Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2027 môn Toán – Ứng dụng đạo hàm trong thực tế

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho ở các phương án. Đồ thị có điểm cực đại $(-1;3)$ và điểm cực tiểu $(1;-1)$.

[Đồ thị]

Hàm số nào có đồ thị như hình đã cho?

Câu 2. Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-3}$ có đồ thị như hình dưới đây.

[Đồ thị]

Đường thẳng nào là tiệm cận đứng của đồ thị?

Câu 3. Đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$ gồm hai nhánh như hình dưới đây. Khi điểm trên đồ thị đi ra xa về hai phía, khoảng cách từ điểm đó đến một đường thẳng tiến tới $0$.

[Đồ thị]

Đường thẳng nào là tiệm cận xiên của đồ thị?

Câu 4. Một xưởng thủ công chuẩn bị một đợt bán sản phẩm trong ngày hội của trường. Xưởng có $5$ người làm việc, gian hàng được mở từ $7$ giờ đến $17$ giờ và khu vực trưng bày có thể chứa tối đa $100$ sản phẩm. Tuy nhiên, do nguyên liệu đã đặt mua chỉ đủ cho $80$ sản phẩm, số sản phẩm thực tế bán được trong ngày là số nguyên $x$ thỏa mãn $0\leq x\leq80$. Sau khi đã tính cả tiền nguyên liệu, tiền công, phí gian hàng và chính sách giảm giá theo lượng bán, bộ phận kế toán mô hình hóa lợi nhuận bằng $P(x)=-x^2+80x-300$ nghìn đồng. Các sản phẩm chưa bán không tạo thêm khoản thu nào trong ngày.

[Hình vẽ]

Theo mô hình, xưởng cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận trong ngày lớn nhất?

Câu 5. Một trạm thử nghiệm sử dụng bể khuấy để theo dõi quá trình đưa một chất hòa tan vào nước. Bể được trang bị hai cảm biến, mỗi cảm biến gửi số liệu về máy tính sau mỗi $10$ phút; lịch bảo dưỡng định kì của hệ thống là $30$ ngày. Trong chế độ vận hành đang xét, các dòng vào và ra được điều chỉnh để thể tích nước trong bể không đổi. Lấy $t=0$ là thời điểm bắt đầu thí nghiệm, nồng độ chất trong bể được mô hình hóa bởi $C(t)=\dfrac{12t}{t+2}$ mg/L, với $t\geq0$ tính bằng giờ. Coi mô hình tiếp tục phù hợp nếu thời gian vận hành kéo dài và không xảy ra sự cố.

[Hình vẽ]

Theo mô hình, khi thời gian tăng không giới hạn thì nồng độ chất trong bể tiến tới giá trị nào?

Câu 6. Trong một buổi kiểm tra robot vận chuyển hàng, nhóm kĩ thuật cho robot chạy trên đoạn đường thẳng dài $40$ m. Robot mang một kiện hàng khối lượng $2$ kg, còn thiết bị ghi dữ liệu có thể lưu tối đa $1000$ bản ghi. Sau khi loại bỏ sai số đo, quãng đường robot đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển động được mô hình hóa bởi $s(t)=t^3-6t^2+15t$ mét, trong đó $0\leq t\leq4$ và $t$ tính bằng giây. Trong khoảng thời gian này robot không đổi chiều chuyển động; thời gian nạp hàng trước khi khởi hành không được tính vào $t$.

[Đồ thị]

Vận tốc tức thời của robot nhỏ nhất tại thời điểm nào?

Câu 7. Một cơ sở sản xuất phụ kiện nhận đơn hàng theo từng đợt. Cơ sở có $3$ máy cùng loại và kho chứa được $40$ sản phẩm; thời gian vệ sinh máy sau mỗi đợt là $15$ phút. Khi một đợt sản xuất có $x$ sản phẩm, với $x$ nguyên và $1\leq x\leq40$, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm được mô hình hóa bởi $A(x)=x+\dfrac{100}{x}+20$ nghìn đồng. Công thức này đã phân bổ đầy đủ chi phí cố định, chi phí vận hành và tiền công trong đợt; không cộng thêm tiền vệ sinh máy. Bộ phận quản lí muốn chọn quy mô đợt sản xuất để giảm chi phí trung bình, thay vì chỉ tăng số sản phẩm làm ra.

