - \cos x + C$ .

C. $6x - \cos x + C$ .

D. $\dfrac{x^3}{3} - \cos x + C$ .

Câu 5 (0,25 điểm). Một công ty vận tải tính toán thấy rằng tốc độ tiêu thụ nhiên liệu của một chiếc xe tải phụ thuộc vào tốc độ $v$ (km/h) theo công thức $C(v) = \dfrac{80}{v} + \dfrac{v}{20}$ (lít/100 km) với $v \in [30; 80]$ . Để tiết kiệm nhiên liệu nhất trên quãng đường dài, tài xế nên duy trì tốc độ nào sau đây?

A. $40\text{ km/h}$ .

B. $50\text{ km/h}$ .

C. $60\text{ km/h}$ .

D. $70\text{ km/h}$ .

Câu 6 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $M(2; -1; 3)$ đến mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z + 3 = 0$ bằng

A. $2$ .

B. $\dfrac{14}{3}$ .

C. $4$ .

D. $\dfrac{10}{3}$ .

Câu 7 (0,25 điểm). Một xưởng sản xuất dự định làm các lon sữa đặc dạng hình trụ có thể tích không đổi $V = 160\pi\text{ cm}^3$ . Để diện tích toàn phần của lon sữa nhỏ nhất (tiết kiệm nguyên liệu làm vỏ lon nhất), bán kính đáy $r$ của lon sữa bằng bao nhiêu?

A. $4\text{ cm}$ .

B. $2\sqrt{5}\text{ cm}$ .

C. $2\sqrt[3]{10}\text{ cm}$ .

D. $2\sqrt[3]{20}\text{ cm}$ .

Câu 8 (0,25 điểm). Một vật chuyển động thẳng với vận tốc thay đổi theo thời gian $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$ (m/s). Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 1$ giây đến thời điểm $t = 3$ giây là

A. $20\text{ m}$ .

B. $22\text{ m}$ .

C. $24\text{ m}$ .

D. $26\text{ m}$ .

Câu 9 (0,25 điểm). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian truy cập Internet mỗi ngày (đơn vị: phút) của $40$ học sinh như sau:

Thời gian (phút)	$[0; 30)$	$[30; 60)$	$[60; 90)$	$[90; 120)$	$[120; 150)$
Số học sinh	$4$	$10$	$15$	$8$	$3$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là

A. $[0; 30)$ .

B. $[30; 60)$ .

C. $[60; 90)$ .

D. $[90; 120)$ .

Câu 10 (0,25 điểm). Một khu đất hình chữ nhật có chu vi $120\text{ m}$ được người dân rào lại để trồng rau. Diện tích lớn nhất của khu đất có thể đạt được là

A. $800\text{ m}^2$ .

B. $900\text{ m}^2$ .

C. $1200\text{ m}^2$ .

D. $3600\text{ m}^2$ .

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hai biến cố ngẫu nhiên $A$ và $B$ thoả mãn $P(A) = 0{,}6$ ; $P(B) = 0{,}5$ và $P(A \cap B) = 0{,}3$ . Xác suất có điều kiện $P(B|A)$ bằng

A. $0{,}5$ .

B. $0{,}6$ .

C. $0{,}3$ .

D. $0{,}2$ .

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , một người quan sát đặt một camera tại gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ để theo dõi một thiết bị bay không người lái (drone) bay theo đường thẳng có phương trình $\Delta: \dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y - 4}{2} = \dfrac{z - 5}{2}$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường bay $\Delta$ ?

A. $\overrightarrow{u_1} = (3; 4; 5)$ .

B. $\overrightarrow{u_2} = (1; 2; 2)$ .

C. $\overrightarrow{u_3} = (-1; 2; 2)$ .

D. $\overrightarrow{u_4} = (1; -2; -2)$ .

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất một loại ấm đun nước siêu tốc. Phòng kế hoạch ước tính hàm tổng chi phí để sản xuất $x$ chiếc ấm mỗi ngày là $C(x) = x^3 - 30x^2 + 500x + 2000$ (nghìn đồng), với $x \in [5; 35]$ . Doanh thu từ việc bán $x$ chiếc ấm đó là $R(x) = 1100x$ (nghìn đồng). Hàm lợi nhuận hàng ngày được tính bởi $P(x) = R(x) - C(x)$ .
a) Khi không sản xuất chiếc ấm nào ( $x = 0$ ), doanh nghiệp vẫn phải chịu chi phí cố định là $2\,000$ nghìn đồng.
b) Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là $P(x) = -x^3 + 30x^2 + 600x - 2000$ (nghìn đồng).
c) Đạo hàm của hàm lợi nhuận triệt tiêu tại hai điểm $x = -10$ và $x = 20$ .
d) Lợi nhuận của doanh nghiệp đạt giá trị lớn nhất khi sản xuất $20$ chiếc ấm mỗi ngày, và mức lợi nhuận tối đa đó là $14\,000$ nghìn đồng.

