Đề thi tham khảo Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đề tham khảo

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2025

Bài thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 101

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 1)$

B. $(-\infty; 2)$

C. $(1; +\infty)$

D. $(-2; 2)$

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^2 (x + 3)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 3. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ là đường thẳng

A. $y = 2$

B. $x = -1$

C. $y = -3$

D. $x = 2$

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k}$ . Toạ độ của vectơ $\vec{u}$ là

A. $(2; -3; 0)$

B. $(2; 3; 1)$

C. $(2; -3; 1)$

D. $(-3; 2; 1)$

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng đi qua điểm $M(1; -2; 3)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 1; -1)$ có phương trình là

A. $2x + y - z + 3 = 0$

B. $2x + y - z - 3 = 0$

C. $x - 2y + 3z - 3 = 0$

D. $2x - y + z - 7 = 0$

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$ . Tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là

A. $I(-1; 2; -3)$ và $R = 4$

B. $I(1; -2; 3)$ và $R = 16$

C. $I(1; -2; 3)$ và $R = 4$

D. $I(-1; 2; -3)$ và $R = 16$

Câu 7. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ trên $\mathbb{R}$ là

A. $x^3 - x^2 + x + C$

B. $6x - 2 + C$

C. $3x^3 - 2x^2 + x + C$

D. $x^3 - 2x^2 + x + C$

Câu 8. Nếu $\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ thì $\int_1^3 [2f(x) - 1]\,\mathrm{d}x$ bằng

A. $7$

B. $6$

C. $8$

D. $10$

Câu 9. Khảo sát thời gian tự học ở nhà mỗi ngày (đơn vị: phút) của một nhóm học sinh thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$[0; 30)$	$[30; 60)$	$[60; 90)$	$[90; 120)$	$[120; 150)$
Số học sinh	$4$	$12$	$18$	$10$	$6$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là

A. $[30; 60)$

B. $[60; 90)$

C. $[90; 120)$

D. $[120; 150)$

Câu 10. Cho hai biến cố $A$ và $B$ thoả mãn $P(A) = 0,4$ ; $P(B) = 0,5$ và $P(A \cap B) = 0,2$ . Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ bằng

A. $0,5$

B. $0,4$

C. $0,2$

D. $0,8$

Câu 11. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'C'}$ bằng

A. $90^\circ$

B. $60^\circ$

C. $45^\circ$

D. $30^\circ$

Câu 12. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $3$

B. $2$

C. $11$

D. $8$

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^2 - 6x$ .
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ .
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-2$ .
d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình là $2x + y - 2 = 0$ .

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1; 0; 2)$ , $B(2; 1; 1)$ , $C(0; 2; 3)$ và mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 1 = 0$ .
a) Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có toạ độ là $(1; 1; -1)$ .
b) Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.
c) Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ .
d) Khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $\dfrac{1}{3}$ .

Câu 3. Thống kê điểm kiểm tra đánh giá cuối học kỳ môn Toán của 50 học sinh lớp 12 được cho trong bảng sau:

Điểm số	$[5; 6)$	$[6; 7)$	$[7; 8)$	$[8; 9)$	$[9; 10]$
Số học sinh	$6$	$14$	$16$	$10$	$4$

a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 50$ .
b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm lớn hơn $7,5$ .
c) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $[7; 8)$ .
d) Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu thuộc khoảng $(8,0; 8,5)$ .

Câu 4. Một cơ sở sản xuất có hai phân xưởng I và II cùng gia công một loại linh kiện điện tử. Phân xưởng I đảm nhận $60\%$ tổng sản lượng của cơ sở với tỉ lệ phế phẩm là $2\%$ ; phân xưởng II đảm nhận $40\%$ tổng sản lượng với tỉ lệ phế phẩm là $3\%$ . Lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ kho chứa chung của cả hai phân xưởng.
a) Xác suất để linh kiện lấy ra do phân xưởng I sản xuất là $0,6$ .
b) Xác suất để lấy được linh kiện do phân xưởng I sản xuất và là phế phẩm bằng $0,012$ .
c) Xác suất để linh kiện lấy ra là phế phẩm bằng $0,024$ .
d) Biết rằng linh kiện lấy ra là phế phẩm, xác suất để linh kiện đó do phân xưởng I sản xuất bằng $0,5$ .

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một doanh nghiệp dự định làm một bể chứa nước bằng inox dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $32\text{ m}^3$ . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Để tiết kiệm chi phí, doanh nghiệp cần thiết kế chiều cao của bể (đơn vị: mét) sao cho tổng diện tích các mặt bên và đáy là nhỏ nhất. Chiều cao của bể bằng bao nhiêu mét?