[Đồ thị]

Chi phí trung bình nhỏ nhất theo mô hình bằng bao nhiêu?

Câu 8. Một trường học dành một phần sân để làm vườn trải nghiệm hình chữ nhật $ABCD$. Nhà trường có $40$ m vật liệu dùng làm đường biên kín bao quanh cả bốn cạnh; lối đi chung rộng $1{,}2$ m nằm hoàn toàn bên ngoài vườn và không sử dụng lượng vật liệu này. Khu đất trống đủ rộng để thay đổi tự do hai kích thước của vườn. Dự kiến học sinh trồng $4$ loại rau và lắp một bảng tên ở ngoài đường biên. Bỏ qua bề dày vật liệu, không chừa cửa trên đường biên và coi toàn bộ diện tích bên trong hình chữ nhật đều được dùng để trồng cây.

[Hình vẽ]

Diện tích trồng cây lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu?

Câu 9. Một phòng thực hành kiểm tra khả năng gia nhiệt của thiết bị trong $10$ phút đầu sau khi bật máy. Nhiệt kế được đặt cách bộ phận phát nhiệt $5$ cm và ghi số liệu sau mỗi $30$ giây; điện áp nguồn được giữ ổn định trong suốt phép thử. Theo kết quả hiệu chỉnh, nhiệt độ tại vị trí cảm biến được mô hình hóa bởi $T(t)=30+12t-t^2$ °C, với $0\leq t\leq10$ và $t$ tính bằng phút. Con số $30$ trong mô hình là nhiệt độ ban đầu tại cảm biến, không phải nhiệt độ tăng thêm. Việc đánh giá chỉ xét diễn biến nhiệt độ, không xét điện năng tiêu thụ.

[Đồ thị]

Trong khoảng thời gian nào sau đây, nhiệt độ tại cảm biến tăng theo thời gian?

Câu 10. Một cửa hàng thử nghiệm chính sách bán một loại bình nước trong ngày cuối tuần. Cửa hàng mở cửa lúc $8$ giờ, có $2$ nhân viên bán hàng và chuẩn bị sẵn $100$ bình. Kết quả khảo sát cho thấy nếu muốn bán được $x$ bình trong ngày thì mức giá thống nhất phù hợp là $100-x$ nghìn đồng/bình, với $x$ nguyên và $0\leq x\leq100$. Mỗi khách được mua tối đa $2$ bình nhưng giới hạn này đã được phản ánh trong kết quả khảo sát. Không áp dụng thêm mã giảm giá, không có doanh thu từ sản phẩm khác và coi số bình bán được đúng bằng lượng dự báo.

[Đồ thị]

Doanh thu bán bình nước lớn nhất trong ngày bằng bao nhiêu?

Câu 11. Trong một hoạt động trải nghiệm, học sinh dùng thiết bị phóng một quả bóng nhỏ theo phương thẳng đứng từ mặt đất. Khu vực thử nghiệm có bán kính an toàn $3$ m và camera ghi hình với tốc độ $60$ khung hình mỗi giây. Bỏ qua lực cản không khí, độ cao của bóng so với mặt đất sau $t$ giây được mô hình hóa bởi $h(t)=20t-5t^2$ mét, với $0\leq t\leq4$. Thời điểm $t=0$ là lúc bóng rời thiết bị; không tính thời gian chuẩn bị và không cộng chiều cao giá đỡ vì mốc độ cao đã được hiệu chỉnh về mặt đất.

[Hình vẽ]

Độ cao lớn nhất của quả bóng theo mô hình bằng bao nhiêu?