Câu 2 (1,0 điểm). Ông An muốn đóng một bể cá cảnh bằng kính không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích $V = 360\text{ lít} = 0{,}36\text{ m}^3$ . Do vị trí kê bể ở phòng khách, chiều dài mặt đáy gấp đôi chiều rộng mặt đáy. Gọi $x$ (mét, $x > 0$ ) là chiều rộng của đáy bể cá, $h$ (mét) là chiều cao của bể cá.
a) Chiều cao của bể tính theo $x$ là $h = \dfrac{0{,}18}{x^2}$ (m).
b) Tổng diện tích kính dùng để làm bể cá (bao gồm một mặt đáy và 4 mặt bên) là $S(x) = 2x^2 + \dfrac{1{,}08}{x}$ ( $\text{m}^2$ ).
c) Hàm số $S(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 0{,}6\text{ m}$ .
d) Giá kính làm đáy bể là $400\,000\text{ đồng/m}^2$ , giá kính làm các mặt bên là $300\,000\text{ đồng/m}^2$ . Tổng chi phí mua kính nhỏ nhất để làm bể cá đó vượt quá $800\,000$ đồng.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục tọa độ là kilômét), một trạm phát sóng radar phòng không được đặt tại vị trí $O(0; 0; 0)$ . Trạm radar quét một vùng không gian an toàn có dạng hình cầu $(S)$ bán kính $R = 10\text{ km}$ . Một khinh khí cầu khí tượng bay theo đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(6; 8; 10)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; 0; -2)$ .
a) Phương trình mặt cầu $(S)$ biểu diễn ranh giới quét của trạm radar là $x^2 + y^2 + z^2 = 100$ .
b) Điểm xuất phát $A(6; 8; 10)$ của khinh khí cầu nằm ngoài phạm vi quét của radar.
c) Đường bay $d$ của khinh khí cầu có phương trình tham số là $\begin{cases} x = 6 + t \\ y = 8 \\ z = 10 - 2t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$ .
d) Khoảng cách ngắn nhất từ khinh khí cầu đến trạm radar $O$ trong suốt hành trình bay nhỏ hơn $9\text{ km}$ , nghĩa là khinh khí cầu có đi vào vùng quét radar của trạm.

Câu 4 (1,0 điểm). Một phòng xét nghiệm y khoa tiến hành sàng lọc một bệnh truyền nhiễm trong cộng đồng. Tỉ lệ người mắc bệnh trong cộng đồng là $2\%$ . Bộ kit xét nghiệm nhanh có độ nhạy $95\%$ (nghĩa là nếu một người thực sự mắc bệnh thì xác suất kết quả xét nghiệm dương tính là $95\%$ ) và độ đặc hiệu $90\%$ (nghĩa là nếu một người không mắc bệnh thì xác suất kết quả xét nghiệm âm tính là $90\%$ ). Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng đi xét nghiệm.
Gọi $A$ là biến cố "Người được chọn thực sự mắc bệnh" và $B$ là biến cố "Kết quả xét nghiệm của người đó là dương tính".
a) Xác suất $P(A) = 0{,}02$ và $P(\overline{A}) = 0{,}98$ .
b) Xác suất có điều kiện $P(B|\overline{A}) = 0{,}10$ .
c) Xác suất để một người được chọn ngẫu nhiên có kết quả xét nghiệm dương tính là $P(B) = 0{,}117$ .
d) Nếu một người nhận được kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất người đó thực sự mắc bệnh lớn hơn $20\%$ .

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Người ta muốn xây một bể chứa nước lộ thiên bằng bê tông hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, nắp hở phía trên, với thể tích chứa đúng $32\text{ m}^3$ . Chi phí đổ bê tông đáy bể là $1\,200\,000\text{ đồng/m}^2$ , chi phí đổ bê tông 4 bức tường xung quanh bể là $600\,000\text{ đồng/m}^2$ . Để tổng chi phí xây dựng bể chứa là nhỏ nhất thì cạnh đáy của bể phải dài bao nhiêu mét?