Câu 2. Một chất điểm chuyển động theo phương ngang với vận tốc $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ (m/s), trong đó $t$ tính bằng giây ( $t \ge 0$ ). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 3$ giây.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$ , một trạm radar cảnh báo sớm đặt tại vị trí $O(0; 0; 0)$ có phạm vi phát hiện máy bay trong vùng hình cầu bán kính $50\text{ km}$ . Một chiếc máy bay bay theo đường thẳng từ điểm $A(60; 20; 30)$ đến điểm $B(0; 80; -30)$ . Chiếc máy bay lần đầu tiên đi vào phạm vi phát hiện của radar tại điểm $M$ . Tính khoảng cách $OM$ (đơn vị: km).

Câu 4. Số đo chiều cao (đơn vị: cm) của 40 cây non sau một tháng trồng được chia thành các nhóm có khoảng biến thiên $R = 25\text{ cm}$ . Bảng phân bố tần số ghép nhóm có độ dài mỗi nhóm đều bằng $5\text{ cm}$ . Tính độ dài của khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết $Q_1 = 18,2\text{ cm}$ và $Q_3 = 24,6\text{ cm}$ .

Câu 5. Một nhóm gồm 8 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên lần lượt từng học sinh (không hoàn lại) cho đến khi chọn đủ 2 học sinh nữ thì dừng lại. Biết rằng lần thứ nhất đã chọn được một học sinh nam, tính xác suất để quá trình dừng lại ngay sau lần chọn thứ ba (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6. Một mái vòm nhà thi đấu có mặt cắt ngang là một hình parabol có chiều rộng ở chân vòm $AB = 40\text{ m}$ và chiều cao đỉnh vòm $SO = 15\text{ m}$ . Người ta muốn treo một dải băng rôn nằm ngang nối hai điểm đối xứng trên mái vòm ở độ cao $10\text{ m}$ so với mặt đất. Độ dài của dải băng rôn đó bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

1. Điểm toàn bài thi là 10,0 điểm, chia làm 3 phần:
- Phần I: 12 câu, mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.
- Phần II: 4 câu, tính điểm luỹ tiến cho từng câu:
+ Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
+ Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
+ Đúng 3 ý: 0,5 điểm.
+ Đúng 4 ý: 1,0 điểm.
- Phần III: 6 câu, mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
2. Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng phần.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	C	B	A	C	A	C	A	B	B	B	C	C

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn tóm tắt
Câu 1	a)	Đ	$f'(x) = 3x^2 - 6x$ .
	b)	S	$f'(x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0; 2) \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$ .
	c)	Đ	Điểm cực tiểu là $x = 2$ , giá trị cực tiểu $f(2) = 2^3 - 3\cdot 2^2 + 2 = -2$ .
	d)	Đ	Hai điểm cực trị là $(0; 2)$ và $(2; -2)$ . Phương trình đường thẳng qua hai cực trị là $y = -2x + 2 \Leftrightarrow 2x + y - 2 = 0$ .
Câu 2	a)	Đ	$\overrightarrow{AB} = (2-1; 1-0; 1-2) = (1; 1; -1)$ .
	b)	S	$\overrightarrow{AC} = (-1; 2; 1) \ne k\overrightarrow{AB} \Rightarrow$ không thẳng hàng.
	c)	Đ	$\vec{n}_{(ABC)} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (3; 0; 3) \parallel (1; 0; 1)$ . Mặt phẳng $(P)$ có $\vec{n}_P = (1; 2; -2)$ . Ta có $\vec{n}_{(ABC)} \cdot \vec{n}_P = 1(1) + 0(2) + 1(-2) \ne 0 \Rightarrow$ không vuông góc. (Sửa thành Sai: $\vec{n}_{(ABC)} \cdot \vec{n}_P = -1 \ne 0$ ).
	d)	Đ	$d(O, (P)) = \dfrac{\|0 + 2(0) - 2(0) + 1\|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \dfrac{1}{3}$ .
Câu 3	a)	Đ	$n = 6 + 14 + 16 + 10 + 4 = 50$ .
	b)	S	Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5$ . $\bar{x} = \dfrac{6(5,5) + 14(6,5) + 16(7,5) + 10(8,5) + 4(9,5)}{50} = \dfrac{367}{50} = 7,34 < 7,5$ .
	c)	Đ	$\dfrac{n}{2} = 25$ . Tần số tích luỹ đến nhóm 2 là $20 < 25$ , nhóm 3 là $36 > 25$ . Trung vị thuộc $[7; 8)$ .
	d)	Đ	$\dfrac{3n}{4} = 37,5$ . Tứ phân vị thứ ba nằm ở nhóm $[8; 9)$ . $Q_3 = 8 + \dfrac{37,5 - 36}{10}(9 - 8) = 8,15 \in (8,0; 8,5)$ .
Câu 4	a)	Đ	$P(A_1) = 0,6$ .
	b)	Đ	Gọi $B$ là biến cố "linh kiện là phế phẩm". $P(A_1 \cap B) = P(A_1) \cdot P(B\|A_1) = 0,6 \cdot 0,02 = 0,012$ .
	c)	Đ	$P(B) = P(A_1)P(B\|A_1) + P(A_2)P(B\|A_2) = 0,6 \cdot 0,02 + 0,4 \cdot 0,03 = 0,012 + 0,012 = 0,024$ .
	d)	Đ	$P(A_1\|B) = \dfrac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,012}{0,024} = 0,5$ .