Câu 12. Sau một lần bảo dưỡng, máy đóng gói được vận hành thử để theo dõi sự ổn định của năng suất. Người phụ trách bố trí $2$ nhân viên kiểm tra, mỗi thùng chứa $12$ sản phẩm và bảng theo dõi được cập nhật sau mỗi $30$ phút. Trong mô hình đánh giá, năng suất tức thời của máy tại thời điểm $t$ giờ sau khi khởi động là $N(t)=\dfrac{8t+4}{t+1}$ sản phẩm/giờ, với $t\geq0$. Đây là tốc độ tạo ra sản phẩm tại thời điểm đang xét, không phải tổng số sản phẩm đã đóng gói. Coi nguyên liệu luôn được cung cấp đầy đủ và mô hình còn phù hợp khi thời gian hoạt động kéo dài.

[Đồ thị]

Khẳng định nào sau đây đúng?

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Một doanh nghiệp đánh giá lợi nhuận của một dòng sản phẩm trong đợt bán hàng kéo dài $4$ tuần. Doanh nghiệp có $2$ điểm giới thiệu sản phẩm; khoản tiền đặt cọc mặt bằng đã được tính vào chi phí của đợt bán hàng, không cộng thêm khi sử dụng mô hình dưới đây. Gọi $x$ là lượng sản phẩm bán được tính theo đơn vị trăm sản phẩm; do giới hạn nguồn cung, $0\leq x\leq4$. Bộ phận phân tích dùng mô hình liên tục $P(x)=-x^3+6x^2-9x+10$ triệu đồng để khảo sát lợi nhuận. Những khoản thu từ hoạt động khác của doanh nghiệp không thuộc mô hình này. Đồ thị dưới đây chỉ biểu diễn lợi nhuận trên miền lượng bán đang xét.

[Đồ thị]

a) Đạo hàm của hàm lợi nhuận là $P'(x)=-3x^2+12x-9$.
b) Khi lượng bán tăng từ $0$ đến $100$ sản phẩm, lợi nhuận theo mô hình tăng.
c) Lợi nhuận đạt cực đại tại mức bán $300$ sản phẩm.
d) Lợi nhuận lớn nhất trên miền lượng bán cho phép là $10$ triệu đồng.

Câu 2. Một cơ sở cấp nước lắp thiết bị xử lí mới và bắt đầu đo hiệu suất kể từ khi thiết bị được khởi động. Nhà sản xuất khuyến nghị kiểm tra bộ lọc sau mỗi $24$ giờ; phòng điều khiển có $3$ màn hình và lưu dữ liệu thành từng tệp dài $15$ phút. Trong chế độ thử nghiệm đang xét, lưu lượng nước được duy trì ổn định, còn hiệu suất xử lí tại thời điểm $t$ giờ được mô hình hóa bởi $H(t)=\dfrac{80t+20}{t+1}$ phần trăm, với $t\geq0$. Chẳng hạn, $H(t)=70$ được hiểu là hiệu suất $70\%$. Việc vệ sinh và thay bộ lọc không diễn ra trong thời gian khảo sát; các khẳng định sau đều được xét theo mô hình đã cho.

[Đồ thị]

a) Hiệu suất của thiết bị ngay khi bắt đầu khảo sát là $20\%$.
b) Với $t\geq0$, ta có $H'(t)=\dfrac{60}{(t+1)^2}$.
c) Khi thời gian vận hành tăng, hiệu suất xử lí giảm dần.
d) Theo mô hình, hiệu suất xử lí đạt $75\%$ sau $11$ giờ.

Câu 3. Một nhóm học sinh thiết kế hộp đựng linh kiện cho ngày hội khoa học. Mỗi hộp được làm từ một tấm bìa hình vuông cạnh $12$ cm bằng cách cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình có cạnh $x$ cm, rồi gấp bốn phần còn lại lên để tạo hộp không nắp. Nhóm có $20$ tấm bìa để thử nghiệm, dự kiến dán nhãn dài $3$ cm ở mặt ngoài hộp; nhãn không làm thay đổi kích thước hay thể tích. Bỏ qua độ dày bìa, không chừa mép dán và không ghép thêm vật liệu. Để tạo được hộp có thể tích dương, lấy $0<x<6$.