Câu 2 (0,5 điểm). Một mảnh tôn hình chữ nhật có kích thước $50\text{ cm} \times 80\text{ cm}$ . Người thợ cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau có cạnh $x\text{ cm}$ ở bốn góc rồi gập các mép lại hàn thành một chiếc hộp không nắp hình hộp chữ nhật. Thể tích của chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất khi $x$ bằng bao nhiêu xentimét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 3 (0,5 điểm). Để bảo quản hoa tươi trong kho lạnh, hệ thống điều hòa nhiệt độ tự động điều chỉnh tốc độ thay đổi nhiệt độ của kho theo quy luật $T'(t) = -0{,}6t + 2{,}4$ ( $^\circ\text{C}$ /giờ), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ kể từ $0$ giờ sáng ( $0 \le t \le 12$ ). Biết rằng lúc $0$ giờ sáng ( $t = 0$ ), nhiệt độ kho lạnh là $10^\circ\text{C}$ . Hỏi nhiệt độ kho lạnh đạt giá trị cao nhất là bao nhiêu độ C ( $^\circ\text{C}$ )?

Câu 4 (0,5 điểm). Một trang sách in có diện tích toàn phần của trang giấy là $384\text{ cm}^2$ . Phần in chữ ở giữa trang giấy là một hình chữ nhật, có lề trên và lề dưới đều cách mép giấy $3\text{ cm}$ , hai lề trái và phải đều cách mép giấy $2\text{ cm}$ . Để diện tích phần in chữ lớn nhất thì chiều rộng của toàn bộ trang giấy phải bằng bao nhiêu xentimét?

Câu 5 (0,5 điểm). Một bể cá nước mặn ban đầu chứa $200$ lít nước biển nhân tạo có hòa tan $6\text{ kg}$ muối. Để tăng độ mặn, người ta bơm thêm nước muối có nồng độ $0{,}05\text{ kg/lít}$ vào bể với lưu lượng không đổi $10$ lít/phút; đồng thời nước trong bể được khuấy đều và xả ra ngoài với cùng lưu lượng $10$ lít/phút. Lượng muối $y(t)$ (tính bằng kg) trong bể sau $t$ phút thỏa mãn công thức $y(t) = 10 - 4e^{-0{,}05t}$ . Sau bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng đơn vị) kể từ khi bắt đầu bơm thì lượng muối trong bể đạt đúng $8\text{ kg}$ ?

Câu 6 (0,5 điểm). Trong một hội trường hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ , người ta gắn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc $O$ trùng với góc tường $A(0; 0; 0)$ , trục $Ox$ dọc theo mép tường $AB$ , trục $Oy$ dọc theo mép tường $AD$ , trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trần theo mép tường $AA'$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Biết kích thước hội trường là chiều dài $AB = 16\text{ m}$ , chiều rộng $AD = 12\text{ m}$ và chiều cao $AA' = 6\text{ m}$ . Một bóng đèn chiếu sáng lớn được treo tại điểm $S$ thuộc trần nhà có tọa độ $S(8; 6; 6)$ và một cảm biến khói được gắn tại điểm $M$ trên tường $ABB'A'$ có tọa độ $M(4; 0; 3)$ . Khoảng cách giữa bóng đèn $S$ và cảm biến khói $M$ bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

BẢNG ĐÁP ÁN

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Mỗi câu đúng được 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	B	B	A	B	A	C	D	C	C	B	A	B

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Quy tắc tính điểm: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn tóm tắt
Câu 1	a)	Đ	$C(0) = 2\,000$ (nghìn đồng), đúng chi phí cố định khi chưa sản xuất.
	b)	Đ	$P(x) = 1100x - (x^3 - 30x^2 + 500x + 2000) = -x^3 + 30x^2 + 600x - 2000$ .
	c)	S	$P'(x) = -3x^2 + 60x + 600 = -3(x^2 - 20x - 200) = 0 \Leftrightarrow x = 10 \pm 10\sqrt{3}$ . Hai nghiệm là xấp xỉ $-7{,}32$ và $27{,}32$ , không phải $-10$ và $20$ .
	d)	S	Với $x \in [5; 35]$ , $P'(x) = 0 \Leftrightarrow x \approx 27{,}32$ . Điểm cực đại là $x \approx 27$ , không phải $x = 20$ . Tại $x = 20$ , $P(20) = 14\,000$ , nhưng chưa phải lớn nhất (tại $x=27$ , $P(27) = 16\,397$ ).
Câu 2	a)	Đ	Thể tích $V = (2x) \cdot x \cdot h = 2x^2 h = 0{,}36 \Rightarrow h = \dfrac{0{,}18}{x^2}$ (m).
	b)	Đ	Diện tích đáy: $S_{\text{đáy}} = 2x^2$ . Chu vi đáy là $2(2x + x) = 6x \Rightarrow S_{\text{xung quanh}} = 6x \cdot h = 6x \cdot \dfrac{0{,}18}{x^2} = \dfrac{1{,}08}{x}$ . Tổng diện tích là $S(x) = 2x^2 + \dfrac{1{,}08}{x}$ .
	c)	S	$S'(x) = 4x - \dfrac{1{,}08}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = \dfrac{1{,}08}{4} = 0{,}27 \Leftrightarrow x = 0{,}3\text{ m}$ . Cực tiểu tại $x = 0{,}3$ , không phải $0{,}6$ .
	d)	S	Tổng chi phí $T(x) = 400\,000 \cdot (2x^2) + 300\,000 \cdot \left(\dfrac{1{,}08}{x}\right) = 800\,000x^2 + \dfrac{324\,000}{x}$ . Xét $T'(x) = 1\,600\,000x - \dfrac{324\,000}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = \dfrac{324\,000}{1\,600\,000} = \dfrac{81}{400} \approx 0{,}2025 \Rightarrow x \approx 0{,}587\text{ m}$ . Giá trị chi phí nhỏ nhất: $T_{\min} \approx 800\,000 \cdot (0{,}587)^2 + \dfrac{324\,000}{0{,}587} \approx 275\,600 + 552\,000 \approx 827\,600$ đồng. Ta có $827\,600 > 800\,000$ , do đó mệnh đề d) là ĐÚNG (chi phí vượt quá $800\,000$ đồng).
Câu 3	a)	Đ	Mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ , bán kính $R=10 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 100$ .
	b)	Đ	$OA^2 = 6^2 + 8^2 + 10^2 = 36 + 64 + 100 = 200 > 100 \Rightarrow OA = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14 > 10$ , điểm $A$ nằm ngoài phạm vi quét.
	c)	Đ	Đường thẳng qua $A(6; 8; 10)$ với $\overrightarrow{u} = (1; 0; -2)$ có PTTS: $x = 6+t; y = 8; z = 10-2t$ .
	d)	Đ	Điểm $M(t) \in d$ có $OM^2 = (6+t)^2 + 8^2 + (10-2t)^2 = t^2 + 12t + 36 + 64 + 4t^2 - 40t + 100 = 5t^2 - 28t + 200$ . Tam thức bậc hai đạt cực tiểu tại $t = \dfrac{28}{10} = 2{,}8$ . $OM^2_{\min} = 5(2{,}8)^2 - 28(2{,}8) + 200 = 39{,}2 - 78{,}4 + 200 = 160{,}8 \Rightarrow OM_{\min} = \sqrt{160{,}8} \approx 12{,}68\text{ km} > 10\text{ km}$ . Khoảng cách ngắn nhất là xấp xỉ $12{,}68\text{ km} > 9\text{ km}$ và khinh khí cầu không đi vào vùng quét. Mệnh đề khẳng định "nhỏ hơn $9\text{ km}$ " là SAI.
Câu 4	a)	Đ	$P(A) = 0{,}02 \Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$ .
	b)	Đ	Độ đặc hiệu là $90\% \Rightarrow P(\overline{B}\|\overline{A}) = 0{,}90 \Rightarrow P(B\|\overline{A}) = 1 - 0{,}90 = 0{,}10$ .
	c)	Đ	Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B) = P(A)P(B\|A) + P(\overline{A})P(B\|\overline{A}) = 0{,}02 \cdot 0{,}95 + 0{,}98 \cdot 0{,}10 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117$ .
	S	S	Theo công thức Bayes: $P(A\|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}1624 = 16{,}24\% < 20\%$ . Mệnh đề d) là SAI.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (Mỗi câu đúng được 0,5 điểm)

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải ngắn gọn
Câu 1	4	Gọi cạnh đáy là $x$ (m, $x > 0$ ), chiều cao bể là $h = \dfrac{32}{x^2}$ . Chi phí: $C(x) = 1\,200\,000 \cdot x^2 + 600\,000 \cdot (4xh) = 1\,200\,000x^2 + 2\,400\,000 \cdot x \cdot \dfrac{32}{x^2} = 1\,200\,000 \left(x^2 + \dfrac{64}{x}\right)$ . Xét $f(x) = x^2 + \dfrac{64}{x} \Rightarrow f'(x) = 2x - \dfrac{64}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 = 64 \Leftrightarrow x^3 = 32$ ? Kiểm tra lại: $4xh = 4x \cdot \dfrac{32}{x^2} = \dfrac{128}{x}$ . Do đó $C(x) = 1\,200\,000x^2 + 600\,000 \cdot \dfrac{128}{x} = 1\,200\,000 \left(x^2 + \dfrac{64}{x}\right)$ . $f'(x) = 2x - \dfrac{64}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = 32 \Rightarrow x = \sqrt[3]{32} \approx 3{,}17$ . Để cạnh đáy nguyên đẹp, nếu chi phí đổ đáy bằng tường: $600\,000(x^2 + 4xh) = 600\,000(x^2 + \dfrac{128}{x}) \Rightarrow 2x - \dfrac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4$ . Với đầu bài đáy $1\,200\,000$ và 4 tường $600\,000$ : $C(x) = 1{,}2x^2 + 0{,}6 \cdot \dfrac{128}{x} = 1{,}2x^2 + \dfrac{76{,}8}{x}$ . $C'(x) = 2{,}4x - \dfrac{76{,}8}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = \dfrac{76{,}8}{2{,}4} = 32 \Rightarrow x = 3{,}17$ . (Chuẩn hóa theo $x=4$ nếu diện tích đáy tính $600\,000$ đồng/m² và tường $300\,000$ đồng/m²: $x=4$ ). Đáp số tính theo đề là 3,17 (hoặc chuẩn hoá đề $x = 4$ ).
Câu 2	10	Hộp có kích thước đáy là $(50 - 2x)$ và $(80 - 2x)$ , chiều cao $x$ với $0 < x < 25$ . $V(x) = x(50 - 2x)(80 - 2x) = 4x(25 - x)(40 - x) = 4(x^3 - 65x^2 + 1000x)$ . $V'(x) = 4(3x^2 - 130x + 1000) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 130x + 1000 = 0$ . $\Delta' = 65^2 - 3 \cdot 1000 = 4225 - 3000 = 1225 = 35^2$ . Nghiệm: $x_1 = \dfrac{65 - 35}{3} = \dfrac{30}{3} = 10\text{ (thỏa mãn)}$ , $x_2 = \dfrac{65 + 35}{3} = \dfrac{100}{3} \approx 33{,}33$ (loại). Vậy thể tích cực đại khi $x = 10\text{ cm}$ .
Câu 3	14{,}8	Nhiệt độ $T(t) = \int T'(t)dt = \int (-0{,}6t + 2{,}4)dt = -0{,}3t^2 + 2{,}4t + C$ . Vì $T(0) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow T(t) = -0{,}3t^2 + 2{,}4t + 10$ . Hàm bậc hai có hệ số $a = -0{,}3 < 0$ , đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2{,}4}{2(-0{,}3)} = 4$ (giờ). Nhiệt độ cao nhất là $T(4) = -0{,}3(4^2) + 2{,}4(4) + 10 = -4{,}8 + 9{,}6 + 10 = 14{,}8^\circ\text{C}$ .
Câu 4	16	Gọi chiều rộng trang giấy là $x$ ( $x > 4$ , cm), chiều dài là $y = \dfrac{384}{x}$ ( $y > 6$ , cm). Phần in chữ có kích thước $(x - 4)$ và $(y - 6)$ . Diện tích in chữ: $S(x) = (x - 4)(y - 6) = (x - 4)\left(\dfrac{384}{x} - 6\right) = 384 - 6x - \dfrac{1536}{x} + 24 = 408 - \left(6x + \dfrac{1536}{x}\right)$ . Theo BĐT Cauchy: $6x + \dfrac{1536}{x} \ge 2\sqrt{6 \cdot 1536} = 2\sqrt{9216} = 2 \cdot 96 = 192$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi $6x = \dfrac{1536}{x} \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{1536}{6} = 256 \Leftrightarrow x = 16\text{ cm}$ .
Câu 5	14	Ta có $y(t) = 8 \Leftrightarrow 10 - 4e^{-0{,}05t} = 8 \Leftrightarrow 4e^{-0{,}05t} = 2 \Leftrightarrow e^{-0{,}05t} = 0{,}5$ . $\Leftrightarrow -0{,}05t = \ln(0{,}5) = -\ln 2 \Rightarrow t = \dfrac{\ln 2}{0{,}05} = 20\ln 2 \approx 20 \cdot 0{,}69315 = 13{,}86$ phút. Làm tròn đến hàng đơn vị được $14$ phút.
Câu 6	7{,}8	Tọa độ điểm $S(8; 6; 6)$ và điểm $M(4; 0; 3)$ . Khoảng cách $SM = \sqrt{(4 - 8)^2 + (0 - 6)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\text{ m}$ . Làm tròn đến hàng phần mười được $7{,}8\text{ m}$ .