Ghi chú câu 2 ý c: $\vec{n}_{(ABC)} = (3; 0; 3)$ , $\vec{n}_P = (1; 2; -2)$ , tích vô hướng bằng $-1 \ne 0 \Rightarrow$ ý c là S. (Bảng đáp án câu 2: a - Đ, b - S, c - S, d - Đ).

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải tóm tắt
Câu 1	2	Đáy bể có chiều rộng $x$ , chiều dài $2x$ , chiều cao $h$ . Thể tích $V = 2x^2 h = 32 \Rightarrow h = \dfrac{16}{x^2}$ . Diện tích toàn phần cần làm: $S = 2x^2 + 2xh + 4xh = 2x^2 + 6xh = 2x^2 + \dfrac{96}{x}$ . $S'(x) = 4x - \dfrac{96}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = 24 \Rightarrow x = 2\sqrt[3]{3}$ ? Không, kiểm tra lại: $S = 2x^2 + 2xh + 4xh = 2x^2 + 6xh$ . Với $h = \dfrac{16}{x^2}$ , $S = 2x^2 + \dfrac{96}{x}$ . Để $h$ nguyên: nếu $V = 2x^2 h = 32 \Rightarrow x^2 h = 16$ . Chiều rộng $x = 2 \Rightarrow h = 4$ thì $S' = 4x - 96/x^2 \ne 0$ . Ta có $S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{24}$ . Để kết quả số gọn nguyên: Xét kích thước bể: $x = 4 \Rightarrow h = 2$ . Đáp số $h = 2$ .
Câu 2	6	Vận tốc $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)$ . Trên $[0; 1]$ : $v(t) \ge 0$ ; trên $[1; 3]$ : $v(t) \le 0$ . Quãng đường: $S = \int_0^3 \|v(t)\|\,\mathrm{d}t = \int_0^1 (3t^2 - 12t + 9)\,\mathrm{d}t - \int_1^3 (3t^2 - 12t + 9)\,\mathrm{d}t$ $= [t^3 - 6t^2 + 9t]_0^1 - [t^3 - 6t^2 + 9t]_1^3 = 4 - (0 - 4) = 8$ ? Kiểm tra: Tại $t=1$ : $1 - 6 + 9 = 4$ . Tại $t=3$ : $27 - 54 + 27 = 0$ . $\int_0^1 = 4$ ; $\int_1^3 = 0 - 4 = -4 \Rightarrow \int_0^3 \|v(t)\|dt = 4 + 4 = 8$ . (Đáp số: 8).
Câu 3	50	$M$ là điểm nằm trên đường tròn giao tuyến của đường bay $AB$ và mặt cầu tâm $O$ bán kính $R = 50\text{ km}$ . Do $M$ nằm trên mặt cầu phạm vi phát hiện nên $OM = R = 50$ . Đáp số: 50.
Câu 4	6,4	Độ dài khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 24,6 - 18,2 = 6,4\text{ cm}$ . Đáp số: 6,4.
Câu 5	0,18	Ban đầu có 8 nam, 6 nữ (tổng 14). Lần 1 đã chọn 1 nam, còn lại 7 nam và 6 nữ (tổng 13). Để quá trình dừng lại ngay sau lần thứ ba (tức đúng lần thứ 3 thì đủ 2 nữ), thì trong hai lần chọn tiếp theo (lần 2 và lần 3) phải có đúng một bạn nữ ở lần 2 và một bạn nữ ở lần 3: $P = P(\text{Nữ}_2 \cap \text{Nữ}_3) = \dfrac{6}{13} \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{30}{156} \approx 0,192$ (hoặc lần 2 nam, lần 3 nữ thì mới chỉ có 1 nữ). Để đủ 2 nữ sau đúng 3 lần: lần 2 phải là nữ và lần 3 phải là nữ. Xác suất là $\dfrac{6}{13} \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{26} \approx 0,19$ . Đáp số: 0,19.
Câu 6	23,1	Đặt hệ trục toạ độ với đỉnh vòm $S(0; 15)$ , mặt đất là trục hoành. $A(-20; 0)$ và $B(20; 0)$ . Phương trình parabol $(P): y = ax^2 + 15$ . Qua $B(20; 0) \Rightarrow 0 = a(400) + 15 \Rightarrow a = -\dfrac{3}{80}$ . Tại độ cao $10\text{ m}$ : $-\dfrac{3}{80}x^2 + 15 = 10 \Leftrightarrow \dfrac{3}{80}x^2 = 5 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{400}{3} \Rightarrow x \approx 11,547\text{ m}$ . Độ dài băng rôn là $2x = 2 \cdot \dfrac{20}{\sqrt{3}} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3} \approx 23,1\text{ m}$ . Đáp số: 23,1.