[Hình vẽ]

a) Thể tích của hộp được biểu diễn bởi $V(x)=x(12-2x)^2$ cm³.
b) Đạo hàm của hàm thể tích là $V'(x)=12(x-2)(x-6)$.
c) Để thể tích hộp lớn nhất, nhóm cần cắt các hình vuông cạnh $3$ cm.
d) Thể tích lớn nhất của hộp là $128$ cm³.

Câu 4. Một đơn vị vận chuyển lập phương án cho xe giao hàng chạy trên tuyến đường dài $120$ km. Trước khi xuất phát, xe mất $20$ phút để kiểm đếm hàng; thời gian này không thuộc thời gian xe chạy và chi phí tương ứng đã được thanh toán riêng. Xe chở $30$ kiện hàng, mỗi kiện có khối lượng $5$ kg. Trong mô hình so sánh các phương án, xe chạy với vận tốc không đổi $v$ km/h, với $30\leq v\leq90$, và không dừng dọc đường. Tổng chi phí vận hành cần tối ưu trên quãng đường này là $C(v)=2v+\dfrac{7200}{v}$ nghìn đồng; không cộng thêm chi phí chuẩn bị hoặc giá trị hàng hóa.

[Hình vẽ]

a) Thời gian xe chạy hết tuyến đường là $\dfrac{120}{v}$ giờ.
b) Đạo hàm của hàm chi phí là $C'(v)=2-\dfrac{7200}{v^2}$.
c) Chi phí giảm khi $v$ tăng trên khoảng $(30;60)$ và tăng khi $v$ tăng trên khoảng $(60;90)$.
d) Chi phí vận hành nhỏ nhất của chuyến đi theo mô hình là $200$ nghìn đồng.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Mỗi kết quả là một số được ghi vào phiếu trả lời.

Câu 1. Một cơ sở làm hộp đựng đồ dùng muốn thiết kế mẫu hộp không nắp có đáy hình vuông. Mỗi hộp phải có thể tích bên trong đúng $32$ dm³; gọi cạnh đáy là $x$ dm và chiều cao là $h$ dm. Khách hàng dự kiến đặt $200$ hộp, yêu cầu dán một nhãn giấy ở mặt ngoài và giao hàng trong $7$ ngày. Nhãn giấy được cung cấp riêng, không tính vào diện tích vật liệu làm hộp. Vật liệu làm đáy và bốn mặt bên có cùng đơn giá theo diện tích; bỏ qua độ dày, mép ghép và hao hụt khi cắt. Không có ràng buộc bổ sung về kích thước của hộp.

[Hình vẽ]

Để diện tích vật liệu làm mỗi hộp nhỏ nhất, cạnh đáy $x$ phải bằng bao nhiêu đề-xi-mét?

Câu 2. Một cửa hàng phụ kiện muốn lựa chọn giá bán thống nhất cho một loại sản phẩm trong ngày khuyến mại. Theo khảo sát, khi giá bán là $x$ nghìn đồng/sản phẩm, với $20\leq x\leq80$, lượng bán dự kiến trong ngày là $120-x$ sản phẩm. Cửa hàng mở cửa trong $10$ giờ, có $2$ quầy thanh toán và chuẩn bị sẵn $150$ sản phẩm, nên lượng hàng không hạn chế lượng bán dự kiến. Chi phí nhập và chuẩn bị mỗi sản phẩm bán ra là $20$ nghìn đồng. Tiền thuê quầy đã được tài trợ hoàn toàn; không có chiết khấu bổ sung, không tính chi phí cho hàng còn tồn và coi lượng bán thực tế đúng bằng dự báo.

[Hình vẽ]

Cửa hàng nên chọn giá bán bao nhiêu nghìn đồng mỗi sản phẩm để lợi nhuận trong ngày lớn nhất?

Câu 3. Một xe mô hình chạy trên đường ray thẳng trong phòng thực hành. Trên ray, nhóm học sinh chọn một gốc tọa độ và chiều dương cố định; vị trí của xe được ghi bằng cảm biến sau mỗi $0{,}1$ giây. Xe mang một bộ phát tín hiệu khối lượng $100$ g, còn đường ray có các vạch chia cách nhau $10$ cm. Trong khoảng $6$ giây khảo sát, tọa độ của xe được mô hình hóa bởi $s(t)=t^3-9t^2+24t$ mét, với $0\leq t\leq6$. Giá trị $s(t)$ là tọa độ trên trục đã chọn, không phải tổng quãng đường xe đã đi; vận tốc được xét với dấu theo chiều dương, không lấy giá trị tuyệt đối.

[Đồ thị]

Vận tốc nhỏ nhất của xe trong khoảng thời gian khảo sát bằng bao nhiêu mét trên giây?

Câu 4. Một gia đình muốn rào một khu đất hình chữ nhật $ABCD$ để làm vườn, trong đó cạnh $AB$ nằm sát một bức tường thẳng có sẵn. Bức tường dài $80$ m, đủ để bố trí cạnh vườn theo phương án tối ưu. Gia đình mua đúng $60$ m lưới để rào ba cạnh $AD$, $DC$, $CB$; cạnh sát tường không cần rào. Có $8$ cọc phụ được dùng để gia cố nhưng không làm thay đổi tổng chiều dài lưới. Lối đi rộng $1$ m nằm ngoài khu đất, không trừ vào diện tích vườn. Không chừa cửa trên ba cạnh dùng lưới, bỏ qua độ dày của hàng rào và bức tường.

[Hình vẽ]

Diện tích lớn nhất có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

Câu 5. Một xưởng gia công lập kế hoạch sản xuất theo từng đợt, mỗi đợt có $x$ sản phẩm, với $x$ nguyên và $1\leq x\leq100$. Xưởng có $4$ tổ làm việc và thường kiểm tra máy sau mỗi $25$ sản phẩm, nhưng thời gian kiểm tra đã được phản ánh trong dự toán chi phí. Theo số liệu tổng hợp, chi phí trung bình cho một sản phẩm trong đợt được mô hình hóa bởi $A(x)=x+\dfrac{400}{x}+10$ nghìn đồng. Trong đó, khoản chi phí cố định của đợt được phân bổ vào từng sản phẩm nên phụ thuộc vào lượng sản xuất. Không có sản phẩm lỗi, không tính doanh thu bán hàng và không cộng thêm chi phí ngoài mô hình.

[Hình vẽ]

Chi phí trung bình nhỏ nhất theo mô hình bằng bao nhiêu nghìn đồng mỗi sản phẩm?

Câu 6. Một nhóm nghiên cứu theo dõi quá trình tăng nồng độ của một chất trong bể thí nghiệm. Hệ thống có $2$ van điều tiết, cảm biến được kiểm tra trước khi vận hành và số liệu được lưu sau mỗi $5$ phút. Trong chế độ đang xét, dung dịch được khuấy đều, thể tích trong bể được giữ không đổi nhờ điều chỉnh các dòng vào và ra. Kể từ lúc bắt đầu cấp chất, nồng độ trong bể được mô hình hóa bởi $C(t)=\dfrac{18t}{t+3}$ mg/L, với $t\geq0$ tính bằng giờ. Mốc $t=0$ không bao gồm $30$ phút chuẩn bị thiết bị. Bộ phận giám sát đặt một ngưỡng cảnh báo tại nồng độ $15$ mg/L; việc phát cảnh báo không làm thay đổi quá trình vận hành.

[Hình vẽ]

Theo mô hình, kể từ lúc bắt đầu cấp chất, sau bao nhiêu giờ nồng độ trong bể đạt ngưỡng cảnh báo?

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Tổng điểm toàn bài là 10,0 điểm.

Phần I: Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Phần II: Trong mỗi câu, trả lời đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm; không đúng ý nào được 0,0 điểm.

Phần III: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Điểm từng câu được tính theo số ý trả lời đúng, áp dụng quy tắc tại mục A.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN